分裂原理

1：局所自明化 $\phi\colon E|_U\to U\times\mathbb{K}^n$ を通すと、スカラー倍は $(\lambda,(u,a))\mapsto(u,\lambda a)$ であり連続である。$E$ はこのような開集合 $E|_U$ で覆われるので、スカラー倍は連続である。零切断と $E|_U$ の共通部分は $\phi^{-1}(U\times\{0\})$ で $E|_U$ の閉集合なので、零切断は $E$ の閉集合であり、$E_0$ は開である。

2：$\lambda\in\mathbb{K}^\times$ によるスカラー倍 $m_\lambda$ は $m_{\lambda^{-1}}$ を逆にもつ同相写像で $E_0$ を保つ。$W\subset E_0$ が開なら $q^{-1}(q(W))=\bigcup_{\lambda\in\mathbb{K}^\times}m_\lambda(W)$ は開なので、商位相の定義により $q(W)$ は開である。$A$ を飽和した部分集合とし、$W'\subset E_0$ を開集合とする。$q(w')\in q(A)$（$w'\in W'$）なら $w'\sim a$ となる $a\in A$ があり、$A$ は飽和しているので $w'\in A$ である。よって $q(W'\cap A)=q(W')\cap q(A)$ は $q(A)$ の開集合であり、$q|_A$ は開写像である。連続な開全射は商写像である。

3：開写像と恒等写像の直積は開写像なので、$q\times\mathrm{id}$ は連続な開全射であり、商写像である。$\square$

1：$q^{-1}(\pi^{-1}(S))=(E|_S)_0$ は飽和しているので、lem-sp-quotient の 2 により $q|\colon(E|_S)_0\to\pi^{-1}(S)$ は相対位相について商写像である。$(E|_S)_0$ の位相は $E$ からの相対位相なので、$\pi^{-1}(S)$ の相対位相は $P(E|_S)$ の商位相に等しい。$E_b$ の位相は局所自明化を通して $\mathbb{K}^n$ の位相と一致するので、$\theta$ は同相写像であり、$\mathbb{K}^n\setminus\{0\}$ と $(E_b)_0$ の商写像の両方について上の議論を当てると、$[a]\mapsto[\theta(a)]$ と逆写像 $[v]\mapsto[\theta^{-1}(v)]$ はともに連続である。

2：$q^{-1}(\pi^{-1}(U))=(E|_U)_0$ は開なので $\pi^{-1}(U)$ は開である。写像 $\Psi([v]):=(\rho(v),[\mathrm{pr}_2\phi(v)])$ は、$v$ を $\lambda v$ に替えても値が変わらないので矛盾なく定まる。$\Psi\circ q$ は $(E|_U)_0$ 上で連続であり、1 によりその上の $q$ は商写像なので、$\Psi$ は連続である。逆写像は $(u,[a])\mapsto q(\phi^{-1}(u,a))$ である。$\mathbb{K}^n\setminus\{0\}\to\mathbb{K}\mathrm{P}^{n-1}$ は開写像（射影空間 の命題「球面の商としての射影空間」の 1）なので、$\mathrm{id}_U$ との直積は連続な開全射で商写像であり、これと合成した $(u,a)\mapsto q(\phi^{-1}(u,a))$ は連続なので、逆写像も連続である。各ファイバーの上で $\Psi$ は 1 の同相写像である。

3：2 の $\Psi$ が局所自明化を与える。$\square$

条件は $x$ のスカラー倍で変わらないので $W_v$ は矛盾なく定まり、$q^{-1}(W_v)$ は開なので $W_v$ は開である。$[x]\in W_{x/|x|}$ なので $\{W_v\}$ は $\mathbb{K}\mathrm{P}^{m-1}$ を覆い、$\mathbb{K}\mathrm{P}^{m-1}$ はコンパクト（射影空間 の命題「球面の商としての射影空間」の 3）なので有限個で覆える。

