∞層
概要
∞層（∞-sheaf）とは、Grothendieck 位相をもつ小さい∞圏の上の空間値の前層 $F$ であって、各被覆篩 $S$ について、対象上の切断の空間 $F(C)$ から $S$ 上の整合的な切断の族の空間 $\operatorname{Map}(j_S,F)$ への制限がホモトピー同値になるものである。貼り合わせの条件が高次のホモトピーまで込めた条件になり、2 つの開集合の被覆ではホモトピー引き戻し、射の族が生成する篩では Čech 脈体の極限の条件として書ける。∞層の全体は層化を左随伴とする∞トポスをなし、値が離散な∞層は集合の層とちょうど一致する。
前提知識: 前層(∞圏), 空間の∞圏, Grothendieck位相, 層, ∞トポス
集合に値をとる層は、局所的な切断が重なりの上で一致すれば、ただ 1 つの大域的な切断に貼り合わさる前層である。∞層（空間値の層）は、値を集合から空間（ホモトピー型）に広げたものである。値が空間になると、「重なりの上で一致する」は「重なりの上のホモトピーが指定されている」に、さらに三重の重なりの上ではホモトピーの間のホモトピーに、と際限なく高次の整合性を含む条件に変わる。∞層の条件はこれを、切断の空間の間の写像が同値であるという 1 つの条件にまとめて述べる。
∞層の全体は∞トポスをなし、∞トポスの最も基本的な例になる。この記事では、∞圏の上の Grothendieck 位相と∞層を定義し、2 つの開集合による被覆の場合の条件がホモトピー引き戻しの条件になること（prop-isheaf-two-opens）、被覆の族があるときの条件が Čech 脈体の極限の条件になること（thm-isheaf-cech）、値が離散な∞層が集合の層とちょうど一致すること（thm-isheaf-discrete）を証明する。
定義
∞圏は準圏を意味し、小ささは固定した宇宙について測る。小さい∞圏 $\mathcal C$ に対し、$\mathcal P(\mathcal C)=\operatorname{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathcal S)$ を空間値の前層の∞圏（前層(∞圏)）、$j\colon\mathcal C\to\mathcal P(\mathcal C)$ を米田埋め込みとする。$\mathcal P(\mathcal C)$ の極限と余極限は各対象ごとに $\mathcal S$ で計算され（HTT09 Corollary 5.1.2.3、p. 319）、$j$ は $\mathcal C$ に存在する極限を保つ（同 Proposition 5.1.3.2、p. 320）。対象 $C$ と前層 $F$ について $\operatorname{Map}(j(C),F)\simeq F(C)$ である（米田の補題(∞圏)）。
∞圏 $\mathcal D$ の篩とは、充満部分∞圏 $\mathcal D^{(0)}\subset\mathcal D$ であって、射 $D'\to D$ があり $D\in\mathcal D^{(0)}$ ならば $D'\in\mathcal D^{(0)}$ となるものをいう。$\mathcal C$ の対象 $C$ 上の篩とは、スライス∞圏 $\mathcal C_{/C}$ の篩のことである。射 $f\colon D\to C$ と $C$ 上の篩 $S$ に対し、$D\to C$ との合成が $S$ に属する $D$ 上の対象のなす篩を $f^*S$ と書く。
$\mathcal C$ 上の Grothendieck 位相とは、各対象 $C$ に $C$ 上の篩の集まり（被覆篩）を指定したもので、次を満たすものをいう（HTT09 Definition 6.2.2.1、pp. 577–578）。
- 最大の篩 $\mathcal C_{/C}$ は被覆篩である。
- $S$ が $C$ 上の被覆篩で $f\colon D\to C$ が射なら、$f^*S$ は $D$ 上の被覆篩である。
- $S$ が $C$ 上の被覆篩で、$S'$ が $C$ 上の篩であり、$S$ に属するすべての $f\colon D\to C$ について $f^*S'$ が被覆篩なら、$S'$ も被覆篩である。
$\mathcal C$ が通常の圏（の脈体）なら、これは通常の篩による Grothendieck 位相（Grothendieck位相、篩(圏論)）と同じである。一般の∞圏でも、Grothendieck 位相はホモトピー圏 $h\mathcal C$ の上の Grothendieck 位相と同じものである（HTT09 Remark 6.2.2.3、p. 578）。篩は「どの射が属するか」だけで決まり、射を結ぶホモトピーのデータは含まないからである。
