Krullの高さ定理

同義語：Krullの主イデアル定理一般高さ定理

概要

前提知識: 可換環, Noether環, 素イデアル, 局所化, 加群, イデアル

方程式の数と高さ

一つの方程式を課すと、次元はどれほど減るのだろうか。多項式環では一つの非零多項式の零点集合が超曲面になる。しかし環に零因子がある場合、一つの式がある成分の上で恒等的に零になることもある。したがって一般の環で正しい主張は、次元が必ず一つ減るという等式ではない。方程式が定める閉集合の各極小成分は、元の環の中で高々一つの高さをもつ、という上界である。
Krullの主イデアル定理は、この上界を任意のNoether環について述べる。一般高さ定理では一つの式を有限個の式へ拡張する。$r$ 個の式で生成されたイデアルの上の極小素イデアルの高さは $r$ 以下である。整域という仮定も、局所環という仮定も元の定理には必要ない。局所化してから証明するが、その操作によって定理の適用範囲が狭まるわけではない。
以下では長さの増大を比較する完全な証明を与える。長さは有限商に残る情報の量を測る。素イデアルの厳密な鎖が長いと、極大イデアルの冪で割った商の長さは速く増大する。一方、極大イデアルを根基にもつイデアルが $r$ 元で生成されるなら、その冪の商は $r$ 変数単項式の個数で上から評価される。これらを比較すると高さの上界が出る。主イデアル定理を別の次元定理の証明に使い、その次元定理から主イデアル定理を戻す循環は行わない。

定義と定理

定理の位置づけは AM69 Chapter 11 による。以下では、必要な補題を含めて長さの成長による証明を与える。
環は単位元をもつ可換環とする。素イデアルは真のイデアルとする。素イデアル $\mathfrak p$ の高さ $\operatorname{ht}_A\mathfrak p$ は、$\mathfrak p$ に含まれる素イデアルの厳密な鎖の長さの上限である。鎖の長さは包含の段数で数える。局所化の素イデアル対応から、この高さは $\dim A_{\mathfrak p}$ に等しい。
イデアル $I$ の上で極小な素イデアルとは、$I$ を含む素イデアルの中で包含に関して極小なものである。これは環全体の極小素イデアルとは違う。$I=0$ の場合にだけ両者は一致する。

Krullの一般高さ定理

$A$ をNoether環、$I=(a_1,\ldots,a_r)$ を $r$ 元で生成されたイデアルとする。$r$ は零を含む有限の非負整数でよい。$I$ の上で極小な素イデアル $\mathfrak p$ に対して
$$\operatorname{ht}_A\mathfrak p\le r$$
が成り立つ。特に、主イデアル $(a)$ の上で極小な素イデアルの高さは高々 $1$ である。

この定理は $a_i$ が非零であることも、非零因子であることも要求しない。生成元の一部が零であっても上界は正しい。単位イデアルにはそれを含む素イデアルがないので結論は空の量化となる。零環にも素イデアルがなく同様である。$r=0$ のときには極小素イデアルの高さが零であることを述べる。

証明は長さの下界と上界を準備した後に与える。極小性とNoether性はどちらも証明で使う。

閉集合 $V(I)$ の極小成分を決める素イデアルだけに上界を課すことが重要である。$I$ を含む任意の素イデアルの高さを $r$ 以下とする主張は偽である。この違いは後の二変数の例で直接確認する。

証明の準備：有限性からArtin–Reesへ

まず証明で使う有限性を準備する。Noether環上の有限生成加群の部分加群は有限生成である。この事実は有限自由加群の階数に関する帰納法で示せる。階数一では部分加群はイデアルだからNoether条件そのものである。階数 $s$ では第一座標への像が有限生成イデアルとなり、核は階数 $s-1$ の自由加群の部分加群となる。像の生成元の持上げと核の生成元を合わせればよい。一般の有限生成加群については有限自由加群からの全射の逆像に適用する。

