ピタゴラス数と円の有理点

素数 $p$ が $a,b$ の両方を割るなら $p\mid a^2+b^2=c^2$ なので $p\mid c$ となり（素数が積を割れば因数のどちらかを割る）、原始性に反する。$p$ が $a,c$ を割るなら $p\mid c^2-a^2=b^2$ から $p\mid b$ となり、同様に矛盾する。$b,c$ についても同じである。
整数の平方を 4 で割った余りは、$(2k)^2=4k^2$、$(2k+1)^2=4(k^2+k)+1$ より $0$ か $1$ である。$a,b$ は互いに素なので、ともに偶数ではない。ともに奇数なら $c^2=a^2+b^2$ を 4 で割った余りが $2$ になり、矛盾する。よって $a,b$ のちょうど一方が偶数であり、$c^2=a^2+b^2$ は奇数なので $c$ は奇数である。$\square$

$uv=w^2$ とする。素因数分解の一意性により、各素数 $p$ について、$w^2$ の素因数分解における $p$ の指数は偶数である。$u,v$ は共通の素因数をもたないので、$p$ が $u$ を割るなら $p$ は $v$ を割らず、$u$ における $p$ の指数は $uv$ における指数と等しく、偶数である。よって $u$ の素因数分解の指数はすべて偶数であり、$u$ は平方数である。$v$ も同様である。$\square$

まず、この形がピタゴラス数であることを示す。$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2$ であり、$m>n>0$ から 3 数は正である。$m,n$ の偶奇が異なるので $c=m^2+n^2$ は奇数である。素数 $p$ が $a$ と $c$ を割るとすると、$c$ が奇数なので $p$ は奇数であり、$p\mid c+a=2m^2$、$p\mid c-a=2n^2$ から $p\mid m$ かつ $p\mid n$ となって $\gcd(m,n)=1$ に反する。よって $\gcd(a,c)=1$ であり、$(a,b,c)$ は原始的である。
次に、すべてがこの形であることを示す。$(a,b,c)$ を $b$ が偶数の原始的なピタゴラス数とする。lem-ptr-parity により $a,c$ は奇数なので $c+a$、$c-a$ は偶数であり、
$$ \Bigl(\frac b2\Bigr)^2=\frac{c^2-a^2}4=\frac{c+a}2\cdot\frac{c-a}2 $$
と書ける。$u:=\frac{c+a}2$、$v:=\frac{c-a}2$ は正の整数で（$c>a$ による）、$u+v=c$、$u-v=a$ である。$u,v$ の公約数は $c$ と $a$ を割るので、$\gcd(a,c)=1$ より $\gcd(u,v)=1$ である。lem-ptr-square により、正の整数 $m,n$ を用いて $u=m^2$、$v=n^2$ と書ける。すると $a=m^2-n^2$、$c=m^2+n^2$ であり、$b^2=4uv=4m^2n^2$ から $b=2mn$ である。$a>0$ より $m>n$、$\gcd(u,v)=1$ より $\gcd(m,n)=1$ であり、$c$ が奇数なので $m,n$ の偶奇は異なる。
最後に一意性を示す。$m^2=\frac{c+a}2$、$n^2=\frac{c-a}2$ なので、正の整数 $m,n$ は $(a,b,c)$ から決まる。$\square$

$t\in\mathbb{Q}$ なら $P(t)$ の座標は有理数であり、$(1-t^2)^2+(2t)^2=(1+t^2)^2$ より $P(t)$ は単位円上にある。$x$ 座標は $\frac{1-t^2}{1+t^2}=-1+\frac2{1+t^2}>-1$ なので $P(t)\ne(-1,0)$ であり、$\frac y{x+1}=\frac{2t}{1+t^2}\cdot\frac{1+t^2}2=t$ である。
逆に、$(x,y)\ne(-1,0)$ を単位円の有理点とする。$x=-1$ なら $y^2=0$ となるので $x\ne-1$ であり、$t:=\frac y{x+1}$ は有理数である。点 $(x,y)$ は直線 $y=t(x+1)$ 上にあるので、これを $x^2+y^2=1$ に代入した式
$$ x^2+t^2(x+1)^2-1=(x+1)\bigl((1+t^2)x-(1-t^2)\bigr)=0 $$
を満たす。$x\ne-1$ なので $x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$、$y=t(x+1)=\frac{2t}{1+t^2}$、すなわち $(x,y)=P(t)$ である。以上で、$t\mapsto P(t)$ と $(x,y)\mapsto\frac y{x+1}$ が互いに逆写像であることが示された。$\square$

$|\frac\theta2|<\frac\pi2$ なので $\cos\frac\theta2>0$ であり、$1+\cos\theta=2\cos^2\frac\theta2\ne0$ である。傾きは
$$ \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\frac{2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2}{2\cos^2\frac\theta2}=\tan\frac\theta2 $$
である。点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ は $(-1,0)$ でない単位円上の点で、傾き $t=\tan\frac\theta2$ の直線 $y=t(x+1)$ 上にあるので、thm-ptr-circle の証明の後半の計算（そこでは有理性を使っていない）により $(\cos\theta,\sin\theta)=P(t)$ である。$t$ が有理数なら $P(t)$ の座標は有理数であり、逆に $\cos\theta,\sin\theta$ が有理数なら傾き $t$ は有理数である。$\square$