$|u|=1$ について $V_u:=\{[x]\mid\langle u,x\rangle\ne0\}$、$u^\perp:=\{y\mid\langle u,y\rangle=0\}$ とおく。$\psi_u\colon u^\perp\to V_u$、$y\mapsto[u+y]$ は連続な全単射で、逆写像 $[x]\mapsto x/\langle u,x\rangle-u$ は $q$ と合成すると連続なので連続である（$q^{-1}(V_u)$ は飽和した開集合で、射影空間 の命題「アフィン座標近傍と多様体構造」の証明と同じ議論）。よって $\psi_u$ は同相写像である。

$[u]\in W_v$ とし、$v=au+w$（$a:=\langle u,v\rangle$、$w\perp u$）と書くと、$2|a|^2>1$ かつ $|a|^2+|w|^2=1$ なので $|w|^2<1/2$ である。(i) $W_v\subset V_u$：$\langle u,x\rangle=0$ なら $\langle v,x\rangle=\langle w,x\rangle$ なので Cauchy–Schwarz の不等式により $2|\langle v,x\rangle|^2\le2|w|^2|x|^2<|x|^2$ であり、$[x]\notin W_v$ である。(ii) $\psi_u^{-1}(W_v)$ は凸：$y\in u^\perp$ について $\langle v,u+y\rangle=\bar a+\langle w,y\rangle$ なので、$\psi_u(y)\in W_v$ は $G(y):=1+|y|^2-2\,|\bar a+\langle w,y\rangle|^2<0$ と同値である。$u^\perp$ を実ベクトル空間とみると、$G$ は定数、実線形関数 $-4\operatorname{Re}(a\langle w,y\rangle)$、実 2 次形式 $Q(y):=|y|^2-2|\langle w,y\rangle|^2$ の和であり、$Q(y)\ge(1-2|w|^2)|y|^2\ge0$ である。2 次形式について $tQ(y)+(1-t)Q(z)-Q(ty+(1-t)z)=t(1-t)Q(y-z)$ なので、$G(ty+(1-t)z)\le tG(y)+(1-t)G(z)$ となり、$\{G<0\}$ は凸である。

交わり $W:=W_{v_{j_1}}\cap\cdots\cap W_{v_{j_t}}$ が空でないとし、$[u]\in W$（$|u|=1$）をとる。(i) により $W\subset V_u$ であり、(ii) により $\psi_u^{-1}(W)$ は凸集合の交わりとして空でない凸集合である。凸集合は直線のホモトピーで 1 点に縮むので可縮であり、$W$ も可縮である。$\square$

要点：代表元の上の連続写像が商写像を通して降りる。

$\varphi$ はファイバーごとに単射なので $E_0$ を $E'_0$ に写し、スカラー倍と可換なので $P(\varphi)$ は矛盾なく定まる。$P(\varphi)\circ q=q'\circ\varphi|_{E_0}$ は連続で $q$ は商写像なので、$P(\varphi)$ は連続である。等式は定義から明らかである。2：$V_1:=\mathbb{K}^\infty\setminus\{0\}$ から $\mathrm{Gr}_1(\mathbb{K}^\infty)$ への写像 $y\mapsto\mathbb{K}y$ は連続である（ベクトル束の分類定理 の命題「普遍束とGauss写像」の 1 の $r=1$ の場合）。$P(g)\circ q$ は $g|_{E_0}$ とこの写像の合成なので連続であり、$P(g)$ は連続である。$g'\circ\varphi$ は各ファイバーで線形単射の合成である。$\square$

