単体的集合の単体の圏

順序写像であること：$i< n$ について、$\alpha_{i+1}(m_i)\leq m_{i+1}$ であり $\alpha_{i+1,n}$ は順序を保つので、$\theta_\sigma(i)=\alpha_{i+1,n}(\alpha_{i+1}(m_i))\leq\alpha_{i+1,n}(m_{i+1})=\theta_\sigma(i+1)$ である。
単体的写像であること：順序写像 $\gamma\colon[k]\to[n]$ に対し、$\gamma^*\sigma$ は列 $(m_{\gamma(0)},x_{\gamma(0)})\to\cdots\to(m_{\gamma(k)},x_{\gamma(k)})$（射は $\alpha_{\gamma(j-1)\gamma(j)}$）である。その $\theta$ は
$$ \theta_{\gamma^*\sigma}(j)=\alpha_{\gamma(j)\gamma(k)}(m_{\gamma(j)}) $$
であり、$\alpha_{\gamma(k)n}\circ\theta_{\gamma^*\sigma}(j)=\alpha_{\gamma(j)n}(m_{\gamma(j)})=\theta_\sigma(\gamma(j))$ となる。つまり $\theta_\sigma\circ\gamma=\alpha_{\gamma(k)n}\circ\theta_{\gamma^*\sigma}$ である。したがって
$$ \gamma^*\lambda_K(\sigma)=(\theta_\sigma\gamma)^*x_n=\theta_{\gamma^*\sigma}^*\,\alpha_{\gamma(k)n}^*x_n=\theta_{\gamma^*\sigma}^*x_{\gamma(k)}=\lambda_K(\gamma^*\sigma) $$
である。
自然性：$N(\Delta/f)$ は列の $x_i$ を $f(x_i)$ に取り替え、$\alpha_i$ を変えないので、$\theta$ は変わらない。$f$ は構造写像と可換なので $\lambda_L(N(\Delta/f)\sigma)=\theta_\sigma^*f(x_n)=f(\theta_\sigma^*x_n)$ である。$\square$

段 1（$N(L)=\lambda$）．$N(\mathcal C)$ は脈体なので、単体的写像 $N(\Delta/N(\mathcal C))\to N(\mathcal C)$ は $0$ 単体と $1$ 単体の上の値で決まる（脈体 の命題「脈体関手は充満忠実である」）。上の注意のとおり、$\lambda$ は $0$ 単体 $(m,x)$ を $x(m)$ へ、辺 $\alpha$ を $x(\alpha(m)\to n)$ へ送り、これは $L$ と同じである。$L$ が関手であることは $\lambda$ が単体的写像であることから従う。
段 2（コンマ圏）．Quillenの定理A の双対の形を使うため、$\mathcal C$ の対象 $c$ を固定し、$\mathcal A=(L\downarrow c)$ が可縮であることを示す。$\mathcal A$ の対象は組 $(m,x,u)$（$x\colon[m]\to\mathcal C$、$u\colon x(m)\to c$）、射 $(m,x,u)\to(m',x',u')$ は $\alpha^*x'=x$ かつ $u'\circ x'(\alpha(m)\to m')=u$ を満たす順序写像 $\alpha\colon[m]\to[m']$ である。
列 $x$ の後ろに $u$ をつないだ列を $x\ast u\colon[m+1]\to\mathcal C$ とし、$E(m,x,u)=(m+1,x\ast u,\mathrm{id}_c)$ とおく。射 $\alpha$ に対し、$\alpha$ を $m+1\mapsto m'+1$ で延ばした順序写像を $E(\alpha)=\alpha^+$ とおく。$(\alpha^+)^*(x'\ast u')$ は $[m]$ の上で $\alpha^*x'=x$ であり、頂点 $m$ から $m+1$ への射は $u'\circ x'(\alpha(m)\to m')=u$ なので $x\ast u$ に等しい。$\mathrm{id}_c\circ L(\alpha^+)=\mathrm{id}_c$ も成り立つので、$E\colon\mathcal A\to\mathcal A$ は関手である。
次の $2$ つは自然変換である。

• $\eta\colon\mathrm{id}_{\mathcal A}\Rightarrow E$：成分は $\delta^{m+1}\colon[m]\to[m+1]$（$m+1$ を飛ばす包含）。$(\delta^{m+1})^*(x\ast u)=x$ であり、$\mathrm{id}_c\circ(x\ast u)(m\to m+1)=u$ なので $\mathcal A$ の射である。自然性は $\alpha^+\circ\delta^{m+1}=\delta^{m'+1}\circ\alpha$ による。
• $\varepsilon\colon k\Rightarrow E$：$k$ はすべてを対象 $(0,c,\mathrm{id}_c)$ とその恒等射へ送る関手で、成分は最後の頂点を選ぶ $[0]\to[m+1]$、$0\mapsto m+1$。$(x\ast u)(m+1)=c$ であり、$L$ の値は $\mathrm{id}_c$ なので $\mathcal A$ の射である。自然性は $\alpha^+(m+1)=m'+1$ による。
  圏の分類空間 の定理「自然変換と分類空間のホモトピー」により $\mathrm{id}_{B\mathcal A}\simeq BE\simeq Bk$ であり、$Bk$ は $1$ 点 $B[0]$ を経由する定値写像なので、$B\mathcal A$ は可縮である。
  段 3．すべての $c$ で $(L\downarrow c)$ が可縮なので、Quillenの定理A の定理「Quillen の定理 A」（双対の形）により $BL$ はホモトピー同値写像である。$\blacksquare$

対象 $(n,x)$ について、単体的集合 の命題「退化単体の一意な表示」により、全射な順序写像 $\sigma\colon[n]\to[p]$ と非退化な $y\in K_p$ で $x=\sigma^*y$ となるものがただ 1 組ある。$\sigma$ は $\Delta/K$ の射 $\sigma\colon(n,x)\to(p,y)$ である。$(p,y)$ と $\sigma$ が、$(n,x)$ から $(\Delta/K)_{\mathrm{nd}}$ への普遍的な射であることを示す。
非退化な $(k,z)$ と射 $\alpha\colon(n,x)\to(k,z)$（$\alpha^*z=x$）をとる。$\alpha$ を像への全射 $\pi\colon[n]\to[l]$ と単射 $\delta\colon[l]\to[k]$ の合成 $\alpha=\delta\pi$ に分ける。条件 (F) により $\delta^*z$ は非退化であり、$x=\pi^*(\delta^*z)$ である。表示の一意性により $\pi=\sigma$、$\delta^*z=y$ となるので、$\delta$ は $(\Delta/K)_{\mathrm{nd}}$ の射 $(p,y)\to(k,z)$ で $\alpha=\delta\circ\sigma$ を満たす。そのような $\delta$ は、$\sigma$ が全射なので $\alpha$ から一意に決まる。
各対象にこのような普遍的な射があるので、$(n,x)\mapsto(p,y)$ は $\iota$ の左随伴 $P$ に延び、$\sigma$ がその単位になる（随伴関手）。圏の分類空間 の系「随伴関手はホモトピー同値を与える」により $B\iota$ はホモトピー同値写像であり、最後の主張は thm-cs-weq による。$\square$