篩を前層として扱うために、次の対応を使う。$C$ 上の篩 $S$ に対し、前層 $j_S\subset j(C)$ を、各対象 $D$ で $j_S(D)$ が写像空間 $\operatorname{Map}(D,C)$ のうち $S$ に属する射のなす連結成分の合併であるものとして定める。$j_S\to j(C)$ はモノ射（各点で連結成分の包含）であり、$S\mapsto j_S$ は $C$ 上の篩と $j(C)$ の部分対象の同値類との全単射を与える（HTT09 Proposition 6.2.2.5、p. 579）。
Grothendieck 位相をもつ小さい∞圏 $\mathcal C$ の上の前層 $F\in\mathcal P(\mathcal C)$ が ∞層（∞-sheaf、空間値の層）であるとは、すべての対象 $C$ とその上のすべての被覆篩 $S$ について、包含 $j_S\to j(C)$ による制限
$$
F(C)\simeq\operatorname{Map}(j(C),F)\longrightarrow\operatorname{Map}(j_S,F)
$$
が空間のホモトピー同値であることをいう（HTT09 Definition 6.2.2.6、p. 579）。∞層のなす $\mathcal P(\mathcal C)$ の充満部分∞圏を $\operatorname{Shv}(\mathcal C)$ と書く。
右辺 $\operatorname{Map}(j_S,F)$ は、$S$ に属する各 $D\to C$ の上の切断と、それらを射で比べたときの整合性のホモトピー、さらにその間の高次ホモトピーまでを込めたデータの空間である。条件は、この「整合的な切断の族」の空間が、$C$ 上の切断の空間と同値であることを求めている。
Grothendieck 位相をもつ小さい∞圏 $\mathcal C$ について、包含 $\operatorname{Shv}(\mathcal C)\hookrightarrow\mathcal P(\mathcal C)$ は左随伴 $L$（層化）をもち、$L$ は有限極限を保つ到達可能な局所化である。とくに $\operatorname{Shv}(\mathcal C)$ は∞トポスである。さらに、$\mathcal C$ 上の Grothendieck 位相は、$\mathcal P(\mathcal C)$ の「位相的な」局所化（モノ射の集まりで生成され、引き戻しで安定な局所化）と 1 対 1 に対応する。
HTT09 Proposition 6.2.2.7（p. 579）、Corollary 6.2.1.6（p. 577）、位相的な局所化の定義 Definition 6.2.1.4（p. 576）と対応 Proposition 6.2.2.17（p. 584）である。この記事では証明しない。通常の圏では、前層の圏の左完全な局所化は Grothendieck 位相と 1 対 1 に対応するが、∞圏ではこれが成り立たず、位相から来ない左完全な局所化がある（同 §6.2.2 の冒頭、p. 577）。たとえば超完備化 $\operatorname{Shv}(\mathcal C)^\wedge$（後の rem-isheaf-hypercomplete）が $\operatorname{Shv}(\mathcal C)$ と異なるとき、合成の局所化 $\mathcal P(\mathcal C)\to\operatorname{Shv}(\mathcal C)^\wedge$ は左完全だが位相的でない（到達可能で左完全な局所化は、位相的な局所化のあとに余位相的な局所化を続けた形に一意に分解し、超完備化は余位相的な局所化である。同 Proposition 6.5.2.19・Remark 6.5.2.20 とその前の段落、p. 672）。
性質
$\operatorname{Shv}(\mathcal C)$ は $\mathcal P(\mathcal C)$ の小さい極限で閉じている。
小さい図式 $i\mapsto F_i$ の各 $F_i$ が∞層で、$F=\lim_iF_i$ とする。写像空間は第 2 変数について極限を保つ（極限の定義）ので、被覆篩 $S$ について $\operatorname{Map}(j(C),F)\simeq\lim_i\operatorname{Map}(j(C),F_i)$、$\operatorname{Map}(j_S,F)\simeq\lim_i\operatorname{Map}(j_S,F_i)$ であり、$F$ の制限はこの同値の下で各 $F_i$ の制限の極限に一致する。同値の極限は同値なので、$F$ の制限も同値である。$\square$