各ファイバー $\{\ell\}\times\ell$ は $(\pi^*E)_\ell\cong E_{\pi(\ell)}$ の 1 次元部分空間である。局所自明化 $\phi\colon E|_U\to U\times\mathbb{K}^n$ をとり、$a(v):=\mathrm{pr}_2\phi(v)$ とおく。$i=1,\dots,n$ について $V_i:=\{[v]\in\pi^{-1}(U)\mid a(v)_i\ne0\}$ は（$q^{-1}(V_i)$ が開なので）開集合で、$\pi^{-1}(U)$ を覆う。$s_i\colon V_i\to\pi^*E$ を $s_i([v]):=([v],\phi^{-1}(\rho(v),a(v)/a(v)_i))$ で定めると、$v$ のスカラー倍で値は変わらず、$s_i\circ q$ は $q^{-1}(V_i)$ 上で連続である。lem-sp-quotient の 2 により $q$ の飽和開集合 $q^{-1}(V_i)$ への制限は商写像なので、$s_i$ は連続な切断である。$s_i([v])=([v],v/a(v)_i)$ は直線 $[v]$ の $0$ でないベクトルなので、$L_E$ のファイバーの基底である。部分束・商束・双対束 の補題「部分束の局所枠による判定」により $L_E$ は部分束である。

1：定義から $L_E\cap(\pi^*E)|_{\pi^{-1}(b)}=\{(\ell,w)\mid\ell\in P(E_b),\ w\in\ell\}$ である。

2：写像は連続な束写像で、各ファイバーで $\varphi|_\ell\colon\ell\to\varphi(\ell)$ は線形同型なので、ベクトル束の直和・テンソル積 の補題「ファイバーごとに同型な束写像は束同型」により束同型である。

3：$(\ell,w)\mapsto g(w)$ は連続で、ファイバー $\ell$ の上で $g$ の制限は線形単射である。Gauss 写像は $\ell\mapsto g(\ell)=\mathbb{K}g(v)=P(g)(\ell)$ であり、同命題の 3 により $L_E\cong P(g)^*\gamma^1$ である。$\square$

Hausdorff：異なるファイバーの点は、$B$ で底の点を分ける開集合の逆像で分けられる。同じファイバーの 2 点は、prop-sp-local-triviality の 2 の開集合 $\pi^{-1}(U)\cong U\times\mathbb{K}\mathrm{P}^{n-1}$（$\mathbb{K}\mathrm{P}^{n-1}$ は Hausdorff。射影空間 の命題「球面の商としての射影空間」の 2）の中で分けられ、その開集合は $P(E)$ でも開である。

パラコンパクト性：$\mathcal{W}$ を $P(E)$ の開被覆とし、$b\in B$ を固定する。$\pi^{-1}(U)\cong U\times F$（$F:=\mathbb{K}\mathrm{P}^{n-1}$、$b\in U$）の中で、各 $(b,y)$ について開集合 $U_y\ni b$、$O_y\ni y$ と $W_y\in\mathcal{W}$ で $U_y\times O_y\subset W_y$ となるものをとる。$F$ はコンパクトなので有限個の $O_{y_1},\dots,O_{y_k}$ で覆われ、$U_b:=U_{y_1}\cap\cdots\cap U_{y_k}$ とおくと $\pi^{-1}(U_b)\subset W_{y_1}\cup\cdots\cup W_{y_k}$ である。$\{U_b\}_{b\in B}$ の局所有限な開細分 $\{V_\beta\}$ をとり、各 $\beta$ について $V_\beta\subset U_{b(\beta)}$ となる $b(\beta)$ と、上の有限個の $W^\beta_1,\dots,W^\beta_{k_\beta}$ を選ぶ。族 $\{\pi^{-1}(V_\beta)\cap W^\beta_i\}$ は $\mathcal{W}$ の開細分で $P(E)$ を覆う。点 $z$ について、$\pi(z)$ の近傍 $N$ で有限個の $V_\beta$ としか交わらないものをとると、$\pi^{-1}(N)$ はこの族の有限個の成員としか交わらない。よって局所有限である。$\square$

