関数の近似とテイラー展開

前提知識: 微分係数と導関数の定義（高校数学）, 平均値の定理, 定積分, 部分積分, 級数

高校での出発点：接線で近似する

高校の数学 III では、微分可能な関数 $f$ と小さい数 $h$ について
$$ f(a+h)\approx f(a)+f'(a)\,h $$
という1 次の近似式を習う。右辺は、点 $(a,f(a))$ での接線の $x=a+h$ での高さである。
計算例。$\sqrt{1+x}$ に $a=0$、$h=0.02$ で使うと、$(\sqrt{1+x})'=\frac1{2\sqrt{1+x}}$ なので $\sqrt{1.02}\approx1+\frac12\cdot0.02=1.01$ である。実際は $\sqrt{1.02}=1.0099504938\ldots$ で、誤差は $0.0000495\ldots$ である。同じように $\sin0.1\approx0.1$（実際は $0.0998334\ldots$）、$e^{0.1}\approx1.1$（実際は $1.1051709\ldots$）となる。
誤差を見ると、$h=0.02$ で約 $5\times10^{-5}$ で、$h^2=4\times10^{-4}$ の約 $\frac18$ である。$h=0.01$ にすると誤差は約 $1.24\times10^{-5}$ で、$h$ を半分にすると誤差はほぼ $\frac14$ になる。つまり誤差は $h^2$ に比例する大きさである。そこで $h^2$ の項まで足すと近似は良くなる。
$$ e^{h}\approx1+h+\frac{h^2}{2},\qquad \cos h\approx1-\frac{h^2}{2}. $$
$h=0.1$ では $e^{0.1}\approx1.105$（誤差 $0.00017\ldots$）、$\cos0.1\approx0.995$（実際は $0.9950041\ldots$）である。
ここで次の疑問が生じる。

1. 2 次、3 次、……と項を足していくとき、係数はどう選べばよいか。$\frac{h^2}{2}$ の「$2$」はどこから来たのか。
2. 誤差は「だいたい $h^2$」と言うだけでなく、確実にこれ以下と保証できるか。
3. 次数をどこまでも上げていけば、誤差は $0$ に近づくか。どんな関数でも、どんな $h$ でもそうなるか。
   答えは順に、Taylor 多項式（$n$ 階までの微分係数を合わせた多項式）、剰余項の公式（誤差を $n+1$ 階の導関数で表す式）、Taylor 級数と収束半径である。3 番目の答えは「いつもそうなるとは限らない」で、何回でも微分できるのに Taylor 級数が関数を表さない例まである。
   本記事で前提にすることを挙げておく。$e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\log x$ の導関数の公式、積分の性質（区間上で $g\le h$ なら $\int g\le\int h$）、微分積分学の基本定理と部分積分の公式、閉区間上の連続関数は最大値と最小値をとること、中間値の定理、上に有界な空でない実数の集合には上限があること（実数の連続性）、区間上で導関数が $0$ の関数は定数であること、正の項の級数の比較判定法と、絶対収束する級数は収束すること（Leb26 Proposition 2.5.16、2.5.15、p. 92–93）。これらは本記事では証明しない。$\log$ は自然対数を表す。
   接線が最良の 1 次近似であることは 接線・法線と曲線の凹凸 で扱う。

取り出すべき構造：Taylor 多項式と剰余項

微分係数を合わせる

多項式 $p(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\cdots+c_n(x-a)^n$ を $k$ 回微分して $x=a$ を代入すると、$(x-a)^j$ の項は $j=k$ のときだけ $k!\,c_k$ を残し、それ以外は $0$ になる（$j< k$ なら微分して消え、$j>k$ なら $(x-a)$ の因子が残る）。したがって
$$ p^{(k)}(a)=k!\,c_k,\qquad c_k=\frac{p^{(k)}(a)}{k!}\qquad(0\le k\le n) $$
である。$f$ と $a$ での $n$ 階までの微分係数が一致する $n$ 次以下の多項式を求めるには、$c_k=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ とすればよく、それ以外にない。疑問 1 の答えはこれで、$\frac{h^2}{2}$ の $2$ は $2!$ である。

