Steinhausの定理

同義語：Steinhaus theoremSteinhaus's theorem

概要

前提知識: Lebesgue測度, Lebesgue積分

Steinhausの定理（Steinhaus theorem）は、実数直線の Lebesgue測度について、正の測度をもつ可測集合 $A$ の差の集合 $A-A=\{a-b\mid a,b\in A\}$ が $0$ を内点にもつ、すなわちある $\delta>0$ について区間 $(-\delta,\delta)$ を含むことを述べる。$A$ 自身は区間を含まなくてもよい。たとえば区間を含まない閉集合でも測度が正なら、その差の集合は $0$ のまわりの区間を埋め尽くす。測度が正という量的な仮定から、区間を含むという位相的な結論が出てくるところに、この定理の要点がある。
証明の鍵は、平行移動が測度を連続的に動かすこと、すなわち有限測度の集合 $B$ について、$h\to0$ のとき $B$ と平行移動 $B+h$ の対称差の測度が $0$ に近づくことである。$h$ が小さければ $B$ と $B+h$ は測度の大半を共有するので交わり、交点から $h\in B-B$ が読み取れる。
この定理から、可測な加法的関数が一次関数になること、$\mathbb{R}$ の可測な部分群は $\mathbb{R}$ 自身でなければ測度 $0$ であること、Vitali 集合が可測でないことが従う。なお、関数解析の一様有界性原理を指す Banach–Steinhausの定理とは別の定理である。

主張

以下、$\lambda$ は $\mathbb{R}$ の Lebesgue 測度、$\lambda^*$ は Lebesgue 外測度とし、「可測」は Lebesgue 可測を意味する。$A,B\subset\mathbb{R}$、$t\in\mathbb{R}$ について
$$ A+t:=\{a+t\mid a\in A\},\qquad A-B:=\{a-b\mid a\in A,\ b\in B\},\qquad A\mathbin{\triangle}B:=(A\setminus B)\cup(B\setminus A) $$
と書く。$A-A$ を $A$ の差の集合という。$A-A$ は $0$ を含み（$A\ne\emptyset$ のとき）、$t\in A-A$ と $-t\in A-A$ は同値である。また $t\in A-A$ と $A\cap(A+t)\ne\emptyset$ は同値である（$a=a'+t$ と $t=a-a'$ は同じことである）。

Steinhausの定理

$A\subset\mathbb{R}$ を可測集合で $\lambda(A)>0$ とする（$\lambda(A)=\infty$ でもよい）。このとき、ある $\delta>0$ について
$$ (-\delta,\delta)\subset A-A $$
が成り立つ。

Steinhausの定理

要点：$A$ を有界で測度が正の部分 $B$ に縮め、$h$ が小さいとき $B$ と $B+h$ が交わることを lem-steinhaus-translation から示す。
有界な部分に縮める．すべての $N\ge1$ で $\lambda(A\cap[-N,N])=0$ なら、$A=\bigcup_N(A\cap[-N,N])$ と可算劣加法性から $\lambda(A)=0$ となり仮定に反する。そこで $B:=A\cap[-N,N]$ が $0<\lambda(B)<\infty$ となる $N$ をとる。$B-B\subset A-A$ なので、$B$ について示せばよい。
交わり．lem-steinhaus-translation の前半により、$\delta>0$ を $\lvert h\rvert<\delta$ なら $\lambda((B+h)\mathbin{\triangle}B)<\lambda(B)$ となるようにとれる。このとき後半の等式から
$$2\lambda\bigl(B\cap(B+h)\bigr)=2\lambda(B)-\lambda\bigl((B+h)\mathbin{\triangle}B\bigr)>\lambda(B)>0$$
なので $B\cap(B+h)$ は空でない。その点 $z$ は $z\in B$ かつ $z=b+h$（$b\in B$）と書けるので、$h=z-b\in B-B$ である。よって $(-\delta,\delta)\subset B-B\subset A-A$ である。$\square$

