三角形の重心（高校数学）

$A(0,0)$、$B(8,2)$、$C(4,10)$ とする。

1. 中点：$M_A=\bigl(\frac{8+4}2,\frac{2+10}2\bigr)=(6,6)$、$M_B=\bigl(\frac{4+0}2,\frac{10+0}2\bigr)=(2,5)$、$M_C=\bigl(\frac{0+8}2,\frac{0+2}2\bigr)=(4,1)$。
2. 中線 $AM_A$：$(0,0)$ と $(6,6)$ を通るので $y=x$。
3. 中線 $BM_B$：$(8,2)$ と $(2,5)$ を通る。傾きは $\frac{5-2}{2-8}=-\frac12$ なので $y-2=-\frac12(x-8)$、つまり $y=-\frac12x+6$。
4. 2 と 3 の交点：$x=-\frac12x+6$ より $\frac32x=6$、$x=4$。交点は $G(4,4)$。
5. 中線 $CM_C$：$(4,10)$ と $(4,1)$ を通るので $x=4$。$G(4,4)$ はこの上にある。
   3 本の中線は $G(4,4)$ で交わる。$G$ の座標は、3 頂点の座標の平均 $\bigl(\frac{0+8+4}3,\frac{0+2+10}3\bigr)=(4,4)$ と一致している。

ex-cen-first の $G(4,4)$ で、各中線の 2 つの部分の長さを比べる。

1. 中線 $AM_A$：$AG=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2$、$GM_A=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2$。比は $2:1$。
2. 中線 $BM_B$：$\overrightarrow{BG}=(-4,2)$ で $BG=\sqrt{20}=2\sqrt5$、$\overrightarrow{GM_B}=(-2,1)$ で $GM_B=\sqrt5$。比は $2:1$。
3. 中線 $CM_C$：$CG=10-4=6$、$GM_C=4-1=3$。比は $2:1$。
   $\overrightarrow{BG}=(-4,2)$ と $\overrightarrow{GM_B}=(-2,1)$ は向きが同じで、長さがちょうど $2$ 倍になっている。

ex-cen-first の三角形で、3 本の中線をそれぞれ頂点の側から $2:1$ に内分する点を求める。

1. 中線 $AM_A$：$\frac{1\cdot(0,0)+2\cdot(6,6)}{3}=(4,4)$。
2. 中線 $BM_B$：$\frac{1\cdot(8,2)+2\cdot(2,5)}{3}=\frac{(12,12)}3=(4,4)$。
3. 中線 $CM_C$：$\frac{1\cdot(4,10)+2\cdot(4,1)}{3}=\frac{(12,12)}3=(4,4)$。
   3 つとも同じ点 $(4,4)$ になった。次の定理は、これがいつでも起こることを示す。

1. $A(1,2)$、$B(7,-1)$、$C(-2,5)$：$G=\bigl(\frac{1+7-2}3,\frac{2-1+5}3\bigr)=(2,2)$。確かめ：$M_A=\bigl(\frac52,2\bigr)$ で、$\frac{\vec a+2\vec m_A}3=\frac{(1,2)+(5,4)}3=(2,2)$。
2. 空間の点でも同じ式が使える。$A(3,0,0)$、$B(0,3,0)$、$C(0,0,3)$ の三角形の重心は $G(1,1,1)$ である。$G$ は 3 頂点を含む平面 $x+y+z=3$ の上にある（$1+1+1=3$）。

ex-cen-first の $A(0,0)$、$B(8,2)$、$C(4,10)$、$G(4,4)$ で確かめる。3 点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$ の三角形の面積は $\frac12\bigl|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)\bigr|$ である（靴ひも公式）。

