Sorgenfrey直線

1. 各 $x\in\mathbb{R}$ は $[x,x+1)\in\mathcal{B}$ に属するので $\mathcal{B}$ は $\mathbb{R}$ を覆う。また
   $$[a,b)\cap[c,d)=[\max\{a,c\},\min\{b,d\})$$
   であり、右辺は $\max\{a,c\}<\min\{b,d\}$ のとき $\mathcal{B}$ の元、そうでないときは空集合である。よって $\mathcal{B}$ は開基の条件を満たし、$\mathcal{B}$ の元の合併の全体が位相をなす。
2. $U$ が $\mathcal{B}$ の元の合併であることは、各 $x\in U$ について $x\in[a,b)\subseteq U$ となる $[a,b)\in\mathcal{B}$ が存在することと同値である。$x\in[a,b)$ ならば $[x,b)\subseteq[a,b)$ なので、これは「ある $\varepsilon>0$ について $[x,x+\varepsilon)\subseteq U$」と同値である。$\square$

$(-\infty,a)=\bigcup_{n\ge1}[a-n,a)$ と $[b,\infty)=\bigcup_{n\ge1}[b,b+n)$ はいずれも $\mathcal{B}$ の元の合併なので開集合である。$[a,b)$ は $\mathcal{B}$ の元だから開であり、その補集合 $(-\infty,a)\cup[b,\infty)$ も開なので $[a,b)$ は閉でもある。同様に $(-\infty,a)$ の補集合は $[a,\infty)$、$[a,\infty)$ の補集合は $(-\infty,a)$ であり、どちらも開だから、この二つも開かつ閉である。$\square$

包含 $\mathcal{O}_E\subseteq\mathcal{O}_L$：$\mathcal{O}_E$ の開集合 $W$ と $x\in W$ に対し $(x-\delta,x+\delta)\subseteq W$ となる $\delta>0$ をとれば $[x,x+\delta)\subseteq W$ である。prop-sorgenfrey-line-baseの 2 より $W\in\mathcal{O}_L$。
真の包含であること：$[0,1)\in\mathcal{O}_L$ である。しかし $0$ を含む通常の位相の開集合は必ず負の数を含むので $[0,1)\notin\mathcal{O}_E$ である。
補集合をとれば $\mathcal{O}_E$ の閉集合が $\mathcal{O}_L$ の閉集合であることが従い、恒等写像の連続性は $\mathcal{O}_E\subseteq\mathcal{O}_L$ の言い換えである。$\square$

1 から 2：$\mathcal{O}_E\subseteq\mathcal{O}_L$（prop-sorgenfrey-line-finer）より通常の位相でも $x_n\to x$ である。また $[x,x+1)$ は $\mathbb{R}_L$ における $x$ の開近傍だから、ある $N$ について $n\ge N$ ならば $x_n\in[x,x+1)$、とくに $x_n\ge x$。
2 から 1：$x$ の $\mathbb{R}_L$ における任意の開近傍 $U$ に対し $[x,x+\varepsilon)\subseteq U$ となる $\varepsilon>0$ をとる。通常の収束から、ある $N'$ について $n\ge N'$ ならば $|x_n-x|<\varepsilon$ である。$n\ge\max\{N,N'\}$ ならば $x\le x_n< x+\varepsilon$、すなわち $x_n\in[x,x+\varepsilon)\subseteq U$。$\square$

1. 各 $[x,x+1/n)$ は $x$ の開近傍である。$U$ を $x$ の任意の開近傍とするとprop-sorgenfrey-line-baseの 2 より $[x,x+\varepsilon)\subseteq U$ となる $\varepsilon>0$ があり、$1/n<\varepsilon$ となる $n$ をとれば $[x,x+1/n)\subseteq U$ である。族は可算だから基本近傍系の条件を満たす。
2. $U$ を空でない開集合とし $x\in U$ をとる。$[x,x+\varepsilon)\subseteq U$ となる $\varepsilon>0$ があり、開区間 $(x,x+\varepsilon)$ は空でないので有理数を含む。よって $U\cap\mathbb{Q}\ne\emptyset$ であり、$\mathbb{Q}$ は稠密である。$\mathbb{Q}$ は可算だから $\mathbb{R}_L$ は可分である。$\square$

