ZFC公理系

同義語：ZFCZermelo–Fraenkel set theory with Choice

概要

前提知識: 集合論, 一階述語論理, 選択公理

ZFC 公理系とは

ZFC 公理系（Zermelo–Fraenkel set theory with Choice）は、所属関係 $\in$ だけを基本記号とする一階の理論で、現代数学の大部分を形式化する共通の土台として使われる。対象はすべて集合であり、自然数・実数・関数・位相空間なども、集合を組み合わせて作る。名前の Z・F は Zermelo と Fraenkel、C は選択公理（Choice）を表す。選択公理を除いた体系を ZF と呼ぶ。

直感的には、ZFC が記述するのは「空集合から出発し、すでにある集合の部分集合全体をとる操作を超限に繰り返してできる集合の階層」である。各公理はこの階層の性質を一つずつ言い表している。ただし公理そのものは階層を前提にせず、$\in$ についての一階の文として書かれる。

言語と公理図式

ZFC の言語は、等号と二項関係記号 $\in$ だけをもつ一階の言語である。変数はすべて集合を動く。$x\subseteq y$ は $\forall z\,(z\in x\to z\in y)$ の略記であり、$\emptyset$、$\{a,b\}$、$\bigcup a$ などの記号も、その存在と一意性を公理から示したあとで導入する略記である。

公理の中には一つの文ではなく 公理図式 として与えられるものがある。公理図式とは、論理式 $\varphi$ を一つ決めるごとに公理が一本得られる規則のことで、ZFC は無限個の公理からなる。$\varphi$ には、ほかの自由変数（パラメータ）$\vec p=(p_1,\dots,p_k)$ を含めてよい。

「クラス」は $\{x\mid\varphi(x,\vec p)\}$ という論理式による集まりの呼び名であり、ZFC の対象ではない。集合 $a$ に対して $\{x\mid x\in a\}$ はクラスとしても集合 $a$ と同じものだが、すべての集合のクラス $V$ や、すべての順序数のクラス $\mathrm{Ord}$ は集合ではない（$V$ については thm-zfc-no-universal-set、$\mathrm{Ord}$ については順序数の「Burali-Forti の逆理」）。クラスについての主張は、その論理式についての主張の言い換えとして読む。

公理の一覧

ZFC の公理

以下の (i)〜(ix) を ZFC の公理とする。(iii) と (viii) は公理図式で、$\varphi$ はパラメータ $\vec p$ を含んでよい任意の論理式である。

(i) 外延性：$\forall a\,\forall b\,\bigl(\forall x\,(x\in a\leftrightarrow x\in b)\to a=b\bigr)$。

(ii) 基礎（正則性）：$\forall a\,\bigl(a\neq\emptyset\to\exists x\in a\ (x\cap a=\emptyset)\bigr)$。

(iii) 分出図式：$\forall a\,\exists b\,\forall x\,\bigl(x\in b\leftrightarrow(x\in a\land\varphi(x,\vec p))\bigr)$。

(iv) 対：$\forall a\,\forall b\,\exists c\,\forall x\,(x\in c\leftrightarrow x=a\lor x=b)$。

(v) 合併：$\forall a\,\exists u\,\forall x\,\bigl(x\in u\leftrightarrow\exists y\in a\ (x\in y)\bigr)$。

(vi) 冪集合：$\forall a\,\exists p\,\forall x\,(x\in p\leftrightarrow x\subseteq a)$。

(vii) 無限：$\exists I\,\bigl(\emptyset\in I\land\forall x\in I\ (x\cup\{x\}\in I)\bigr)$。

(viii) 置換図式：$\forall a\,\Bigl(\forall x\in a\,\exists!\,y\ \varphi(x,y,\vec p)\to\exists b\,\forall y\,\bigl(y\in b\leftrightarrow\exists x\in a\ \varphi(x,y,\vec p)\bigr)\Bigr)$。