1. 三角形 $ABC$：$\frac12|8\cdot10-2\cdot4|=\frac12\cdot72=36$。
2. 三角形 $GBC$：$\overrightarrow{GB}=(4,-2)$、$\overrightarrow{GC}=(0,6)$ で $\frac12|4\cdot6-(-2)\cdot0|=12$。
3. 三角形 $GBM_A$：$\overrightarrow{GB}=(4,-2)$、$\overrightarrow{GM_A}=(2,2)$ で $\frac12|4\cdot2-(-2)\cdot2|=\frac12\cdot12=6$。
4. 三角形 $GM_BA$：$\overrightarrow{GM_B}=(-2,1)$、$\overrightarrow{GA}=(-4,-4)$ で $\frac12|(-2)(-4)-1\cdot(-4)|=\frac12\cdot12=6$。
   $12=\frac13\cdot36$、$6=\frac16\cdot36$ で、prop-cen-area のとおりである（図1）。

ex-cen-first の $A(0,0)$、$B(8,2)$、$C(4,10)$、$G(4,4)$ で、$f(P)=PA^2+PB^2+PC^2$ を計算する。

1. $P=G(4,4)$：$GA^2=16+16=32$、$GB^2=16+4=20$、$GC^2=0+36=36$ で、$f(G)=88$。
2. $P=A(0,0)$：$AB^2=64+4=68$、$AC^2=16+100=116$ で、$f(A)=0+68+116=184$。
3. $P=(4,0)$：$PA^2=16$、$PB^2=16+4=20$、$PC^2=0+100=100$ で、$f(P)=136$。
   どれも $f(G)=88$ より大きい。しかも $184-88=96=3\cdot32=3\,AG^2$、$136-88=48=3\cdot16=3\,PG^2$（$P=(4,0)$ と $G$ の距離は $4$）で、差は「$G$ までの距離の 2 乗の $3$ 倍」になっている。

ex-cen-first の三角形で、$AB^2=68$、$BC^2=16+64=80$、$CA^2=116$ である。

1. $\frac{68+80+116}3=\frac{264}3=88$ で、ex-cen-sum-squares の $f(G)=88$ と一致する。
2. 中線の長さの 2 乗は $AM_A^2=36+36=72$、$BM_B^2=36+9=45$、$CM_C^2=0+81=81$ で、和は $198$ である。$GA=\frac23AM_A$ などから $GA^2+GB^2+GC^2=\frac49(AM_A^2+BM_B^2+CM_C^2)$ なので、$\frac49\cdot198=88$ となり、これも一致する。
3. 2 から、中線の長さの 2 乗の和は辺の長さの 2 乗の和の $\frac94\cdot\frac13=\frac34$ 倍である。実際 $\frac34\cdot264=198$ である。

1. 3 頂点に質量 $1$ ずつのせる。$B$ と $C$ をまとめると、質量中心は中点 $M_A$、質量は $2$ である。prop-cen-group により、全体の質量中心は $A$（質量 $1$）と $M_A$（質量 $2$）の質量中心 $\frac{1\cdot\vec a+2\,\vec m_A}{3}$ で、これは線分 $AM_A$ を $2:1$ に内分する点である。どの頂点を残してまとめても同じ点になるので、3 本の中線はこの点を通る。これは thm-cen-main の 3 つ目の証明になっている。
2. 質量を $A$ に $1$、$B$ に $2$、$C$ に $3$ とすると、ex-cen-first の三角形では $\frac{1\cdot(0,0)+2\cdot(8,2)+3\cdot(4,10)}6=\frac{(28,34)}6=\bigl(\frac{14}3,\frac{17}3\bigr)$ である。質量を変えると、質量中心は三角形の中を動く。辺の長さ $a=BC$、$b=CA$、$c=AB$ を質量にすると内心になる（三角形の内心と傍心）。

