有限正則写像

$X\setminus U$ は閉集合なので $f(X\setminus U)$ は閉集合であり、$V:=Y\setminus f(X\setminus U)$ は開集合である。$f^{-1}(y)\subset U$ なので $y\notin f(X\setminus U)$、すなわち $y\in V$ である。$x\in f^{-1}(V)$ なら $f(x)\notin f(X\setminus U)$ なので $x\in U$ である。$\square$

要点：固有なら閉、逆はファイバーの近傍を lem-fh-nbhd で底の近傍に広げてコンパクト性を移す。

$f^{-1}(V)$ は各 $x_i$ の近傍なので $s_{x_i}$ は定まり、芽が等しい切断は $y$ のより小さい近傍の逆像で一致するので、$\Phi_y$ は well-defined な準同型である。
単射。芽 $\sigma$ の代表 $s\in\mathcal{F}(f^{-1}(V))$ について $s_{x_i}=0$（すべての $i$）とする。$x_i$ の開近傍 $U_i\subset f^{-1}(V)$ で $s|_{U_i}=0$ となるものをとる。$U:=\bigcup_iU_i$ は $f^{-1}(y)$ を含む開集合なので、lem-fh-nbhd により $y$ の開近傍 $V'\subset V$ で $f^{-1}(V')\subset U$ となるものがある。$s|_{f^{-1}(V')}=0$ なので $\sigma=0$ である。$t=0$ のときは $U=\emptyset$ で、$f^{-1}(V')=\emptyset$ となり $(f_*\mathcal{F})_y=0$ である。
全射。$(\tau_1,\dots,\tau_t)\in\prod_i\mathcal{F}_{x_i}$ を与える。$X$ は Hausdorff なので、互いに交わらない開近傍 $U_i\ni x_i$ と、$\tau_i$ を代表する $s_i\in\mathcal{F}(U_i)$ がとれる。層の貼り合わせにより、$U:=\bigsqcup_iU_i$ 上の切断 $s$ で $s|_{U_i}=s_i$ となるものがある。lem-fh-nbhd により $y$ の開近傍 $V$ で $f^{-1}(V)\subset U$ となるものがあり、$s|_{f^{-1}(V)}$ の芽は $(\tau_1,\dots,\tau_t)$ に写る。
加群の構造。$h\in\mathcal{O}_Y(V)$ と $s\in\mathcal{F}(f^{-1}(V))$ について $(f^\sharp(h)s)_{x_i}=f^\sharp(h)_{x_i}s_{x_i}$ であり、$f^\sharp(h)_{x_i}$ は $h_y$ の $f^\sharp\colon\mathcal{O}_{Y,y}\to\mathcal{O}_{X,x_i}$ による像なので、$\Phi_y$ は $\mathcal{O}_{Y,y}$ 線形である。$\square$

1：層の射 $\varphi\colon\mathcal{F}'\to\mathcal{F}$ について、$\Phi_y\circ(f_*\varphi)_y=\bigl(\prod_i\varphi_{x_i}\bigr)\circ\Phi'_y$ が成り立つ（両辺とも切断 $s$ の芽を $(\varphi(s)_{x_i})_i$ に写す）。thm-fh-stalk により、$y$ での茎の列は $\prod_i\mathcal{F}'_{x_i}\to\prod_i\mathcal{F}_{x_i}\to\prod_i\mathcal{F}''_{x_i}$ と同型であり、これは完全列の有限個の積なので完全である。層の列の完全性は茎ごとに判定できる。
2：