(ix) 選択：空でない集合からなる任意の集合 $X$ に対し、各 $x\in X$ に $f(x)\in x$ を対応させる関数 $f$ が存在する。

(i)〜(viii) を ZF、ZF から置換 (viii) を除いた (i)〜(vii) を Z（Zermelo 集合論）と呼ぶ。

(ii) と (vii) の中の $\emptyset$、$x\cap a$、$x\cup\{x\}$ は略記で、たとえば (vii) の $\emptyset\in I$ は $\exists e\in I\,\forall z\,(z\notin e)$ と言い換えられる。(vii) は空集合の存在も含んでいる。(iii) で得る $b$ は外延性により一意なので、$\{x\in a\mid\varphi(x,\vec p)\}$ と書く。(iv)(v)(vi) の集合も同様に一意で、$\{a,b\}$、$\bigcup a$、$\mathcal P(a)$ と書く（冪集合）。$a\cup b:=\bigcup\{a,b\}$、$\{a\}:=\{a,a\}$ である。

公理の選び方と並べ方は文献によって少しずつ違う。空集合の公理を別に置く流儀、(ix) の代わりに「任意の集合は整列可能」を置く流儀（ZF の上で同値。選択公理の「整列可能定理との同値」）、置換を「関数的でなくてもよい」形（収集）で書く流儀などがある。どの流儀も ZF の上で互いに導き合うので、同じ定理の集まりを与える。

体系	含む公理	典型的に証明できること
Z	(i)〜(vii)	自然数・実数の構成、$\mathcal P(\mathbb R)$ の存在
ZF	(i)〜(viii)	超限再帰、順序数による整列集合の表現、$V_\alpha$ の定義
ZFC	(i)〜(ix)	Zorn の補題、任意の二集合の濃度の比較可能性

公理から集合を作る

公理がどのように使われるかを、最初に出会う二つの結果で見る。一つ目は、「条件を満たすもの全体」がいつでも集合になるわけではないことである。

すべての集合からなる集合はない

任意の集合 $a$ に対し、$r:=\{x\in a\mid x\notin x\}$ は $a$ に属さない。特に、すべての集合を元にもつ集合 $U$ は存在しない。

$r$ は分出図式 (iii) を論理式 $x\notin x$ に適用して得る集合である。$r\in a$ と仮定する。$r\in r$ なら、$r$ の定義から $r\notin r$ となり矛盾する。$r\notin r$ なら、$r\in a$ と合わせて $r$ の定義の条件を満たすので $r\in r$ となり、やはり矛盾する。したがって $r\notin a$ である。

すべての集合を元にもつ $U$ があれば、$r=\{x\in U\mid x\notin x\}$ も集合なので $r\in U$ となるが、これは前半に反する。$\square$

この証明は、制限のない内包「$\{x\mid\varphi(x)\}$ は常に集合である」を採ると矛盾が出ること（Russell の逆理）を、分出図式の側から見たものである。分出はすでにある集合 $a$ の中から元を選ぶことしか許さないので、$r$ は作れても、$r$ が $a$ に入ることは導けない。基礎の公理があれば $x\notin x$ はすべての $x$ で成り立つ（正則性公理）ので、実は $r=a$ だが、上の証明は基礎を使っていない。

二つ目は、数学で最もよく使う構成である順序対と直積である。$\langle a,b\rangle:=\{\{a\},\{a,b\}\}$（Kuratowski の順序対）とおくと、$\langle a,b\rangle=\langle c,d\rangle$ と $a=c\land b=d$ が同値になる。

詳細

$a=c$、$b=d$ なら等しいのは明らか。逆に $\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}$ とする。$a=b$ なら左辺は $\{\{a\}\}$ なので $\{c\}=\{c,d\}=\{a\}$、よって $c=d=a$。$a\neq b$ なら左辺は元の個数が 1 と 2 の集合を一つずつ含むので、右辺も同様で $c\neq d$ であり、個数を比べて $\{a\}=\{c\}$、$\{a,b\}=\{c,d\}$ となる。よって $a=c$ で、$b\in\{c,d\}$ かつ $b\neq a=c$ から $b=d$。

直積の存在

任意の集合 $A,B$ に対し、$\{z\mid\exists a\in A\,\exists b\in B\ (z=\langle a,b\rangle)\}$ は集合である。これを $A\times B$ と書く。