頂点 $(1,0)$、$(3,0)$、$(1,2)$ の三角形は、$1\le x\le3$ で $g(x)=0$、$f(x)=3-x$ の間の図形である。

1. 面積：$S=\int_1^3(3-x)\,dx=\Bigl[3x-\frac{x^2}2\Bigr]_1^3=\frac92-\frac52=2$。
2. $\bar x=\frac12\int_1^3x(3-x)\,dx=\frac12\Bigl[\frac{3x^2}2-\frac{x^3}3\Bigr]_1^3=\frac12\Bigl(\frac92-\frac76\Bigr)=\frac12\cdot\frac{10}3=\frac53$。
3. $\bar y=\frac12\int_1^3\frac{(3-x)^2}2\,dx=\frac14\Bigl[-\frac{(3-x)^3}3\Bigr]_1^3=\frac14\cdot\frac83=\frac23$。
   頂点の平均は $\bigl(\frac{1+3+1}3,\frac{0+0+2}3\bigr)=\bigl(\frac53,\frac23\bigr)$ で、一致する。

ex-cen-integral の三角形（面積 $2$、重心 $\bigl(\frac53,\frac23\bigr)$）を回転させる。この三角形は $1\le x\le3$ で $g(x)=0$、$f(x)=3-x$ の間の図形で、$g\ge0$、$a=1\ge0$ なので、上の定理がどちらの軸にも使える。

1. $y$ 軸の周り：重心は半径 $\frac53$ の円を描くので、体積は $2\cdot2\pi\cdot\frac53=\frac{20\pi}3$。積分で確かめる。高さ $y$（$0\le y\le2$）で切った断面は、内側の半径 $1$、外側の半径 $3-y$ の円環なので、体積は $\int_0^2\pi\bigl((3-y)^2-1\bigr)dy=\pi\int_0^2(8-6y+y^2)\,dy=\pi\Bigl(16-12+\frac83\Bigr)=\frac{20\pi}3$。
2. $x$ 軸の周り：重心は半径 $\frac23$ の円を描くので、体積は $2\cdot2\pi\cdot\frac23=\frac{8\pi}3$。積分では $\int_1^3\pi(3-x)^2\,dx=\pi\Bigl[-\frac{(3-x)^3}3\Bigr]_1^3=\frac{8\pi}3$ で、一致する。

頂点 $(0,0)$、$(6,0)$、$(3,3)$、$(0,3)$ の四角形（台形）を考える。

1. 4 頂点の平均：$\bigl(\frac{0+6+3+0}4,\frac{0+0+3+3}4\bigr)=\bigl(\frac94,\frac32\bigr)$。
2. 板の重心：対角線で 2 つの三角形に分ける。三角形 $(0,0),(6,0),(3,3)$ は面積 $\frac12\cdot6\cdot3=9$、重心 $G_1(3,1)$。三角形 $(0,0),(3,3),(0,3)$ は面積 $\frac12\cdot3\cdot3=\frac92$、重心 $G_2(1,2)$。prop-cen-group と同じく、面積を質量とみて $G_1$、$G_2$ の質量中心をとると
   $$ \frac{9\cdot(3,1)+\frac92\cdot(1,2)}{9+\frac92}=\frac{\bigl(\frac{63}2,18\bigr)}{\frac{27}2}=\Bigl(\frac73,\frac43\Bigr) $$
   である。
3. 積分でも確かめる。この四角形は $0\le x\le3$ で上の縁が $y=3$、$3\le x\le6$ で上の縁が $y=6-x$ の縦線図形で、面積は $9+\frac92=\frac{27}2$、$\int_0^3 3x\,dx+\int_3^6x(6-x)\,dx=\frac{27}2+18=\frac{63}2$ なので $\bar x=\frac{63/2}{27/2}=\frac73$ である。
   $\bigl(\frac94,\frac32\bigr)\ne\bigl(\frac73,\frac43\bigr)$ である（図4）。変えたこと：三角形を四角形にした。崩れる主張：頂点の平均が板の重心になること。三角形でこれが成り立つのは prop-cen-integral の計算のおかげで、頂点が 4 つ以上になると一般には成り立たない（平行四辺形のような対称な図形では一致する）。

ex-cen-first の $A(0,0)$、$B(8,2)$、$C(4,10)$（面積 $36$）で、重心 $G(4,4)$ を通り辺 $BC$ に平行な直線を引く。$\overrightarrow{BC}=(-4,8)$ なので傾きは $-2$ で、直線は $y=-2x+12$ である。