上の計算から、$P_n$ は $P_n^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)$（$0\le k\le n$）を満たすただ 1 つの $n$ 次以下の多項式である。$n=1$ の $P_1(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ は接線そのものであり、高校の 1 次の近似式は $f(a+h)\approx P_1(a+h)$ にあたる。
代表的な関数の $0$ における Taylor 多項式は、導関数を順に計算すれば得られる。

$\log(1+x)$ の行は、$f'(x)=(1+x)^{-1}$ を繰り返し微分して $f^{(k)}(x)=(-1)^{k-1}(k-1)!\,(1+x)^{-k}$（$k\ge1$）となることから分かる（$k$ についての帰納法）。$\frac{(k-1)!}{k!}=\frac1k$ なので係数は $\frac{(-1)^{k-1}}{k}$ である。$\sin x$ では偶数次の係数が $0$ なので、たとえば $P_3=P_4=x-\frac{x^3}{6}$ である。

主定理：剰余項の公式

以下、関数 $f$ が区間 $I$ 上で $C^{m}$ 級であるとは、$f$ が $I$ 上で $m$ 回微分可能で、$f^{(m)}$ が $I$ 上で連続であることをいう。端点では片側の微分係数を考える。

積分の形

証明で繰り返す部分積分の使い方は 部分積分の使い方 で扱う。
積分の変数を $t=a+s(x-a)$（$0\le s\le1$）と置き換えると、$x-t=(1-s)(x-a)$、$dt=(x-a)\,ds$ なので
$$ R_n(x)=\frac{(x-a)^{n+1}}{n!}\int_0^1(1-s)^n\,f^{(n+1)}\bigl(a+s(x-a)\bigr)\,ds $$
となる。この形では $x$ と $a$ の大小を気にしなくてよく、重み $(1-s)^n$ はつねに $0$ 以上である。

Lagrange の形と誤差の評価

$n=0$ の場合は $f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)$ で、平均値の定理（ただし $f'$ の連続性を仮定した形）である。Taylor の定理は平均値の定理の高階版である。$f$ が $n+1$ 回微分可能というだけで $f^{(n+1)}$ の連続性を仮定しなくても、$c$ を $a$ と $x$ の間（両端を除く）にとれることが、Rolleの定理を繰り返し使って証明できる（Taylorの定理の記事、Leb26 Theorem 4.3.2、p. 172）。本記事では、高校の積分の知識で追える上の証明を採った。

これが疑問 2 の答えである。誤差は「だいたい $h^{n+1}$」なのではなく、$n+1$ 階の導関数の大きさ $M$ を使って確実に $\frac{M}{(n+1)!}|h|^{n+1}$ 以下と保証される（$h=x-a$）。分母の $(n+1)!$ のおかげで、次数を上げると誤差の上限は急速に小さくなることが多い。