1：prop-sp-local-triviality により $\pi$ はファイバー $\mathbb{K}\mathrm{P}^{n-1}$ のファイバー束であり、lem-sp-projective-cover により $\mathbb{K}\mathrm{P}^{n-1}$ は有限の可縮開被覆をもつ（$n=1$ ならファイバーは 1 点で、それ自身が被覆になる）。類 $x^j\in H^{mj}(P(E))$（$j=0,\dots,n-1$）の $\pi^{-1}(b)$ への制限は、カップ積の自然性により $x_b^{\,j}$ であり、仮定によりファイバーの基底を与える。Leray–Hirschの定理 の定理「特異コホモロジーの Leray–Hirsch の定理」を当てると 1 を得る。

2：$b\in H^*(B)$ について $\pi^*b=\pi^*b\smile x^0$ は、1 の同型で $b\otimes x^0$ の像である。同型は単射なので、$\pi^*b=0$ なら $b=0$ である。

3：$x^n\in H^{mn}(P(E))$ に 1 を当てると、$b_j\in H^{m(n-j)}(B)$ がただ一組あって $x^n=\sum_{j=0}^{n-1}\pi^*b_j\smile x^j$ となる。$c_i:=-b_{n-i}$ とおけばよく、一意性も 1 の同型の単射性から従う。$\square$

$n=1$ ならファイバーは 1 点で、$1$ が基底である。$n\ge2$ とし、$b$ を固定して線形同型 $\theta\colon\mathbb{R}^n\to E_b$ をとる。prop-sp-local-triviality の 1 により $\Theta\colon\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1}\to\pi^{-1}(b)$、$[y]\mapsto[\theta(y)]$ は同相写像であり、$P(g)\circ\Theta$ は線形単射 $\phi:=g\circ\theta\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^\infty$ が誘導する写像 $[y]\mapsto\mathbb{R}\phi(y)$ である。よって $\Theta^*x_b=(P(g)\circ\Theta)^*a$ が $H^1(\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1};\mathbb{Z}/2)$ の $0$ でない元であることを示せば、同定理により $1,\Theta^*x_b,\dots,(\Theta^*x_b)^{n-1}$ が基底になり、$\Theta$ は同相写像なので主張を得る。

$\phi(\mathbb{R}^n)$ は有限次元なので、ある $N\ge3$ について $\mathbb{R}^N$ に含まれる。$j\colon\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1}\to\mathbb{R}\mathrm{P}^{N-1}$、$[y]\mapsto[\phi(y)]$ と包含 $i\colon\mathbb{R}\mathrm{P}^{N-1}\to\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty$ により $P(g)\circ\Theta=i\circ j$ である。実射影空間 の同定理の証明（$\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty$ の場合）は、$k< N-1$ について $i^*\colon H^k(\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty)\to H^k(\mathbb{R}\mathrm{P}^{N-1})$ が同型であることを示しており、同じ証明（有限の場合）により $H^1(\mathbb{R}\mathrm{P}^{N-1};\mathbb{Z}/2)$ の $0$ でない元は同記事の補題「2 重被覆が定める 1 次の余輪体」の余輪体 $\alpha$ の類である。よって $i^*a=[\alpha]$ である。

$\mathbb{R}^n$ の標準基底を $f_1,f_2,\dots$ とし、$c(u):=\cos(\pi u)f_1+\sin(\pi u)f_2$ とおく。特異 $1$ 単体 $\sigma\colon\Delta^1\to\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1}$ を道 $u\mapsto[c(u)]$ で定めると、始点と終点はともに $[f_1]$ なので $\partial\sigma=0$ である。道 $j\circ\sigma$ は $\lambda(u):=\phi(c(u))/|\phi(c(u))|$ を $S^{N-1}$ への持ち上げにもち、$\lambda$ は $y:=\lambda(0)$ から $\lambda(1)=-y$ へ向かう。同記事の記号で $q\colon S^{N-1}\to\mathbb{R}\mathrm{P}^{N-1}$ を 2 重被覆、$s(p)$ を $q^{-1}(p)$ のうち最初の $0$ でない座標が正の点とする。同補題の 1 により、$y=d_0\,s(q(y))$（$d_0=\pm1$）とすると $-y=(-d_0)\,s(q(y))$ なので $\alpha(j\circ\sigma)=1$（符号 $d_0(-d_0)=-1$ にあたる）である。もし $j^*[\alpha]=0$ なら、ある余鎖 $\beta$ で $\alpha\circ j_\sharp=\delta\beta$ となり、$\alpha(j\circ\sigma)=\beta(\partial\sigma)=0$ となって矛盾する。よって $(P(g)\circ\Theta)^*a=j^*i^*a=j^*[\alpha]\ne0$ である。