多項式環の有限性

Noether環 $R$ に対して、有限変数多項式環 $R[T_1,\ldots,T_s]$ はNoether環である。

一変数の場合を示す。$J\subset R[T]$ をイデアルとする。$J=0$ の場合は自明なので、以下では $J\ne0$ とする。$J$ の非零多項式の先頭係数が生成する $R$ のイデアルは有限生成だから、その生成に必要な先頭係数をもつ多項式 $f_1,\ldots,f_v\in J$ を選べる。$N$ をそれらの次数の最大値とする。
$g\in J$ の次数が $N$ 以上なら、その先頭係数を $f_i$ の先頭係数の線形結合で表す。それぞれの $f_i$ に適切な $T$ の冪を掛けて次数を $\deg g$ に合わせ、線形結合を引けば次数が真に下がる。この操作を有限回繰り返すと、$g$ は $f_i$ の多項式係数線形結合と、次数が $N$ 未満の $J$ の元との和になる。
次数が $N$ 未満の多項式全体は有限自由 $R$ 加群である。その中の部分加群 $J\cap R[T]_{< N}$ は有限生成である。この有限個の生成元と $f_i$ が $J$ をイデアルとして生成する。従って $R[T]$ はNoether環である。変数を一つずつ追加して有限変数の場合を得る。商環もNoetherなので、有限型 $R$ 代数にも同じ結論が成り立つ。

Artin–Reesの必要な形

$R$ をNoether環、$M$ を有限生成 $R$ 加群、$N\subset M$ を部分加群、$\mathfrak a$ をイデアルとする。ある整数 $c\ge0$ が存在し、すべての $n\ge c$ について
$$N\cap\mathfrak a^nM=\mathfrak a^{n-c}(N\cap\mathfrak a^cM)$$
が成り立つ。特に左辺は $\mathfrak a^{n-c}N$ に含まれる。

$\mathfrak a=(u_1,\ldots,u_s)$ と書く。Rees環
$$S=R[u_1t,\ldots,u_st]\subset R[t]$$
は有限型 $R$ 代数だからNoether環である。次数付き加群
$$\mathcal M=\bigoplus_{n\ge0}\mathfrak a^nM t^n$$
は $M$ の有限生成元を次数零に置けば有限生成 $S$ 加群になる。その部分加群
$$\mathcal N=\bigoplus_{n\ge0}(N\cap\mathfrak a^nM)t^n$$
も有限生成である。$N=0$ の場合は $\mathcal N=0$ であり、$c=0$ とすれば結論は自明である。以下では $N\ne0$ とする。有限個の生成元を斉次成分に分け、そのすべてを生成元に取り直す。これらの次数の最大値を $c$ とする。
次数 $n\ge c$ の成分は、次数 $i\le c$ の生成元に $\mathfrak a^{n-i}$ を掛けたものの和である。$\mathfrak a^{c-i}$ を掛けた段階で $N\cap\mathfrak a^cM$ に入るので、全体は $\mathfrak a^{n-c}(N\cap\mathfrak a^cM)$ に含まれる。逆包含は $N$ が部分加群であることと冪の積から直ちに従う。
ここで $c$ は固定した三つのデータ $M,N,\mathfrak a$ から一度だけ選ぶ。$n$ ごとに別の定数を選んではいない。この一様性が次の長さ評価の反復を可能にする。

素鎖から得られる長さの下界

非零Noether局所環 $(R,\mathfrak m)$ に対して
$$\chi_R(n)=\operatorname{length}_R(R/\mathfrak m^n)\qquad(n\ge1)$$
と置く。極大イデアルは有限生成であり、各 $\mathfrak m^i/\mathfrak m^{i+1}$ は剰余体上有限次元なので、この長さは有限である。局所環の有限長加群の単純因子はすべて剰余体である。従って剰余環を加群の作用環として使っても、同じ単純因子を数える長さは変わらない。

厳密素鎖の成長下界

$(R,\mathfrak m)$ に長さ $d$ の素イデアルの厳密な鎖があるなら、正実数 $C$ と整数 $n_0$ が存在して
$$\chi_R(n)\ge Cn^d\qquad(n\ge n_0)$$
となる。鎖の末尾が極大イデアルであることは必要ない。