高校の計算は $n=1,2,3$ の場合である

接線近似の誤差。$f(x)=\sqrt{1+x}$、$a=0$、$n=1$ とすると $f''(x)=-\frac14(1+x)^{-3/2}$ である。$0\le c\le0.02$ で $-\frac14\le f''(c)<0$ なので、thm-tap-lagrange により
$$ \sqrt{1.02}-1.01=R_1(0.02)=\frac{f''(c)}{2}(0.02)^2\in\Bigl[-\frac{(0.02)^2}{8},\,0\Bigr)=[-0.00005,\,0) $$
である。つまり $\sqrt{1.02}$ は $1.01$ より小さく、差は $0.00005$ 以下である（実際の差は $0.0000495\ldots$）。接線近似が「上に外れる」のは $f''<0$（グラフが上に凸）だからであり、剰余項の符号が近似の向きを教える。
高校で証明する不等式。数学 III では、$x\ge0$ について
$$ e^x\ge1+x,\qquad \cos x\ge1-\frac{x^2}{2},\qquad \sin x\ge x-\frac{x^3}{6} $$
のような不等式を、差を $g(x)$ とおいて「$g$ を何回か微分し、導関数の符号から順に $g''\ge0$、$g'\ge0$、$g\ge0$ と戻る」方法で示す。これは積分形の剰余項を 1 段ずつ計算していることにほかならない。たとえば $\sin$ の $0$ における $2$ 次の Taylor 多項式は $x$ で、$\sin'''=-\cos$ なので thm-tap-integral から
$$ \sin x-x=\frac12\int_0^x(x-t)^2(-\cos t)\,dt $$
である。$\frac12\int_0^x(x-t)^2\,dt=\frac{x^3}{6}$ を加えると
$$ \sin x-\Bigl(x-\frac{x^3}{6}\Bigr)=\frac12\int_0^x(x-t)^2\,(1-\cos t)\,dt\ \ge0\qquad(x\ge0) $$
となる（被積分関数が $0$ 以上）。同様に $\cos x-\bigl(1-\frac{x^2}2\bigr)=\int_0^x(x-t)(1-\cos t)\,dt\ge0$（$x\ge0$。$\cos$ は偶関数なので $x<0$ でも成り立つ）、$e^x-(1+x)=\int_0^x(x-t)e^t\,dt\ge0$（$x<0$ でも、向きを反転すると $\int_x^0(t-x)e^t\,dt\ge0$）である。Lagrange の形では $\sin x-\bigl(x-\frac{x^3}6\bigr)=\frac{\sin c}{24}x^4$（$n=3$）となり、$0< x\le\pi$ なら $0\le c\le x$ より $\sin c\ge0$ で符号が決まるが、$x>\pi$ では $c$ の位置によって符号が決まらない。積分の形なら、すべての $x\ge0$ で被積分関数の符号だけで一度に判定できる。剰余項の形は、目的に応じて使い分ける。
$n=0$ の場合 $\sin x-x=\int_0^x(\cos t-1)\,dt\le0$ から $\sin x\le x$（$x\ge0$）も分かる。$x=0.1$ では、これと上の不等式から $0.1-\frac{0.001}{6}\le\sin0.1\le0.1$、すなわち接線近似 $\sin0.1\approx0.1$ の誤差は $0.000166\ldots$ 以下と保証される（実際の誤差は $0.00016658\ldots$）。

Taylor 級数と収束する範囲

$\arctan x$ の級数と誤差を使って円周率を計算する例は Machinの公式 で扱う。

剰余項が 0 に近づくとき

$f$ が $a$ を含む区間 $I$ 上で何回でも微分可能（$C^\infty$ 級）なら、級数
$$ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k $$
を考えることができる。これを $f$ の $a$ における Taylor 級数という。その第 $n$ 部分和は $P_n(x)$ なので、Taylor 級数が点 $x$ で $f(x)$ に収束することは、$R_n(x)\to0$（$n\to\infty$）と同値である。疑問 3 は、剰余項が $0$ に近づくかどうかという問題になる。Taylor 級数が $f(x)$ に収束するとき、「$f$ は $x$ で Taylor 展開できる」という。

この 3 つの関数では、どの $x$ でも剰余項が $0$ に近づく。鍵は、$n$ が増えても $n+1$ 階の導関数が同じ定数で押さえられ、分母の $(n+1)!$ が勝つことである。

$x=1$ を代入すると
$$ \log2=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots $$
を得る。$\log(1+x)$ 自体は $x>-1$ のすべてで定義された $C^\infty$ 級の関数なのに、$0$ における Taylor 級数は $(-1,1]$ でしか関数を表さない。$x=2$ では $P_1(2)=2$、$P_2(2)=0$、$P_3(2)=2.67$、$P_4(2)=-1.33$、$P_5(2)=5.07$、$P_{10}(2)=-64.8$ と振れ幅が広がり、$\log3=1.0986\ldots$ から離れていく。次数を上げれば近似が良くなるとは限らない。
証明で Lagrange の形を使わなかったのには理由がある。$-1< x<0$ で Lagrange の形を使うと、$|R_n(x)|=\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)(1+c)^{n+1}}$（$x\le c\le0$）で、$c$ の位置が分からないので $1+c\ge1+x$ で押さえるしかなく、評価は $\frac1{n+1}\bigl(\frac{|x|}{1+x}\bigr)^{n+1}$ になる。これは $|x|\le1+x$、すなわち $x\ge-\frac12$ のときしか $0$ に近づかない（$x=-\frac12$ では $\frac{|x|}{1+x}=1$ で、評価は分母の $n+1$ のおかげで $\frac1{n+1}\to0$ となる）。たとえば $x=-0.8$、$n=10$ では、この評価は $381300.36\ldots$ という役に立たない値だが、積分の形による評価は $0.039\ldots$ で、実際の誤差は $0.0306\ldots$ である。