2：$g_0,g_1$ をファイバーごとに単射な写像とする。ベクトル束の分類定理 の定理「ファイバーごとに単射な写像の存在と一意性」の 2 により、各 $G_t$ がファイバーごとに単射な連続写像 $G\colon E\times[0,1]\to\mathbb{R}^\infty$ で $G_0=g_0$、$G_1=g_1$ となるものがある。$([v],t)\mapsto\mathbb{R}G(v,t)$ は、$q\times\mathrm{id}$ と合成すると連続であり、lem-sp-quotient の 3 により $P(E)\times[0,1]$ 上で連続である。これは $P(g_0)$ と $P(g_1)$ を結ぶホモトピーなので、特異コホモロジー の定理「ホモトピー不変性」により $P(g_0)^*a=P(g_1)^*a$ である。

3：prop-sp-functoriality の 2 により $P(g'\circ\varphi)=P(g')\circ P(\varphi)$ である。$\square$

$H^2(\mathbb{C}\mathrm{P}^\infty;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ は 無限次元射影空間 の定理「無限次元射影空間のコホモロジー環」による。$n=1$ ならファイバーは 1 点で、$1$ が基底である。$n\ge2$ とし、$b$ と線形同型 $\theta\colon\mathbb{C}^n\to E_b$ を固定する。prop-sp-local-triviality の 1 により $\Theta\colon\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}\to\pi^{-1}(b)$、$[y]\mapsto[\theta(y)]$ は同相写像であり、$P(g)\circ\Theta$ は線形単射 $\phi:=g\circ\theta$ が誘導する写像 $[y]\mapsto\mathbb{C}\phi(y)$ である。1 点の上の束 $\mathbb{C}^n$ について、$\phi$ と標準の包含 $\iota\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^\infty$ はどちらもファイバーごとに単射な写像なので、ベクトル束の分類定理 の定理「ファイバーごとに単射な写像の存在と一意性」の 2 により、各 $G_t$ が線形単射である連続写像 $G\colon\mathbb{C}^n\times[0,1]\to\mathbb{C}^\infty$ で $G_0=\phi$、$G_1=\iota$ となるものがある。prop-sp-real-class の 2 の証明と同じく、$([y],t)\mapsto\mathbb{C}G(y,t)$ は（lem-sp-quotient の 3 により）連続であり、$P(g)\circ\Theta$ と包含 $i\colon\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}\to\mathbb{C}\mathrm{P}^\infty$ を結ぶホモトピーである。特異コホモロジー の定理「ホモトピー不変性」により $\Theta^*x_b=i^*c$ である。

無限次元射影空間 の補題「有限段への制限」により $i^*\colon H^2(\mathbb{C}\mathrm{P}^\infty;\mathbb{Z})\to H^2(\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1};\mathbb{Z})$ は同型なので（$2\le2n-2$）、$h:=i^*c$ は生成元である。複素射影空間 の定理「複素射影空間のコホモロジー環」により $1,h,\dots,h^{n-1}$ は $H^*(\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1};\mathbb{Z})$ の基底であり、$\Theta$ は同相写像なので $\mathbb{Z}$ 係数の主張を得る。

