Radon–Nikodym性

要点：1 は分割をつなぎ合わせ、また細かくすることで可算加法性を示す。2 は単関数では等号が分割から直接見え、一般の $g$ は近似で移る。

要点：$g$ は零集合を除いて可分な部分空間に値をとるので、可算個の汎関数で値を検出できる。実数値の密度は一意なので、各汎関数との合成は a.e. で決まる。

$\mu$ を有限測度、$\nu$ を $\nu\ll\mu$ をみたす有界変動のベクトル測度とする。$\lambda:=|\nu|$ は有限な測度で $\|\nu(A)\|\le\lambda(A)$ なので（prop-rnp-variation の 1）、仮定から $\|g'\|\le1$ の $g'\in L^1(\lambda;E)$ で $\nu(A)=\int_Ag'\,d\lambda$ となるものがある。また $\lambda\ll\mu$ なので、Radon–Nikodymの定理 の定理「Radon–Nikodymの定理」により、$h\in L^1(\mu)$、$h\ge0$ で $\lambda(A)=\int_Ah\,d\mu$ となるものがある。$g'$ は $\lambda$-零集合の上で $0$ に取り替えて、すべての点で $\|g'\|\le1$ としておく。
要点：$g:=hg'$ が求める密度である。$hg'$ の強可測性は単関数の近似から、等式 $\int_Ag\,d\mu=\int_Ag'\,d\lambda$ は単関数で確かめて優収束定理で移す。

lem-rnp-reduction により、後半を示せばよい。$Y^*$ が可分なので $Y$ も可分である（Bre11 Theorem 3.26、p. 73）。$Y$ の可算な稠密部分集合の有理係数の有限一次結合の全体を $D$ とする。$D$ は可算で、$Y$ で稠密な $\mathbb Q$-線形部分空間である。
汎関数ごとの密度。 $y\in D$、$y\ne0$ について、$\nu_y(A):=\nu(A)(y)$ は実数値で可算加法的であり、$|\nu_y(A)|\le\|y\|\mu(A)$ をみたす。よって $\rho_\pm:=\frac12(\|y\|\mu\pm\nu_y)$ は測度で、$\rho_\pm\le\|y\|\mu$ である。Radon–Nikodymの定理 の補題「上から抑えられた測度の密度」を $\kappa=\|y\|\mu$ に当てて $\rho_\pm=b_\pm\kappa$（$0\le b_\pm\le1$）とし、$\varphi_y:=\|y\|(b_+-b_-)$ とおくと、
$$ \nu(A)(y)=\int_A\varphi_y\,d\mu,\qquad|\varphi_y|\le\|y\| $$
である。$\varphi_0:=0$ とおく。有界な実数値関数で、すべての $A$ 上の積分が等しいものは a.e. で等しい（$A=\{\varphi>\varphi'\}$ をとる）。したがって、$y,y'\in D$、$q,q'\in\mathbb Q$ について a.e. で $\varphi_{qy+q'y'}=q\varphi_y+q'\varphi_{y'}$ である。
各点での組み立て。 これらの関係は可算個なので、零集合 $N$ をとって、$\omega\notin N$ ではすべての関係と $|\varphi_y(\omega)|\le\|y\|$ が成り立つようにできる。$\omega\notin N$ を固定すると、$y\mapsto\varphi_y(\omega)$ は $D$ 上の $\mathbb Q$-線形写像で、$|\varphi_y(\omega)-\varphi_{y'}(\omega)|\le\|y-y'\|$ をみたす。よって $Y$ 上の連続な線形汎関数に一意に延長でき、そのノルムは $1$ 以下である。これを $g(\omega)\in Y^*$ とする。$\omega\in N$ では $g(\omega):=0$ とする。
強可測性と積分。 $D$ の元で単位球に入るものの全体 $D_1$ は単位球で稠密であり（$\|y\|\le1$ なら $(1-\varepsilon)y$ を $D$ の元で誤差 $\varepsilon$ 未満に近似すればよい）、$y\in D_1$ について $\omega\mapsto g(\omega)(y)=1_{\Omega\setminus N}\varphi_y$ は可測である。Pettisの可測性定理 の系「双対空間に値をとる関数」により、$g$ は強可測である。$\|g\|\le1$ で $\mu$ は有限なので $g\in L^1(\mu;Y^*)$ であり、$y$ での評価 $Y^*\to\mathbb R$ は有界線形なので、Bochner積分 の記事の定理「Bochner積分の存在と基本性質」の 3 により
$$ \Bigl(\int_Ag\,d\mu\Bigr)(y)=\int_Ag(\omega)(y)\,d\mu=\int_A\varphi_y\,d\mu=\nu(A)(y)\qquad(y\in D) $$
である。両端は $y$ について連続で $D$ は $Y$ で稠密なので、$\int_Ag\,d\mu=\nu(A)$ である。$\square$