証明からは、$\lvert h\rvert<\delta$ のとき $h$ が $B-B$ の元として「たくさんの」書き方をもつこともわかる。実際、$h=z-b$ となる $z$ の集合 $B\cap(B+h)$ は測度が $\lambda(B)/2$ を超える。
結論は「$0$ が $A-A$ の内点である」と言い換えられる。$A-A$ が区間を含むことは、$A$ の点どうしの距離として、$0$ に近いすべての値が実際に現れることを意味する。

平行移動の連続性

平行移動による対称差

$B\subset\mathbb{R}$ を可測集合で $\lambda(B)<\infty$ とする。このとき
$$ \lim_{h\to0}\lambda\bigl((B+h)\mathbin{\triangle}B\bigr)=0 $$
である。さらに、すべての $h$ について
$$ \lambda\bigl((B+h)\mathbin{\triangle}B\bigr)=2\lambda(B)-2\lambda\bigl(B\cap(B+h)\bigr) $$
が成り立つ。

要点：$B$ を有限個の開区間の和 $U$ で近似する。$U$ が $N$ 個の区間の和なら、$U+h$ と $U$ の対称差の測度は $2N\lvert h\rvert$ 以下である。

証明を開く

後半の等式．平行移動で測度は変わらない（Lebesgue測度の命題「単調性と平行移動・拡大」の 2 と命題「区間とBorel集合の可測性・不変性」）ので、$B+h$ も可測で $\lambda(B+h)=\lambda(B)<\infty$ である。$(B+h)\mathbin{\triangle}B$ は互いに交わらない $(B+h)\setminus B$ と $B\setminus(B+h)$ の和であり、測度が有限なので $\lambda((B+h)\setminus B)=\lambda(B+h)-\lambda(B\cap(B+h))$、$\lambda(B\setminus(B+h))=\lambda(B)-\lambda(B\cap(B+h))$ である。足して等式を得る。

区間の有限和での評価．開区間 $I=(a,b)$ と $h\in\mathbb{R}$ について、$(I+h)\setminus I$ と $I\setminus(I+h)$ はどちらも長さ $\min(\lvert h\rvert,b-a)$ 以下の区間なので、$\lambda((I+h)\mathbin{\triangle}I)\le2\lvert h\rvert$ である。$U=I_1\cup\dots\cup I_N$ なら $(U+h)\mathbin{\triangle}U\subset\bigcup_{k}((I_k+h)\mathbin{\triangle}I_k)$ なので $\lambda((U+h)\mathbin{\triangle}U)\le2N\lvert h\rvert$ である。

近似．$\varepsilon>0$ をとる。Lebesgue測度の命題「Lebesgue可測集合の特徴づけ」の 4 により、開集合 $V\supset B$ で $\lambda(V\setminus B)\le\varepsilon$ となるものがある。$V$ は互いに交わらない可算個の開区間 $J_1,J_2,\dots$ の和であり、$\lambda(V)\le\lambda(B)+\varepsilon<\infty$ なので $\sum_k\lambda(J_k)<\infty$ である。$N$ を $\sum_{k>N}\lambda(J_k)\le\varepsilon$ ととり、$U:=J_1\cup\dots\cup J_N$ とおくと、$B\mathbin{\triangle}U\subset(V\setminus B)\cup(V\setminus U)$ なので $\lambda(B\mathbin{\triangle}U)\le2\varepsilon$ である。平行移動しても対称差の測度は変わらないので $\lambda((B+h)\mathbin{\triangle}(U+h))\le2\varepsilon$ でもある。対称差の三角不等式 $X\mathbin{\triangle}Z\subset(X\mathbin{\triangle}Y)\cup(Y\mathbin{\triangle}Z)$ を 2 回使って$$\lambda((B+h)\mathbin{\triangle}B)\le\lambda((B+h)\mathbin{\triangle}(U+h))+\lambda((U+h)\mathbin{\triangle}U)+\lambda(U\mathbin{\triangle}B)\le4\varepsilon+2N\lvert h\rvert.$$ $\lvert h\rvert\le\varepsilon/N$ なら右辺は $6\varepsilon$ 以下である。$\varepsilon$ は任意なので前半が従う。$\square$

