Lie環

同義語：Lie代数リー環リー代数Lie algebra

概要

Lie環（Lie algebra）とは、体 $K$ 上のベクトル空間 $\mathfrak{g}$ に、双線形で $[x,x]=0$ と Jacobi 恒等式 $[x,{[y,z]}]+[y,{[z,x]}]+[z,{[x,y]}]=0$ を満たす括弧積 $[\cdot,\cdot]$ を与えたものである。行列の交換子 $XY-YX$、空間ベクトルの外積、ベクトル場の Lie 括弧が代表例であり、Jacobi 恒等式は $\operatorname{ad}x=[x,\cdot]$ が括弧積の導分であることと同値である。Lie 群の単位元の近くの構造を記録し、群の交換子 $e^{tX}e^{tY}e^{-tX}e^{-tY}$ の $I$ からのずれの最初の項 $t^2[X,Y]$ を与える。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: ベクトル空間, 導分, 行列の指数関数

導入：外積と交換子に共通する規則

空間ベクトルの外積 $\vec a\times\vec b$ は、$\vec a$ と $\vec b$ のどちらについても 1 次式（双線形）で、$\vec a\times\vec a=\vec0$ を満たす。しかし結合法則は成り立たない。たとえば $(\vec e_1\times\vec e_1)\times\vec e_2=\vec0$ だが、$\vec e_1\times(\vec e_1\times\vec e_2)=\vec e_1\times\vec e_3=-\vec e_2$ である。その代わりに成り立つのが Jacobi 恒等式
$$ \vec a\times(\vec b\times\vec c)+\vec b\times(\vec c\times\vec a)+\vec c\times(\vec a\times\vec b)=\vec0 $$
である（三角形の垂心 の定理「外積のJacobi恒等式」。三角形の 3 本の垂線が 1 点で交わることの背後にもこの恒等式がある）。
正方行列の積は一般に可換でなく、そのずれを交換子 $[X,Y]:=XY-YX$ で測る。交換子もまた双線形で $[X,X]=O$ を満たし、同じ Jacobi 恒等式を満たす。さらに、行列の指数関数で作った「回して、回して、逆に回して、逆に回す」操作 $e^{tX}e^{tY}e^{-tX}e^{-tY}$ は、$t$ が小さいとき $I+t^2[X,Y]$ で近似される（prop-lie-group-commutator）。交換子は、連続的な対称性（Lie群）の非可換性を無限小の段階で表したものである。
外積と交換子に共通するこの 3 つの規則（双線形、$[x,x]=0$、Jacobi 恒等式）だけを取り出した代数的な構造が Lie 環である。この記事では次の問いに答える。

  1. Lie 環とは何か。どんな例があるか。→ def-lie-algebra、prop-lie-commutator、「例」の節
  2. Jacobi 恒等式は何を言っているのか。→ prop-lie-ad
  3. 部分 Lie 環・イデアル・商は、群や環のときと同じように扱えるか。→ prop-lie-quotient
  4. 小さな Lie 環はどれだけあるか。外積の Lie 環は行列の Lie 環とどう関係するか。→ thm-lie-dim2、prop-lie-so3、prop-lie-sl2
  5. 行列の指数関数とどうつながるか。→ prop-lie-ad-exp、prop-lie-group-commutator
    身近な例この記事の言葉
    外積 $\vec a\times\vec b$Lie 環 $(\mathbb{R}^3,\times)$、$\mathfrak{so}(3)$ と同型
    行列の交換子 $XY-YX$$\mathfrak{gl}_n(K)$ の括弧積
    $\vec a\times\vec a=\vec0$交代性 $[x,x]=0$
    積の微分 $(fg)'=f'g+fg'$導分、$\operatorname{ad}x$ が導分であること（Jacobi 恒等式）

定義

以下、$K$ は体とする。

Lie 環

$K$ 上のベクトル空間 $\mathfrak{g}$ と双線形写像 $[\cdot,\cdot]\colon\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ の組で、すべての $x,y,z\in\mathfrak{g}$ について
(R1) $[x,x]=0$（交代性）
(R2) $[x,{[y,z]}]+[y,{[z,x]}]+[z,{[x,y]}]=0$（Jacobi 恒等式）
を満たすものを、$K$ 上の Lie 環（Lie algebra）という。$[\cdot,\cdot]$ を括弧積（Lie 括弧）という。Lie 代数ともいう。

$K=\mathbb{R}$ の場合、これは Lie群 の定義「Lie 環」、Bianchi分類 の注意「本記事で用いるLie環の定義の想起」と同じものである。Lie 環は一般に結合的でも可換でもない「積」をもつ代数であり、$[x,y]$ を $xy$ と書かないのはそのためである。

交代性と反対称性

交代性 (i) から、すべての $x,y$ について反対称性 $[x,y]=-[y,x]$ が従う。実際、$0=[x+y,x+y]=[x,x]+[x,y]+[y,x]+[y,y]=[x,y]+[y,x]$ である。逆に反対称性から $2[x,x]=0$ が従うので、$K$ の標数が $2$ でなければ (i) は反対称性と同値である。標数 $2$ では同値でない（ex-lie-char2）。反対称性のもとで Jacobi 恒等式は
$$ [x,{[y,z]}]=[{[x,y]},z]+[y,{[x,z]}] $$
と書き直せる（第 2 項と第 3 項を反対称性で移項する）。Nic26 Definition 2.2.38 は $K=\mathbb{R},\mathbb{C}$ の上で、反対称性と「右からの括弧 $a\mapsto[a,x]$ が導分であること」で Lie 環を定義しており、標数が $0$ なのでこの記事の定義と一致する。

