重み付き射影空間

1：Proj(次数付き環の射影スキーム) の定理「Proj はスキームである」の 2 により $D_+(x_i)\cong\operatorname{Spec}S(q)_{(x_i)}$ であり、$S(q)_{(x_i)}$ は $f/x_i^m$（$f$ は次数 $mq_i$ の斉次多項式）の全体である。$x_i=1$ を代入する写像
$$ \varepsilon\colon S(q)_{(x_i)}\to k[x_j\mid j\ne i],\qquad f/x_i^m\longmapsto f(x_0,\dots,x_{i-1},1,x_{i+1},\dots,x_n) $$
は表し方によらず定まる環準同型である（$f/x_i^m=fx_i^l/x_i^{m+l}$ で値が変わらない）。
単射：次数 $mq_i$ の単項式 $x^e$ は、指数 $e_j$（$j\ne i$）から $e_i=(mq_i-\sum_{j\ne i}q_je_j)/q_i$ が決まるので、$x_i=1$ を代入しても異なる単項式は異なる単項式に写る。よって $\varepsilon(f/x_i^m)=0$ なら $f=0$ である。
像が $R_i$ であること：$\varepsilon(x^e/x_i^m)=\prod_{j\ne i}x_j^{e_j}$ の次数和 $\sum_{j\ne i}q_je_j=(m-e_i)q_i$ は $q_i$ の倍数なので、像は $R_i$ に入る。逆に $\sum_{j\ne i}q_je_j=rq_i$（$r\ge0$）なら、$\prod_{j\ne i}x_j^{e_j}$ は次数 $rq_i$ の斉次元なので $\prod_{j\ne i}x_j^{e_j}/x_i^r$ の像である。
被覆：$\mathbb{P}(q)$ の点は $S(q)_+$ を含まない斉次素イデアル $\mathfrak{p}$ である。$S(q)_+$ は $x_0,\dots,x_n$ で生成されるので、ある $x_i$ は $\mathfrak{p}$ に属さず、$\mathfrak{p}\in D_+(x_i)$ である。
2：$\zeta$ は単項式 $\prod_{j\ne i}x_j^{e_j}$ を $\zeta^{\sum_{j\ne i}q_je_j}$ 倍する。異なる単項式は 1 次独立なので、多項式が不変であることは、現れる単項式がすべて不変であることと同値である。$\zeta$ の位数は $q_i$ なので、単項式が不変であることは $\sum_{j\ne i}q_je_j\equiv0\pmod{q_i}$ と同値である。$\square$

整で $n$ 次元であること． $R_i$ は多項式環の部分環なので整域である。$R_i$ は $T:=k[x_j^{q_i}\mid j\ne i]$（$n$ 変数の多項式環）を含み、$R_i$ の各単項式 $u$ は $u^{q_i}\in T$ をみたすので $R_i$ は $T$ 上整である。$R_i$ の単項式 $\prod_{j\ne i}x_j^{e_j}$ で $e_j=q_ia_j+r_j$（$0\le r_j< q_i$）と書くと、$\prod_jx_j^{r_j}$ の次数和も $q_i$ の倍数なので $R_i$ に属し、もとの単項式はそれと $T$ の単項式 $\prod_jx_j^{q_ia_j}$ の積である。よって $R_i$ は指数がすべて $q_i$ 未満の有限個の単項式で $T$ 上生成される有限 $T$ 加群であり、$\dim R_i=\dim T=n$ である。$D_+(x_i)\cap D_+(x_j)=D_+(x_ix_j)$ は零でない環 $S(q)_{(x_ix_j)}$ のスペクトルなので空でない。既約な開集合が互いに交わる有限個で覆われるので $\mathbb{P}(q)$ は既約であり、各近傍が整なので整スキームである。
正規であること． $R:=k[x_j\mid j\ne i]$ に、$\prod_{j\ne i}x_j^{e_j}$ の次数を $\sum_{j\ne i}q_je_j\bmod q_i\in\mathbb{Z}/q_i$ として $\mathbb{Z}/q_i$ 次数を入れると、$R_i$ は次数 $0$ の部分 $R^{0}$ である。$z\in\operatorname{Frac}(R_i)$ が $R_i$ 上整とする。$z$ は $R$ 上整で、$R$ は一意分解整域なので正規であり、$z\in R$ である。$z=a/b$（$a,b\in R_i$、$b\ne0$）と書き、$z=\sum_gz_g$ を次数ごとの成分に分けると、$bz=a$ の次数 $g\ne0$ の成分は $bz_g=0$ を与え（$b$ は次数 $0$）、$z_g=0$ となる。よって $z\in R_i$ であり、$R_i$ は正規である。
射影的であること． $S(q)$ は $k$ 上有限生成な次数付き環なので、射影射 の例「次数付き環のProj」により $\operatorname{Proj}S(q)$ は $k$ 上射影的である。$\square$

要点：正の次数の斉次元 $f$ について $D_+(f)=D_+(f^d)$ であり、$S_{(f)}$ と $(S^{(d)})_{(f^d)}$ は $S_f$ の同じ部分環である。

1：$S(q)$ の斉次元の次数はすべて $c$ の倍数なので、$S(q)^{(c)}$ は環としては $S(q)$ そのもので、次数を $c$ で割ったもの、すなわち $S(q/c)$ である。lem-wps-veronese により $\mathbb{P}(q)\cong\operatorname{Proj}S(q)^{(c)}=\mathbb{P}(q/c)$ である。
2：単項式 $x^e$ の次数 $\sum_jq_je_j$ は $d$ を法として $q_ie_i$ に合同である。$\gcd(d,q_i)=1$ なので、次数が $d$ の倍数であることは $d\mid e_i$ と同値である。したがって $S(q)^{(d)}$ は、$x_i^d$ と $x_j$（$j\ne i$）が生成する部分環 $k[x_i^d,\ x_j\ (j\ne i)]$ に等しく、これらは代数的に独立なので $n+1$ 変数の多項式環である。$S(q)^{(d)}$ の次数では $\deg x_i^d=q_id/d=q_i$、$\deg x_j=q_j/d$ である。lem-wps-veronese により主張を得る。$\square$

thm-wps-reduction の 1 で全体の最大公約数を $1$ にする。整っていなければ、ある $i$ について $j\ne i$ の重みの最大公約数 $d$ が $1$ より大きい。全体の最大公約数は $1$ なので $\gcd(d,q_i)=1$ であり、thm-wps-reduction の 2 が使えて重みの和は真に減る。当てたあとの重みの全体の最大公約数も $1$ である（素数 $p$ が $q_i$ とすべての $q_j/d$ を割れば、$p$ はすべての $q_j$ を割る）。重みの和は正の整数なので、これを繰り返すと有限回で整った重みに達する。$n=1$ では「どの 1 個の重みも最大公約数が $1$」なので、整った重みは $(1,1)$ だけであり、$\mathbb{P}(a,b)\cong\mathbb{P}(1,1)=\mathbb{P}^1_k$ である。$\square$