$1_B$ を $B$ の指示関数とすると $\lvert1_{B+h}-1_B\rvert=1_{(B+h)\triangle B}$ なので、補題の前半は $\int_{\mathbb{R}}\lvert1_B(x-h)-1_B(x)\rvert\,dx\to0$、すなわち指示関数の平行移動が $L^1$ ノルムで連続であることと同じである（Lp空間）。

二つの集合の差

同じ考え方で、異なる 2 つの集合の差も区間を含むことがわかる。ただし $0$ のまわりとは限らない。

二つの集合の差

$A,B\subset\mathbb{R}$ を可測集合で $\lambda(A)>0$、$\lambda(B)>0$ とする。このとき $A-B$ は空でない開区間を含む。

要点：$\varphi(h):=\lambda(A\cap(B+h))$ は連続で、その積分は $\lambda(A)\lambda(B)>0$ である。よって $\varphi$ は 0 でない値をとり、その近くの区間で正であり、$\varphi(h)>0$ なら $h\in A-B$ である。

証明を開く

縮小．prf-steinhaus-main と同じく、$A,B$ を有界で測度が正の部分に取り替えてよい。さらに Lebesgue測度の命題「Lebesgue可測集合の特徴づけ」の 3 により、測度が同じ Borel 部分集合に取り替えてよい。部分集合に取り替えても $A-B$ は小さくなるだけなので、以下 $A,B$ は有界な Borel 集合で $0<\lambda(A),\lambda(B)<\infty$ とする。

連続性．$\varphi(h):=\lambda(A\cap(B+h))$ とおく。$A\cap(B+h)$ と $A\cap(B+h')$ の対称差は $(B+h)\mathbin{\triangle}(B+h')=((B+(h-h'))\mathbin{\triangle}B)+h'$ に含まれるので、$\lvert\varphi(h)-\varphi(h')\rvert\le\lambda((B+(h-h'))\mathbin{\triangle}B)$ であり、lem-steinhaus-translation により $\varphi$ は連続である。

積分．$(x,h)\mapsto(x,x-h)$ は $\mathbb{R}^2$ の連続写像なので、$1_A(x)1_B(x-h)$ は $\mathbb{R}^2$ 上の非負 Borel 関数である。Fubiniの定理の定理「Tonelliの定理」により積分の順序を交換でき、平行移動不変性を使うと$$\int_{\mathbb{R}}\varphi(h)\,dh=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}1_A(x)1_B(x-h)\,dh\,dx=\int_{\mathbb{R}}1_A(x)\lambda(x-B)\,dx=\lambda(A)\lambda(B)>0$$となる（$x-B:=\{x-b\mid b\in B\}$ の測度は $\lambda(B)$ に等しい）。

結論．積分が正なので $\varphi(h_0)>0$ となる $h_0$ がある。$\varphi$ は連続なので、$h_0$ を含む開区間 $J$ の上で $\varphi>0$ である。$h\in J$ なら $A\cap(B+h)$ は空でなく、その点 $x=b+h$（$x\in A$、$b\in B$）から $h=x-b\in A-B$ である。よって $J\subset A-B$。$\square$

$B=A$ のときは $\varphi(0)=\lambda(A)>0$ なので、$J$ として $0$ を含む区間がとれ、thm-steinhaus-main に戻る。$A\ne B$ では $0$ のまわりの区間とは限らない。たとえば $A=[2,3]$、$B=[0,1]$ なら $A-B=[1,3]$ である。

高次元

$\mathbb{R}^d$ の Lebesgue 測度についても、正の測度の可測集合 $E$ の差の集合 $E-E$ は原点の近傍を含む（Tao11 Exercise 1.6.8、p. 140）。証明は prf-steinhaus-main と同じで、lem-steinhaus-translation の区間の有限和を、辺が座標軸に平行な直方体の有限和に取り替える。辺の長さが $\ell_1,\dots,\ell_d$ の直方体 $Q$ では $\lambda((Q+h)\mathbin{\triangle}Q)\le2\lvert h\rvert\sum_{i}\prod_{j\ne i}\ell_j$ となるので、有限和についての評価が同じく成り立つ。