$C:=A\cup B$ は対 (iv) と合併 (v) で得られる。$a\in A$、$b\in B$ なら $\{a\}$ と $\{a,b\}$ はともに $C$ の部分集合なので $\mathcal P(C)$ の元であり、したがって $\langle a,b\rangle\subseteq\mathcal P(C)$、すなわち $\langle a,b\rangle\in\mathcal P(\mathcal P(C))$ である。冪集合 (vi) を二回使って $\mathcal P(\mathcal P(C))$ を作り、分出 (iii) で
$$ A\times B=\bigl\{z\in\mathcal P(\mathcal P(C))\ \big|\ \exists a\in A\,\exists b\in B\ (z=\langle a,b\rangle)\bigr\} $$
とおけばよい。$\square$

$A$ から $B$ への関数は $A\times B$ の部分集合（各 $a\in A$ に対し $\langle a,b\rangle$ を含む $b$ がちょうど一つあるもの）として定義する。したがって関数全体 $B^A$ も $\mathcal P(A\times B)$ から分出で得られる。自然数全体 $\omega$ は、(vii) の集合 $I$ から「$\emptyset$ を含み $x\mapsto x\cup\{x\}$ で閉じたすべての集合に属する」元を分出して作る。

公理どうしの関係

公理の一覧は最小ではない。次の命題は、分出と対が置換から導かれることを示す。一覧に残すのは、置換を使わない体系 Z でも分出と対が必要だからである。

置換から分出と対が出る

外延性・冪集合・無限・置換図式から、次が導かれる。

(a) 分出図式の各例。

(b) 対の公理。

(a) 集合 $a$ と論理式 $\varphi(x,\vec p)$ をとる。$a$ のどの元も $\varphi$ を満たさないときは、求める集合は空集合であり、空集合は無限公理 (vii) から得られる（$\emptyset\in I$ の $\emptyset$）。そうでないとき、$\varphi(x_0,\vec p)$ を満たす $x_0\in a$ を一つとり、論理式
$$ \psi(x,y):\quad(\varphi(x,\vec p)\land y=x)\lor(\lnot\varphi(x,\vec p)\land y=x_0) $$
を考える。各 $x\in a$ に対し $\psi(x,y)$ を満たす $y$ はちょうど一つなので、置換図式により $b=\{y\mid\exists x\in a\ \psi(x,y)\}$ が集合になる。$y\in b$ なら $y\in a$ かつ $\varphi(y,\vec p)$ が成り立つ（$y=x_0$ の場合も $\varphi(x_0,\vec p)$ が成り立つ）。逆に $x\in a$ が $\varphi$ を満たせば $\psi(x,x)$ なので $x\in b$ である。よって $b=\{x\in a\mid\varphi(x,\vec p)\}$ である。

(b) 空集合 $\emptyset$ から冪集合を二回とると $\mathcal P(\emptyset)=\{\emptyset\}$、$\mathcal P(\{\emptyset\})=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ を得る。$\emptyset\neq\{\emptyset\}$ なので、これはちょうど二つの元をもつ。$a,b$ を与えたとき、論理式
$$ \chi(x,y):\quad(x=\emptyset\land y=a)\lor(x\neq\emptyset\land y=b) $$
は $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ の各元に値を一つずつ対応させるので、置換図式により $\{y\mid\exists x\in\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\ \chi(x,y)\}=\{a,b\}$ が集合になる。$\square$

一方、置換は Z の公理からは導けない。これは次節で、Z の公理をすべて満たすが置換を満たさない集合 $V_{\omega+\omega}$ を示すことで確かめる。同じ方法で、無限公理が他の公理から導けないことも分かる。

集合の中で公理を確かめる

公理が互いに独立であることを示す標準的な方法は、「集合 $M$ の中だけで量化を解釈したとき、ある公理は成り立つが別の公理は成り立たない」例を作ることである。

相対化と公理の充足

集合またはクラス $M$ と論理式 $\varphi$ に対し、$\varphi$ の量化 $\forall x$、$\exists x$ をすべて $\forall x\in M$、$\exists x\in M$ に置き換えた論理式を $\varphi^M$ と書き、$\varphi$ の $M$ への相対化という。文 $\sigma$ について $\sigma^M$ が成り立つとき、$M$ は $\sigma$ を満たすという。