以下、位相空間 $X$ の開集合を包含で並べた半順序集合の脈体を $\mathcal U(X)$ とし、開集合 $U$ 上の篩 $S$ は、$S$ に属する開集合の合併が $U$ になるとき被覆篩であるとする。これは Grothendieck 位相である（篩とその引き戻しは開集合の族の言葉で書け、3 条件は合併の計算で確かめられる）。$\mathcal U(X)$ の写像空間は可縮か空なので、$j(V)(W)$ は $W\subset V$ なら 1 点、そうでなければ空である。$\operatorname{Shv}(\mathcal U(X))$ を $\operatorname{Shv}(X)$ と書く。これは ∞トポス の例「位相空間上の空間値の層」の∞トポスと同じものである。
$X$ を位相空間、$U_1,U_2$ を開集合、$U=U_1\cup U_2$、$U_{12}=U_1\cap U_2$ とする。$F\in\operatorname{Shv}(X)$ なら、制限写像の正方形
$$
\begin{array}{ccc}
F(U)&\longrightarrow&F(U_1)\\
\downarrow&&\downarrow\\
F(U_2)&\longrightarrow&F(U_{12})
\end{array}
$$
は $\mathcal S$ の引き戻しの図式である。すなわち $F(U)\simeq F(U_1)\times_{F(U_{12})}F(U_2)$（ホモトピー引き戻し）である。
$U$ 上の篩 $S$ を「$U_1$ または $U_2$ に含まれる開集合」とする。合併は $U$ なので被覆篩である。$j_S(W)$ は $W\subset U_1$ または $W\subset U_2$ のとき 1 点、それ以外は空である。前層の正方形 $j(U_{12})\to j(U_1)$、$j(U_{12})\to j(U_2)$、$j(U_1)\to j_S$、$j(U_2)\to j_S$ が $\mathcal P(\mathcal U(X))$ の押し出しであることを示す。余極限は各点で計算されるので、各開集合 $W$ で $\mathcal S$ の押し出しになっていればよい。
各点での確認を開く
$W\subset U_{12}$ なら、正方形は $\ast\leftarrow\ast\to\ast$ と $\ast$ であり、同値に沿った押し出しなので押し出しである。$W\subset U_1$ で $W\not\subset U_2$ なら $\ast\leftarrow\emptyset\to\emptyset$ と $\ast$ で、空な空間に沿った押し出しは直和 $\ast\sqcup\emptyset=\ast$ である。$U_1$ と $U_2$ を入れ替えた場合も同じである。$W$ がどちらにも含まれなければ、4 つの値はすべて空で、押し出しは空である。$W\subset U_1$ かつ $W\subset U_2$ なら $W\subset U_{12}$ なので、場合はこれで尽きる。
したがって $j_S\simeq j(U_1)\sqcup_{j(U_{12})}j(U_2)$ である。$\operatorname{Map}(-,F)$ は余極限を極限に写すので、米田の補題により
$$ \operatorname{Map}(j_S,F)\simeq\operatorname{Map}(j(U_1),F)\times_{\operatorname{Map}(j(U_{12}),F)}\operatorname{Map}(j(U_2),F)\simeq F(U_1)\times_{F(U_{12})}F(U_2) $$
であり、$F(U)\to\operatorname{Map}(j_S,F)$ はこの同値の下で 2 つの制限から決まる標準的な写像である。$F$ は∞層なのでこれは同値である。$\square$
この命題で $U_{12}=\emptyset$ とすれば、交わらない 2 つの開集合の和について $F(U_1\sqcup U_2)\simeq F(U_1)\times_{F(\emptyset)}F(U_2)$ となる。空集合の上の空な篩 $S$ は（属する開集合の合併が空集合なので）被覆篩であり、$j_S$ は空な前層（始対象）なので $\operatorname{Map}(j_S,F)$ は 1 点である。よって∞層について $F(\emptyset)\simeq\ast$ であり、$F(U_1\sqcup U_2)\simeq F(U_1)\times F(U_2)$ である。
被覆の族と Čech 脈体
