位相群

$G$ が位相群なら、$\delta=\mu\circ(\mathrm{id}_G\times\iota)$ であり、$\mathrm{id}_G\times\iota\colon G\times G\to G\times G$ は各成分が連続なので連続（直積位相の普遍性）、したがって $\delta$ は連続写像の合成として連続である。
逆に $\delta$ が連続とする。写像 $j\colon G\to G\times G$、$j(y)=(e,y)$ は成分が定値写像と恒等写像なので連続であり、$\iota(y)=ey^{-1}=\delta(j(y))$ だから $\iota$ は連続である。さらに $\mu(x,y)=x(y^{-1})^{-1}=\delta(x,\iota(y))$、すなわち $\mu=\delta\circ(\mathrm{id}_G\times\iota)$ なので $\mu$ も連続である。$\square$

1：$L_g$ は連続写像 $x\mapsto(g,x)$ と $\mu$ の合成なので連続であり、逆写像 $L_{g^{-1}}$ も同じ理由で連続である。よって $L_g$ は同相写像である。$R_g$ も同様である。$\iota$ は連続で $\iota\circ\iota=\mathrm{id}_G$ なので、自分自身が連続な逆写像であり、同相写像である。
2：$gU=L_g(U)$、$Ug=R_g(U)$、$U^{-1}=\iota(U)$ は同相写像による開集合の像なので開集合である。$AU=\bigcup_{a\in A}aU$、$UA=\bigcup_{a\in A}Ua$ は開集合の和集合なので開集合である。閉集合についても、同相写像による像なので閉集合である。
3：同相写像 $L_g$ は $e$ を $g$ に写すので、$e$ の近傍を $g$ の近傍に、$g$ の近傍を $L_{g^{-1}}$ で $e$ の近傍に写す。よって $g$ の近傍は $gN$（$N\in\mathcal N_e$）の形のものに限り、これらはすべて $g$ の近傍である。$R_g$ についても同様である。$\square$

連続なら $e$ で連続である。逆に $f$ が $e$ で連続とし、$x\in G$、$W$ を $f(x)$ の近傍とする。prop-topological-group-translations の 3 により $f(x)^{-1}W$ は $H$ の単位元 $f(e)$ の近傍なので、$e$ の近傍 $N$ で $f(N)\subset f(x)^{-1}W$ となるものがある。すると $xN$ は $x$ の近傍で、$f(xN)=f(x)f(N)\subset W$ である。よって $f$ は $x$ で連続である。$\square$

$\mu(e,e)=e$ で $\mu$ は連続なので、$e$ の開近傍 $W_1,W_2$ で $\mu(W_1\times W_2)=W_1W_2\subset U$ となるものがある。$W:=W_1\cap W_2$ は $e$ の開近傍で $WW\subset U$ を満たす。$V:=W\cap W^{-1}$ とおくと、$W^{-1}$ は prop-topological-group-translations の 2 により開集合で $e$ を含むので、$V$ は $e$ の開近傍であり、$V^{-1}=W^{-1}\cap W=V$、$VV\subset WW\subset U$ である。
$x\in\overline V$ とする。$xV$ は $x$ の近傍なので $V$ と交わり、$xv=w$ となる $v,w\in V$ がある。すると $x=wv^{-1}\in VV^{-1}=VV$ である。よって $\overline V\subset VV\subset U$ である。$\square$

3 ⇒ 2 ⇒ 1 は分離公理の一般的な含意である。
1 ⇒ 4：$x\neq e$ とし、$x$ の開近傍で $e$ を含まないものを見つければよい。$T_0$ により、$x$ と $e$ の一方だけを含む開集合 $U$ がある。$x\in U$、$e\notin U$ なら $U$ がそれである。$e\in U$、$x\notin U$ なら、$xU^{-1}$ は prop-topological-group-translations の 2 により開集合で、$e\in U^{-1}$ より $x\in xU^{-1}$ である。$e\in xU^{-1}$ とすると $e=xu^{-1}$ となる $u\in U$ があり $x=u\in U$ となって矛盾するので、$e\notin xU^{-1}$ である。よって $G\setminus\{e\}$ は開集合であり、$\{e\}$ は閉集合である。
4 ⇒ 3：$x\neq y$ とすると $x^{-1}y\neq e$ である。4 と prop-topological-group-translations の 2 により $\{x^{-1}y\}$ は閉集合なので、$U:=G\setminus\{x^{-1}y\}$ は $e$ の開近傍である。prop-topological-group-symmetric-nbhd により $V=V^{-1}$、$VV\subset U$ となる $e$ の開近傍 $V$ をとる。$xV$ と $yV$ はそれぞれ $x,y$ の開近傍である。$xv=yw$（$v,w\in V$）とすると $x^{-1}y=vw^{-1}\in VV^{-1}=VV\subset U$ となり矛盾する。よって $xV\cap yV=\emptyset$ であり、$G$ は Hausdorff である。
正則性条件：prop-topological-group-symmetric-nbhd により、$e$ の任意の近傍 $U$ は閉包が $U$ に含まれる $e$ の開近傍 $V$ を含む。prop-topological-group-translations により、同じことが任意の点 $g$ とその近傍 $gU$ について $g\overline V=\overline{gV}\subset gU$ として成り立つ。これは 分離公理 の記事の命題「正則性と閉近傍」の条件なので、$G$ は正則性条件を満たす。Hausdorff なら $T_1$ でもあるので $T_3$ である。$\square$