$\mathcal{C}$ を $\mathbb{R}_L$ の高々可算な開基とし、枚挙 $\mathcal{C}=\{C_1,C_2,\dots\}$ をひとつ固定する。各 $x\in\mathbb{R}$ について $[x,x+1)$ は開集合だから、$x\in C_k\subseteq[x,x+1)$ となる番号 $k$ が存在する。そのような $k$ のうち最小のものを $k(x)$ とおく。
$C_{k(x)}\subseteq[x,x+1)$ より $C_{k(x)}$ の元はすべて $x$ 以上であり、$x\in C_{k(x)}$ だから $x=\min C_{k(x)}$ である。したがって $x\ne y$ ならば $C_{k(x)}\ne C_{k(y)}$、すなわち $k$ は $\mathbb{R}$ から自然数全体への単射になる。$\mathbb{R}$ は非可算なのでこれは矛盾である。
枚挙を先に固定して最小番号をとっているので、この論証は選択公理を使わない。$\square$

$\mathcal{U}$ を $A$ の（相対位相についての）開被覆とする。
各 $x\in A$ に対し、$x$ を含む $U\in\mathcal{U}$ があり、$U$ は相対開だから $[x,x+\varepsilon)\cap A\subseteq U$ となる $\varepsilon>0$ が存在する。そこで
$$n(x)=\min\{n\ge1\mid [x,x+1/n)\cap A\subseteq U\ \text{となる}\ U\in\mathcal{U}\ \text{が存在する}\}$$
とおき、$\varepsilon_x=1/n(x)$ とする。これは選択を伴わない定め方である。
$V=\bigcup_{x\in A}(x,x+\varepsilon_x)$ とおく。$V$ は通常の位相の開集合であり、$\{(x,x+\varepsilon_x)\mid x\in A\}$ はその開被覆である。$\mathbb{R}$ の部分空間がLindelöfであることは Lindelöf空間 が系「実数空間の部分空間」として所有するので、可算な $A_0\subseteq A$ で
$$\bigcup_{x\in A_0}(x,x+\varepsilon_x)=V$$
となるものがとれる。
$$R=A\setminus\bigcup_{x\in A_0}[x,x+\varepsilon_x)$$
とおく。$R$ が高々可算であることを示す。$y\in R$ ならば、とくに $y\notin\bigcup_{x\in A_0}(x,x+\varepsilon_x)=V$ であり、$V$ は $A$ 全体にわたる合併だから、すべての $x\in A$ について $y\notin(x,x+\varepsilon_x)$ である。
そこで $y,y'\in R$、$y< y'$ とする。$y\in A$ に上の事実を適用すると $y'\notin(y,y+\varepsilon_y)$ であり、$y'>y$ だから $y'\ge y+\varepsilon_y$ となる。したがって $(y,y+\varepsilon_y)$ と $(y',y'+\varepsilon_{y'})$ は交わらない。$\{(y,y+\varepsilon_y)\mid y\in R\}$ は互いに素な空でない開区間の族であり、$\mathbb{Q}$ の枚挙をひとつ固定して各区間に含まれる最小番号の有理数を対応させれば単射 $R\to\mathbb{Q}$ が得られる。よって $R$ は高々可算である。
$A_0\cup R$ は高々可算である。その各点 $z$ について $[z,z+\varepsilon_z)\cap A\subseteq U_z$ となる $U_z\in\mathcal{U}$ をひとつ選ぶ（高々可算個の選択なので可算選択公理を用いる）。$R$ の定義より
$$A=\Bigl(\bigcup_{x\in A_0}\bigl([x,x+\varepsilon_x)\cap A\bigr)\Bigr)\cup R$$
であり、右辺の第一項は $\{U_x\mid x\in A_0\}$ に覆われ、$R$ の各点 $y$ は $y\in[y,y+\varepsilon_y)\cap A\subseteq U_y$ に覆われる。よって $\{U_z\mid z\in A_0\cup R\}$ は $\mathcal{U}$ の高々可算な部分被覆である。$\square$