一般の景では、被覆篩は射の族から生成されることが多い。対象 $C$ への射の族 $\{U_i\to C\}_{i\in I}$ が生成する篩とは、ある $i$ について $U_i\to C$ を経由する（ホモトピーを除いて分解する）射 $D\to C$ のなす篩である。
$\mathcal C$ を引き戻しをもつ小さい∞圏、$\{U_i\to C\}_{i\in I}$ を小さい集合 $I$ で添字づけた射の族、$S$ をそれが生成する篩とする。$i_0,\dots,i_n\in I$ に対し $U_{i_0\cdots i_n}:=U_{i_0}\times_C\cdots\times_CU_{i_n}$ とおく。任意の $F\in\mathcal P(\mathcal C)$ について、自然な同値
$$
\operatorname{Map}(j_S,F)\simeq\lim_{[n]\in\Delta}\ \prod_{(i_0,\dots,i_n)\in I^{n+1}}F(U_{i_0\cdots i_n})
$$
がある。右辺の余単体的空間の余面写像は、射影 $U_{i_0\cdots i_n}\to U_{i_0\cdots\widehat{i_k}\cdots i_n}$ による制限である。とくに、$S$ が被覆篩のとき、$F$ がこの $S$ について∞層の条件を満たすことは、$F(C)\to\lim_{\Delta}\prod F(U_{i_0\cdots i_n})$ が同値であることと同値である。
$e\colon\coprod_ij(U_i)\to j_S$ の Čech 脈体の余極限が $j_S$ であることを示し、それを $\operatorname{Map}(-,F)$ で極限に写す。
証明を開く
(a) $e$ は有効エピ射である。各 $U_i\to C$ は $S$ に属するので、$\coprod_ij(U_i)\to j(C)$ は $j_S$ を経由し、射 $e$ が得られる。各対象 $D$ で $e_D\colon\coprod_i\operatorname{Map}(D,U_i)\to j_S(D)$ は、生成する篩の定義により $\pi_0$ で全射である。$\mathcal S$ の射が有効エピ射であることは $\pi_0$ での全射性と同値であり（HTT09 Corollary 7.2.1.15、p. 723）、有効エピ射とはその Čech 脈体 $\check C_\bullet$ の余極限が終域になる射のことである（同 Corollary 6.2.3.5 とその後の定義、p. 587）。$\mathcal P(\mathcal C)$ では極限も余極限も各点で計算されるので、$e$ の Čech 脈体は各点で $e_D$ の Čech 脈体であり、その余極限も各点で計算される。よって $j_S\simeq\operatorname{colim}_{[n]\in\Delta^{\mathrm{op}}}\check C_n$、$\check C_n=\coprod_ij(U_i)\times_{j_S}\cdots\times_{j_S}\coprod_ij(U_i)$（$n+1$ 個）である。
(b) 各項の計算。$j_S\to j(C)$ はモノ射なので $j_S\times_{j(C)}j_S\simeq j_S$ であり、$j_S$ 上の対象の $j_S$ 上の引き戻しは $j(C)$ 上の引き戻しと一致する。$\mathcal P(\mathcal C)$ の余積は引き戻しで保たれ（各点で $\mathcal S$ の性質に帰着する。∞トポス の定理「左完全な局所化による継承」の証明の最後の段）、$j$ は引き戻しを保つので、$\check C_n\simeq\coprod_{(i_0,\dots,i_n)}j(U_{i_0}\times_C\cdots\times_CU_{i_n})$ である。
(c) 極限への移行。$\operatorname{Map}(-,F)$ は余極限を極限に、余積を積に写すので、米田の補題により $\operatorname{Map}(j_S,F)\simeq\lim_{\Delta}\operatorname{Map}(\check C_n,F)\simeq\lim_{\Delta}\prod F(U_{i_0\cdots i_n})$ である。余面写像は $\check C_\bullet$ の余面写像、すなわち射影から来る。$\square$
$n=0,1$ の項だけを見ると、$\prod_iF(U_i)\rightrightarrows\prod_{i,j}F(U_i\times_CU_j)$ という集合の層の条件の図式（トポス の定義「景と景上の層」）が現れる。空間値の場合には、$n\ge2$ の項が「重なりの上のホモトピーの整合性」を記録する。開被覆 $\{U_i\}$ について $U_{i_0\cdots i_n}=U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_n}$ であり、開被覆の脈体 と同じ組合せが現れる。
