重み付き極限(豊穣圏)

同義語：重み付き余極限(豊穣圏)

概要

定義

$\mathcal V$ を局所小で完備・余完備な対称モノイダル閉圏とする。テンソル積を $\otimes$、単位を $I$、内部Homを $[U,V]$ と書く。内部Homは $\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T,[U,V])\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T\otimes U,V)$ を自然に満たす。
$\mathcal V$-豊穣圏は、Hom集合の代わりにHom対象を持ち、合成 $\mathcal A(b,c)\otimes\mathcal A(a,b)\to\mathcal A(a,c)$ と単位 $I\to\mathcal A(a,a)$ が結合律・単位律を満たすものである。豊穣関手（関手(豊穣圏)）はHom対象間の射を持ち、合成と単位を保つ。台となる通常の射集合は $\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(I,\mathcal A(a,b))$ である。
$\mathcal A$ は小さい豊穣圏、$F:\mathcal A\to\mathcal B$ は豊穣関手とする。

自然変換対象

豊穣関手 $W,G:\mathcal A\to\mathcal V$ の自然変換対象は
$$ [\mathcal A,\mathcal V](W,G)=\int_a[W(a),G(a)] $$
である。このエンド(豊穣圏)は、$\prod_a[W(a),G(a)]$ から
$$\prod_{a,b}[\mathcal A(a,b)\otimes W(a),G(b)]$$
への二本の射の等化子として定義する。二本の射は $W$ に先に作用させるものと、$G$ に後から作用させるものである。従って、パラメータ $T$ からこの対象への射は、$T\otimes W(a)\to G(a)$ の族で豊穣自然性（自然変換(豊穣圏)）を満たすものを表す。

豊穣重み付き極限・余極限

豊穣関手 $W:\mathcal A\to\mathcal V$ を極限の重みとする。豊穣重み付き極限 $\{W,F\}$ は、$T$ に豊穣自然な $\mathcal V$ 内の同型
$$ \mathcal B(T,\{W,F\})\cong [\mathcal A,\mathcal V](W,\mathcal B(T,F(-))) $$
を持つ対象である。
余極限の重みは $U:\mathcal A^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$ とする。豊穣重み付き余極限 $U\star F$ は、豊穣自然な同型
$$ \mathcal B(U\star F,T)\cong [\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V](U,\mathcal B(F(-),T)) $$
を持つ対象である。

右辺・左辺とも集合でなく $\mathcal V$ の対象である。定義は Kel82 §3.1、Rie14 §7.4 に対応する。

直感とテンソル・余テンソル

重みは、図式の各値をどのような対象で試験し、その試験を射に沿ってどう運ぶかを指定する。通常の圏では試験の添字は集合だった。豊穣圏では、例えば加群や単体的集合が重みになる。

テンソルと余テンソル

$K\in\mathcal V,X\in\mathcal B$ に対し、余テンソル $K\pitchfork X$ とテンソル $K\odot X$ は、存在するとき
$$ \mathcal B(T,K\pitchfork X)\cong[K,\mathcal B(T,X)], \qquad \mathcal B(K\odot X,T)\cong[K,\mathcal B(X,T)] $$
を豊穣自然に満たす対象である。$\mathcal B=\mathcal V$ なら、それぞれ $[K,X]$ と $K\otimes X$ になる。

例

通常版

$\mathcal V=\mathbf{Set}$ ではHom対象が集合、自然変換対象が自然変換集合となるため、定義は通常の重み付き極限・余極限に一致する。余テンソルは $X^K$、テンソルは $K\cdot X$ である。

単一対象の重みと表現可能な重み

一対象でHomが単位 $I$ の豊穣圏では、重み $K$ による極限・余極限は余テンソル・テンソルになる。また一般の $\mathcal A$ で
$$ \{\mathcal A(a_0,-),F\}\cong F(a_0), \qquad \mathcal A(-,a_0)\star F\cong F(a_0) $$
が成立する。これは豊穣米田の補題（米田の補題(豊穣圏)）による評価である。Kel82 §3.1、式(3.10)。