群や環と同じように、構造を保つ写像と部分構造を定める。

準同型・部分 Lie 環・イデアル

$\mathfrak{g}$、$\mathfrak{g}'$ を $K$ 上の Lie 環とする。
(R1) 線形写像 $\varphi\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}'$ が、すべての $x,y$ について $\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]$ を満たすとき Lie 環の準同型という。全単射な準同型を同型という（逆写像も準同型になる）。
(R2) 線形部分空間 $\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}$ が $[\mathfrak{h},\mathfrak{h}]\subset\mathfrak{h}$ を満たすとき部分 Lie 環という。ここで $[A,B]$ は $\{[a,b]\mid a\in A,\ b\in B\}$ の張る部分空間である。
(R3) 線形部分空間 $\mathfrak{i}\subset\mathfrak{g}$ が $[\mathfrak{g},\mathfrak{i}]\subset\mathfrak{i}$ を満たすときイデアルという。反対称性から $[\mathfrak{i},\mathfrak{g}]=[\mathfrak{g},\mathfrak{i}]$ なので、左右の区別はない。
(R4) $\mathfrak{z}(\mathfrak{g}):=\{x\in\mathfrak{g}\mid$ すべての $y$ について $[x,y]=0\}$ を中心という。括弧積がつねに $0$ である Lie 環を可換という。$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ を導来環という。

随伴写像と導分

$x\in\mathfrak{g}$ に対し、線形写像 $\operatorname{ad}x\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ を $(\operatorname{ad}x)(y):=[x,y]$ で定める。$\mathfrak{g}$ の線形変換 $D$ が、すべての $y,z$ について
$$ D([y,z])=[D(y),z]+[y,D(z)] $$
を満たすとき、$D$ を $\mathfrak{g}$ の導分という。導分の全体を $\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ と書く。

導分の条件は、積の微分の公式 $(fg)'=f'g+fg'$（Leibniz 則）と同じ形をしている。環の導分は 導分 で扱われている。

例

結合代数の交換子

Lie 環のいちばん基本的な例は、結合的な積の交換子から得られる。

交換子の Lie 環

$A$ を $K$ 上の結合代数（$K$ 上のベクトル空間で、双線形かつ結合的な積をもつもの）とする。$[a,b]:=ab-ba$ とおくと、$(A,[\cdot,\cdot])$ は Lie 環である。とくに、$K$ 上のベクトル空間 $V$ の線形変換の全体 $\operatorname{End}_K(V)$ と、$n$ 次正方行列の全体 $M_n(K)$ は交換子について Lie 環であり、それぞれ $\mathfrak{gl}(V)$、$\mathfrak{gl}_n(K)$ と書く。

双線形性は積の双線形性から、$[a,a]=aa-aa=0$ は明らかである。Jacobi 恒等式は、展開すると
$$ [a,{[b,c]}]=abc-acb-bca+cba $$
であり、$a\to b\to c\to a$ と文字を巡回させた 2 つの式
$$ [b,{[c,a]}]=bca-bac-cab+acb,\qquad [c,{[a,b]}]=cab-cba-abc+bac $$
と足すと、12 個の項が 2 つずつ打ち消し合って $0$ になる（結合法則を使って括弧を外した）。$\square$

Nic26 Example 2.2.39 も、$\operatorname{End}(E)$ が交換子について Lie 環であることを例に挙げている。$\mathfrak{gl}_n(K)$ の中の部分 Lie 環が、行列の Lie 環の代表的な例である。

行列の Lie 環

次はどれも $\mathfrak{gl}_n(K)$ の部分 Lie 環である。
(1) $\mathfrak{sl}_n(K):=\{X\mid\operatorname{tr}X=0\}$。$\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX)$ なので、任意の $X,Y\in\mathfrak{gl}_n(K)$ について $\operatorname{tr}[X,Y]=0$ である。したがって $[\mathfrak{gl}_n,\mathfrak{gl}_n]\subset\mathfrak{sl}_n$ であり、$\mathfrak{sl}_n$ は $\mathfrak{gl}_n$ のイデアルでもある。
(2) $\mathfrak{so}_n(K):=\{X\mid X^{\mathsf T}=-X\}$（交代行列）。$X^{\mathsf T}=-X$、$Y^{\mathsf T}=-Y$ なら $[X,Y]^{\mathsf T}=Y^{\mathsf T}X^{\mathsf T}-X^{\mathsf T}Y^{\mathsf T}=YX-XY=-[X,Y]$ である。$K=\mathbb{R}$ のとき $\mathfrak{so}(n)$ と書く。
(3) 上三角行列の全体 $\mathfrak{b}_n$ と、対角成分も $0$ の上三角行列（狭義上三角行列）の全体 $\mathfrak{n}_n$。上三角行列の積は上三角行列で、その対角成分は対角成分どうしの積なので、$X,Y\in\mathfrak{b}_n$ なら $[X,Y]$ の対角成分は $x_{ii}y_{ii}-y_{ii}x_{ii}=0$ である。したがって $[\mathfrak{b}_n,\mathfrak{b}_n]\subset\mathfrak{n}_n$ であり、とくに $\mathfrak{n}_n$ も部分 Lie 環である。$\mathfrak{n}_n$ は 冪零Lie環、$\mathfrak{b}_n$ は 可解Lie環 の代表例である。
$K=\mathbb{R}$ で、$\mathfrak{gl}_n$、$\mathfrak{sl}_n$、$\mathfrak{so}(n)$ はそれぞれ Lie 群 $GL_n(\mathbb{R})$、$SL_n(\mathbb{R})$、$SO(n)$ の Lie 環である（Lie群 の定理「古典群は行列 Lie 群である」）。