$T_1$ 性：$\mathbb{R}\setminus\{x\}=(-\infty,x)\cup(x,\infty)$ であり、$(-\infty,x)$ はprop-sorgenfrey-line-clopenにより開、$(x,\infty)$ は通常の位相の開集合なのでprop-sorgenfrey-line-finerにより開である。よって一点集合は閉であり、$T_1$ 性は部分空間に受け継がれる。
正則性：$x\in A$ と $A$ の開集合 $G\ni x$ をとる。$G=U\cap A$（$U$ は $\mathbb{R}_L$ の開集合）と書けるので $[x,x+\varepsilon)\subseteq U$ となる $\varepsilon>0$ がある。$V=[x,x+\varepsilon)\cap A$ とおくと、$[x,x+\varepsilon)$ は $\mathbb{R}_L$ で開かつ閉だから（prop-sorgenfrey-line-clopen）、$V$ は $A$ で開かつ閉であり、$A$ における閉包は $V$ 自身である。すなわち $x\in V\subseteq\overline{V}=V\subseteq G$。
いま $x\in A$ と $x$ を含まない $A$ の閉集合 $F$ が与えられたとすると、$G=A\setminus F$ に上の議論を適用して $x\in V\subseteq\overline{V}\subseteq G$ となる開集合 $V$ がとれる。$V$ と $A\setminus\overline{V}$ は互いに素な開集合で、それぞれ $x$ と $F$ を含む。$\square$

$A$ は正則（prop-sorgenfrey-line-regular）かつLindelöf（prop-sorgenfrey-line-hereditarily-lindelof）である。「正則なLindelöf空間は強パラコンパクトである」は Lindelöf空間 の命題「正則性を加えたときの被覆の取り替え」に記されている。同記事も証明を文献に委ねており、本記事でもこの一般定理を無証明で用いて $A$ に適用する。$\square$

「可分空間では互いに素な空でない開集合の族は高々可算である」ことは 可分空間 が注意「可算鎖条件についての証明の方針と出典」として所有する。$\mathbb{R}_L$ は可分だから（prop-sorgenfrey-line-countability）、これを適用すればよい。$\square$

正規性：$\mathbb{R}_L$ は正則（prop-sorgenfrey-line-regular）かつLindelöf（prop-sorgenfrey-line-hereditarily-lindelof）である。「正則なLindelöf空間は正規である」は Lindelöf空間 が命題「正則なLindelöf空間の分離」として所有するので、$\mathbb{R}_L$ は正規である。$T_1$ かつ正規なら Hausdorff である。
閉集合が $G_\delta$ であること：閉集合 $F$ に対し $U=\mathbb{R}\setminus F$ とおき、$U$ が可算個の閉集合の合併（$F_\sigma$）であることを示せばよい。$U^{\circ}$ を $U$ の通常の位相における内部とし、$D=U\setminus U^{\circ}$ とおく。
まず $D$ が高々可算であることを見る。$x\in D$ に対し $[x,x+1/n)\subseteq U$ となる最小の正整数を $n(x)$ とし $\varepsilon_x=1/n(x)$ とおく（選択は用いない）。$(x,x+\varepsilon_x)$ は通常の位相の開集合で $U$ に含まれるから $(x,x+\varepsilon_x)\subseteq U^{\circ}$ である。$x< y$ がともに $D$ に属するとすると $y\notin U^{\circ}$ なので $y\notin(x,x+\varepsilon_x)$、すなわち $y\ge x+\varepsilon_x$ となる。よって $\{(x,x+\varepsilon_x)\mid x\in D\}$ は互いに素な空でない開区間の族であり、$\mathbb{Q}$ の枚挙を固定して各区間の最小番号の有理数を対応させれば単射 $D\to\mathbb{Q}$ が得られる。$D$ は高々可算である。
次に $U^{\circ}$ が $\mathbb{R}_L$ で $F_\sigma$ であることを見る。$U^{\circ}=\mathbb{R}$ のときは $\mathbb{R}$ 自身が閉集合である。$U^{\circ}\ne\mathbb{R}$ のときは
$$C_n=\{x\in\mathbb{R}\mid \operatorname{dist}(x,\mathbb{R}\setminus U^{\circ})\ge1/n\}$$
とおくと、各 $C_n$ は通常の位相の閉集合で $U^{\circ}=\bigcup_{n\ge1}C_n$ である。通常の位相の閉集合は $\mathbb{R}_L$ の閉集合でもある（prop-sorgenfrey-line-finer）。
最後に $D$ の各点は $T_1$ 性から閉集合である。したがって
$$U=U^{\circ}\cup D$$
は $\mathbb{R}_L$ の高々可算個の閉集合の合併であり、$F=\mathbb{R}\setminus U$ は $G_\delta$ 集合である。$\square$