体 $k$ 係数：複素射影空間 の命題「コホモロジー群と制限」の 1 により $H_q(\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1};\mathbb{Z})$ は $q=0,2,\dots,2n-2$ で $\mathbb{Z}$、ほかで $0$ である。普遍係数定理 の定理「特異コホモロジーの普遍係数定理」により（Ext の項は消える）、類を $H_q$ の生成元 $z$ での値に送る写像は同型 $H^q(\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1};\mathbb{Z})\to\mathbb{Z}$、$H^q(\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1};k)\to k$ を与え、係数の写像 $\mathbb{Z}\to k$ と可換である。生成元 $h^j$ の $z$ での値は $\pm1$ なので、その像は $k$ で $\pm1\ne0$ をとり、1 次元の $H^{2j}(\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1};k)$ の基底である。係数の写像はカップ積と可換なので、この像は $(i^*c_k)^j$ であり、$\Theta$ で移せば主張を得る。$\square$

鎖写像：$\xi\in C^2(P(E);\mathbb{Z})$ を $x$ を代表する余輪体とし、$\xi^j$ をカップ積の冪（$\xi^0=1$）とする。カップ積 の補題「Leibniz 則」により $\xi^j$ は余輪体である。$\mathbb{Z}$ 係数の特異鎖複体について、$D_*:=\bigoplus_{j=0}^{n-1}C_{*-2j}(B)$ とし、$\Phi\colon C_*(P(E))\to D_*$ を $\Phi(c):=\bigl(\pi_\sharp(c\frown\xi^j)\bigr)_{j}$ で定める。キャップ積 の補題「境界公式」で $\delta\xi^j=0$、$2j$ は偶数なので $\partial(c\frown\xi^j)=\partial c\frown\xi^j$ であり、$\Phi$ は自由アーベル群の鎖複体の間の鎖写像である。

双対の同一視：$G$ を $\mathbb{Z}$ または体 $k$ とし、$\xi_G$ を $\xi$ の $G$ 係数への像とする。$\operatorname{Hom}(D_m,G)=\bigoplus_jC^{m-2j}(B;G)$ であり、$b_j\in C^{m-2j}(B;G)$ について、同記事の命題「キャップ積の基本性質」の 2 により $b_j\bigl(\pi_\sharp(c\frown\xi^j)\bigr)=(\pi^\sharp b_j)(c\frown\xi_G^j)=(\xi_G^j\smile\pi^\sharp b_j)(c)$ である（$G=k$ では鎖の係数を $k$ に送ってから計算する）。よって $\operatorname{Hom}(\Phi,G)$ はコホモロジーで $(b_j)_j\mapsto\sum_jx_G^j\smile\pi^*b_j$ を誘導し、偶数次の類 $x_G^j$ は カップ積 の定理「次数付き可換性」によりほかの類と可換なので、これは $\sum_j\pi^*b_j\smile x_G^j$ である。$\operatorname{Hom}(D_*,G)$ のコホモロジーは $\bigoplus_jH^{*-2j}(B;G)$ なので、$G=\mathbb{Z}$ では主張の写像、$G=k$ では thm-sp-cohomology の 1 の写像（$x$ を $x_k$ に替えたもの）である。

体係数：$k$ を $\mathbb{Q}$ または $\mathbb{F}_p$ とする。ファイバーは $\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$ と同相なので（prop-sp-local-triviality の 1）、prop-sp-complex-class の証明の最後の段落と同じ議論で $x_k$ の冪は各ファイバーで $k$ 上の基底になり、thm-sp-cohomology の 1 により $\operatorname{Hom}(\Phi,k)$ はコホモロジーの同型を誘導する。普遍係数定理 の系「体を係数とする場合」の自然な同型 $H^m(C;k)\cong\operatorname{Hom}_k(H_m(C\otimes k),k)$ により、$\Phi\otimes k$ がホモロジーに誘導する写像 $f$ の双対 $f^\vee$ は同型である。$k$ 線形写像 $f\colon V\to W$ について、$f^\vee$ が全射なら $f$ は単射であり（$v\ne0$ で $f(v)=0$ なら、$v$ で $0$ でない線形形式は $f^\vee$ の像に入らない）、$f^\vee$ が単射なら $f$ は全射である（像が $W$ でなければ、像の上で消える $0$ でない線形形式が $f^\vee$ の核に入る）。よって $\Phi\otimes k$ は擬同型である。