Heisenberg Lie 環

基底 $x,y,z$ をもつ 3 次元のベクトル空間に、$[x,y]=z$、$[x,z]=[y,z]=0$（と交代性・双線形性）で括弧積を定めたものを Heisenberg Lie 環 $\mathfrak{h}_3$ という。$x=E_{12}$、$y=E_{23}$、$z=E_{13}$（$E_{ij}$ は $(i,j)$ 成分だけが $1$ の行列）とおくと、$\mathfrak{n}_3$（3 次の狭義上三角行列）の中でこの関係が成り立つので（$E_{12}E_{23}=E_{13}$、ほかの積は $0$）、$\mathfrak{h}_3\cong\mathfrak{n}_3$ であり、Jacobi 恒等式は prop-lie-commutator から従う。中心と導来環はどちらも $Kz$ であり、$\mathfrak{h}_3$ は冪零類 $2$ の 冪零Lie環 である。$K=\mathbb{R}$ では、Lie群 の例「Heisenberg 群」の Lie 環である。

ベクトル場と導分

ベクトル場の Lie 括弧

滑らかな多様体 $M$ 上の滑らかなベクトル場 $X,Y$ に対し、関数 $f$ に $X(Yf)-Y(Xf)$ を対応させる作用はまたベクトル場になる（ベクトル場 の定義「ベクトル場のLie括弧」と命題「Lie括弧はベクトル場である」）。これを $[X,Y]$ と書くと、$M$ 上のベクトル場の全体は $\mathbb{R}$ 上の（無限次元の）Lie 環になる。ベクトル場は関数の環 $C^\infty(M)$ の導分と対応し（ベクトル場 の定理「ベクトル場と導分の対応」）、Lie 括弧はその対応のもとで線形写像 $C^\infty(M)\to C^\infty(M)$ としての交換子である。したがってベクトル場の全体は結合代数 $\operatorname{End}_{\mathbb{R}}(C^\infty(M))$ の、交換子で閉じた部分空間であり、prop-lie-commutator から交代性と Jacobi 恒等式が従う。$[X,Y]$ は $Y$ の $X$ 方向の Lie 微分 $\mathcal{L}_XY$ に等しい（Lie微分 の命題「ベクトル場の Lie 微分は Lie 括弧」）。

代数の導分の Lie 環

$K$ 上の多元環 $R$ の $K$ 線形な導分の全体 $\operatorname{Der}_K(R)$ は、交換子 $[D,D']=D\circ D'-D'\circ D$ について Lie 環である（導分 の命題「導分の交換子とLie環の構造」）。合成 $D\circ D'$ は一般に導分でないが、交換子は導分になる。同じことは Lie 環 $\mathfrak{g}$ 自身の導分についても成り立ち、$\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ は $\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ の部分 Lie 環である（次の cor-lie-ad-hom の証明の中で確かめる）。

Jacobi 恒等式の意味：随伴写像

Jacobi 恒等式は 3 つの項の和という形では意味が見えにくい。次の命題は、それが「$\operatorname{ad}x$ が積の微分の規則を満たす」ことと同じであると述べる。

Jacobi 恒等式の言い換え

$\mathfrak{g}$ を $K$ 上のベクトル空間、$[\cdot,\cdot]$ を交代的な双線形写像とする。次は同値である。
(R1) Jacobi 恒等式が成り立つ（$\mathfrak{g}$ は Lie 環である）。
(R2) すべての $x\in\mathfrak{g}$ について、$\operatorname{ad}x$ は導分である：$[x,{[y,z]}]=[{[x,y]},z]+[y,{[x,z]}]$。
(R3) すべての $x,y\in\mathfrak{g}$ について $\operatorname{ad}[x,y]=\operatorname{ad}x\circ\operatorname{ad}y-\operatorname{ad}y\circ\operatorname{ad}x$ である。

(i)⇔(ii)：rem-lie-alternating のとおり、反対称性のもとで Jacobi 恒等式の第 2 項と第 3 項を移項すると $[x,{[y,z]}]=-[y,{[z,x]}]-[z,{[x,y]}]=[y,{[x,z]}]+[{[x,y]},z]$ となり、これは (ii) の式である。逆も同じ変形を戻せばよい。
(ii)⇔(iii)：$z$ に作用させると、(iii) の左辺は $[{[x,y]},z]$、右辺は $[x,{[y,z]}]-[y,{[x,z]}]$ である。両者が等しいことは (ii) の式そのものである。$\square$

(ii) は「$\operatorname{ad}x$ で微分すると、括弧積の中の各項を順に微分したものの和になる」ということである。(iii) は、$\operatorname{ad}\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ が Lie 環の準同型であることを表している（右からの括弧 $B_x\colon a\mapsto[a,x]$ は $B_x=-\operatorname{ad}x$ なので、$[B_x,B_y]=-B_{[x,y]}$ となる。$B_x$ が導分であることは Nic26 Proposition 2.2.40 の (c) にある）。