$K\subseteq\mathbb{R}$ を $\mathbb{R}_L$ でコンパクトな部分集合とする。恒等写像 $(\mathbb{R},\mathcal{O}_L)\to(\mathbb{R},\mathcal{O}_E)$ は連続だから（prop-sorgenfrey-line-finer）、$K$ は通常の位相でもコンパクトであり、とくに通常の位相で閉かつ有界である（コンパクト集合の連続像がコンパクトであることと Heine–Borel の定理は コンパクト空間 が所有する）。
第一段：$K$ の点は $K$ の左からの集積点にならない。すなわち各 $x\in K$ について、ある $\delta>0$ が存在して $(x-\delta,x)\cap K=\emptyset$ である。
これを背理法で示す。ある $x\in K$ について、すべての $\delta>0$ で $(x-\delta,x)\cap K\ne\emptyset$ だとする。$t_n=\inf\bigl((x-1/n,x)\cap K\bigr)$ とおくと、$(x-1/n,x)\cap K$ は空でなく $[x-1/n,x)$ に含まれるので $t_n\in[x-1/n,x)$ であり、$K$ は通常の位相で閉だから $t_n\in K$ である。また $(x-1/(n+1),x)\subseteq(x-1/n,x)$ より $t_n\le t_{n+1}$ であり、$t_n\ge x-1/n$ より $t_n\to x$ である。ここから $n_1=1$、$n_{k+1}=\min\{n\mid t_n>t_{n_k}\}$ と再帰的に定めれば（$t_n\to x>t_{n_k}$ なので定義できる）、$y_k=t_{n_k}$ は $K$ の狭義単調増加列で $y_k\to x$、$y_k< x$ を満たす。この構成に選択は要らない。
族
$$\mathcal{V}=\{(-\infty,y_1)\}\cup\{[y_k,y_{k+1})\mid k\ge1\}\cup\{[x,\infty)\}$$
を考える。$y_k$ は $x$ に狭義単調増加で収束するので $(-\infty,y_1)\cup\bigcup_{k\ge1}[y_k,y_{k+1})=(-\infty,x)$ であり、$\mathcal{V}$ は $\mathbb{R}$ の開被覆、とくに $K$ の開被覆である。ところが $y_k$ を含む $\mathcal{V}$ の元は $[y_k,y_{k+1})$ ただひとつなので、$\mathcal{V}$ の有限部分族は有限個の $y_k$ しか覆えない。これは $K$ のコンパクト性に反する。
第二段：各 $x\in K$ について $(x-1/n,x)\cap K=\emptyset$ となる最小の正整数を $m(x)$ とし $\delta_x=1/m(x)$ とおく（第一段よりこれは定まる。選択は用いない）。$x< y$ がともに $K$ に属するとすると、$(y-\delta_y,y)\cap K=\emptyset$ かつ $x\in K$、$x< y$ だから $x\le y-\delta_y$ である。よって $(x-\delta_x,x)\subseteq(-\infty,x]$ は $(y-\delta_y,y)$ と交わらない。すなわち $\{(x-\delta_x,x)\mid x\in K\}$ は互いに素な空でない開区間の族であり、$\mathbb{Q}$ の枚挙を固定して各区間の最小番号の有理数を対応させれば単射 $K\to\mathbb{Q}$ が得られる。$K$ は高々可算である。$\square$

$\mathbb{R}$ は非可算だから、prop-sorgenfrey-line-compact-countableより $\mathbb{R}$ 自身はコンパクトでない。
局所コンパクトでないこと：ある $x$ がコンパクトな近傍 $N$ をもつとすると、$N$ は $x$ を含む開集合を含むので $[x,x+\varepsilon)\subseteq N$ となる $\varepsilon>0$ がある。$[x,x+\varepsilon)$ は非可算だから $N$ も非可算であり、prop-sorgenfrey-line-compact-countableに反する。
$\sigma$ コンパクトでないこと：$\mathbb{R}=\bigcup_{n\ge1}K_n$（各 $K_n$ はコンパクト）と書けたとすると、各 $K_n$ は高々可算だから $\mathbb{R}$ も高々可算になり矛盾する。$\square$

相異なる $x,y\in\mathbb{R}$ をとる。$x< y$ のときは $(-\infty,y)$ が、$y< x$ のときは $[x,\infty)$ が、prop-sorgenfrey-line-clopenにより開かつ閉であって $x$ を含み $y$ を含まない。「相異なる任意の二点が開かつ閉な集合で分けられれば完全不連結である」ことは 完全不連結空間 が命題「開閉集合で二点を分ける十分条件」として所有するので、それを適用すればよい。$\square$