$d$ に関して帰納する。$d=0$ では $R/\mathfrak m^n$ が剰余体に全射するので $\chi_R(n)\ge1$ である。
$d>0$ とし、鎖を $\mathfrak p_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_d$ と書く。$R/\mathfrak p_0$ への全射は各極大イデアルの冪による商にも全射を与える。従って商の長さを下から評価すれば元の長さも下から評価される。そこで $C_0=R/\mathfrak p_0$ と置き、局所整域の場合へ移る。その極大イデアルを $\mathfrak n$ と書く。$\mathfrak p_1/\mathfrak p_0$ から非零元 $z$ を選ぶ。$D=C_0/(\mathfrak p_1/\mathfrak p_0)$ には長さ $d-1$ の鎖が残るので、帰納によりある $c_1>0$ について $\chi_D(n)\ge c_1n^{d-1}$ が十分大きい $n$ で成り立つ。
完全列による長さの加法性から
$$\chi_{C_0}(n)=\operatorname{length}C_0/(zC_0+\mathfrak n^n)+\operatorname{length}zC_0/(zC_0\cap\mathfrak n^n).$$
第一項の商は $D/\mathfrak m_D^n$ に全射するので $\chi_D(n)$ 以上である。第二項では固定部分加群 $zC_0\subset C_0$ にArtin–Reesを適用する。ある固定整数 $a\ge1$ について、すべての十分大きい $n$ で
$$zC_0\cap\mathfrak n^n\subset z\mathfrak n^{n-a}$$
となる。$z$ は整域の非零元だから消去でき、
$$(\mathfrak n^n:z)\subset\mathfrak n^{n-a}$$
を得る。従って第二項は $\chi_{C_0}(n-a)$ 以上である。以上より
$$\chi_{C_0}(n)\ge\chi_{C_0}(n-a)+c_1n^{d-1}$$
が十分大きい $n$ で成立する。
この不等式を $n,n-a,n-2a,\ldots$ について反復する。$n$ が十分大きければ、少なくとも $n/(3a)$ 個の項について引数は $n/2$ 以上に保てる。従って
$$\chi_{C_0}(n)\ge\frac{c_1}{3a\,2^{d-1}}n^d.$$
各帰納段階で用いた $a$ は $n$ に依存しない。これで帰納が閉じる。
この証明は実際に与えられた有限鎖から下界を得た。次元が有限であること、Hilbert多項式の次数が次元に等しいこと、主イデアル定理のいずれも仮定していない。

生成元の個数から得られる上界

極大根基をもつ有限生成イデアルの長さ上界

$(R,\mathfrak m)$ を非零Noether局所環とする。$I=(u_1,\ldots,u_r)\subset\mathfrak m$、$\sqrt I=\mathfrak m$ とする。$r\ge1$ なら $L=\operatorname{length}(R/I)$ は有限で、
$$\chi_R(n)\le L\binom{n+r-1}{r}$$
がすべての $n\ge1$ で成り立つ。

$\mathfrak m$ の有限生成元を $v_1,\ldots,v_s$ とする。各 $v_i$ の適当な正整数冪は $I$ に属する。十分高い次数の $v_i$ の単項式は、そのいずれかの冪を因子にもつので $I$ に入る。従ってある $h$ について $\mathfrak m^h\subset I$ である。$R/I$ は $R/\mathfrak m^h$ の商なので有限長である。
$I^j/I^{j+1}$ は、$u_1,\ldots,u_r$ の総次数 $j$ の単項式で生成される。その個数は $\binom{j+r-1}{r-1}$ である。また $I$ はこの商を零化するから、対応する個数の $R/I$ の直和から全射がある。従って
$$\operatorname{length}(I^j/I^{j+1})\le L\binom{j+r-1}{r-1}.$$
$R/I^n$ の有限フィルトレーションに長さの加法性を適用し、$j=0,\ldots,n-1$ について和を取ると
$$\operatorname{length}(R/I^n)\le L\binom{n+r-1}{r}.$$
$I^n\subset\mathfrak m^n$ なので $R/I^n$ は $R/\mathfrak m^n$ に全射する。これで主張を得る。