随伴表現と内部導分

$\mathfrak{g}$ を Lie 環とする。
(R1) $\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ は $\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ の部分 Lie 環である。
(R2) $\operatorname{ad}\colon\mathfrak{g}\to\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ は Lie 環の準同型であり、その核は中心 $\mathfrak{z}(\mathfrak{g})$ である。
(R3) 像 $\operatorname{ad}\mathfrak{g}$（内部導分の全体）は $\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ のイデアルであり、$D\in\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ について $[D,\operatorname{ad}x]=\operatorname{ad}(Dx)$ である。

要点：(i) は $DD'$ と $D'D$ を展開して引く計算、(ii) は prop-lie-ad、(iii) は導分の定義を $[x,y]$ に使う計算である。

詳しい証明を開く

(i)：$D,D'\in\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ とすると、$DD'[y,z]=D\bigl([D'y,z]+[y,D'z]\bigr)=[DD'y,z]+[D'y,Dz]+[Dy,D'z]+[y,DD'z]$ である。$D$ と $D'$ を入れ替えて引くと、中の 2 項は打ち消し合い、$[D,D'][y,z]=[{[D,D']y},z]+[y,{[D,D']z}]$ となる。

(ii)：prop-lie-ad の (ii) から $\operatorname{ad}x$ は導分であり、(iii) から準同型である。$\operatorname{ad}x=0$ はすべての $y$ で $[x,y]=0$ ということなので、核は中心である。

(iii)：$D$ が導分なら $D[x,y]=[Dx,y]+[x,Dy]$ なので、$\bigl(D\circ\operatorname{ad}x-\operatorname{ad}x\circ D\bigr)(y)=D[x,y]-[x,Dy]=[Dx,y]=\operatorname{ad}(Dx)(y)$ である。$\square$

準同型 $\operatorname{ad}\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ を $\mathfrak{g}$ の随伴表現という。一般に、Lie 環の準同型 $\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(V)$ を $\mathfrak{g}$ の $V$ 上の表現といい、Lie 環を線形代数で調べる基本の道具になる。

イデアルと商

商 Lie 環と準同型定理

$\mathfrak{g}$ を Lie 環とする。
(R1) Lie 環の準同型 $\varphi\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}'$ の核 $\ker\varphi$ はイデアルであり、像 $\varphi(\mathfrak{g})$ は部分 Lie 環である。
(R2) $\mathfrak{i}$ がイデアルなら、商ベクトル空間 $\mathfrak{g}/\mathfrak{i}$ 上に $[x+\mathfrak{i},y+\mathfrak{i}]:=[x,y]+\mathfrak{i}$ が矛盾なく定まり、$\mathfrak{g}/\mathfrak{i}$ は Lie 環になる。射影 $\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}/\mathfrak{i}$ は準同型である。
(R3) 準同型 $\varphi$ は Lie 環の同型 $\mathfrak{g}/\ker\varphi\cong\varphi(\mathfrak{g})$ を引き起こす。
(R4) 導来環 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ はイデアルである。イデアル $\mathfrak{i}$ について、$\mathfrak{g}/\mathfrak{i}$ が可換であることと $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\subset\mathfrak{i}$ であることは同値である。

要点：どれも群や環の場合と同じ議論である。要となるのは (ii) の、括弧積が代表元の選び方によらないこと：$x-x',y-y'\in\mathfrak{i}$ なら $[x,y]-[x',y']=[x-x',y]+[x',y-y']\in\mathfrak{i}$ である。

詳しい証明を開く

(i)：$\varphi(x)=0$ なら $\varphi([y,x])=[\varphi(y),0]=0$ である。像については $[\varphi(x),\varphi(y)]=\varphi([x,y])$ から従う。

(ii)：要点の計算から括弧積は代表元の選び方によらない。双線形性・交代性・Jacobi 恒等式は $\mathfrak{g}$ での等式を射影すれば得られる。射影が準同型であることは定義そのものである。

(iii)：ベクトル空間の準同型定理から、$x+\ker\varphi\mapsto\varphi(x)$ は線形同型 $\mathfrak{g}/\ker\varphi\to\varphi(\mathfrak{g})$ であり、$\varphi$ が括弧積を保つのでこの写像も保つ。

(iv)：$[\mathfrak{g},{[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]}]\subset[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ は定義から明らかである。$\mathfrak{g}/\mathfrak{i}$ が可換であることは、すべての $x,y$ で $[x,y]\in\mathfrak{i}$ となることと同じである。$\square$

Lie 環 $\mathfrak{g}\ne0$ が、$0$ と $\mathfrak{g}$ のほかにイデアルをもたず、可換でないとき、単純であるという。単純 Lie 環は、群論の単純群に相当する基本単位である。

小さい次元の分類と $\mathfrak{sl}_2$・$\mathfrak{so}(3)$

2 次元の Lie 環

1 次元の Lie 環は、基底を $x$ とすると $[ax,bx]=ab[x,x]=0$ なので、すべて可換である。2 次元では非可換なものがちょうど 1 つ現れる。

2 次元の Lie 環の分類

体 $K$ 上の 2 次元の Lie 環は、次のどちらか一方にだけ同型である。
(R1) 可換な Lie 環 $K^2$（括弧積が $0$）。
(R2) 基底 $x,y$ で $[x,y]=y$ となるもの。

