交点数(平面曲線)

要点：$k(x)[y]$ で $f,g$ が互いに素なことから、分母を払って $r(x)\in(f,g)$ を作る。

要点：$k[x,y]/(f,g)$ は有限次元なので Artin 環であり、局所 Artin 環の直積に分かれる。各因子は交点での局所化である。

(i)〜(vii) をみたす $I$ が与えられたとする。(iii) により平行移動して $P=(0,0)$ としてよい。(i) により $F,G$ が $P$ で固有に交わらなければ $I=\infty$ と決まるので、固有に交わるとし、$I(P,F\cap G)=n$ とおく。$n$ についての帰納法で、$I(P,F\cap G)$ が (i)〜(vii) だけで決まることを示す。$n=0$ は (ii) で決まる（$P\notin F\cap G$ かどうかは見ればわかる）。$n>0$ とし、$I(P,A\cap B)< n$ となる組では値が決まっているとする。$n>0$ なので $P\in F\cap G$ である。
$F(x,0)$、$G(x,0)\in k[x]$ の次数を $r,s$ とする（多項式が $0$ のときは次数を $0$ とする）。(iv) により $r\le s$ としてよい。
場合 1：$r=0$。 $F(0,0)=0$ なので $F(x,0)$ は $0$ でない定数ではなく、$F(x,0)=0$、すなわち $F=yH$ と書ける。$G(x,0)=0$ でもあれば $y$ が $P$ を通る共通成分になり固有に交わることに反するので、$G(x,0)\ne0$ であり、$G(0,0)=0$ から $G(x,0)=x^{\mu}(a_0+a_1x+\cdots)$、$a_0\ne0$、$\mu\ge1$ と書ける。(vi) により
$$ I(P,F\cap G)=I(P,y\cap G)+I(P,H\cap G) $$
である。$G-G(x,0)$ は $y$ で割り切れるので、(vii) により $I(P,y\cap G)=I(P,y\cap G(x,0))$ であり、(vi) と、$a_0+a_1x+\cdots$ が $P$ を通らないことと (ii) により、これは $\mu\,I(P,y\cap x)$ に等しい。直線 $y$ と $x$ は原点で単純点どうしで接線が異なるので、(v) により $I(P,y\cap x)=1$ である。よって $I(P,y\cap G)=\mu\ge1$ であり、$I(P,H\cap G)=n-\mu< n$ は帰納法の仮定で決まる。
場合 2：$r>0$。 $F,G$ を定数倍して $F(x,0)$、$G(x,0)$ を最高次の係数 $1$ にする（定数倍は交点数を変えない。(vi) と (ii)）。$G_1:=G-x^{s-r}F$ とおくと、(vii) により $I(P,F\cap G)=I(P,F\cap G_1)$ であり、$G_1(x,0)$ の次数は $s$ より小さい。組 $(F,G_1)$ に同じ操作を繰り返す（次数の大小が入れ替われば (iv) で順序を替える）。$F(x,0)$ と $G(x,0)$ の次数の和は操作のたびに減るので、有限回で一方の次数が $0$ になり、交点数が同じ $n$ の、場合 1 に当てはまる組 $(A,B)$ に達する。
以上により、$I(P,F\cap G)$ は (i)〜(vii) から決まる。この手続きは多項式の割り算と定数倍だけでできる。$\square$

(iv) と (vii) は、$(F,G)=(G,F)=(F,G+AF)$ がイデアルとして等しいことから従う。(iii)：$H\mapsto H\circ T$ は $\mathcal{O}_P$ から $\mathcal{O}_Q$ への環の同型で、$(F,G)$ を $(F^T,G^T)$ に移す。
(ii)：$P\notin F\cap G$ なら $F$ か $G$ が $\mathcal{O}$ の単元で、商は $0$ である。$P\in F\cap G$ なら $(F,G)$ は極大イデアル $\mathfrak{m}_P\mathcal{O}$ に含まれ、商は $0$ でない。$P$ を通らない成分や $0$ でない定数は $\mathcal{O}$ の単元なので、イデアル $(F,G)$ を変えずに取り除ける。
(i)：$P$ を通らない共通成分を取り除くと、$P$ で固有に交わる $F,G$ は共通因子をもたないので、lem-inp-local-global により交点数は有限である。$P$ を通る共通成分 $H$（既約）があるとする。$(F,G)\subset(H)$ なので $\dim_k\mathcal{O}/(F,G)\ge\dim_k\mathcal{O}/(H)$ であり、$\mathcal{O}/(H)$ が無限次元であることを示せばよい。有限次元 $N$ だとすると、部分空間の列 $(\mathfrak{m}^j+(H))/(H)$（$\mathfrak{m}:=\mathfrak{m}_P\mathcal{O}$）は途中で止まり、ある $j$ で $\mathfrak{m}^j\subset\mathfrak{m}^{j+1}+(H)$ となる。有限生成 $\mathcal{O}$ 加群 $M:=(\mathfrak{m}^j+(H))/(H)$ は $M=\mathfrak{m}M$ をみたすので、中山の補題 により $M=0$、すなわち $\mathfrak{m}^j\subset(H)$ である。$P=(a,b)$ として $(x-a)^j=H\cdot(C/S)$（$S(P)\ne0$）と書くと、$S(x-a)^j=HC$ で、既約な $H$ は $P$ で $0$ になり $S$ はならないので $H\mid x-a$ である。同様に $H\mid y-b$ となり、矛盾する。$\square$

