内部積
概要
内部積（interior product）とは、ベクトル $v$ と $p$ 次の交代形式 $\omega$ から、第 1 変数に $v$ を代入した $(p-1)$ 次の形式 $\iota_v\omega$ を作る操作であり、多様体ではベクトル場と微分形式に各点で当てはめる。外積に対して符号 $(-1)^p$ つきの Leibniz 則を満たし、$\iota_v\circ\iota_v=0$ であって、1 次形式に $v$ での値を与える次数 $-1$ の反微分としてただ一つに定まる。外微分と組み合わせた Cartan の公式が Lie 微分を表し、0 でない最高次の形式との内部積はベクトルと $(n-1)$ 次形式の同型を与え、流束や発散、Hamilton ベクトル場の記述に使われる。
前提知識: 微分形式, 外積代数, ベクトル場, 双対空間(線形代数)
内部積（interior product）とは、ベクトル $v$ と交代形式 $\omega$ から、$\omega$ の第 1 変数に $v$ を代入して次数を 1 つ下げた交代形式 $\iota_v\omega$ を作る操作である。多様体の上では、ベクトル場 $X$ と微分形式 $\omega$ に対して各点ごとにこれを行い、$\iota_X\colon\Omega^p(M)\to\Omega^{p-1}(M)$ を得る。
内部積は代入にすぎないが、外積に対して符号つきの Leibniz 則を満たす。この性質と $\iota_X\circ\iota_X=0$ により、内部積は外微分 $d$ と対になる「次数を下げる反微分」になる。二つを組み合わせた Cartan の公式 $\mathcal{L}_X=d\iota_X+\iota_Xd$ は Lie微分 を計算する標準的な道具であり、体積形式との内部積は流束と発散(ベクトル場)を、シンプレクティック形式との内部積は Hamilton ベクトル場を与える。
この記事では、内部積を定義し、分解可能な形式に対する公式、Leibniz 則、反微分としての特徴づけ、最高次の形式との内部積が同型を与えることを証明する。
定義
外積の規約は 微分形式 にそろえる。すなわち、断らない限り外積は行列式の流儀（同記事の A 方式）で定め、1 次形式 $\alpha^1,\dots,\alpha^k$ とベクトル $v_1,\dots,v_k$ について
$$
(\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^k)(v_1,\dots,v_k)=\det\bigl(\alpha^i(v_j)\bigr)
$$
とする。反対称化の流儀（B 方式）では右辺に $1/k!$ がかかる。$V$ を $\mathbb{R}$ 上の $n$ 次元線形空間とし、$V$ 上の交代的な $p$ 重線形形式の全体を $\Lambda^p(V^\ast)$、$\Lambda^0(V^\ast):=\mathbb{R}$ と書く（外積代数）。
$v\in V$ と $\omega\in\Lambda^p(V^\ast)$（$p\ge1$）に対し、$(p-1)$ 次の交代形式 $\iota_v\omega$ を
$$
\text{A 方式：}\ (\iota_v\omega)(w_1,\dots,w_{p-1}):=\omega(v,w_1,\dots,w_{p-1}),\qquad\text{B 方式：}\ (\iota_v\omega)(w_1,\dots,w_{p-1}):=p\,\omega(v,w_1,\dots,w_{p-1})
$$
で定め、$c\in\Lambda^0(V^\ast)=\mathbb{R}$ に対しては $\iota_vc:=0$ とする。$\iota_v\omega$ が交代的であることは $\omega$ の交代性から明らかである。線形写像 $\iota_v\colon\Lambda(V^\ast)\to\Lambda(V^\ast)$ を $v$ による内部積（interior product）という。$v\mathbin{\lrcorner}\omega$、$i_v\omega$ とも書き、英語では interior multiplication ともいう。$1$ 次形式 $\alpha$ については $\iota_v\alpha=\alpha(v)$ である（どちらの方式でも）。
B 方式の係数 $p$ は、後で示す Leibniz 則（prop-interior-product-leibniz）が両方の方式で同じ形になるように入れる（Lee12 Ch. 14 の Interior Multiplication の項）。
$M$ を $n$ 次元の $C^\infty$ 級多様体、$X$ を $M$ 上の滑らかなベクトル場、$\omega\in\Omega^p(M)$ とする。各点 $x\in M$ で
$$
(\iota_X\omega)_x:=\iota_{X_x}\omega_x\in\Lambda^{p-1}(T^\ast_xM)
$$
と定めたものを $X$ による $\omega$ の内部積という。ベクトル場 $X_1,\dots,X_{p-1}$ で書けば、A 方式で $(\iota_X\omega)(X_1,\dots,X_{p-1})=\omega(X,X_1,\dots,X_{p-1})$ である。この右辺は滑らかな関数で、各変数について $C^\infty(M)$-線形かつ交代的なので、$\iota_X\omega$ は滑らかな $(p-1)$-形式である（微分形式 の定義「微分形式」のテンソル場の特徴づけ）。
定義から、$\iota_X\omega$ は $X$ と $\omega$ のどちらについても $C^\infty(M)$-線形である：$\iota_{fX}\omega=f\,\iota_X\omega=\iota_X(f\omega)$。とくに、点 $x$ での値 $(\iota_X\omega)_x$ は $X_x$ と $\omega_x$ だけで決まる。この点で、$X$ の近くでの値を使う Lie微分 $\mathcal{L}_X$ とは性格が違う（ex-interior-product-counterexamples の 3 行目）。
