楕円型偏微分方程式

要点：$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ に対して部分積分すると、台がコンパクトなので境界項が出ず、$\int(Lu)\varphi=B(u,\varphi)$ となる。

要点：台がコンパクトな滑らかな関数は $x_1$ 方向に左端から積分して得られ、Cauchy–Schwarz の不等式で押さえられる。

$H^1_0(\Omega)$ は Hilbert 空間 $H^1(\Omega)$（Sobolev空間の基本事項 の定理「Sobolev空間の完備性」）の閉部分空間なので完備である。lem-epde-poincare により $\|u\|_{H^1}^2=\|u\|_2^2+\|\nabla u\|_2^2\le(1+d^2)\|\nabla u\|_2^2$ なので、$\langle u,v\rangle:=\int\nabla u\cdot\nabla v\,dx$ は $H^1$ のノルムと同値なノルム $\|\nabla u\|_2$ を与え、$H:=H^1_0(\Omega)$ はこの内積で実 Hilbert 空間になる。
有界性：$A:=\max_{i,j}\|a^{ij}\|_\infty$ とおく。各点で $\bigl|\sum a^{ij}\eta_i\zeta_j\bigr|\le A\sum_i|\eta_i|\sum_j|\zeta_j|\le nA|\eta||\zeta|$ なので、Cauchy–Schwarz の不等式と lem-epde-poincare から
$$ |B(u,v)|\le nA\|\nabla u\|_2\|\nabla v\|_2+\|c\|_\infty\|u\|_2\|v\|_2\le\bigl(nA+d^2\|c\|_\infty\bigr)\|\nabla u\|_2\|\nabla v\|_2 $$
である。
強圧性：(3) と $c\ge0$ から、ほとんどすべての点で $\sum a^{ij}\partial_iu\,\partial_ju\ge\theta|\nabla u|^2$、$cu^2\ge0$ なので $B(u,u)\ge\theta\|\nabla u\|_2^2$ である。
右辺：$\ell(v):=\int fv$ は $|\ell(v)|\le\|f\|_2\|v\|_2\le d\|f\|_2\|\nabla v\|_2$ をみたす $H$ 上の連続線形汎関数で、そのノルムは $d\|f\|_2$ 以下である。
Lax–Milgramの定理（実 Hilbert 空間の場合。その記事の規約に合わせて $a(v,u):=B(u,v)$ とおく）により、すべての $v\in H$ で $B(u,v)=\ell(v)$ となる $u\in H$ がただ 1 つ存在し、$\|\nabla u\|_2\le\|\ell\|/\theta\le d\|f\|_2/\theta$ である。
最後に $a^{ij}=a^{ji}$ とすると $B$ は対称である。$w\in H$ について展開すると
$$ E(u+w)-E(u)=B(u,w)-\ell(w)+\frac12B(w,w)=\frac12B(w,w)\ge\frac\theta2\|\nabla w\|_2^2 $$
であり、右辺は $w\ne0$ なら正である（$\|\nabla w\|_2$ は $H$ のノルム）。よって $u$ は $E$ のただ一つの最小点である。$\square$

要点：Hesse 行列 $D^2u(x_0)$ は半負定値で、$A$ を対角化すると和は $D^2u(x_0)$ の 2 次形式の非負係数の和になる。

$\Omega$ は有界なので $\overline\Omega$ はコンパクトで、$\partial\Omega$ は空でない（$\Omega\ne\mathbb{R}^n$）。
1．まず $c\equiv0$ で、$\Omega$ の各点で $Lv<0$ をみたす $v\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ は $\Omega$ の内部で最大値をとらないことを示す。内部の点 $x_0$ で最大なら、lem-epde-hessian により $\nabla v(x_0)=0$、$\sum a^{ij}\partial_i\partial_jv(x_0)\le0$ なので $Lv(x_0)\ge0$ となり矛盾する。よって $v$ の最大値は $\partial\Omega$ でとられる。
次に $w(x):=e^{\gamma x_1}$ とおく。(3) に $\xi=e_1$ を入れると $a^{11}\ge\theta$ なので
$$ Lw=\bigl(-a^{11}\gamma^2+b^1\gamma\bigr)e^{\gamma x_1}\le\bigl(-\theta\gamma^2+\beta\gamma\bigr)e^{\gamma x_1}<0\qquad(\gamma>\beta/\theta) $$
である。$\varepsilon>0$ について $v:=u+\varepsilon w$ は $Lv=Lu+\varepsilon Lw<0$ をみたすので、
$$ \max_{\overline\Omega}u\le\max_{\overline\Omega}v=\max_{\partial\Omega}v\le\max_{\partial\Omega}u+\varepsilon\max_{\overline\Omega}w $$
である。$\varepsilon\to0$ として $\max_{\overline\Omega}u\le\max_{\partial\Omega}u$ を得る。逆向きの不等号は明らかである。
2．$u$ が $\overline\Omega$ で最大値をとる点を $x^*$ とする。$u(x^*)\le0$ なら主張は明らかで、$x^*\in\partial\Omega$ でも明らかである。そこで $x^*\in\Omega$、$u(x^*)>0$ とし、開集合 $V:=\{x\in\Omega\mid u(x)>0\}$ を考える。$V$ の上では $c\ge0$、$u>0$ なので、$c$ の項を除いた作用素 $L_0:=L-c$ について $L_0u=Lu-cu\le0$ である。$L_0$ は 1 の仮定をみたすので、1 を有界な開集合 $V$ に当てると $u(x^*)=\max_{\overline V}u=\max_{\partial V}u$ である。$y\in\partial V$ とする。$y\in\Omega$ なら、$V$ は開集合なので $y\notin V$ から $u(y)\le0$ である。$y\in\partial\Omega$ なら $u(y)\le\max_{\partial\Omega}u^+$ である。いずれにしても $u(x^*)\le\max_{\partial\Omega}u^+$ である。$\square$

$w:=u-v$ は $Lw\le0$、$\partial\Omega$ で $w^+=0$ をみたすので、thm-epde-maximum-principle の 2 により $w\le0$ である。2 つの古典解の差には両方の向きでこれを当てればよい。$Lu=0$ なら $u$ と $-u$ に 2 を当てて $\max_{\overline\Omega}|u|\le\max_{\partial\Omega}|u|$ を得る。$\square$