Urquhartの定理

$A(0,0)$、$B(3,0)$、$B'\left(\dfrac{24}5,0\right)$、$C'(0,2)$、$C(0,4)$ とする。
(1) 交点 $D$。直線 $BC$ は $4x+3y=12$、直線 $B'C'$ は $5x+12y=24$ である。1 本目を 4 倍して 2 本目を引くと $11x=24$ で、
$$ D=\left(\frac{24}{11},\frac{12}{11}\right) $$
である。
(2) 四角形 $ABDC'$ の 2 本の道。$\overrightarrow{BD}=\left(-\dfrac9{11},\dfrac{12}{11}\right)$ から $BD=\dfrac{15}{11}$、$\overrightarrow{C'D}=\left(\dfrac{24}{11},-\dfrac{10}{11}\right)$ から $C'D=\dfrac{26}{11}$ で、
$$ AB+BD=3+\frac{15}{11}=\frac{48}{11},\qquad AC'+C'D=2+\frac{26}{11}=\frac{48}{11} $$
と等しい。
(3) 四角形 $AB'DC$ の 2 本の道。$\overrightarrow{B'D}=\left(-\dfrac{144}{55},\dfrac{60}{55}\right)=\dfrac{12}{55}(-12,5)$ から $B'D=\dfrac{12\cdot13}{55}=\dfrac{156}{55}$、$\overrightarrow{CD}=\left(\dfrac{24}{11},-\dfrac{32}{11}\right)=\dfrac8{11}(3,-4)$ から $CD=\dfrac{40}{11}$ で、
$$ AB'+B'D=\frac{264}{55}+\frac{156}{55}=\frac{420}{55}=\frac{84}{11},\qquad AC+CD=4+\frac{40}{11}=\frac{84}{11} $$
と、こちらも等しい。

2 本の半直線のなす角を $60^\circ$ とし、$AB=2$、$AB'=5$、$AC'=3$ とする。$AC$ を動かして、ex-urq-start の (2) と同じ型の等式 $AB+BD=AC'+C'D$ が成り立つ所を計算機で数値的に探すと、$AC\fallingdotseq5.5192$、$D\fallingdotseq(2.3166,\,1.9919)$ で
$$ AB+BD\fallingdotseq4.01694,\ \ AC'+C'D\fallingdotseq4.01694,\qquad AB'+B'D\fallingdotseq8.34196,\ \ AC+CD\fallingdotseq8.34196 $$
となる。角を $100^\circ$（鈍角）にして同じことをすると、$AC\fallingdotseq5.8034$、$D\fallingdotseq(0.8239,\,2.2347)$ で、$AB+BD\fallingdotseq AC'+C'D\fallingdotseq4.52532$、$AB'+B'D\fallingdotseq AC+CD\fallingdotseq9.73642$ となる（$x$ 軸を 1 本目の半直線にとった座標。値は小数第 5 位まで。図 2・図 3）。

ex-urq-start の配置で、中心 $I(6,6)$、半径 $6$ の円は、直線 $\ell$（$y=0$）、$m$（$x=0$）、$BC$（$4x+3y=12$）、$B'C'$（$5x+12y=24$）のどれからも距離 $6$ にある（$\dfrac{\lvert24+18-12\rvert}5=6$、$\dfrac{\lvert30+72-24\rvert}{13}=6$）。
(1) 接点は $P(6,0)$、$S(0,6)$、$Q\left(\dfrac65,\dfrac{12}5\right)$、$R\left(\dfrac{48}{13},\dfrac6{13}\right)$ で、接線の長さは $t_A=6$、$t_{B'}=6-\dfrac{24}5=\dfrac65$、$t_C=6-4=2$、$t_D=DQ=DR=\dfrac{18}{11}$ である。
(2) $t_A-t_D=6-\dfrac{18}{11}=\dfrac{48}{11}$ は ex-urq-start の (2) の値、$t_A+t_D=6+\dfrac{18}{11}=\dfrac{84}{11}$ は (3) の値である。
(3) 段 4 の点は $E'\left(\dfrac{84}{11},0\right)$、$F'\left(0,\dfrac{84}{11}\right)$ で、$ID^2=IE'^2=IF'^2=\dfrac{4680}{121}$ である（図 5 の橙の 3 本の線分）。

ex-urq-start の $A,B,B',C'$ はそのままで、$C$ だけを $(0,5)$ に動かす。直線 $BC$ は $5x+3y=15$、直線 $B'C'$ は $5x+12y=24$ で、引くと $9y=9$ から $D=\left(\dfrac{12}5,1\right)$ である。$BD=\sqrt{\left(\dfrac35\right)^2+1^2}=\dfrac{\sqrt{34}}5$、$C'D=\sqrt{\left(\dfrac{12}5\right)^2+1^2}=\dfrac{13}5$、$B'D=\sqrt{\left(\dfrac{12}5\right)^2+1^2}=\dfrac{13}5$、$CD=\sqrt{\left(\dfrac{12}5\right)^2+4^2}=\dfrac{4\sqrt{34}}5$ なので
$$ (AB+BD)-(AC'+C'D)=3+\frac{\sqrt{34}}5-2-\frac{13}5=\frac{\sqrt{34}-8}5\fallingdotseq-0.434 $$
$$ (AB'+B'D)-(AC+CD)=\frac{24}5+\frac{13}5-5-\frac{4\sqrt{34}}5=\frac{12-4\sqrt{34}}5\fallingdotseq-2.265 $$
である。どちらの等式も成り立たない。Urquhart の定理は、どんな配置でも成り立つ恒等式ではなく、「(1) が成り立つ配置では (2) も成り立つ」という主張である。

$A(0,0)$、$B(3,0)$、$B'(6,0)$、$C'\left(0,\dfrac52\right)$、$C(0,4)$ とする。直線 $BC$ は $4x+3y=12$、直線 $B'C'$ は $5x+12y=30$ で、$D=\left(\dfrac{18}{11},\dfrac{20}{11}\right)$ である。
中心 $(1,1)$、半径 $1$ の円は 4 本の直線すべてに接する（$\dfrac{\lvert4+3-12\rvert}5=1$、$\dfrac{\lvert5+12-30\rvert}{13}=1$）。しかしこの円は直線 $BC$ について $A$ と同じ側（$4x+3y-12$ の値が中心で $-5$、$A$ で $-12$）にあり、(3) の円ではない。接点 $\left(\dfrac95,\dfrac85\right)$、$\left(\dfrac{18}{13},\dfrac{25}{13}\right)$ は辺 $BD$、$DC'$ の上にあり、この円は四角形 $ABDC'$ の内接円である。
辺の長さは $BD=\dfrac{25}{11}$、$C'D=\dfrac{39}{22}$、$B'D=\dfrac{52}{11}$、$CD=\dfrac{30}{11}$ で、
$$ (AB+BD)-(AC'+C'D)=3+\frac{25}{11}-\frac52-\frac{39}{22}=1,\qquad (AB'+B'D)-(AC+CD)=6+\frac{52}{11}-4-\frac{30}{11}=4 $$
となり、(1) も (2) も成り立たない。成り立つのは、内接円に対応する Pitotの定理 の等式 $AB+DC'=BD+C'A$（$3+\dfrac{39}{22}=\dfrac{105}{22}=\dfrac{25}{11}+\dfrac52$）である。4 本の直線に接する円があっても、その位置によって、成り立つ等式の組み合わせが変わる。