$\mathfrak{g}$ を 2 次元の Lie 環、$a,b$ を基底とする。双線形性と交代性から、$[\alpha a+\beta b,\gamma a+\delta b]=(\alpha\delta-\beta\gamma)[a,b]$ なので、導来環 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ は $[a,b]$ の張る空間である。$[a,b]=0$ なら $\mathfrak{g}$ は可換で (i) である。
$[a,b]\ne0$ とし、$y:=[a,b]$ とおく。$y$ と 1 次独立な $x'\in\mathfrak{g}$ をとると、$x',y$ は基底であり、$[x',y]\in[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=Ky$ なので $[x',y]=cy$（$c\in K$）と書ける。$c=0$ なら基底の間の括弧積がすべて $0$ になり、$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=0$ となって $y\ne0$ に反する。よって $c\ne0$ であり、$x:=c^{-1}x'$ とおくと $[x,y]=y$ である。これで $\mathfrak{g}$ は (ii) に同型である。
(i) と (ii) は同型でない。同型写像は導来環を導来環に移すが、(i) の導来環は $0$ 次元、(ii) の導来環は $Ky$ で 1 次元だからである。$\square$

(ii) は、$x=E_{11}$、$y=E_{12}$ とおくと $\mathfrak{gl}_2(K)$ の中に実現できる（$[E_{11},E_{12}]=E_{12}$）。$K=\mathbb{R}$ では、直線のアフィン変換 $t\mapsto\alpha t+\beta$（$\alpha>0$）を表す行列 $\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\0&1\end{pmatrix}$ の群の、単位行列での接空間（$E_{11}$、$E_{12}$ の張る空間）にあたる。3 次元の実 Lie 環の分類は Bianchi分類 の定理「3次元実Lie環の分類（Bianchi, Ellis–MacCallum）」にある。

$\mathfrak{sl}_2$ と単純性

$\mathfrak{sl}_2(K)$ の基底
$$ h=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad e=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad f=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} $$
を考える。

$\mathfrak{sl}_2$ の構造
  1. $[h,e]=2e$、$[h,f]=-2f$、$[e,f]=h$ である。
  2. $K$ の標数が $2$ でなければ、$\mathfrak{sl}_2(K)$ は単純であり、$[\mathfrak{sl}_2,\mathfrak{sl}_2]=\mathfrak{sl}_2$ である。

(i)：行列の積を計算すると $he=e$、$eh=-e$、$hf=-f$、$fh=f$、$ef=E_{11}$、$fe=E_{22}$ なので、$[h,e]=2e$、$[h,f]=-2f$、$[e,f]=E_{11}-E_{22}=h$ である。
(ii)：(i) から $e=\frac12[h,e]$、$f=-\frac12[h,f]$、$h=[e,f]$ なので $[\mathfrak{sl}_2,\mathfrak{sl}_2]=\mathfrak{sl}_2$ であり、とくに可換でない。単純性は、$0$ でないイデアルの元に $\operatorname{ad}e$ や $\operatorname{ad}f$ を 2 回作用させると $e$、$f$、$h$ のどれかがイデアルに入り、そこから全体が出ることによる。

単純性の詳しい証明を開く

$\mathfrak{i}\ne0$ をイデアルとし、$0\ne v=\alpha e+\beta h+\gamma f\in\mathfrak{i}$ をとる。(i) と反対称性から $[e,h]=-2e$、$[e,f]=h$ なので

$$[e,v]=-2\beta e+\gamma h,\qquad [e,{[e,v]}]=-2\gamma e$$

であり、同様に $[f,{[f,v]}]=-2\alpha f$ である。$\gamma\ne0$ なら $e\in\mathfrak{i}$（$2\gamma\ne0$ で割れる）、$\alpha\ne0$ なら $f\in\mathfrak{i}$、$\alpha=\gamma=0$ なら $v=\beta h$（$\beta\ne0$）で $h\in\mathfrak{i}$ である。$e\in\mathfrak{i}$ なら $h=[e,f]\in\mathfrak{i}$、$f\in\mathfrak{i}$ なら $h=[e,f]\in\mathfrak{i}$ であり、$h\in\mathfrak{i}$ なら $e=\frac12[h,e]$、$f=-\frac12[h,f]$ も $\mathfrak{i}$ に属する。どの場合も $\mathfrak{i}=\mathfrak{sl}_2$ である。$\square$

$\operatorname{ad}h$ は $e$、$h$、$f$ をそれぞれ $2$ 倍、$0$ 倍、$-2$ 倍する。この「$\operatorname{ad}h$ の固有値」による分解は、半単純 Lie 環を調べるときのルート（ルート系）のいちばん簡単な場合である。標数 $2$ では (ii) が崩れる（ex-lie-sl2-char2）。

外積と $\mathfrak{so}(3)$

$\vec a\in\mathbb{R}^3$ に対し、$L_{\vec a}\vec v:=\vec a\times\vec v$ で定まる行列を
$$ L_{\vec a}=\begin{pmatrix}0&-a_3&a_2\\a_3&0&-a_1\\-a_2&a_1&0\end{pmatrix} $$
とする（外積の成分表示から直接読める）。

外積の Lie 環と $\mathfrak{so}(3)$
  1. $(\mathbb{R}^3,\times)$ は $\mathbb{R}$ 上の Lie 環である。
  2. $\vec a\mapsto L_{\vec a}$ は Lie 環の同型 $(\mathbb{R}^3,\times)\to\mathfrak{so}(3)$ である。すなわち $L_{\vec a\times\vec b}=[L_{\vec a},L_{\vec b}]$ である。

