Proj(次数付き環の射影スキーム)

1. $f\notin\mathfrak{p}$ なので $\mathfrak{p}S_f$ は $S_f$ の素イデアルで、$S\to S_f$ による引き戻しは $\mathfrak{p}$ である。$\psi(\mathfrak{p})$ はその部分環 $S_{(f)}$ への引き戻しなので素イデアルである。$a\in\mathfrak{p}$ なら $a^e/f^d\in\mathfrak{p}S_f$ である。逆に $a^e/f^d\in\mathfrak{p}S_f$ なら $a^e\in\mathfrak{p}$ なので $a\in\mathfrak{p}$ である。

2. $a,b\in\mathfrak{p}_d$ とする。$(a+b)^{2e}/f^{2d}=\sum_i\binom{2e}{i}a^ib^{2e-i}/f^{2d}$ の各項は、$i\ge e$ なら $(a^e/f^d)\cdot(a^{i-e}b^{2e-i}/f^d)$、$i< e$ なら $(b^e/f^d)\cdot(a^ib^{e-i}/f^d)$ と書け、第 2 因子は次数 $de$ の元を $f^d$ で割ったものなので $S_{(f)}$ に属する。よって $((a+b)^e/f^d)^2\in\mathfrak{q}$ となり、$\mathfrak{q}$ は素なので $a+b\in\mathfrak{p}_d$ である。$s\in S_c$、$a\in\mathfrak{p}_d$ なら $(sa)^e/f^{c+d}=(s^e/f^c)(a^e/f^d)\in\mathfrak{q}$ なので $sa\in\mathfrak{p}_{c+d}$ である。よって $\mathfrak{p}(\mathfrak{q})$ は斉次イデアルである。$1\notin\mathfrak{q}$ なので $1\notin\mathfrak{p}_0$、$f^e/f^e=1$ なので $f\notin\mathfrak{p}_e$ である。斉次元 $a\in S_c$、$b\in S_d$ が $ab\in\mathfrak{p}(\mathfrak{q})$ をみたせば $(a^e/f^c)(b^e/f^d)\in\mathfrak{q}$ なので一方が $\mathfrak{q}$ に属し、次数付き環の命題「斉次元による素イデアルの判定」により $\mathfrak{p}(\mathfrak{q})$ は素イデアルである。$f\notin\mathfrak{p}(\mathfrak{q})$ なので $S_+\not\subset\mathfrak{p}(\mathfrak{q})$ である。

3. $\mathfrak{p}(\psi(\mathfrak{p}))=\mathfrak{p}$ は 1 の同値そのものである。$a/f^m\in S_{(f)}$（$a\in S_{me}$）について、$a/f^m\in\mathfrak{q}\iff a^e/f^{me}\in\mathfrak{q}\iff a\in\mathfrak{p}(\mathfrak{q})$ であり、1 を $\mathfrak{p}=\mathfrak{p}(\mathfrak{q})$ に使うと $a\in\mathfrak{p}(\mathfrak{q})\iff a^e/f^{me}\in\psi(\mathfrak{p}(\mathfrak{q}))\iff a/f^m\in\psi(\mathfrak{p}(\mathfrak{q}))$ である。よって $\psi(\mathfrak{p}(\mathfrak{q}))=\mathfrak{q}$ である。

同相であること。斉次イデアル $\mathfrak{a}$ について、1 により $\mathfrak{p}\supset\mathfrak{a}$ は「$\mathfrak{a}$ のすべての斉次元 $a\in S_d$ で $a^e/f^d\in\psi(\mathfrak{p})$」と同値なので、$\psi(V_+(\mathfrak{a})\cap D_+(f))$ はこれらの元が生成するイデアルの零点集合で、閉集合である。逆に $S_{(f)}$ のイデアル $\mathfrak{b}$ について、$\mathfrak{b}$ の元 $a/f^m$ の分子 $a$ が生成する斉次イデアルを $\mathfrak{a}$ とすると、1 により $\psi(\mathfrak{p})\supset\mathfrak{b}\iff\mathfrak{p}\supset\mathfrak{a}$ なので、$\psi^{-1}(V(\mathfrak{b}))=V_+(\mathfrak{a})\cap D_+(f)$ は閉集合である。連続な全単射が閉集合を閉集合に写すので同相写像である。$\square$

全射：$S_{(\mathfrak{p})}$ の元 $a/g$（$a,g$ は同じ次数の斉次元、$g\notin\mathfrak{p}$）は、開集合 $\{\mathfrak{q}\mid g\notin\mathfrak{q}\}=X\setminus V_+(gS)$ 上の切断 $\mathfrak{q}\mapsto a/g$ の $\mathfrak{p}$ での値である。単射：芽 $s$ が $s(\mathfrak{p})=0$ をみたすとし、近傍 $W$ で $s=a/g$ と書く。$a/g=0$ は $\mathfrak{p}$ に属さない斉次元 $h$ で $ha=0$ となるものがあることを意味し、$W\setminus V_+(hS)$ の上で $s(\mathfrak{q})=ha/hg=0$ なので芽は $0$ である。局所環：$a/g$ で $a\notin\mathfrak{p}$ のものは逆元 $g/a$ をもつ。$a\in\mathfrak{p}$ となる元の全体は（表し方によらず定まり）和と積で閉じたイデアルである。$a/g=a'/g'$ なら $\mathfrak{p}$ に属さない斉次元 $t$ で $t(ag'-a'g)=0$ となるので、$a\in\mathfrak{p}$ と $a'\in\mathfrak{p}$ は同値である。非単元の全体がイデアルをなすので局所環である。

$b/f^n\notin\mathfrak{q}$ は lem-proj-prime-correspondence の 1 により $b\notin\mathfrak{p}$ と同値なので、$\Phi_{\mathfrak{p}}$ は $S_{(f)}\to S_{(\mathfrak{p})}$、$a/f^m\mapsto a/f^m$ が局所化の普遍性で延びたものである。全射：$a/g\in S_{(\mathfrak{p})}$（$\deg a=\deg g=c$）は $(ag^{e-1}/f^c)/(g^e/f^c)$ の像である。単射：$a/f^m$ の像が $0$ なら $\mathfrak{p}$ に属さない斉次元 $h$ で $ha=0$ となるものがあり、$h^e/f^{\deg h}\notin\mathfrak{q}$ と $(h^e/f^{\deg h})(a/f^m)=0$ から $(S_{(f)})_{\mathfrak{q}}$ で $a/f^m=0$ である。