$M$ が推移的（$y\in x\in M$ なら $y\in M$）なら、$x\subseteq a$、$z=\{x,y\}$、$z=\bigcup a$、「$f$ は $X$ 上の関数で各 $x\in X$ で $f(x)\in x$」のように、量化がすべて $\exists u\in v$、$\forall u\in v$ の形（有界）で書ける条件は、$M$ の元について $M$ の中で判定しても外で判定しても同じになる。この事実（有界な論理式の絶対性）の証明は内部モデルの記事にある。以下ではこれを使う。

累積階層 $V_\alpha$ を、順序数 $\alpha$ についての超限再帰で
$$ V_0=\emptyset,\qquad V_{\alpha+1}=\mathcal P(V_\alpha),\qquad V_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}V_\alpha\ (\lambda\text{ は極限順序数}) $$
と定める。各 $V_\alpha$ は推移的で（超限帰納法の「累積階層の各段階は推移的」）、$\beta<\alpha$ なら $V_\beta\subseteq V_\alpha$ である。また $V_\alpha$ に属する順序数はちょうど $\alpha$ 未満の順序数である（$V_\alpha\cap\mathrm{Ord}=\alpha$）。

詳細

$\alpha$ についての超限帰納法で示す。$\alpha=0$ は明らか。$V_{\alpha+1}$ に属する順序数 $\beta$ は $\beta\subseteq V_\alpha$ を満たし、$\beta$ の元は順序数なので帰納法の仮定から $\beta\subseteq\alpha$、すなわち $\beta\leq\alpha$ である。逆に $\beta\leq\alpha$ なら $\beta\subseteq\alpha\subseteq V_\alpha$ なので $\beta\in V_{\alpha+1}$ である。よって $V_{\alpha+1}\cap\mathrm{Ord}=\alpha+1$。極限の段階は和をとればよい。

遺伝的有限集合の宇宙 $V_\omega$

$V_\omega$ は ZFC の公理のうち無限公理 (vii) 以外のすべてを満たし、無限公理の否定を満たす。

まず $V_\omega$ の元についての二つの事実を示す。

$V_\omega$ の元は $V_\omega$ の有限部分集合である。実際、$V_n$ が有限であることは $n$ についての帰納法で分かる（$V_{n+1}=\mathcal P(V_n)$ の元の個数は $2^{\lvert V_n\rvert}$）。$x\in V_\omega$ なら $x\in V_{n+1}$ となる $n$ があり、$x\subseteq V_n$ は有限で、$V_n\subseteq V_\omega$ である。
$V_\omega$ の有限部分集合 $S$ は $V_\omega$ の元である。実際、$S$ の各元 $s$ は $s\in V_{n_s}$ を満たす。$S$ は有限なので $n:=\max_s n_s$（$S=\emptyset$ なら $n=0$）がとれ、$V_{n_s}\subseteq V_n$ より $S\subseteq V_n$、したがって $S\in V_{n+1}$ である。

これを使って各公理を確かめる。$V_\omega$ は推移的なので、外延性は成り立つ：$a,b\in V_\omega$ が $V_\omega$ の中で同じ元をもてば、$a,b$ の元はすべて $V_\omega$ に入るので、$a$ と $b$ は実際に同じ元をもつ。対・合併・冪集合・分出・置換・選択はどれも「ある有限集合が $V_\omega$ に属する」ことに帰着する。

対：$\{a,b\}$ は有限部分集合なので (2) により $V_\omega$ に属する。
合併：$a\in V_\omega$ の元は有限集合で、$\bigcup a$ は有限個の有限集合の和なので有限であり、推移性から $V_\omega$ の部分集合である。
冪集合：$a\in V_\omega$ の部分集合は有限なので $V_\omega$ に属し、$\mathcal P(a)$ は有限集合なので $V_\omega$ に属する。$V_\omega$ の中で「$a$ の部分集合全体」を表す集合は $\mathcal P(a)$ そのものである。
分出・置換：得られる集合は、$a$ の部分集合、あるいは有限集合 $a$ の像なので有限であり、$V_\omega$ に属する。
選択：$X\in V_\omega$ に対する選択関数 $f$ は有限個の順序対 $\langle x,f(x)\rangle$ からなり、順序対も (2) により $V_\omega$ に属するので、$f\in V_\omega$ である。
基礎：空でない $a\in V_\omega$ に対し、$V$ での基礎の公理から $x\cap a=\emptyset$ を満たす $x\in a$ がとれ、$x\in V_\omega$ である。

