Sorgenfrey直線

概要

Sorgenfrey直線（Sorgenfrey line）とは、実数集合上に「半開区間」を開基とする特殊な位相（下極限位相）を入れた位相空間のことである。米国の数学者Robert Sorgenfreyにちなんで名付けられた。通常のユークリッド位相よりも細かい（開集合が多い）位相を持ち、分離公理やコンパクト性に関する反例（特に直積空間の正規性が保たれない例）を作るための標準的な構成要素として重要である。

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定義

実数の集合 $\mathbb{R}$ 上に、左閉右開区間の集まり
$$\mathcal{B} = \{ [a, b) \mid a, b \in \mathbb{R}, a < b \}$$
を開基として生成される位相を入れた空間をSorgenfrey直線と呼び、$\mathbb{R}_L$ などと表す。
この位相 $\mathcal{O}_L$ は、下極限位相 (lower limit topology) とも呼ばれる。

Sorgenfrey直線

位相空間 $(\mathbb{R}, \mathcal{O}_L)$ において、集合 $U$ が開集合であるとは、任意の $x \in U$ に対してある $\epsilon > 0$ が存在し、$[x, x+\epsilon) \subset U$ となることをいう。

通常の位相との比較

通常のEuclid空間（実数直線）$\mathbb{R}$ の位相は開区間 $(a, b)$ を基底とする。

  • 強弱関係:
    任意の開区間は $(a, b) = \bigcup_{n=1}^\infty [a + 1/n, b)$ と書けるため、通常の位相の開集合はすべてSorgenfrey直線の開集合である。一方、$[a, b)$ は通常の位相では開集合ではない。
    したがって、Sorgenfrey直線の位相は通常の位相よりも真に強い（細かい）。
  • 収束:
    Sorgenfrey直線における点列の収束 $x_n \to x$ は、通常の収束かつ「右側からの接近」であることを意味する（左側からの極限は許容されない）。

基本的な性質

Sorgenfrey直線 $\mathbb{R}_L$ は、直観に反する興味深い性質を多数持っている。

  • 分離公理:
    $\mathbb{R}_L$ は完全正規空間 ($T_6$) である。すなわち、正規空間 ($T_4$) であり、かつすべての閉集合が $G_\delta$ 集合（可算個の開集合の共通部分）となる。
  • 可算性:
  • コンパクト性:
    • パラコンパクト空間である。
    • コンパクト集合は可算集合に限られる（例：収束点列とその極限）。したがって、$\mathbb{R}_L$ は局所コンパクトでも $\sigma$ コンパクトでもない。
  • 連結性:
    完全不連結空間である。開かつ閉集合が無数に存在する（例：$[a, b)$ 自身が開かつ閉集合である）。

Sorgenfrey平面：反例としての重要性

Sorgenfrey直線そのものの性質よりも、その直積空間 $\mathbb{R}_L \times \mathbb{R}_L$（Sorgenfrey平面と呼ばれる）が示す病的な振る舞いが位相空間論では特に重要である。
この空間は、「良い性質を持つ空間同士の直積が、必ずしも良い性質を持たない」ことを示す典型的な反例となる。

Sorgenfrey平面 $\mathbb{R}_L \times \mathbb{R}_L$ について：

  1. 正規性の欠如:
    $\mathbb{R}_L$ は正規空間であるが、その直積 $\mathbb{R}_L \times \mathbb{R}_L$ は正規空間ではない。
    （証明のアイデア：対角線 $\Delta = \{ (x, -x) \mid x \in \mathbb{R} \}$ という閉集合上に、分離できない非可算個の離散集合が含まれることを利用する）
  2. Lindelöf性の欠如:
    $\mathbb{R}_L$ はLindelöf空間であるが、その直積 $\mathbb{R}_L \times \mathbb{R}_L$ はLindelöf空間ではない。
  3. 距離化不可能性:
    正規でないため、ウリゾーンの距離化定理等の条件を満たさず、距離化可能ではない。

関連項目

参考文献

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