1：$H\times H$ の直積位相は $G\times G$ からの相対位相に一致する。$\mu$ と $\iota$ の $H\times H$、$H$ への制限は連続で、値は $H$ に入るので、$H$ に値をとる写像として連続である。
2：$\delta(x,y)=xy^{-1}$ は連続なので、$\delta(\overline H\times\overline H)=\delta(\overline{H\times H})\subset\overline{\delta(H\times H)}=\overline H$ である（直積の閉包は閉包の直積であり、連続写像は閉包を像の閉包の中に写す）。$e\in\overline H$ と合わせて $\overline H$ は部分群である。$H$ が正規なら、$g\in G$ について $g\overline Hg^{-1}$ は同相写像 $x\mapsto gxg^{-1}$ による $\overline H$ の像なので $\overline{gHg^{-1}}=\overline H$ に等しい。
3：$N\subset H$ を $e$ の近傍とする。$h\in H$ について $hN$ は $h$ の近傍で $hN\subset HH=H$ なので、$H$ は各点の近傍であり、開集合である。
4：$H$ を開部分群とする。$G\setminus H$ は $H$ と異なる左剰余類 $gH$ の和集合であり、各 $gH$ は開集合なので、$G\setminus H$ は開集合である。よって $H$ は閉集合である。
5：$H$ を指数有限の閉部分群とすると、$G\setminus H$ は有限個の左剰余類 $g_1H,\dots,g_rH$ の和集合であり、各 $g_iH$ は閉集合なので、$G\setminus H$ は閉集合である。よって $H$ は開集合である。$\square$

連結成分は閉集合である。$G_0\times G_0$ は連結空間の直積なので連結であり（連結空間 の記事の定理「直積の連結性」）、その連続写像 $\delta$ による像 $G_0G_0^{-1}$ は連結で $e=ee^{-1}$ を含むので、$e$ の連結成分 $G_0$ に含まれる。よって $G_0$ は部分群である。$g\in G$ について $gG_0g^{-1}$ は同相写像 $x\mapsto gxg^{-1}$ による $G_0$ の像なので連結で $e$ を含み、$G_0$ に含まれる。よって $G_0$ は正規部分群である。$\square$

1：$U\subset G$ を開集合とすると、$\pi^{-1}(\pi(U))=UH=\bigcup_{h\in H}Uh$ は prop-topological-group-translations の 2 により開集合である。商位相の定義により $\pi(U)$ は開集合である。
2：$G/H$ が Hausdorff なら 1 点集合 $\{eH\}$ は閉集合であり、$H=\pi^{-1}(\{eH\})$ は閉集合である。逆に $H$ を閉集合とし、$xH\neq yH$ とする。$x^{-1}y\notin H$ であり、$G\setminus H$ は開集合で $\delta'(a,b):=a^{-1}b$ は連続なので、$x,y$ の開近傍 $U,V$ で $U^{-1}V\cap H=\emptyset$ となるものがある。1 により $\pi(U)$、$\pi(V)$ は $xH$、$yH$ の開近傍である。$uH=vH$（$u\in U$、$v\in V$）とすると $u^{-1}v\in H$ となって矛盾するので、$\pi(U)\cap\pi(V)=\emptyset$ である。
3：$G/H$ の積を $\bar\mu$、逆元をとる写像を $\bar\iota$ とすると、$\bar\mu\circ(\pi\times\pi)=\pi\circ\mu$、$\bar\iota\circ\pi=\pi\circ\iota$ である。$W\subset G/H$ を開集合とする。$\pi\times\pi\colon G\times G\to G/H\times G/H$ は全射であり、開写像の直積なので開写像である（開集合 $U_1\times U_2$ の像は $\pi(U_1)\times\pi(U_2)$ で、直積位相の開集合はこの形の和集合である）。$(\pi\times\pi)^{-1}(\bar\mu^{-1}(W))=\mu^{-1}(\pi^{-1}(W))$ は開集合なので、全射性からその像 $\bar\mu^{-1}(W)$ は開集合である。よって $\bar\mu$ は連続である。同様に $\pi^{-1}(\bar\iota^{-1}(W))=\iota^{-1}(\pi^{-1}(W))$ は開集合なので、商位相の定義により $\bar\iota^{-1}(W)$ は開集合である。$\pi$ は商写像として連続で、準同型である。$\square$