2：$F$ を可分な反射的空間とすると、$F^*$ も可分で反射的である（Bre11 Corollary 3.27、pp. 73–74）。評価写像 $J\colon F\to F^{**}=(F^*)^*$ は等長な線形全単射なので、thm-rnp-separable-dual と prop-rnp-unique の 2 の後半から $F$ は Radon–Nikodym 性をもつ。1：有限次元の空間は可分で反射的である（反射的Banach空間 の例「有限次元のノルム空間」）。3：$\ell^1$ は $c_0$ の双対空間と等長同型であり（弱スター位相 の節「列で見える差：$c_0$ と $\ell^1$」）、可分である（可分空間 の例「有限個の成分を除いて $0$ である有理数列」）。$\square$

要点：$\bigcup_nP_n$ が生成する σ-代数 $\Sigma_0$ の上では、$\nu$ の値は可分な反射的空間 $F$ に入る。cor-rnp-separable-examples により $\Sigma_0$ 上の密度 $g$ があり、$g_{P_n}$ は $g$ を $P_n$ の各集合で平均したものになる。平均をとる操作は $L^1$ ノルムを増やさず、$\Sigma_0$-可測な単関数は十分大きい $n$ の $P_n$ で決まる単関数で近似できるので、$g_{P_n}\to g$ となる。

lem-rnp-reduction により、有限測度 $\mu$ とすべての $A$ で $\|\nu(A)\|\le\mu(A)$ をみたす $\nu$ について、$\|g\|\le1$ の密度を作ればよい。
段 1：分割による近似の誤差。 $\delta:=\inf_P|\nu-\nu_P|(\Omega)$（$P$ は有限分割全体を動く）とおく。$\delta>0$ と仮定して矛盾を導く。$P_1:=\{\Omega\}$ とし、$P_n$ まで作ったとする。$|\nu-\nu_{P_n}|(\Omega)\ge\delta$ なので、有限分割 $R_n$ で $\sum_{A\in R_n}\|(\nu-\nu_{P_n})(A)\|>\delta/2$ となるものがある。$P_{n+1}$ を $P_n$ と $R_n$ の共通の細分 $\{C\cap A\}$ とする。$C'\in P_{n+1}$ が $C\in P_n$ に含まれ、$\mu(C')>0$ なら、$C'$ の上で $g_{P_{n+1}}-g_{P_n}=\frac{\nu(C')}{\mu(C')}-\frac{\nu(C)}{\mu(C)}$ は定数で、$\nu_{P_n}(C')=\frac{\mu(C')}{\mu(C)}\nu(C)$ である。$\mu(C')=0$ なら $\nu(C')=\nu_{P_n}(C')=0$ である。よって
$$ \|g_{P_{n+1}}-g_{P_n}\|_1=\sum_{C'\in P_{n+1}}\|(\nu-\nu_{P_n})(C')\|\ge\sum_{A\in R_n}\|(\nu-\nu_{P_n})(A)\|>\frac\delta2 $$
となる（不等号は、各 $A\in R_n$ が $P_{n+1}$ の集合の和であることと三角不等式による）。これは lem-rnp-martingale に反する。したがって $\delta=0$ である。
段 2：密度の構成。 有限分割 $Q_j$ を $|\nu-\nu_{Q_j}|(\Omega)<1/j$ となるようにとる。prop-rnp-variation の 2 と、変動の三角不等式 $|\alpha+\beta|(\Omega)\le|\alpha|(\Omega)+|\beta|(\Omega)$ から
$$ \|g_{Q_j}-g_{Q_k}\|_1=|\nu_{Q_j}-\nu_{Q_k}|(\Omega)\le\frac1j+\frac1k $$
であり、$(g_{Q_j})$ は $L^1(\mu;E)$ の Cauchy 列である。Bochner積分 の記事の定理「ベクトル値 $L^p$ 空間の完備性」により、極限 $g$ がある。部分列は a.e. で $g$ に収束するので $\|g\|\le1$（a.e.）であり、すべての $A$ について
$$ \Bigl\|\nu(A)-\int_Ag\,d\mu\Bigr\|\le\|(\nu-\nu_{Q_j})(A)\|+\|g_{Q_j}-g\|_1\le\frac1j+\|g_{Q_j}-g\|_1\to0 $$
となる。$\square$