要点：根は係数で一様に抑えられるので、底の収束列の上の根の列は収束部分列をもつ。

$T$ が制限と両立する $\mathcal{O}_B$ 線形な射であることは明らかなので、各点 $z\in B$ で茎の写像 $T_z$ が全単射であることを示せばよい。$\pi^{-1}(z)=\{x_1,\dots,x_t\}$、$x_i=(w_i,z)$ とする。thm-fh-stalk により $(\pi_*\mathcal{O}_A)_z\cong\prod_i\mathcal{O}_{A,x_i}=\prod_i\mathcal{O}_{x_i}/\omega\mathcal{O}_{x_i}$ であり（$\mathcal{O}_{x_i}$ は $\mathbb{C}\times B$ の $x_i$ での正則関数の芽の環）、この同一視のもとで $T_z$ は
$$ \mathcal{O}_{B,z}^{\,b}\longrightarrow\prod_{i=1}^t\mathcal{O}_{x_i}/\omega\mathcal{O}_{x_i},\qquad(r_j)\longmapsto\Bigl(\textstyle\sum_jr_jw^j\bmod\omega\Bigr)_i $$
である。$z$ を原点に平行移動すると $\omega(w,z)$ は Weierstrassの割り算定理 の定理「いくつかの点での割り算」の仮定をみたす（$\omega(\cdot,z)$ の相異なる根が $w_1,\dots,w_t$）。全射：$f_i\in\mathcal{O}_{x_i}$ を与えると、同定理により $f_i=q_i\omega+r$（各 $x_i$ の近くで）となる次数 $b$ 未満の多項式 $r=\sum_jr_jw^j$ があり、$T_z(r_j)=(f_i\bmod\omega)_i$ である。単射：$T_z(r_j)=0$ なら $r=q_i\omega$（各 $x_i$ の近くで）となる $q_i$ があり、$0=(-q_i)\omega+r$ と $0=0\cdot\omega+0$ はどちらも $0$ の割り算なので、同定理の一意性により $r=0$ である。

2 ⇔ 3。$\mathcal{O}_{X,x}$ と $\mathcal{O}_{Y,y}$ は解析代数であり（解析代数 の例「解析代数の例」）、$f^\sharp$ は解析代数の射なので、解析代数 の系「有限な射の判定」そのものである。
1 ⇔ 2。$x$ の近くで $X$ を局所模型 $V(g_1,\dots,g_r)\subset D\subset\mathbb{C}^N$（$x=0$）とし、$y$ の近くで $Y$ を $\mathbb{C}^M$ の局所模型（$y=0$）とする。座標関数 $v_1,\dots,v_M$ の像は $\mathfrak{m}_y$ を生成し、$h_j:=f^\sharp(v_j)$ は $0$ の近くで正則な関数（の $X$ への制限）で $h_j(0)=0$ である。ファイバーは $x$ の近くで集合として $\{u\mid g(u)=0,\ h(u)=0\}$ であり、
$$ \mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_y\mathcal{O}_{X,x}=\mathbb{C}\{u\}/K,\qquad K:=(g_1,\dots,g_r,h_1,\dots,h_M) $$
である。$x$ が孤立点なら、$K$ の零点集合の $0$ での芽は $\{0\}$ であり、$\{0\}$ の上で消える芽の全体は極大イデアル $\mathfrak{m}=(u_1,\dots,u_N)$ なので、Rückertの零点定理 により $\sqrt K=\mathfrak{m}$ である。$\mathfrak{m}$ は有限生成なので $\mathfrak{m}^k\subset K$ となる $k$ があり、$\mathbb{C}\{u\}/K$ は有限次元の $\mathbb{C}\{u\}/\mathfrak{m}^k$ の商である。逆に $\mathbb{C}\{u\}/K$ が有限次元なら、その極大イデアルは冪零であり（解析代数 の命題「有限次元の局所 $\mathbb{C}$ 代数は解析代数」の証明）、$u_i^k\in K$ となる $k$ がある。すると $0$ の近くの $K$ の零点では $u_i^k=0$、すなわち $u=0$ なので、$x$ は孤立点である。
4 ⇒ 1。$f|_U$ のファイバー $f^{-1}(y)\cap U$ は有限集合で、$U$ は開集合なので $x$ は $f^{-1}(y)$ の孤立点である。
1 ⇒ 4 は GR79 第 I 章 §3.2 Corollary（p. 54）による。この記事では証明しない。$\square$

thm-fh-stalk により $(f_*\mathcal{F})_y\cong\prod_{x\in f^{-1}(y)}\mathcal{F}_x$ なので、$(f_*\mathcal{F})_y\neq0$ はある $x\in f^{-1}(y)$ で $\mathcal{F}_x\neq0$ となることと同値であり、$\operatorname{Supp}f_*\mathcal{F}=f(\operatorname{Supp}\mathcal{F})$ である。thm-fh-grauert により $f_*\mathcal{F}$ は連接なので、その台は解析的部分集合である（連接解析層 の定理「台とファイバーの次元の解析性」）。$\mathcal{F}=\mathcal{O}_X$ とすれば $\operatorname{Supp}\mathcal{O}_X=X$ である。$\square$