Sorgenfrey直線
概要
Sorgenfrey直線とは、位相空間のひとつである。集合$\mathbb{R}$上に通常とは異なる位相を入れたものであり、位相空間論における様々な興味深い例を作る上での材料でもある。
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集合$\mathbb{R}$の部分集合であって$[a,b)$の形のもの全体を$\mathcal{U}$とおく。このとき$\mathcal{U}$は有限交叉を取る操作について閉じるため、$\mathcal{U}$を開基とするような集合$\mathbb{R}$上の位相がただひとつ存在する。このようにして作られた位相空間を Sorgenfrey 直線という。
Sorgenfrey直線$X$に対して、以下の性質が成り立つ。
- $X$は可分空間である。
- $X$は$T_6$空間である。
- $X$の任意の部分空間は Lindelöf空間である。
- $X$の任意の部分空間はパラコンパクト空間である。
- $X$は c.c.c.空間である。
- $X$の任意のコンパクト集合は可算集合である。よって、$X$は$\sigma$コンパクト空間ではない。
*$X\times X$は$T_4$空間ではない。したがって、$X$は距離化可能ではない。
最後の性質から、$T_4$分離公理、 Lindelöf性、パラコンパクト性がいずれも 2 個の空間の直積について保たれないことが分かる。