$g(s)$ は有理数係数の $s$ の多項式で、定数項は $g(0)=f(x_0,y_0)=0$ である。$g$ が 2 次式なら $g(s)=\alpha s^2+\beta s$（$\alpha,\beta\in\mathbb{Q}$、$\alpha\ne0$）と書けるので、$g(s)=s(\alpha s+\beta)$ の根は $0$ と $s_1=-\beta/\alpha\in\mathbb{Q}$ である。$\square$

正の整数解があると仮定し、そのうち $z$ が最小のものを $(x,y,z)$ とする。
(1) $\gcd(x,y)=1$ である。素数 $p$ が $x,y$ を割るなら $p^4\mid z^2$ なので $p^2\mid z$ であり、$(x/p,\,y/p,\,z/p^2)$ は $z$ より小さい解となって最小性に反する。
(2) 1 回目の分類。$(x^2)^2+(y^2)^2=z^2$ であり、$\gcd(x^2,y^2)=1$ なので $(x^2,y^2,z)$ は原始的なピタゴラス数である。lem-ptr-parity により $x^2,y^2$ の一方だけが偶数なので、入れ替えて $y$ が偶数、$x$ が奇数としてよい。thm-ptr-classification により、互いに素で偶奇の異なる $m>n>0$ を用いて
$$ x^2=m^2-n^2,\qquad y^2=2mn,\qquad z=m^2+n^2 $$
と書ける。
(3) 2 回目の分類。$x^2+n^2=m^2$ であり、$\gcd(m,n)=1$ なので $(x,n,m)$ は原始的なピタゴラス数である（$x,n,m$ の公約数は $m,n$ を割る）。$x$ は奇数なので、lem-ptr-parity により $n$ が偶数、$m$ が奇数である。thm-ptr-classification により、互いに素な $r>s>0$ を用いて
$$ x=r^2-s^2,\qquad n=2rs,\qquad m=r^2+s^2 $$
と書ける。
(4) 平方数を取り出す。$y$ は偶数で、$y^2=2mn=4mrs$ より $\bigl(\frac y2\bigr)^2=m\cdot rs$ である。$m=r^2+s^2$ と $r$ の公約数は $s^2$ を割るので、$\gcd(r,s)=1$ より $\gcd(m,r)=1$ であり、同様に $\gcd(m,s)=1$、したがって $\gcd(m,rs)=1$ である。lem-ptr-square により $m$ と $rs$ は平方数であり、もう一度 lem-ptr-square を使って $r,s$ も平方数である。$r=u^2$、$s=v^2$、$m=w^2$（$u,v,w$ は正の整数）とおくと
$$ u^4+v^4=r^2+s^2=m=w^2 $$
である。
(5) 降下。$(u,v,w)$ は正の整数解であり、$n>0$ なので $w\le w^2=m\le m^2< m^2+n^2=z$ である。これは $z$ の最小性に反する。$\square$

$n=4k$ として正の整数解があれば、$(x^k)^4+(y^k)^4=(z^{2k})^2$ となり、thm-ptr-fermat-four に反する。$x^4+y^4=1$ の有理点 $(x,y)$ で $xy\ne0$ のものがあれば、共通の分母 $r>0$ で $x=p/r$、$y=q/r$ と書いて $|p|^4+|q|^4=r^4$ となり、$n=4$ の場合に反する。$xy=0$ なら $(\pm1,0)$、$(0,\pm1)$ である。$\square$

$\cos\theta=\frac35$、$\sin\theta=\frac45$ となる角 $\theta$（$\tan\frac\theta2=\frac12$）をとり、単位円上の点 $P_k:=(\cos2k\theta,\sin2k\theta)$（$k=0,1,\dots,1974$）を考える。角 $\alpha,\beta$ の 2 点の距離の 2 乗は
$$ (\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2=2-2\cos(\alpha-\beta)=4\sin^2\frac{\alpha-\beta}2 $$
なので、$P_j$ と $P_k$ の距離は $2\,|\sin(j-k)\theta|$ である。加法定理から
$$ \cos(n+1)\theta=\frac{3\cos n\theta-4\sin n\theta}5,\qquad \sin(n+1)\theta=\frac{4\cos n\theta+3\sin n\theta}5 $$
であり、帰納法により $\cos n\theta=\frac{a_n}{5^n}$、$\sin n\theta=\frac{b_n}{5^n}$ と書ける。ここで整数 $a_n,b_n$ は $(a_1,b_1)=(3,4)$、$a_{n+1}=3a_n-4b_n$、$b_{n+1}=4a_n+3b_n$ で定まる。よって距離はすべて有理数である。
残るのは 1975 個の点が相異なることである。$a_n,b_n$ を 5 で割った余りを見ると、$(a_n,b_n)$ の余りが $(3,4)$ なら $a_{n+1}\equiv9-16=-7\equiv3$、$b_{n+1}\equiv12+12=24\equiv4$ なので、すべての $n\ge1$ で余りは $(3,4)$ である。特に $b_n\ne0$、すなわち $n\ge1$ で $\sin n\theta\ne0$ であり、$j\ne k$ なら $P_j$ と $P_k$ の距離 $2|\sin(j-k)\theta|$ は $0$ でない。したがって条件を満たす 1975 個の点がとれる。同じ議論で、何個の点でもとれる。$\square$