応用

可測な部分群

$H$ を加法群 $\mathbb{R}$ の部分群で、Lebesgue 可測なものとする。$H\ne\mathbb{R}$ なら $\lambda(H)=0$ である。

$\lambda(H)>0$ と仮定する。$H$ は部分群なので $H-H=H$ であり、thm-steinhaus-main により $(-\delta,\delta)\subset H$ となる $\delta>0$ がある。任意の $x\in\mathbb{R}$ について、$\lvert x\rvert/n<\delta$ となる自然数 $n$ をとると $x/n\in H$ なので、$x=n\cdot(x/n)\in H$ である。よって $H=\mathbb{R}$ である。$\square$

$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$、$\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt2$ のような可算な部分群は確かに測度 $0$ である。系は、非可算な部分群でも、$\mathbb{R}$ と異なり可測であれば測度 $0$ になることを述べている。同じ議論から、測度が正の可測集合 $A$ が生成する部分群は $\mathbb{R}$ 全体である。生成される部分群 $H$ は $A-A$ を含むので $(-\delta,\delta)\subset H$ となり、上の証明の後半がそのまま使えるからである。

和の集合

$A,B\subset\mathbb{R}$ を可測集合で $\lambda(A)>0$、$\lambda(B)>0$ とする。このとき $A+B:=\{a+b\mid a\in A,\ b\in B\}$ は空でない開区間を含む。とくに $A+A$ は開区間を含む。

$-B:=\{-b\mid b\in B\}$ は可測で $\lambda(-B)=\lambda(B)>0$ である（Lebesgue測度の命題「区間とBorel集合の可測性・不変性」の 2 で $c=-1$ としたもの）。$A+B=A-(-B)$ なので、thm-steinhaus-two-sets から従う。$\square$

Cantor集合 $C$ では $C+C=[0,2]$ なので、測度 $0$ でも和の集合が区間になることがある。系の逆もやはり成り立たない。

可測な加法的関数

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が加法的（すべての $x,y$ で $f(x+y)=f(x)+f(y)$）かつ Lebesgue 可測なら、すべての $x$ で $f(x)=f(1)x$ である。

要点：$\lvert f\rvert\le n$ となる点の集合のどれかが正の測度をもち、その差の集合の上で $\lvert f\rvert\le2n$ となる。

証明を開く

$E_n:=\{x\mid\lvert f(x)\rvert\le n\}$ は可測で $\bigcup_nE_n=\mathbb{R}$ なので、ある $n$ で $\lambda(E_n)>0$ である。thm-steinhaus-main により $(-\delta,\delta)\subset E_n-E_n$ となる $\delta>0$ がある。$\lvert t\rvert<\delta$ なら $t=a-a'$（$a,a'\in E_n$）と書けて、加法性から $f(t)=f(a)-f(a')$、よって $\lvert f(t)\rvert\le2n$ である。$f$ は開区間 $(-\delta,\delta)$ の上で上に有界なので、Cauchyの関数方程式の定理「一次関数になるための条件」（4 ⇒ 1）により $f(x)=f(1)x$ である。$\square$

Hamel基底の命題「可測な加法的関数は一次関数」は同じ結論を、差の集合が区間を含むことを開集合による近似から直接示して導いている。逆に、選択公理を使うと可測でない加法的関数が作れる（Hamel基底）。

Vitali集合は可測でない

$V\subset\mathbb{R}$ が、各剰余類 $x+\mathbb{Q}$ とちょうど 1 点で交わる集合（Vitali集合）なら、$V$ は Lebesgue 可測でない。

$v,v'\in V$ で $v-v'\in\mathbb{Q}$ なら、$v$ と $v'$ は同じ剰余類に属するので $v=v'$ である。よって $(V-V)\cap\mathbb{Q}=\{0\}$ であり、$0$ のまわりのどの区間も $0$ でない有理数を含むので、$V-V$ は $0$ のまわりの区間を含まない。$V$ が可測なら、thm-steinhaus-main の対偶により $\lambda(V)=0$ である。一方、各 $x\in\mathbb{R}$ はある $v\in V$ と同じ剰余類に属するので $\mathbb{R}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}(V+q)$ であり、可算劣加法性と平行移動不変性から $\lambda(\mathbb{R})\le\sum_{q}\lambda(V)=0$ となって矛盾する。$\square$