基本的な性質
$\alpha^1,\dots,\alpha^p\in V^\ast$ と $v\in V$ に対し、A・B どちらの方式でも
$$
\iota_v(\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p)=\sum_{k=1}^p(-1)^{k-1}\alpha^k(v)\,\alpha^1\wedge\cdots\wedge\widehat{\alpha^k}\wedge\cdots\wedge\alpha^p
$$
が成り立つ。ここで $\widehat{\alpha^k}$ はその因子を除くことを表す。
A 方式で、両辺を $w_1,\dots,w_{p-1}\in V$ で評価する。$w_0:=v$ とおくと、左辺の値は $p$ 次正方行列 $A=\bigl(\alpha^i(w_{j-1})\bigr)_{1\le i,j\le p}$ の行列式である。$A$ の第 1 列は $(\alpha^1(v),\dots,\alpha^p(v))$ であり、第 1 列で余因子展開すると
$$
\det A=\sum_{k=1}^p(-1)^{k+1}\alpha^k(v)\det\bigl(\alpha^i(w_j)\bigr)_{i\ne k,\ 1\le j\le p-1}
$$
となる。右辺の各行列式は $(\alpha^1\wedge\cdots\wedge\widehat{\alpha^k}\wedge\cdots\wedge\alpha^p)(w_1,\dots,w_{p-1})$ にほかならない。よって両辺の値は一致する。
B 方式では、左辺の値は $p\cdot\frac{1}{p!}\det A=\frac{1}{(p-1)!}\det A$ であり、右辺の各 $(p-1)$ 次の外積の値は $\frac{1}{(p-1)!}$ 倍の行列式になる。同じ展開で両辺は一致する（A 方式の証明は Lee12 Lemma 14.13 の証明と同じである）。$\square$
$v,w\in V$、$\omega\in\Lambda^p(V^\ast)$、$\eta\in\Lambda^q(V^\ast)$ に対し、次が成り立つ。
- $\iota_v(\omega\wedge\eta)=(\iota_v\omega)\wedge\eta+(-1)^p\,\omega\wedge(\iota_v\eta)$。
- $\iota_v\circ\iota_v=0$。
- $\iota_v\circ\iota_w=-\iota_w\circ\iota_v$。
多様体上のベクトル場 $X,Y$ と微分形式についても、各点で当てはめて同じ等式が成り立つ。
1．両辺は $\omega$ と $\eta$ について双線形であり、$\Lambda^p(V^\ast)$ は分解可能な元 $\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p$ で張られる（外積代数）。$p=0$ または $q=0$ のときは、$\iota_v$ の線形性と $\iota_vc=0$ から明らかである。よって $p,q\ge1$ で $\omega=\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p$、$\eta=\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^q$ の場合に示せばよい。$\omega\wedge\eta=\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p\wedge\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^q$ に lem-interior-product-decomposable を当てると、$\alpha^k$ を除く $p$ 個の項の和は $(\iota_v\omega)\wedge\eta$ である。$\beta^l$ を除く項は、その因子が全体の $p+l$ 番目にあるので符号 $(-1)^{p+l-1}$ をもち、
$$
\sum_{l=1}^q(-1)^{p+l-1}\beta^l(v)\,\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p\wedge\beta^1\wedge\cdots\wedge\widehat{\beta^l}\wedge\cdots\wedge\beta^q=(-1)^p\,\omega\wedge(\iota_v\eta)
$$
となる。
2．$p\ge2$ なら、$(\iota_v\iota_v\omega)(w_1,\dots,w_{p-2})$ は $\omega(v,v,w_1,\dots,w_{p-2})$ の定数倍であり、$\omega$ の交代性により $0$ である。$p\le1$ なら $\iota_v\omega$ は $0$ 次なので $\iota_v\iota_v\omega=0$ である。
3．2 を $v+w$ に当てると $0=\iota_{v+w}\iota_{v+w}=\iota_v\iota_v+\iota_v\iota_w+\iota_w\iota_v+\iota_w\iota_w=\iota_v\iota_w+\iota_w\iota_v$ である（$v\mapsto\iota_v$ は線形）。$\square$
1 の符号は、$\iota_v$ が $\omega$ を「通り抜ける」ときに $\omega$ の次数ぶんの符号がつくことを表す。外微分の Leibniz 則（微分形式 の命題「外微分の基本性質」）と同じ形であり、次数を 1 つ下げる点だけが違う。
局所座標 $(U;x^1,\dots,x^n)$ で $X=\sum_kX^k\partial_k$ と書き、$\omega\in\Omega^p(M)$（$p\ge1$）を
$$
\omega=\frac{1}{p!}\sum_{i_1,\dots,i_p}\omega_{i_1\cdots i_p}\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}