整数係数：$\Phi$ の写像錐 $M:=\operatorname{Cone}(\Phi)$ は自由アーベル群の鎖複体で、$M\otimes k=\operatorname{Cone}(\Phi\otimes k)$ は 擬同型 の命題「錐判定」により非輪状である。素数 $p$ について、$M$ は自由なので $0\to M\xrightarrow{p}M\to M\otimes\mathbb{F}_p\to0$ は鎖複体の短完全列であり、そのホモロジーの長完全列で $H_*(M\otimes\mathbb{F}_p)=0$ だから、$H_m(M)$ の $p$ 倍写像は同型である。よって各 $H_m(M)$ は $\mathbb{Q}$ ベクトル空間であり、$H_m(M)\otimes\mathbb{Q}\cong H_m(M)$ である。普遍係数定理 の定理「ホモロジーの普遍係数定理」の単射 $H_m(M)\otimes\mathbb{Q}\to H_m(M\otimes\mathbb{Q})=0$ により $H_m(M)=0$ である。再び錐判定により $\Phi$ は擬同型であり、普遍係数定理 の系「ホモロジー同型とコホモロジー」により $\operatorname{Hom}(\Phi,\mathbb{Z})$ はコホモロジーの同型を誘導する。これが主張の同型である。2・3 は thm-sp-cohomology の証明の 2・3 と同じである。$\square$

1：$\iota_k$ はファイバーごとに単射なので、prop-sp-functoriality の 1 により $P(\iota_k)$ は連続で、明らかに単射である。$E\subset E_1\times E_2$ からの射影 $(v_1,v_2)\mapsto v_2$ は連続であり、$E_2$ の零切断は閉集合なので（lem-sp-quotient の 1）、$\iota_1(E_1)=\{(v_1,v_2)\mid v_2=0\}$ は閉集合である。$A:=\iota_1(E_1)\cap E_0$ は飽和した閉集合で $q^{-1}(P_1)=A$ なので、$q^{-1}(P(E)\setminus P_1)$ は開であり、$P_1$ は閉集合である。lem-sp-quotient の 2 により $q|_A\colon A\to P_1$ は商写像であり、$A\to P(E_1)$、$(v_1,0)\mapsto[v_1]$ は連続なので、逆写像 $P_1\to P(E_1)$ も連続である。$[(v_1,v_2)]\in P_1\cap P_2$ なら $v_1=v_2=0$ となり矛盾する。$k=2$ も同じである。

2：1 から直ちに従う。$U_1=\{[(v_1,v_2)]\mid v_1\ne0\}$ である。

3：$W:=q^{-1}(U_1)=\{(v_1,v_2)\in E\mid v_1\ne0\}$ は飽和した開集合で、$h\colon W\times[0,1]\to W$、$h((v_1,v_2),t):=(v_1,tv_2)$ は lem-sp-quotient の 1 により連続であり、$h(\lambda w,t)=\lambda h(w,t)$ をみたす。$q|_W$ は開写像なので $q|_W\times\mathrm{id}$ は商写像であり、$H\circ(q|_W\times\mathrm{id})=q\circ h$ は連続なので $H$ は連続である。$H_1=\mathrm{id}$、$H_0([(v_1,v_2)])=[(v_1,0)]\in P_1$、$v_2=0$ なら $H_t$ は恒等であり、$h$ は底の点を変えないので $\pi\circ H_t=\pi$ である。包含 $i\colon P_1\to U_1$ と $r:=H_0\colon U_1\to P_1$ について $r\circ i=\mathrm{id}$、$i\circ r=H_0\simeq H_1=\mathrm{id}$ なので、特異コホモロジー の定理「ホモトピー不変性」により $i^*$ は $r^*$ を逆にもつ同型である。