最後に、無限公理が成り立たないこと。$I\in V_\omega$ が $\emptyset\in I$ と「$x\in I$ なら $x\cup\{x\}\in I$」を満たすとすると、$I$ は $0=\emptyset$、$1=\{0\}$、$2=\{0,1\}$、… をすべて含む。これらは互いに異なるので $I$ は無限集合となり、(1) に反する。以上で使った条件はすべて有界な論理式で書けるので、$V_\omega$ の中での意味と外での意味は一致する。$\square$

したがって、ZFC が無矛盾なら、無限公理はほかの ZFC の公理からは証明できない（証明できるなら $V_\omega$ でも成り立つはずであり、ZFC から矛盾が出る）。ここで、$V_\omega$ という集合を作るのに外側で無限公理と置換を使っていることに注意する。示されたのは「ZFC が無矛盾なら、ZFC から無限公理を除いて無限公理の否定を加えた体系も無矛盾」という相対的な主張である。

$V_{\omega+\omega}$ は置換を満たさない

$\lambda>\omega$ を極限順序数とする。$V_\lambda$ は ZFC の公理のうち置換図式 (viii) 以外をすべて満たす。一方、$V_{\omega+\omega}$ は置換図式のある例を満たさない。

前半の要点：$x\in V_\lambda$ なら、$x\in V_{\alpha+1}$ すなわち $x\subseteq V_\alpha$ となる $\alpha<\lambda$ がある。すると $x$ の部分集合も $V_{\alpha+1}$ に属し、$\mathcal P(x)\subseteq V_{\alpha+1}$ より $\mathcal P(x)\in V_{\alpha+2}$ である。$\lambda$ は極限順序数なので $\alpha+2<\lambda$ となり、冪集合と分出が $V_\lambda$ で成り立つ。

残りの公理の確認を開く

対：$a,b\in V_\alpha$ なら $\{a,b\}\in V_{\alpha+1}$。合併：$a\subseteq V_\alpha$ なら推移性から $\bigcup a\subseteq V_\alpha$、よって $\bigcup a\in V_{\alpha+1}$。無限：各 $n\in\omega$ は $V_{n+1}$ に属するので $\omega\subseteq V_\omega$、よって $\omega\in V_{\omega+1}\subseteq V_\lambda$。選択：$X\subseteq V_\alpha$ に対する選択関数は $V_\alpha$ の元どうしの順序対の集合で、順序対は $V_{\alpha+2}$ に属するので、関数は $V_{\alpha+3}$ に属する。外延性と基礎は $V_\omega$ の場合と同じく推移性と $V$ での基礎から従う。いずれも有界な論理式で書ける条件なので、$V_\lambda$ の中での意味は外と一致する。

後半：$\lambda=\omega+\omega$ とし、パラメータ $\omega\in V_\lambda$ をもつ論理式 $\varphi(n,y)$ を「$n$ は自然数で、定義域 $n\cup\{n\}$ の関数 $g$ があって $g(0)=\omega$、各 $k< n$ で $g(k\cup\{k\})=g(k)\cup\{g(k)\}$、かつ $y=g(n)$」とする。$V$ では $\varphi(n,y)$ は $y=\omega+n$ と同値である。このような $g$ は $V_\lambda$ の元どうしの有限個の順序対からなるので $V_\lambda$ に属し、$g$ についての条件は有界な論理式で書けるので、$V_\lambda$ の中でも $\varphi$ は $n\mapsto\omega+n$ を定める。よって $V_\lambda$ で置換が成り立つなら、$V_\lambda$ の元 $B$ で、$V_\lambda$ の元 $y$ について $y\in B\leftrightarrow\exists n\in\omega\ (y=\omega+n)$ となるものがある。$B\in V_\lambda$ なので $B\subseteq V_\gamma$ となる $\gamma<\omega+\omega$ があり、$\gamma\leq\omega+m$ となる $m\in\omega$ がとれる。すると $\omega+m+1\in B\subseteq V_{\omega+m}$ だが、$V_{\omega+m}\cap\mathrm{Ord}=\omega+m$ はこの順序数を含まない。矛盾である。$\square$

