自由加群

和は有限台の係数についての有限和なので、$\varphi$ は定まる。$\varphi((r_i)+(s_i))=\sum_i(r_i+s_i)x_i=\varphi((r_i))+\varphi((s_i))$、$\varphi(r(r_i))=\sum_i(rr_i)x_i=r\sum_ir_ix_i$ なので準同型であり、$\varphi(e_i)=1\cdot x_i=x_i$ である。
1 は、$\varphi$ の像が $(x_i)$ の一次結合の全体であることから従う。2 は、$\varphi$ の核が $\sum_ir_ix_i=0$ となる有限台の係数 $(r_i)$ の全体であり、準同型が単射であることは核が $0$ であることと同値である（$\varphi(a)=\varphi(b)$ は $a-b\in\ker\varphi$ と同値）ことから従う。3 は 1 と 2 を合わせたものであり、全単射な準同型の逆写像は準同型である。
最後の主張：$M$ が基底 $(x_i)_{i\in I}$ をもてば 3 により $M\cong R^{(I)}$ である。逆に同型 $\psi\colon R^{(I)}\to M$ があれば、$(\psi(e_i))_{i\in I}$ についての上の写像 $\varphi$ は $\psi$ に一致する（どちらも準同型で $e_i$ での値が等しく、$e_i$ は $R^{(I)}$ を生成する）ので、3 により $(\psi(e_i))$ は $M$ の基底である。

$I$ が基底 $B$ をもつとする。$A$ は零環でないので $1\ne0$ であり、基底の元 $b$ は $0$ でない（$b=0$ なら $1\cdot b=0\cdot b$ が表示の一意性に反する）。$B$ が相異なる 2 元 $a,b$ を含むとすると、$A$ は可換なので
$$ b\cdot a+(-a)\cdot b=0 $$
であり、係数 $b,-a$ は $0$ でないので一次独立性に反する。したがって $B=\emptyset$ または $B=\{a\}$ である。$B=\emptyset$ なら $I=0$ である。$B=\{a\}$ なら $I=Aa=aA$ であり、$ra=0$ なら一次独立性により $r=0$ なので、$a$ は零因子でない（零因子 の記事の定義の意味で、$a$ を掛けて $0$ になる $0$ でない元がない）。
逆に、$I=0$ なら空な族が基底である。$I=aA$ で $a$ が零因子でなければ、$\{a\}$ は $I$ を生成し、$ra=0$ から $r=0$ が従うので一次独立である。よって $\{a\}$ は基底である。

直和の元 $y$ は有限個の $\lambda$ を除いて成分 $y_\lambda$ が $0$ であり、$y=\sum_\lambda\iota_\lambda(y_\lambda)$（有限和）と書ける。各 $y_\lambda$ は $y_\lambda=\sum_ir_{\lambda,i}x_{\lambda,i}$ とただ 1 通りに書けるので、$y=\sum_{\lambda,i}r_{\lambda,i}\iota_\lambda(x_{\lambda,i})$ であり、係数 $(r_{\lambda,i})$ は有限台である。よって族は直和を生成する。逆に $\sum_{\lambda,i}r_{\lambda,i}\iota_\lambda(x_{\lambda,i})=0$（有限台）なら、第 $\lambda$ 成分を見て $\sum_ir_{\lambda,i}x_{\lambda,i}=0$ であり、$F_\lambda$ での一次独立性からすべての $r_{\lambda,i}=0$ である。よって族は一次独立である。

加群 の記事の系「任意の加群は自由加群の商である」により、自由加群 $F_0$ からの全射 $\pi\colon F_0\to M$ があり、$M$ が $m_1,\dots,m_n$ で生成されるなら $F_0=R^n$、$e_i\mapsto m_i$ にとれる。同じ系を加群 $\ker\pi$ に適用すると、自由加群 $F_1$ からの全射 $\partial'\colon F_1\to\ker\pi$ がある。$\partial$ を $\partial'$ と包含 $\ker\pi\to F_0$ の合成とすれば $\operatorname{im}\partial=\ker\pi$ である。最後の同型は 加群 の記事の定理「加群の準同型定理」を $\pi$ に適用したものである。

$A$ は零環でないので極大イデアル $\mathfrak{m}$ をもつ（極大イデアル の記事の定理「真イデアルを含む極大イデアルの存在」）。$k:=A/\mathfrak{m}$ は体である（同記事の命題「剰余環が体であることとの同値」）。
まず、自由加群 $F=A^{(I)}$ について、$\mathfrak{m}F$（$ax$、$a\in\mathfrak{m}$、$x\in F$ の形の元の有限和の全体）は、すべての成分が $\mathfrak{m}$ に属する元の全体に等しい。実際、$ax$ の成分は $ax_i\in\mathfrak{m}$ であり、逆にすべての成分 $a_i$ が $\mathfrak{m}$ に属する元は $\sum_ia_ie_i\in\mathfrak{m}F$ である。したがって、成分ごとに $\mathfrak{m}$ を法として還元する全射 $A^{(I)}\to k^{(I)}$ の核は $\mathfrak{m}F$ であり、加群 の記事の定理「加群の準同型定理」により
$$ F/\mathfrak{m}F\cong k^{(I)} $$
である。$F/\mathfrak{m}F$ には $\bar a\cdot(x+\mathfrak{m}F):=ax+\mathfrak{m}F$ で $k$ 上のベクトル空間の構造が入り、上の同型は $k$ 線形である。この作用が代表元によらないのは、$a-a'\in\mathfrak{m}$ なら $ax-a'x\in\mathfrak{m}F$ であり、$x-x'\in\mathfrak{m}F$ なら $A$ が可換なので $a(x-x')\in\mathfrak{m}F$ だからである。$k^{(I)}$ は標準基底 $(e_i)_{i\in I}$ を基底とする $k$ 上のベクトル空間である。

1. $\varphi\colon A^{(I)}\to A^{(J)}$ を同型とする。$\varphi(ax)=a\varphi(x)$ なので $\varphi(\mathfrak{m}A^{(I)})=\mathfrak{m}A^{(J)}$ であり、$\varphi$ は $k$ 線形な同型 $A^{(I)}/\mathfrak{m}A^{(I)}\to A^{(J)}/\mathfrak{m}A^{(J)}$ を誘導する。よって $k^{(I)}\cong k^{(J)}$ である。ベクトル空間の 2 つの基底は同じ濃度をもつ（有限次元の場合は 基底と次元 の記事の定理「次元の一意性」、一般の場合は同記事の定理「一般のベクトル空間の基底の存在」）ので、$I$ と $J$ は同じ濃度をもつ。
2. 全射 $\psi\colon A^m\to A^n$ は、同様に全射な $k$ 線形写像 $k^m\to k^n$ を誘導する（$A^n$ の任意の元の類は、$\psi$ による逆像の元の類の像である）。全射な線形写像では $k^n$ の基底の元がすべて像に入るので、$k^m$ の基底の像 $m$ 個が $k^n$ を生成し、基底と次元 の記事の定理「次元の一意性」の 1 により $n\le m$ である。