$F$ と $GH$ が $P$ を通る共通成分をもつなら、それは $F$ と $G$ または $F$ と $H$ の共通成分なので、(i) により両辺とも $\infty$ である。以下、$F$ と $GH$ は $P$ で固有に交わるとし、(ii) で $P$ を通らない成分を取り除いて、$F$ と $GH$ は共通因子をもたないとする。写像
$$ 0\longrightarrow\mathcal{O}/(F,H)\xrightarrow{\ \psi\ }\mathcal{O}/(F,GH)\xrightarrow{\ \varphi\ }\mathcal{O}/(F,G)\longrightarrow0 $$
を、$\psi$ は $G$ 倍、$\varphi$ は自然な全射とする（$G\cdot(F,H)\subset(F,GH)$ なので $\psi$ は定まる）。これが完全列であることを示せば、次元の和の式が得られる。
$\varphi$ は全射である。$\varphi$ の核は $(F,G)/(F,GH)$ で、$\psi$ の像は $G\mathcal{O}$ の像 $((F,GH)+(G))/(F,GH)=(F,G)/(F,GH)$ に等しい。
$\psi$ が単射であること：$z\in\mathcal{O}$ で $Gz=uF+vGH$（$u,v\in\mathcal{O}$）とする。$S(P)\ne0$ の多項式 $S$ を、$Su=A$、$Sv=B$、$Sz=C$ がすべて多項式になるようにとる。$G(C-BH)=AF$ が $k[x,y]$ で成り立ち、$F$ と $G$ は共通因子をもたないので $F\mid C-BH$、$C-BH=DF$ と書ける。すると $z=(B/S)H+(D/S)F\in(F,H)$ となり、$z$ の像は $0$ である。
(vi) の一般の形は、この式と (iv) を繰り返し使えば得られる。$\square$

1 の準備：$L_1,L_2,\dots$ と $M_1,M_2,\dots$ を 1 次の斉次式の列で、どの $L_i$ もどの $M_j$ にも比例しないものとし、$A_{ij}:=L_1\cdots L_iM_1\cdots M_j$（$A_{00}=1$）とおく。このとき $\{A_{ij}\mid i+j=t\}$ は $t$ 次の斉次式全体（$t+1$ 次元）の基底である。

(iii) により $P=(0,0)$ とする。$m:=m_P(F)$、$n:=m_P(G)$、$J:=(F,G)+\mathfrak{a}^{m+n}\subset k[x,y]$ とおく。$k[x,y]/J$ は有限次元で、$J$ を含む極大イデアルは $\mathfrak{m}_P$ だけ（Hilbertの零点定理）なので局所環であり、極大イデアルの外の元はすでに単元だから $k[x,y]/J\cong\mathcal{O}/J\mathcal{O}$ である。列
$$ k[x,y]/\mathfrak{a}^n\times k[x,y]/\mathfrak{a}^m\xrightarrow{\ \psi\ }k[x,y]/\mathfrak{a}^{m+n}\longrightarrow k[x,y]/J\longrightarrow0 $$
は完全である（$\psi$ は lem-inp-tangent の写像で、その像は $J/\mathfrak{a}^{m+n}$）。よって
$$ \begin{aligned} I(P,F\cap G)&=\dim\mathcal{O}/(F,G)\ \ge\ \dim\mathcal{O}/J\mathcal{O}=\dim k[x,y]/J\\ &\ge\frac{(m+n)(m+n+1)}2-\frac{n(n+1)}2-\frac{m(m+1)}2=mn \end{aligned} $$
である。最初の不等号は $\mathfrak{a}^{m+n}\mathcal{O}\subset(F,G)$ のとき等号になり、2 番目の不等号は $\psi$ が単射のとき、そのときに限り等号になる。共通の接線がなければ、lem-inp-tangent の 1 と 2 により両方が等号で、$I=mn$ である。共通の接線があれば、lem-inp-tangent の 2 により 2 番目が真の不等号になり、$I>mn$ である。$\square$