離散な∞層と集合の層
$\mathcal C$ を Grothendieck 位相をもつ小さい通常の圏とし、$F\in\mathcal P(N\mathcal C)$ の各値が離散な空間（各連結成分が可縮）であるとする。$F_0:=\pi_0\circ F\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ とおく。$F$ が∞層であることと、$F_0$ が集合の層であること（すべての被覆篩 $S$ について、制限 $\operatorname{Hom}(h_C,F_0)\to\operatorname{Hom}(S,F_0)$ が全単射であること）は同値である。とくに、値が離散な∞層のなす $\operatorname{Shv}(N\mathcal C)$ の充満部分∞圏は、集合の層の圏 $\operatorname{Sh}(\mathcal C)$ の脈体と同値である。
前層(∞圏) の命題「通常の前層との一致」により、値が離散な前層のなす $\mathcal P(N\mathcal C)$ の充満部分∞圏は、$G\mapsto\pi_0\circ G$ によって前層の圏 $\widehat{\mathcal C}$ の脈体と同値である。$N\mathcal C$ の写像空間は離散な集合 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(D,C)$ なので、$j(C)$ の値は離散で $\pi_0\circ j(C)=h_C$ である。被覆篩 $S$ に対する $j_S$ も、各点で $\operatorname{Hom}(D,C)$ の部分集合 $S(D)$ を値にとる離散な前層で、$\pi_0\circ j_S$ は通常の篩 $S\subset h_C$ である。通常の圏の脈体の写像空間は離散で、$\pi_0$ は射の集合なので、
$$
\operatorname{Map}(j(C),F)\simeq\operatorname{Hom}_{\widehat{\mathcal C}}(h_C,F_0),\qquad\operatorname{Map}(j_S,F)\simeq\operatorname{Hom}_{\widehat{\mathcal C}}(S,F_0)
$$
であり、制限はこの同一視の下で制限写像 $\operatorname{Hom}(h_C,F_0)\to\operatorname{Hom}(S,F_0)$ に一致する。離散な空間の間の写像がホモトピー同値であることと $\pi_0$ で全単射であることは同値なので、2 つの条件は一致する。後半は、同値 $G\mapsto\pi_0\circ G$ を∞層と集合の層の充満部分に制限すればよい。$\square$
集合の層の条件は普通、被覆の族について等化子の形で述べられるが、篩による形（上の $\operatorname{Hom}(h_C,F_0)\to\operatorname{Hom}(S,F_0)$ の全単射性）と同値である（J77 Definition 0.33 とその後の注意、pp. 13–14）。この定理により、集合の層は∞層の特別な場合として扱える。逆に∞層では、値の連結成分の上の基本群や高次ホモトピー群まで含めて貼り合わせが要求される（ex-isheaf-pi0）。
例
1 点空間 $X=\{\mathrm{pt}\}$ の開集合は $\emptyset$ と $X$ だけである。∞層 $F$ は $F(\emptyset)\simeq\ast$ を満たし、$X$ の被覆篩は $X$ を含む篩だけ（それは最大の篩）なので、$F\mapsto F(X)$ は同値 $\operatorname{Shv}(\{\mathrm{pt}\})\simeq\mathcal S$ を与える。2 点集合に密着位相を入れた空間でも開集合は $\emptyset$ と全体だけなので、同じ計算で $\mathcal S$ と同値になる。集合の層について トポス の反例「密着空間の層のトポス」が示すことと同じく、∞層の∞トポスも空間を区別しない。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $F$ が∞層であること（$F(\emptyset)\simeq\ast$ の主張） | 可縮でない空間 $K$ を値とする $X$ 上の定数前層 | $F(\emptyset)=K\not\simeq\ast$ で、空な篩についての条件が破れる |