(i)：外積は双線形で、$\vec a\times\vec a=\vec0$ である。Jacobi 恒等式は 三角形の垂心 の定理「外積のJacobi恒等式」である。
(ii)：$L_{\vec a}$ は交代行列で、$\vec a\mapsto L_{\vec a}$ は線形な単射である。3 次の交代行列は対角線より上の 3 つの成分で決まるので $\dim\mathfrak{so}(3)=3$ であり、この写像は全単射である。任意の $\vec v$ について、Jacobi 恒等式（rem-lie-alternating の書き直しの形）から
$$ [L_{\vec a},L_{\vec b}]\vec v=\vec a\times(\vec b\times\vec v)-\vec b\times(\vec a\times\vec v)=(\vec a\times\vec b)\times\vec v=L_{\vec a\times\vec b}\vec v $$
である。$\square$

標準基底の像 $L_{\vec e_1}=E_{32}-E_{23}$、$L_{\vec e_2}=E_{13}-E_{31}$、$L_{\vec e_3}=E_{21}-E_{12}$ は、Lie群 の記事で $x$ 軸・$y$ 軸・$z$ 軸のまわりの無限小回転 $L_1,L_2,L_3$ と呼んだものであり、$[L_1,L_2]=L_3$ などの関係は $\vec e_1\times\vec e_2=\vec e_3$ などにあたる。
$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ と $\mathfrak{so}(3)$ はどちらも 3 次元の実 Lie 環で、導来環が全体に一致する（$\mathfrak{so}(3)$ では $\vec e_1\times\vec e_2=\vec e_3$ などから）。しかし同型ではない。

$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ と $\mathfrak{so}(3)$ は同型でない

$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ と $\mathfrak{so}(3)$ は、実 Lie 環として同型でない。

同型 $\varphi\colon\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})\to\mathfrak{so}(3)$ があったとすると、$\varphi\circ\operatorname{ad}h=\operatorname{ad}\varphi(h)\circ\varphi$ なので（$\varphi([h,v])=[\varphi(h),\varphi(v)]$）、$\operatorname{ad}\varphi(h)$ は $\operatorname{ad}h$ と同じ固有値 $2$ をもつ：$\varphi(e)\ne0$ について $\operatorname{ad}\varphi(h)(\varphi(e))=\varphi([h,e])=2\varphi(e)$ である。一方、prop-lie-so3 により $\mathfrak{so}(3)$ を $(\mathbb{R}^3,\times)$ とみると、$\operatorname{ad}\vec a$ は $\vec v\mapsto\vec a\times\vec v$ である。$\vec a\times\vec v=\lambda\vec v$（$\lambda\in\mathbb{R}$、$\vec v\ne\vec0$）なら、$\vec a\times\vec v$ は $\vec v$ と直交するので $\lambda\lvert\vec v\rvert^2=\vec v\cdot(\vec a\times\vec v)=0$、すなわち $\lambda=0$ である。よって $\operatorname{ad}$ が $0$ でない実数の固有値をもつ元は $\mathfrak{so}(3)$ にない。これは矛盾である。$\square$

複素数の係数では同型になる

係数を $\mathbb{C}$ に広げた $\mathfrak{so}_3(\mathbb{C})$（複素の交代行列）では、$H:=2iL_3$、$E:=L_1+iL_2$、$F:=-L_1+iL_2$ とおくと
$$ [H,E]=2E,\qquad [H,F]=-2F,\qquad [E,F]=H $$
が成り立つ。

計算を開く

$[L_3,L_1]=L_2$、$[L_3,L_2]=-L_1$ から $[L_3,L_1\pm iL_2]=L_2\mp iL_1=\mp i(L_1\pm iL_2)$ なので、$[H,L_1\pm iL_2]=2i\cdot(\mp i)(L_1\pm iL_2)=\pm2(L_1\pm iL_2)$ である。また $[L_1+iL_2,L_1-iL_2]=-i[L_1,L_2]+i[L_2,L_1]=-2iL_3$ なので、$[E,F]=-[L_1+iL_2,L_1-iL_2]=2iL_3=H$ である。


$H,E,F$ は 1 次独立なので、$h\mapsto H$、$e\mapsto E$、$f\mapsto F$ は複素 Lie 環の同型 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\cong\mathfrak{so}_3(\mathbb{C})$ を与える。実数の範囲では同型でない 2 つの Lie 環が、係数を広げると同型になる。Lie 群の側では、$SU(2)\to SO(3)$ の被覆が $\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$ を与える（SO(3)とSU(2) の注意「Lie 群の言葉での位置づけ」）。実 Lie 環の同型と複素化の区別は Bianchi分類 の注意「実Lie環の同型と、複素化・Lie群との区別」にもある。

行列の指数関数との関係

ここでは $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とし、$M_n(K)$ の行列の指数関数を使う（行列の指数関数）。$\operatorname{ad}X\colon M_n(K)\to M_n(K)$ は $n^2$ 次元のベクトル空間の線形変換なので、その指数関数 $e^{t\operatorname{ad}X}$ も（基底をとって $n^2$ 次の行列とみて）定まる。