例と反例

区間と区間の和

$A=[0,\ell]$（$\ell>0$）なら $A-A=[-\ell,\ell]$ である。prf-steinhaus-main の $\delta$ を実際に求めると、$\lvert h\rvert\le\ell$ では $(A+h)\mathbin{\triangle}A$ は長さ $\lvert h\rvert$ の区間 2 つの和なので $\lambda((A+h)\mathbin{\triangle}A)=2\lvert h\rvert$ であり、これが $\lambda(A)=\ell$ より小さいのは $\lvert h\rvert<\ell/2$ のときである。証明が与える $\delta=\ell/2$ は、実際に差の集合に含まれる区間 $(-\ell,\ell)$ の半分であり、証明は最良の $\delta$ を与えるわけではない。
$A=[0,1]\cup[3,4]$ なら、差は同じ区間の中の 2 点からは $[-1,1]$、異なる区間の 2 点からは $[2,4]$ と $[-4,-2]$ が出るので、$A-A=[-4,-2]\cup[-1,1]\cup[2,4]$ である。差の集合は $0$ のまわりの区間を含むが、全体が区間になるとは限らない。

区間の幅は測度だけでは決まらない

$n\ge1$ について $A_n:=\bigcup_{k=0}^{n-1}\bigl[\tfrac kn,\tfrac kn+\tfrac1{3n}\bigr]$ とおく。長さ $\tfrac1{3n}$ の区間が $n$ 個、互いに交わらずに並ぶので $\lambda(A_n)=\tfrac13$ であり、$n$ によらない。一方、$A_n$ の 2 点の差は、属する区間の番号の差を $j$ とすると $\bigl[\tfrac jn-\tfrac1{3n},\tfrac jn+\tfrac1{3n}\bigr]$ に入り、逆にこの区間の点はすべて差として現れる。したがって
$$ A_n-A_n=\bigcup_{j=-(n-1)}^{n-1}\Bigl[\frac jn-\frac1{3n},\ \frac jn+\frac1{3n}\Bigr] $$
であり、$n\ge2$ なら $j=0$ と $j=1$ の区間の間に長さ $\tfrac1{3n}$ のすき間 $\bigl(\tfrac1{3n},\tfrac2{3n}\bigr)$ がある。よって $(-\delta,\delta)\subset A_n-A_n$ となる最大の $\delta$ は $\tfrac1{3n}$ であり、$n\to\infty$ で $0$ に近づく。Steinhaus の定理の $\delta$ は、測度 $\lambda(A)$ の大きさだけからは下から評価できず、$A$ の形によって決まる。

測度0でも差の集合が区間になる

Cantor集合 $C\subset[0,1]$ は Lebesgue 測度 $0$ だが、$C-C=[-1,1]$ である（GO03 第 8 章 Example 3、pp. 87–88）。したがって Steinhaus の定理の逆「$A-A$ が $0$ の近傍を含むなら $\lambda(A)>0$」は成り立たない。
確かめ：Cantor集合の命題「自己相似性と対称性」の 2 により $x\in C$ なら $1-x\in C$ なので、$-C=C-1$（$-C:=\{-x\mid x\in C\}$）である。よって $C-C=C+(-C)=(C+C)-1$ であり、同じ記事の例「反例：測度 $0$ の集合の和が区間になる」の $C+C=[0,2]$ から $C-C=[-1,1]$ を得る。

区間を含まない集合の差の集合

Cantor集合の例「反例：測度が正の疎な閉集合」の集合 $K\subset[0,1]$ は、内部が空（区間を含まない）で $\lambda(K)=1/2$ である。Steinhaus の定理により $K-K$ は $0$ のまわりの区間を含む。区間を 1 つも含まない集合でも、差をとると区間が現れる。

