Sorgenfrey直線

概要

Sorgenfrey直線とは、位相空間のひとつである。集合$\mathbb{R}$上に通常とは異なる位相を入れたものであり、位相空間論における様々な興味深い例を作る上での材料でもある。

Sorgenfrey直線とは、位相空間のひとつである。集合R上に通常とは異なる位相を入れたものであり、位相空間論における様々な興味深い例を作る上での材料でもある。

集合Rの部分集合であって[a,b)の形のもの全体をUとおく。このときUは有限交叉を取る操作について閉じるため、Uを開基とするような集合R上の位相がただひとつ存在する。このようにして作られた位相空間を Sorgenfrey 直線という。

Sorgenfrey直線Xに対して、以下の性質が成り立つ。

*X×XT4空間ではない。したがって、Xは距離化可能ではない。

最後の性質から、T4分離公理、 Lindelöf性、パラコンパクト性がいずれも 2 個の空間の直積について保たれないことが分かる。

参考文献

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Sorgenfrey直線
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