ホロノミックD加群

要点：$\operatorname{gr}^\Gamma M$ が次数 $j_0$ 以下で生成されることは $\Gamma_j=\sum_{d\le j_0}\mathcal{B}_{j-d}\Gamma_d$（$j\ge j_0$）と言い換えられ、部分加群については $k[x,\xi]$ が Noether 環であることを使う。

要点：$\operatorname{gr}^\Gamma M$ に変数 $t$ を 1 つ足して Hilbert–Serre の定理を当て、2 つの良いフィルトレーションは lem-holonomic-good-filtration の 2 で互いに挟まれることを使う。

$i$ についての帰納法で示す。$i=0$ なら $a\in k$ で、$a\Gamma_0=0$ と $\Gamma_0\ne0$ から $a=0$ である。$i\ge1$ とし、$a=\sum c_{\alpha\beta}x^\alpha\partial^\beta\in\mathcal{B}_i$ が $a\ne0$、$a\Gamma_i=0$ をみたすと仮定する。$\Gamma_0\subset\Gamma_i$ なので $a\notin k$ であり、$c_{\alpha\beta}\ne0$ かつ $(\alpha,\beta)\ne(0,0)$ の項がある。

• ある項で $\alpha_l>0$ のとき：$c:=[\partial_l,a]=\sum c_{\alpha\beta}\alpha_l\,x^{\alpha-e_l}\partial^\beta$（Weyl代数 の交換子の公式）は、標数 $0$ と基底の一次独立性から $0$ でなく、$\mathcal{B}_{i-1}$ に属する。$\Gamma_{i-1}\subset\Gamma_i$ と $\partial_l\Gamma_{i-1}\subset\Gamma_i$ から
  $$ c\,\Gamma_{i-1}\subset\partial_l\,(a\Gamma_{i-1})+a\,(\partial_l\Gamma_{i-1})\subset\partial_l(a\Gamma_i)+a\Gamma_i=0 $$
  となり、帰納法の仮定に反する。
• すべての項で $\alpha=0$ のとき：ある項で $\beta_l>0$ であり、$c:=[a,x_l]=\sum c_{0\beta}\beta_l\,\partial^{\beta-e_l}\in\mathcal{B}_{i-1}$ は $0$ でない。$x_l\Gamma_{i-1}\subset\Gamma_i$ から同様に $c\,\Gamma_{i-1}=0$ となり、矛盾する。
  単射から次元の不等式が従う。$\dim\mathcal{B}_i=\binom{i+2n}{2n}$ である。

$\Gamma$ を $M$ の良いフィルトレーションとし、$\Gamma_{j_1}\ne0$ となる $j_1$ をとる。$\Gamma'_j:=\Gamma_{j+j_1}$ は $\mathcal{B}_i\Gamma'_j\subset\Gamma'_{i+j}$ と $\Gamma'_0\ne0$ をみたすので、lem-holonomic-joseph により
$$ \frac{i^{2n}}{(2n)!}\le\binom{i+2n}{2n}\le\dim\Gamma_{i+j_1}\cdot\dim\Gamma_{2i+j_1} $$
である。$d:=d(M)$ とすると、右辺の 2 つの因子は $i\ge1$ である定数 $C$ について $C\,i^d$ 以下なので、右辺は $C^2i^{2d}$ 以下である。$i\to\infty$ として $2n\le2d$、すなわち $d(M)\ge n$ を得る。

$M$ の良いフィルトレーション $\Gamma$ をとり、$M'$ に $\Gamma_j\cap M'$、$M''$ に $\Gamma_j$ の像を入れる。lem-holonomic-good-filtration の 3 によりどちらも良いフィルトレーションで、$M',M''$ は有限生成であり、$\dim\Gamma_j$ は 2 つの次元の和である。prop-holonomic-hilbert により $\chi_M=\chi_{M'}+\chi_{M''}$ である。$0$ でない $\chi$ の最高次係数は正なので打ち消し合わず、次元と重複度の主張が従う。

1. thm-holonomic-exact により $d(M)=\max\{d(M'),d(M'')\}$ である。$M$ がホロノミックなら $d(M'),d(M'')\le n$ で、$0$ でなければ thm-holonomic-bernstein により $n$ に等しい。逆に $M',M''$ がホロノミックなら $d(M)\le n$ で、$M\ne0$ なら Bernstein の不等式により $d(M)=n$ である。
2. $0=M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_r=M$ を部分加群の狭義増大列とする。1 により各 $M_l$ と $M_l/M_{l-1}$ はホロノミックで、$M_l/M_{l-1}\ne0$ なので $d=n$、$e(M_l/M_{l-1})\ge1$ である。thm-holonomic-exact を $0\to M_{l-1}\to M_l\to M_l/M_{l-1}\to0$ に順に当てると、次元がすべて $n$ なので
   $$ e(M)=\sum_{l=1}^re(M_l/M_{l-1})\ge r $$
   である。よって狭義増大列の長さは $e(M)$ 以下で、$M$ の長さは $e(M)$ 以下である。

$N\subset M$ を $0$ でない有限生成部分加群とし、良いフィルトレーション $\Gamma^N$ をとる。$\Gamma_j\cap N$ は $N$ のフィルトレーションなので、lem-holonomic-good-filtration の 2 により $\Gamma^N_j\subset\Gamma_{j+c}\cap N$ となる $c$ がある。よって $\chi_N(j)\le C(j+c+1)^n$ が十分大きい $j$ で成り立ち、$d(N)\le n$ である。Bernstein の不等式により $d(N)=n$ で $N$ はホロノミックであり、$j^n$ の係数を比べて $e(N)/n!\le C$ を得る。cor-holonomic-closure の 2 により $N$ の長さは $n!\,C$ 以下である。
$M$ が有限生成でないと仮定すると、$v_1,v_2,\dots\in M$ を $v_r\notin N_{r-1}:=A_nv_1+\cdots+A_nv_{r-1}$ となるように選べる。$N_r$ は有限生成で $0=N_0\subsetneq N_1\subsetneq\cdots\subsetneq N_r$ なので長さが $r$ 以上であり、$r>n!\,C$ で前段に反する。よって $M$ は有限生成で、前段を $N=M$ に当てればよい（$M=0$ なら自明）。