共役と随伴写像の指数関数

$X,Y\in M_n(K)$、$t\in\mathbb{R}$ について
$$ e^{tX}Ye^{-tX}=e^{t\operatorname{ad}X}(Y)=Y+t[X,Y]+\frac{t^2}{2!}[X,{[X,Y]}]+\cdots $$
である。とくに $\dfrac{d}{dt}\Big|_{t=0}e^{tX}Ye^{-tX}=[X,Y]$ である。

$F(t):=e^{tX}Ye^{-tX}$ とおく。行列の指数関数 の定理「指数関数の微分と $x'=Ax$ の解」の (i) と積の微分法から
$$ F'(t)=Xe^{tX}Ye^{-tX}-e^{tX}Ye^{-tX}X=XF(t)-F(t)X=(\operatorname{ad}X)(F(t)) $$
であり、$F(0)=Y$ である。$M_n(K)$ を $K^{n^2}$ とみると、$F$ は定数係数の線形微分方程式 $F'=(\operatorname{ad}X)F$ の解なので、同じ定理の (ii) から $F(t)=e^{t\operatorname{ad}X}(Y)$ である。級数の形は $(\operatorname{ad}X)^k(Y)=[X,{[X,\dots,{[X,Y]}\cdots]}]$ から従う。$\square$

Lie群 の命題「Lie 環は交換子で閉じている」は、行列 Lie 群 $G$ の Lie 環 $\mathfrak{g}$ について、$e^{tX}Ye^{-tX}\in\mathfrak{g}$ を $t=0$ で微分して $[X,Y]\in\mathfrak{g}$ を示している。この命題の最後の式がその計算である。次の命題は、交換子が群の交換子の近似であることを示す。

群の交換子と括弧積

$X,Y\in M_n(K)$ について、$\lvert t\rvert\le1$ で
$$ e^{tX}e^{tY}e^{-tX}e^{-tY}=I+t^2[X,Y]+R(t),\qquad\|R(t)\|\le C\lvert t\rvert^3 $$
となる定数 $C$（$X,Y$ によるが $t$ によらない）がある。ここで $\|\cdot\|$ は作用素ノルムである。

要点：4 つの因子をそれぞれ 2 次の項まで展開して掛ける。$t^1$ の係数は $X+Y-X-Y=0$、$t^2$ の係数は $XY-YX$ になる。

詳しい証明を開く

$A\in M_n(K)$ について $e^{A}=I+A+\frac12A^2+S(A)$ とおくと、行列の指数関数 の命題「収束と大きさの評価」の証明と同じ評価（$k\ge3$ の項に $k!\ge6\,(k-3)!$ を使う）で $\|S(A)\|\le\frac16\|A\|^3e^{\|A\|}$ である。$a:=\max\{\|X\|,\|Y\|\}$ とすると、$\lvert t\rvert\le1$ で 4 つの因子 $e^{\pm tX}$、$e^{\pm tY}$ はそれぞれ $Q_i(t)+S_i(t)$（$Q_i$ は $t$ の 2 次以下の行列係数の多項式、$\|S_i(t)\|\le\frac16a^3e^{a}\lvert t\rvert^3$）と書ける。4 つの積を展開すると、$S_i$ を 1 つ以上含む項と、$Q_i$ だけの積のうち $t$ の 3 次以上の項は、どれもノルムが $\lvert t\rvert^3$ の定数倍で抑えられる（$\lvert t\rvert\le1$ なので $\lvert t\rvert^k\le\lvert t\rvert^3$、$k\ge3$）。残るのは $Q_i$ だけの積の 2 次以下の部分である。

1 次の部分は $tX+tY-tX-tY=0$ である。2 次の部分は、各因子の 2 次の項の和 $\frac{t^2}2(X^2+Y^2+X^2+Y^2)$ と、2 つの因子の 1 次の項の積の和 $t^2\bigl(XY-X^2-XY-YX-Y^2+XY\bigr)$ を足したもので、$t^2(XY-YX)$ になる。$\square$

$[X,Y]=O$ なら $e^{tX}$ と $e^{tY}$ は可換である（行列の指数関数 の定理「可換な行列の指数法則」から $e^{tX}e^{tY}=e^{t(X+Y)}=e^{tY}e^{tX}$）。逆に群の交換子が $I$ からずれる最初の項が括弧積である。このように、Lie 環は Lie 群の単位元の近くの構造を 1 次の情報として記録している。ただし Lie 環が同型でも Lie 群が同型とは限らない（Lie群 の例「反例：Lie 環が同じでも群は違う」）。

反例：条件を外すと崩れること

外す条件・誤った期待反例成り立たなくなること
Jacobi 恒等式$[e_1,e_2]=e_2$、$[e_2,e_3]=e_1$、$[e_3,e_1]=0$ の 3 次元の交代的な積Lie 環であること（$\operatorname{ad}$ が導分であること）
「括弧積は結合的」$\mathfrak{sl}_2$ の $e,f$、外積の $\vec e_1,\vec e_2$結合法則
交代性 $[x,x]=0$（反対称性だけにする）標数 $2$ の $\mathbb{F}_2^2$ 上の $[x,y]=x_2y_2e_1$Lie 環であること
標数が $2$ でないこと$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}_2)$$\mathfrak{sl}_2$ の単純性
「Lie 環が同型なら Lie 群も同型」$\mathbb{R}$ と $S^1$、$SU(2)$ と $SO(3)$Lie 環から群が決まること