4：前半は prop-sp-tautological の 2、後半は prop-sp-functoriality の 2 と prop-sp-real-class の 3 である。$\square$

要点：どれも $g$ との合成または制限であり、3 は $\mathbb{K}^\infty$ の内積の引き戻しである。

1：$f^*E$ の $b'$ 上のファイバー $\{b'\}\times E_{f(b')}$ の上で $f^*g$ は $g|_{E_{f(b')}}$ であり、連続写像 $(b',e)\mapsto e$ と $g$ の合成なので連続である。2：$g$ の制限である。3：各ファイバーで、線形単射 $g|_{E_b}$ による $\mathbb{K}^\infty$ の内積の引き戻しなので内積である。$E\times_BE\to\mathbb{K}^\infty\times\mathbb{K}^\infty$、$(v,w)\mapsto(g(v),g(w))$ は直積位相について連続であり、$\mathbb{K}^\infty$ の内積は直積位相について連続なので（ベクトル束の分類定理 の補題「直極限位相と直積」）、その複素共役である $(v,w)\mapsto\langle v,w\rangle_g$ は連続である。$\square$

1：$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ なら $L_1:=E$、$g_1:=g$ でよい。$n\ge2$ とし、定義の記号を使う。部分束・商束・双対束 の定理「直交補束と商束」の 2 により $\pi^*E\cong L_E\oplus E'$ である。引き戻しは合成と直和に可換なので$$p^*E\cong p'^*L_E\oplus p'^*E'$$である。帰納法の仮定を $(E',g')$ に当てると、$p'^*E'\cong L_2\oplus\cdots\oplus L_n$ でファイバーごとに単射な $g_2,\dots,g_n$ をもつものがある。$L_1:=p'^*L_E$ とおき、$g_1$ を $(\pi^*g)|_{L_E}$ の $p'$ による引き戻しとすると、lem-sp-inherit の 1・2 によりファイバーごとに単射である。最後の主張は ベクトル束の分類定理 の命題「普遍束とGauss写像」の 3 である。

可換性の確かめ：$(\pi\circ p')^*E\to p'^*\pi^*E$、$(z,e)\mapsto(z,(p'(z),e))$ と $p'^*(A\oplus A')\to p'^*A\oplus p'^*A'$、$(z,(a,a'))\mapsto((z,a),(z,a'))$ は連続でファイバーごとに線形同型な束写像なので、ベクトル束の直和・テンソル積 の補題「ファイバーごとに同型な束写像は束同型」により束同型である。

$r$ についての帰納法で示す。$r=1$ は 1・2・3 である。$r-1$ 個について $p_0\colon Y_0\to B$ がとれたとする。lem-sp-inherit の 1 により $p_0^*E^r$ はファイバーごとに単射な写像をもつので、その旗束 $p_1\colon Y:=\mathrm{Fl}(p_0^*E^r)\to Y_0$ をとり、$p:=p_0\circ p_1$ とおく。$p^*E^r\cong p_1^*p_0^*E^r$ は 1 により分裂する。$j< r$ については $p_0^*E^j\cong\bigoplus_iL^j_i$ を $p_1$ で引き戻すと、1 の証明と同じ同型により $p^*E^j\cong\bigoplus_ip_1^*L^j_i$ で、各 $p_1^*L^j_i$ は lem-sp-inherit の 1 によりファイバーごとに単射な写像をもつ。$p^*=p_1^*\circ p_0^*$ は単射の合成として単射であり、$Y$ のパラコンパクト Hausdorff 性は 3 による。$\square$