これらは反射的である（反射的Banach空間 の命題「Hilbert 空間は反射的」と例「$1< p<\infty$ の $L^p$ 空間」。$L^p$ は σ-有限な測度空間の上で考える）。thm-rnp-reflexive から従う。$\square$

正規直交性。 $n< m$ とする。長さ $2^{-n}$ の各区間 $[k2^{-n},(k+1)2^{-n})$ の上で $r_n$ は定数であり、$r_m$ はその区間を等分した $2^{m-n}$ 個（偶数個）の小区間の上で $1,-1$ を交互にとるので、$\int r_nr_m\,dt=0$ である。$r_n^2=1$ なので、$(r_n)$ は $L^2[0,1)$ の正規直交系である。
$\nu$ はベクトル測度。 Hilbert空間 の命題「Besselの不等式と正規直交系の級数」の 1 を $1_A$ に当てると、$\sum_n\bigl(\int_Ar_n\bigr)^2\le\|1_A\|_2^2=\mu(A)$ なので $\int_Ar_n\to0$、すなわち $\nu(A)\in c_0$ である。$|\int_Ar_n|\le\mu(A)$ なので $\|\nu(A)\|_\infty\le\mu(A)$ である。$\nu$ は有限加法的なので、互いに交わらない $A_k$ について $\|\nu(\bigcup_kA_k)-\sum_{k\le K}\nu(A_k)\|_\infty\le\mu(\bigcup_{k>K}A_k)\to0$ となり、$\nu$ は可算加法的である。分割の各集合で $\|\nu(A_j)\|\le\mu(A_j)$ なので $|\nu|(\Omega)\le1$ であり、$\nu\ll\mu$ である。
密度はない。 $g\in L^1(\mu;c_0)$ が密度だとする。第 $n$ 座標 $x\mapsto x_n$ は $c_0$ 上の有界線形汎関数なので、すべての $A$ で $\int_Ag(t)_n\,dt=\int_Ar_n\,dt$ であり、a.e. で $g(t)_n=r_n(t)$ である。可算個の $n$ の例外集合を合わせると、a.e. の $t$ ですべての $n$ について $|g(t)_n|=1$ となり、$g(t)\in c_0$ に反する。$\square$

$g\in L^1(\mu;L^1[0,1])$ が密度だとする。端点が有理数の区間 $I\subset[0,1]$ について、$\varphi_I(u):=\int_Iu(s)\,ds$ は $L^1[0,1]$ 上の有界線形汎関数で、$\varphi_I(\nu(A))=\mu(A\cap I)=\int_A1_I(t)\,dt$ である。一方 $\varphi_I(\nu(A))=\int_A\varphi_I(g(t))\,dt$ なので、a.e. の $t$ で $\varphi_I(g(t))=1_I(t)$ である。$I$ は可算個なので、零集合 $N$ の外ではすべての $I$ についてこれが成り立つ。$t\in(0,1)\setminus N$ をとり、端点が有理数で $t$ を内部に含み、長さが $0$ に近づく区間 $I_k$ をとると、$\int_{I_k}g(t)(s)\,ds=1$ である。しかし $g(t)\in L^1[0,1]$ なので、優収束定理により $\int_{I_k}|g(t)(s)|\,ds\to0$ となり、矛盾する。$\square$

要点：$\Omega$ を測度有限の集合に分け、各部分の密度を足し合わせる。和の $L^1$ ノルムは $|\nu|(\Omega)$ で抑えられる。