収束半径

Taylor 級数のように $\sum_{k=0}^\infty c_k(x-a)^k$ の形をした級数を、$a$ を中心とする冪級数という。以下 $a=0$ として述べる（$x-a$ を $x$ と書き直せばよい）。

lem-tap-abel により、$|x|<\rho$ なら級数は絶対収束する（$|x|<|x_0|$ となる収束点 $x_0$ が上限の定義からとれる）。$|x|>\rho$ なら上限の定義から発散する。つまり収束する範囲は、中心から半径 $\rho$ の区間（端点は別に調べる）である。$|x|=\rho$ の端点では、収束することも発散することもある。

$e^x$ の係数 $c_k=\frac1{k!}$ では $\frac{c_{k+1}}{c_k}=\frac1{k+1}\to0$ なので $\rho=\infty$、$\log(1+x)$ の係数 $c_k=\frac{(-1)^{k-1}}k$ では $\bigl|\frac{c_{k+1}}{c_k}\bigr|=\frac k{k+1}\to1$ なので $\rho=1$ である。後者で端点 $x=1$ は収束し（thm-tap-log）、$x=-1$ は $-\bigl(1+\frac12+\frac13+\cdots\bigr)$ となって発散する（調和級数）。
冪級数の和 $g(x):=\sum c_kx^k$ は $|x|<\rho$ で何回でも微分でき、項別に微分してよい（$g'(x)=\sum kc_kx^{k-1}$ で、収束半径は変わらない）。したがって $g^{(k)}(0)=k!\,c_k$ であり、収束半径が正の冪級数は、$|x|<\rho$ でその和の Taylor 級数である。この項別微分の定理は本記事では証明しない（Leb26 Corollary 6.2.13、p. 242）。

例と反例

最後に、疑問 3 に対する最も強い否定の答えを示す。

$\varphi$ の $x>0$ の部分だけを使った関数 $\psi(x):=e^{-1/x}$（$x>0$）、$\psi(x):=0$（$x\le0$）も同じ理由で $C^\infty$ 級である（Leb26 Exercise 5.4.11、p. 213）。これを組み合わせると、ある区間の外では $0$ で、なめらかに立ち上がる関数が作れる。多項式や $e^x$、$\sin x$ のように、どの点を中心とする Taylor 級数も $\mathbb{R}$ 全体で関数を表す関数では、ある区間で $0$ ならその区間の点での微分係数がすべて $0$ なので、関数は $\mathbb{R}$ 全体で $0$ になってしまう。こうした関数では「なめらかなスイッチ」は作れない。

さらに先へ

• 実解析的関数と $C^\infty$ 級関数。各点の近くで Taylor 級数の和に一致する関数を実解析的関数という。ex-tap-flat-counter は、$C^\infty$ 級関数の全体が実解析的関数の全体より真に大きいことを示す。どんな実数列 $(a_k)$ に対しても $f^{(k)}(0)=a_k$ となる $C^\infty$ 級関数がある（Borel の定理。本記事では証明しない。Hor90 Theorem 1.2.6）ので、Taylor 級数の収束半径が $0$ になる $C^\infty$ 級関数もある。
• 複素関数。複素数の範囲で微分できる関数（正則関数）では事情が一変し、一度微分できれば何回でも微分でき、定義域に含まれる円板の上で Taylor 展開できる（本記事では証明しない。Ahl79 Chapter 4 §2.3・§3.1、Chapter 5 §1.2）。ex-tap-finite-radius の収束半径の謎はここで解ける。
• 多変数の Taylor の定理と極値判定。多変数関数でも同じ形の近似があり、2 次の項（Hesse 行列）が極値の判定に使われる（Taylorの定理）。

関連項目

• 前提: 微分係数と導関数の定義（高校数学）, 平均値の定理, 定積分, 部分積分, 級数
• 前に読む: 平均値の定理の使い方, 接線・法線と曲線の凹凸
• 次に読む: 微分方程式としての指数関数・三角関数
• 関連（高校数学）: 部分積分の使い方, Machinの公式, 三角関数の公式を確かめる方法, eの級数表示と無理数性
• 関数の例: 指数関数, 三角関数, 対数関数, ネイピア数
• 発展: Taylor展開(複素解析), 正則関数, 実解析的関数
• 比較: Taylorの定理, 冪級数, 収束半径