特に $V_{\omega+\omega}$ は Z の公理をすべて満たすので、ZFC が無矛盾なら、置換図式は Z から証明できない。同じモデルから、Z では「$\omega$ 上の順序型 $\omega+\omega$ の整列順序（偶数を小さい順に並べ、そのあとに奇数を小さい順に並べる順序）と同型な順序数がある」ことも証明できないと分かる（But21 §12.2, p. 162）。置換は、超限再帰で $V_\alpha$ や順序数の演算を定義するときに不可欠である。

反例の表

公理を一つ外したとき、あるいは一つを強めすぎたときに何が起こるかをまとめる。

外す・変える公理	反例	成り立たなくなること
分出を制限のない内包に強める	$\{x\mid x\notin x\}$	無矛盾性（thm-zfc-no-universal-set）
無限	$V_\omega$	無限集合 $\omega$ の存在
置換	$V_{\omega+\omega}$	$\{\omega+n\mid n\in\omega\}$ が集合であること
基礎	元の役割を並べ替えた $V_\omega$（正則性公理）	$x\notin x$ がすべての $x$ で成り立つこと
選択	選択公理の否定を満たす ZF のモデル（選択公理）	任意の集合の整列可能性

最初の行は公理を外すのではなく、強めると矛盾することを示す。二行目と三行目は thm-zfc-v-omega と thm-zfc-v-omega-omega で証明した。四行目は正則性公理の記事で、$V_\omega$ の元に割り当てる「元の集まり」を並べ替えることで、外延性・対・合併・冪集合・分出・置換を保ったまま $x\in x$ を満たす元を作っている。五行目は Cohen の強制法による結果で、この記事では証明しない（選択公理の「Cohenによる選択公理の否定の相対的無矛盾性」）。

ZFC で決まらないこと

ZFC は通常の数学の大部分を証明できるが、集合論の自然な問いの中には ZFC で決まらないものがある。以下はこの記事では証明しない。

連続体仮説：$2^{\aleph_0}=\aleph_1$ は、ZFC が無矛盾なら ZFC から証明も反証もできない。Gödel が構成可能宇宙 $L$ を使って無矛盾性を、Cohen が強制法を使って否定の無矛盾性を示した（But21 §15.4, p. 207。詳しくは連続体仮説の「独立性」）。
到達不能基数の存在：ZFC が無矛盾なら、ZFC から到達不能基数の存在は証明できない（到達不能基数の「到達不能基数の存在はZFCから証明できない」）。
有限公理化：ZF は有限個の公理では置き換えられない。より詳しく、ZF のすべての公理を証明する有限個の文の集合は矛盾する（But21 Theorem 12.6, p. 174。証明は反映原理による）。

これらの結果は、公理系としての ZFC と、そのモデルを区別して読む必要がある。「ZFC から証明できない」とは、ZFC の公理をすべて満たすが主張を満たさないモデル（またはその無矛盾性）がある、という意味である。

注意

ZFC の公理は一階の文とその図式である。分出図式・置換図式の $\varphi$ は集合論の言語の論理式に限られ、「日本語で述べられる性質」一般ではない。
ZFC にクラスは対象として現れない。クラスを対象に含める体系（von Neumann–Bernays–Gödel 集合論など）は別の公理系である。
基礎の公理は、ほかの数学の構成にはほとんど使われない。その役割は、すべての集合を累積階層 $V_\alpha$ に位置づけることにある（正則性公理）。
集合 $M$ で公理を確かめるときの「$M$ が満たす」は相対化 $\sigma^M$ の意味であり、$M$ の中の「可算」「冪集合」は外から見たものと異なることがある。