最後の行は Lie群 の例「反例：Lie 環が同じでも群は違う」で証明されている。ほかの 4 つを確かめる。

反例：Jacobi 恒等式を満たさない交代的な積

$\mathbb{R}^3$ の基底 $e_1,e_2,e_3$ について $[e_1,e_2]=e_2$、$[e_2,e_3]=e_1$、$[e_3,e_1]=0$ と定め、$[e_i,e_i]=0$ と反対称性・双線形性で全体に広げる。この積は双線形で交代的である（係数で書くと $[x,x]$ の各項が $[e_i,e_j]+[e_j,e_i]=0$ で打ち消し合う）。しかし
$$ [e_1,{[e_2,e_3]}]+[e_2,{[e_3,e_1]}]+[e_3,{[e_1,e_2]}]=[e_1,e_1]+[e_2,0]+[e_3,e_2]=-e_1\ne0 $$
なので Jacobi 恒等式が成り立たない。prop-lie-ad の言い方では、$\operatorname{ad}e_3$ が導分でない：$\operatorname{ad}e_3([e_1,e_2])=[e_3,e_2]=-e_1$ だが、$[{[e_3,e_1]},e_2]+[e_1,{[e_3,e_2]}]=0+[e_1,-e_1]=0$ である。満たす性質は「双線形・交代的」、満たさない性質は「Jacobi 恒等式」であり、Lie 環の定義の条件 (ii) を破る。

反例：括弧積は結合的でない

$\mathfrak{sl}_2$ で $[{[e,f]},f]=[h,f]=-2f$ だが $[e,{[f,f]}]=[e,0]=0$ なので、標数が $2$ でなければ $[{[e,f]},f]\ne[e,{[f,f]}]$ である。外積でも、導入のとおり $(\vec e_1\times\vec e_1)\times\vec e_2=\vec0\ne-\vec e_2=\vec e_1\times(\vec e_1\times\vec e_2)$ である。Lie 環では結合法則の代わりに Jacobi 恒等式が成り立つ。可換な Lie 環ではどちらの側も $0$ なので結合法則が成り立つが、それは括弧積がすべて $0$ だからである。

反例：標数 2 では反対称性から交代性が出ない

$K=\mathbb{F}_2$（2 元体）、$\mathfrak{g}=\mathbb{F}_2^2$ とし、$x=(x_1,x_2)$、$y=(y_1,y_2)$ について $[x,y]:=x_2y_2e_1$（$e_1=(1,0)$）と定める。これは双線形で、$[x,y]=[y,x]$ であり、標数 $2$ では $[y,x]=-[y,x]$ なので反対称性 $[x,y]=-[y,x]$ を満たす。括弧積の値はつねに $e_1$ の倍数で、$[z,e_1]=z_2\cdot0\cdot e_1=0$ なので、2 重の括弧積 $[x,{[y,z]}]$ はすべて $0$ であり、Jacobi 恒等式も成り立つ。しかし $e_2=(0,1)$ について $[e_2,e_2]=e_1\ne0$ である。満たす性質は「双線形・反対称・Jacobi 恒等式」、満たさない性質は「交代性」であり、def-lie-algebra の条件 (i) を破る。Lie 環の定義を反対称性でなく $[x,x]=0$ で書くのはこのためである（rem-lie-alternating）。

反例：標数 2 の $\mathfrak{sl}_2$ は単純でない

$K$ の標数が $2$ なら、prop-lie-sl2 の (i) は $[h,e]=2e=0$、$[h,f]=-2f=0$、$[e,f]=h$ となる。したがって $h$ はすべての基底と可換で、中心に属し、$Kh$ は $0$ でも全体でもないイデアルである。また導来環は $[\mathfrak{sl}_2,\mathfrak{sl}_2]=Kh\ne\mathfrak{sl}_2$ である。満たす性質は「$\mathfrak{sl}_2(K)$ は非可換な 3 次元の Lie 環」、満たさない性質は「単純」であり、prop-lie-sl2 の (ii) の仮定「標数が $2$ でない」が落とせないことを示す。

補足

Lie 環は、代数・幾何・物理の多くの場面に現れる。

ほかの記事とのつながりを開く
  • Lie 群との対応：行列 Lie 群 $G$ の単位元での接空間 $\mathfrak{g}$ は交換子について Lie 環であり、$X\in\mathfrak{g}$ から 1 径数部分群 $t\mapsto e^{tX}$ が得られる（Lie群 の定理「1 径数部分群と Lie 環」）。一般の Lie 群では、左不変なベクトル場の Lie 括弧で Lie 環を定める（Lie群 の注意「一般の Lie 群の Lie 環と指数写像」、Nic26 Example 3.1.19）。逆に、有限次元の実 Lie 環はどれもある単連結な Lie 群の Lie 環であり、単連結な Lie 群は Lie 環で同型を除いて決まる（Lie群とLie環の対応 の定理「Lie 群と Lie 環の対応」）。
  • 半単純 Lie 環の構造は、$\mathfrak{sl}_2$ の $\operatorname{ad}h$ の固有値のような分解（ルート）で調べられ、ルートの全体は ルート系 をなす（ルート系 の記事の補足）。ルート系の鏡映が生成する群（Weyl 群）は Coxeter系 の例である。
  • 3 次元の実 Lie 環は Bianchi分類 で分類され、宇宙論の一様な時空の分類に使われる。
  • 幾何学では、ベクトル場の Lie 括弧は Lie微分 として、2 つの流れの非可換性を測る。

関連項目

参考文献

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Lie環