| 値が離散であること（thm-isheaf-discrete） | ex-isheaf-pi0 の前層 $F$ | $\pi_0\circ F$ は集合の層だが、$F$ は∞層でない |
| 極限であること（prop-isheaf-limits） | 終対象 $\ast$（∞層）の $\mathcal P(\mathcal U(X))$ での余積 $\ast\sqcup\ast$ | 各点で 2 点の定数前層になり、$F(\emptyset)$ が 2 点なので∞層でない。$\operatorname{Shv}(X)$ は $\mathcal P(\mathcal U(X))$ の余極限では閉じていない |
3 行目のため、$\operatorname{Shv}(\mathcal C)$ の余極限は、$\mathcal P(\mathcal C)$ で余極限をとってから層化 $L$ を施して計算する（$L$ は左随伴なので余極限を保ち、$L$ を∞層に施しても変わらない）。
$X=\mathbb R$、$U_1=(-\infty,1)$、$U_2=(-1,\infty)$、$U_{12}=(-1,1)$ とする。開集合 $V$ について、$\emptyset\ne V\subset U_{12}$ なら $F(V)=S^1$（円周の特異単体的集合、Kan 複体）、それ以外（$V=\emptyset$ を含む）なら $F(V)=\ast$ とおく。$V'\subset V$ の制限は、両方が $S^1$ なら恒等写像、$F(V)=\ast$ で $F(V')=S^1$ なら基点の包含、$F(V')=\ast$ なら $\ast$ への写像とする。
前層であることと∞層でないことを開く
半順序集合から Kan 複体の圏への関手であることは、3 段の包含 $V''\subset V'\subset V$ について合成を場合分けで確かめればよい（$F(V'')=\ast$ なら合成はどちらも $\ast$ への写像である。$F(V'')=S^1$ なら合成は $S^1\to S^1\to S^1$ で恒等写像、$\ast\to S^1\to S^1$ と $\ast\to\ast\to S^1$ で基点の包含である。$F(V)=S^1$、$F(V')=\ast$、$F(V'')=S^1$ は起こらない。$V\subset U_{12}$ かつ $F(V')=\ast$ なら $V'=\emptyset$ なので $V''=\emptyset$ となるからである）。これを∞圏の関手とみなして $F\in\mathcal P(\mathcal U(X))$ とする。各値は連結なので $\pi_0\circ F$ は 1 点集合の定数前層、すなわち終対象であり、集合の層である。一方 $U=U_1\cup U_2=\mathbb R$ で、$U,U_1,U_2$ はどれも $U_{12}$ に含まれないので $F(U)=F(U_1)=F(U_2)=\ast$、$F(U_{12})=S^1$ である。$\ast\times_{S^1}\ast$ は $S^1$ のループ空間で、その $\pi_0$ は基本群 $\mathbb Z$ と全単射に対応する。よって $F(U)\to F(U_1)\times_{F(U_{12})}F(U_2)$ は同値でなく、prop-isheaf-two-opens により $F$ は∞層でない。
∞層の条件は被覆篩（同値なことに Čech 脈体）についての条件である。これを、より一般の「超被覆」による貼り合わせの条件に強めたものを満たす∞層のなす部分∞圏は超完備化 $\operatorname{Shv}(\mathcal C)^\wedge$ と呼ばれ、一般には $\operatorname{Shv}(\mathcal C)$ と一致しない（HTT09 §6.5.3、Corollary 6.5.3.13（p. 680）、§6.5.4 の Counterexample 6.5.4.5 と Remark 6.5.4.7（pp. 684–685、連接な位相空間の例））。位相空間 $X$ の上では、Brown–Joyal–Jardine による単体的前層の理論（単体的前層）が表すのは超完備化 $\operatorname{Shv}(X)^\wedge$ の側である（同 Remark 6.5.0.1、p. 658）。この記事では証明しない。
関連項目
- 前提: 前層(∞圏), 空間の∞圏, Grothendieck位相, 層
- 比較: 層化, Čechコホモロジー, 単体的前層
- 直後に読む: ∞トポス, 表示可能∞圏
- 発展: Postnikov塔, exodromy
参考文献
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