1. 辺 $AB$（$y=\frac14x$）との交点：$\frac14x=-2x+12$ より $x=\frac{16}3$、交点 $\bigl(\frac{16}3,\frac43\bigr)$。
2. 辺 $AC$（$y=\frac52x$）との交点：$\frac52x=-2x+12$ より $x=\frac83$、交点 $\bigl(\frac83,\frac{20}3\bigr)$。
3. $A$ の側の三角形の面積：$\frac12\bigl|\frac{16}3\cdot\frac{20}3-\frac43\cdot\frac83\bigr|=\frac12\cdot\frac{320-32}9=16$。
   直線の両側の面積は $16$ と $36-16=20$ で、等しくない。$A$ の側の三角形は $ABC$ と相似で、相似比は $AG:AM_A=2:3$ なので、面積の比は $4:9$ であり、$\frac49\cdot36=16$ と合っている。
   中線は面積を 2 等分する（prop-cen-area の段 3）が、重心を通るほかの直線はそうとは限らない。それでも板はこの直線の上で釣り合う（本記事では証明しない。重心を通る直線について「面積 × 符号つき距離」を積分すると $0$ になることから従う）。釣り合いを決めるのは面積ではなく、「面積 × 直線からの距離」の和（モーメント）だからである。$A$ の側は面積が小さいが、直線から遠くまで広がっている。

$A(0,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$ とし、辺 $BC$、$CA$、$AB$ をそれぞれ $B$、$C$、$A$ の側から $1:2$ に分ける点を $D(2,1)$、$E(0,2)$、$F(1,0)$ とする。

1. 直線 $AD$ は $y=\frac12x$、直線 $BE$ は $2x+3y=6$、直線 $CF$ は $3x+y=3$ である。
2. $AD$ と $BE$ の交点：$2x+\frac32x=6$ より $x=\frac{12}7$、交点 $\bigl(\frac{12}7,\frac67\bigr)$。
3. $AD$ と $CF$ の交点：$3x+\frac12x=3$ より $x=\frac67$、交点 $\bigl(\frac67,\frac37\bigr)$。
   2 つの交点が違うので、3 本は 1 点で交わらない。3 本の直線は小さな三角形を囲み、その面積は $\frac9{14}$ で、$ABC$ の面積 $\frac92$ のちょうど $\frac17$ である。変えたこと：中点を 3 等分点にした。崩れる主張：3 本が 1 点で交わること。どんな分け方なら 1 点で交わるかは Cevaの定理（高校数学） が答える（比の積 $\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18$ が $1$ でないので交わらない）。囲まれる三角形の面積の公式は Routhの定理 である。

$A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(3,1)$ とする。重心は $G\bigl(3,\frac13\bigr)$ である。

1. $P=G$ のとき：$GA=GB=\sqrt{9+\frac19}=\frac{\sqrt{82}}3\approx3.018$、$GC=\frac23$ で、$GA+GB+GC\approx6.704$。
2. $P=C$ のとき：$CA=CB=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\approx3.162$、$CC=0$ で、和は $2\sqrt{10}\approx6.325$。
   $C$ での和のほうが小さいので、$PA+PB+PC$ を最小にする点は重心ではない。変えたこと：距離の 2 乗の和を距離の和にした。崩れる主張：最小にする点が重心であること。thm-cen-leibniz の証明は、2 乗を展開して交差項が消えることに頼っていた。2 乗しない距離ではこの展開ができない。距離の和を最小にする点は Fermat 点 とよばれ、別の記事で扱う（Fermat点）。