一般高さ定理を証明する。まず局所環 $(R,\mathfrak m)$ で $r$ 元生成イデアル $I$ が極大根基をもつ場合を考える。$r\ge1$ なら前の補題が $\chi_R(n)$ に次数 $r$ の多項式による上界を与える。一方、長さ $d>r$ の厳密素鎖があれば成長下界の補題によって $Cn^d$ が下界になる。$n$ を大きくすると両者は両立しない。従って長さ $r+1$ の鎖はなく、$\dim R\le r$ である。$r=0$ なら $\sqrt0=\mathfrak m$ である。すべての素イデアルは冪零元を含むから $\mathfrak m$ を含み、局所環では $\mathfrak m$ しかない。従って次元は零である。
一般の $A,I,\mathfrak p$ に戻る。$R=A_{\mathfrak p}$ とする。局所化による素イデアル対応で、$IR$ を含む素イデアルは $I$ を含み $\mathfrak p$ に含まれる素イデアルに対応する。極小性から該当する素イデアルは $\mathfrak p$ だけであり、$\sqrt{IR}=\mathfrak pR$ となる。局所化でNoether性は保たれ、$IR$ は元と同じ $r$ 元で生成される。局所の場合より
$$\operatorname{ht}_A\mathfrak p=\dim A_{\mathfrak p}\le r$$
を得る。主イデアル定理は $r=1$ とした場合である。

有限高さと次元についての帰結

Noether環の任意の素イデアル $\mathfrak p$ は有限生成である。そのイデアル自身の上で極小な素イデアルは $\mathfrak p$ だから、一般高さ定理を適用すると $\operatorname{ht}\mathfrak p$ は有限になる。これは一つの素イデアルの高さについての主張である。すべての素イデアルの高さに共通する有限の上界が存在するとまでは言っていない。一般Noether環は無限次元であり得るので、二つの量化を交換してはいけない。
局所Noether環 $(R,\mathfrak m)$ では極大イデアルの有限生成元の個数が次元の上界になる。例えば $\mathfrak m$ が $s$ 元で生成されるなら $\dim R\le s$ である。これは正則局所環の定義で、極大イデアルの最小生成元の個数と次元を比較する際の基礎となる。ただしこの不等式だけから等号や正則性は出ない。
さらに、$\mathfrak m$ を根基にもつ $r$ 元のイデアルが存在すれば $\dim R\le r$ である。局所環のパラメータを選ぶときに必要な下限、すなわちパラメータの個数は次元より少なくできない、という向きがここから得られる。逆向きのパラメータの存在は素回避を用いる別の構成であり、本定理の証明には使わない。

等号となる例と極小性の必要性

以下の多項式の例では $k$ を体とする。$A=k[X_1,\ldots,X_r]$、$\mathfrak m=(X_1,\ldots,X_r)$ と置く。各 $i$ について $(X_1,\ldots,X_i)$ による商は残りの変数の多項式環だから整域である。従って
$$0\subsetneq(X_1)\subsetneq\cdots\subsetneq(X_1,\ldots,X_r)$$
は長さ $r$ の素鎖である。上界は一般高さ定理から $r$、下界はこの鎖から $r$ なので、$\operatorname{ht}\mathfrak m=r$ となる。一般高さ定理の数値上界は改善できない。
二変数環 $k[X,Y]$ の $I=(X)$ を考える。$I$ 自身は素イデアルで、上で極小な素イデアルは $(X)$ である。鎖 $0\subsetneq(X)$ と主イデアル定理から高さは $1$。一方 $I$ を含む $\mathfrak m=(X,Y)$ は、鎖 $0\subsetneq(X)\subsetneq(X,Y)$ と二元の上界から高さ $2$ をもつ。従って「主イデアルを含む素イデアルはすべて高さ高々一」という言い換えは誤りである。
零因子の例として $A=k[X,Y]/(XY)$ を取る。$\overline X$ は非零の零因子であるが、$(\overline X)$ は商 $k[Y]$ をもつ素イデアルであり、環の極小素イデアルの一つである。高さは零となる。したがって非零元が生成する主イデアルの極小素イデアルに、一般環で必ず高さ $1$ を要求することはできない。整域なら非零元を含む素イデアルは零イデアルより真に大きいので、主イデアル定理の上界と合わせて極小素の高さは $1$ になる。ここで整域仮定が担う役割が分かる。