加群のHomとテンソル積

アーベル群の圏 $\mathcal V=\mathbf{Ab}$、$\mathcal A$ を環 $R$ の一対象豊穣圏、$\mathcal B=\mathbf{Ab}$ とする。図式 $F$ と極限の重み $W$ は左 $R$-加群になり、$\{W,F\}=\operatorname{Hom}_R(W,F)$ は $R$-線形写像の加法群になる。余極限の重み $U$ は右 $R$-加群になり、$U\star F=U\otimes_RF$ となる。

反例：定値単位はいつでも重みになるわけではない

集合の一点重みを一般化して「いつでも定値 $I$ を使えば普通の極限になる」とは言えない。$\mathcal V=\mathbf{Ab}$、$\mathcal A$ が環 $\mathbb Z/2$ の一対象豊穣圏の場合、$I=\mathbb Z$ にその単位的作用を入れることはできない。もしできれば $2=0$ の作用から $2\operatorname{id}_{\mathbb Z}=0$ が必要になるが、これは偽である。従って定値単位の豊穣関手自体が存在しない。通常の添字圏の自由豊穣化を用いるconicalな構成などと区別する。conicalな極限は、通常の添字圏を自由豊穣化した重み $W_J$ による重み付き極限として回収される（極限(豊穣圏)）。Kel82 §3.9。

性質

エンド・コエンド表示

必要な余テンソルと豊穣エンド、またはテンソルと豊穣コエンド（コエンド(豊穣圏)）が存在するとき、
$$ \{W,F\}\cong\int_a W(a)\pitchfork F(a), \qquad U\star F\cong\int^a U(a)\odot F(a). $$
それぞれの混合分散の関手は $(a,b)\mapsto W(a)\pitchfork F(b)$ と $(a,b)\mapsto U(a)\odot F(b)$ である。Kel82 §3.10、式(3.69)–(3.70)。

極限表示

エンドの豊穣普遍性と余テンソルの定義により
$$ \mathcal B\left(T,\int_aW(a)\pitchfork F(a)\right) \cong\int_a[W(a),\mathcal B(T,F(a))] =[\mathcal A,\mathcal V](W,\mathcal B(T,F(-))). $$
これは重み付き極限の定義に一致する。すべて $\mathcal V$ の同型として計算しているため、単位からの元だけで構造を判定する必要はない。

余極限表示

同様にコエンドの豊穣普遍性とテンソルの定義から
$$ \mathcal B\left(\int^aU(a)\odot F(a),T\right) \cong\int_a[U(a),\mathcal B(F(a),T)] =[\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V](U,\mathcal B(F(-),T)). $$
ここではエンドの反変・共変の位置を、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ 上の自然変換になるように取る。従って重み付き余極限の普遍性を得る。

これらの式は、普遍的なHom対象の表示として一般の豊穣エンド・コエンドを理解すればよい。例えば $\mathcal B(T,\int_aH(a,a))\cong\int_a\mathcal B(T,H(a,a))$、$\mathcal B(\int^aH(a,a),T)\cong\int_a\mathcal B(H(a,a),T)$ がその定義である。

∞圏への接続

空間を単体的集合で表示すると、重み付き極限は厳密な豊穣計算とホモトピー整合的な計算を比較する共通言語になる。しかし同じ入力記号でも、厳密な計算と導来計算の結果は異なり得る。
例えば群作用に関する厳密な等変写像対象は、そのまま導来等変写像空間ではない。後者を得るには重み・図式に適切な置換を施すか、bar・cobar構成などで高次の整合性を組み込む。Rie14 §9.2 は、基礎圏・モデル圏・Hom対象・置換に仮定を置いてこの方法を与える。単体的集合のすべての対象がcofibrantであることと、関手圏内で任意の重みがcofibrantであることは別である。
具体的な入口として、単体的モデル圏のcofibrant–fibrant部分圏、相対圏の単体的局所化やハンモック局所化を使える。局所Kanな表示からホモトピー整合的脈体を取ると準圏へ進める。HTT09 §§1.1.5, 2.2.5。
重み付き極限(∞圏)では、準圏上の空間値の重みを定義し、その普遍性を写像空間（写像空間(∞圏)）の同値で表す。一般のモノイダル∞圏に豊穣化した理論や $(\infty,2)$-圏の重み付き極限まで、この記事から無条件に含めるわけではない。Hom重みと導来エンドの比較は Hau21 §4、特にRemark 4.7 による。