次の表で、定理の仮定を 1 つずつ外したり結論を強めたりすると、主張が崩れることを確かめる。

変えるもの	例	成り立たなくなること
仮定 $\lambda(A)>0$ を外す	$A=\mathbb{Q}$（$\lambda(\mathbb{Q})=0$）	$\mathbb{Q}-\mathbb{Q}=\mathbb{Q}$ は区間を含まない
仮定の可測性を外す（外測度 $\lambda^*(A)>0$ だけを仮定する）	Vitali 集合 $V$	$V-V$ は $0$ のまわりの区間を含まない
結論の $A-A$ を $A$ に替える	ex-steinhaus-fat-cantor の $K$	$\lambda(K)>0$ だが $K$ は区間を含まない

表の確かめ

要点：1 行目は $\mathbb{Q}$ が可算な部分群であること、2 行目は prf-steinhaus-vitali の前半と外測度の可算劣加法性、3 行目は ex-steinhaus-fat-cantor による。

確かめを開く

1 行目：$\mathbb{Q}$ は可算なので測度 $0$ であり、部分群なので $\mathbb{Q}-\mathbb{Q}=\mathbb{Q}$ である。区間は非可算なので $\mathbb{Q}$ に含まれない。

2 行目：prf-steinhaus-vitali で示したとおり $(V-V)\cap\mathbb{Q}=\{0\}$ なので、$V-V$ は $0$ のまわりの区間を含まない。一方 $\mathbb{R}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}(V+q)$ と外測度の可算劣加法性・平行移動不変性（Lebesgue測度の定理「外測度の可算劣加法性」と命題「単調性と平行移動・拡大」）から、$\lambda^*(V)=0$ なら $\lambda^*(\mathbb{R})=0$ となるので、$\lambda^*(V)>0$ である。したがって、仮定の「$\lambda(A)>0$」を外測度の条件 $\lambda^*(A)>0$ に弱めると、可測性が外れた集合では結論が成り立たない。

3 行目：$K$ は内部が空なので区間を含まない。$K$ は閉集合なので可測であり、$\lambda(K)=1/2>0$ である。

補足

Cantor 集合の差の集合．GO03 第 8 章 Example 3（pp. 87–88）は $C-C=[-1,1]$ を、$C\times C$ を 4 隅の正方形の入れ子として表し、直線 $y=x+a$ がどの段階でも少なくとも 1 つの正方形と交わることから示している。上の確かめは $C+C=[0,2]$ に帰着させる別の方法である。
密な区間を探す別の証明．平行移動の連続性を使わずに、測度の大半を占める区間を直接探す証明もある。有界で $0<\lambda(E)<\infty$ の可測集合 $E$ に対し、開集合 $U\supset E$ を $\lambda(U)<\frac43\lambda(E)$ ととり、$U$ を互いに交わらない開区間の和に分けると、ある区間 $I$（長さ $\ell$）で $\lambda(E\cap I)>\frac34\ell$ となる。$\lvert t\rvert<\ell/2$ なら、$E\cap I$ と $(E\cap I)+t$ はどちらも長さ $\frac32\ell$ 未満の区間 $I\cup(I+t)$ に含まれ、測度の和が $\frac32\ell$ を超えるので交わる。こうして $(-\ell/2,\ell/2)\subset E-E$ を得る。詳しくは Hamel基底の命題「可測な加法的関数は一次関数」の証明にある。
選択公理との関係．上の証明で選択原理を使うのは、Lebesgue 測度の可算劣加法性など、Lebesgue測度の構成そのものに含まれる部分だけである（同記事の注意「選択公理との関係」）。一方、Steinhaus の定理の結論が成り立たない集合（Vitali 集合）を作るには、非可算個の剰余類から代表を選ぶ選択公理を使う（Vitali集合）。
測度の小さな集合．Steinhaus の定理は、測度が正の集合が「至るところで薄い」ことはありえないという主張と見ることもできる。測度 $0$ の集合については何も言えず、上の例のように差の集合が大きいもの（$C$）も小さいもの（$\mathbb{Q}$）もある。