Noether条件を外した反例

体 $k$ と $K=k((t))$ を取り、二つの形式変数を使って
$$R=k\llbracket t\rrbracket+uK\llbracket u\rrbracket\subset K\llbracket u\rrbracket$$
と置く。これは定数項だけを $k\llbracket t\rrbracket$ に制限した整域である。定数項が $k\llbracket t\rrbracket$ の単元なら、$K\llbracket u\rrbracket$ 内の逆元の定数項も $k\llbracket t\rrbracket$ に属するので、その逆元は $R$ に属する。定数項が $t$ で割れる元は $tR$ に属する。実際、$u$ を含む尾部を $t$ で割っても $uK\llbracket u\rrbracket$ に属する。従って $R$ は唯一の極大イデアル $\mathfrak m=tR$ をもつ局所環である。
$t$ を反転すると $R[1/t]=K\llbracket u\rrbracket$ になる。右辺は一変数の冪級数環で、非零元は $u$ の有限冪と単元の積だから、その素イデアルは零と $(u)$ だけである。従って $t$ を避ける $R$ の素イデアルは零と $\mathfrak p=uK\llbracket u\rrbracket$ の二つである。$t$ を含む素イデアルは $R/tR=k$ の素イデアルに対応するから $\mathfrak m$ だけである。以上より
$$0\subsetneq\mathfrak p\subsetneq\mathfrak m$$
が全体の最長素鎖となり、$\dim R=\operatorname{ht}\mathfrak m=2$ である。
ところが主イデアル $(t)$ は $\mathfrak m$ そのものであり、その上の極小素イデアルの高さは $2$ である。これがNoether条件を外した主イデアル定理の反例となる。Noether性が実際に失われることも直接分かる。元 $u/t^n$ はすべて $R$ に属し、
$$(u)\subsetneq(u/t)\subsetneq(u/t^2)\subsetneq\cdots$$
は厳密なイデアルの上昇列である。包含は $t$ 倍によって成立し、逆包含があれば整域内の消去から $1/t\in R$ が従うが、その定数項は $k\llbracket t\rrbracket$ にない。
この反例は整域であり、極大イデアルも主イデアルである。したがって「整域だから」「極大イデアルが有限生成だから」という理由だけではNoether条件を取り除けない。証明で必要なのは部分加群の有限性と、それに由来する固定Artin–Rees定数である。

使うときの確認事項

高さの上界を使う際は、まずイデアルを生成する元の数を指定し、その上で極小な素イデアルを選ぶ。任意の上の素イデアルを選んでいるなら定理の仮定を満たさない。局所化した場合は、対象の素イデアルが局所環の極大イデアルとなり、生成されたイデアルの根基が極大イデアルになることを確認する。この根基条件が有限長商の上界へつながる。
生成元の個数は最小でなくてもよい。余分な元を含めた表示でも上界は正しいが、鋭い数値を得たい場合は最小生成元を使う。零元や重複した生成元は上界を弱くするだけで結論を壊さない。一方、生成元が単元なら単位イデアルとなり、上の素イデアルそのものがない。
上の証明の下界は、鎖の各段で局所商を整域へ移して非零元を消去した。この整域化は長さの下界を得るための内部操作である。元の環が整域だと置き換えたわけではなく、零因子を含む環にもそのまま適用できる。上界は単項式の有限個の生成元しか使わないので、生成元間の関係や零因子の存在があっても成立する。
正則局所環では極大イデアルの生成元の数と次元が一致する場合を扱う。根基イデアルでは極小素イデアルと閉集合の成分を扱う。局所化では対象の素イデアルに含まれる鎖だけを残す操作を扱う。それぞれの役割を区別すると、高さ定理をどの局所環へ適用しているかが明確になる。