$$
（係数は添字について完全反対称）と書くと、A・B どちらの方式でも
$$
\iota_X\omega=\frac{1}{(p-1)!}\sum_{i_1,\dots,i_{p-1}}\Bigl(\sum_{k=1}^nX^k\omega_{k\,i_1\cdots i_{p-1}}\Bigr)dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{p-1}}
$$
である。すなわち $\iota_X\omega$ の成分は $(\iota_X\omega)_{i_1\cdots i_{p-1}}=\sum_kX^k\omega_{k\,i_1\cdots i_{p-1}}$ であり、成分の第 1 添字を $X$ と縮約したものである。とくに $\iota_{\partial_k}(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n)=(-1)^{k-1}dx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^k}\wedge\cdots\wedge dx^n$ である。
各項 $dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}$ に lem-interior-product-decomposable を当てると、$m$ 番目の因子を除く項は $(-1)^{m-1}X^{i_m}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^{i_m}}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}$ である。係数の完全反対称性により $(-1)^{m-1}\omega_{i_1\cdots i_p}=\omega_{i_m\,i_1\cdots\widehat{i_m}\cdots i_p}$ なので、添字の名前を付け替えると、各 $m$ について和は $\frac{1}{p!}\sum_{k,J}X^k\omega_{kJ}\,dx^J$（$J=(j_1,\dots,j_{p-1})$ は任意の添字の並び、$dx^J:=dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_{p-1}}$）に等しい。$m$ は $p$ 通りあるので、全体は $\frac{1}{(p-1)!}\sum_{k,J}X^k\omega_{kJ}\,dx^J$ である。最後の式は補題で $\alpha^i=dx^i$、$v=\partial_k$ とした場合である。$\square$
反微分としての特徴づけ
内部積は「1 次形式には値をとり、外積には符号つきで分配する」という 2 つの性質だけで決まる。これを主定理として述べる。
$v\in V$ とする。$\mathbb{R}$-線形写像 $D\colon\Lambda(V^\ast)\to\Lambda(V^\ast)$ で、すべての $p$ について $D(\Lambda^p(V^\ast))\subset\Lambda^{p-1}(V^\ast)$（$\Lambda^{-1}:=0$）を満たし、
- $\alpha\in V^\ast$ に対して $D\alpha=\alpha(v)$、
- $\omega\in\Lambda^p(V^\ast)$、$\eta\in\Lambda(V^\ast)$ に対して $D(\omega\wedge\eta)=D\omega\wedge\eta+(-1)^p\,\omega\wedge D\eta$
となるものは、内部積 $\iota_v$ ただ一つである。
存在：$\iota_v$ は次数を 1 つ下げ、def-interior-product-linear により 1 を、prop-interior-product-leibniz の 1 により 2 を満たす。
一意性：$D$ を条件を満たす写像とし、分解可能な元 $\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p$（$p\ge1$）について等式
$$
(\ast)\qquad D(\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p)=\sum_{k=1}^p(-1)^{k-1}\alpha^k(v)\,\alpha^1\wedge\cdots\wedge\widehat{\alpha^k}\wedge\cdots\wedge\alpha^p
$$
が成り立つことを $p$ に関する帰納法で示す。$p=1$ は条件 1 である。$p\ge2$ とし、$p-1$ 個の場合を認める。$\eta:=\alpha^2\wedge\cdots\wedge\alpha^p$ とおくと、条件 2（$\omega=\alpha^1$、次数 $1$）と条件 1 から
$$
D(\alpha^1\wedge\eta)=\alpha^1(v)\,\eta-\alpha^1\wedge D\eta
$$
である。帰納法の仮定で $D\eta=\sum_{k=2}^p(-1)^{k-2}\alpha^k(v)\,\alpha^2\wedge\cdots\wedge\widehat{\alpha^k}\wedge\cdots\wedge\alpha^p$ を代入すると、$-\alpha^1\wedge D\eta$ の各項の符号は $(-1)^{k-1}$ になり、$(\ast)$ を得る。
次に $\Lambda^0(V^\ast)=\mathbb{R}$ の上で $D=0$ であることを確かめる。$D(\Lambda^0)\subset\Lambda^{-1}=0$ だからである。以上により、$D$ は $\Lambda^0$ と分解可能な元の上で $\iota_v$ と一致する（lem-interior-product-decomposable）。$\Lambda^p(V^\ast)$（$p\ge1$）は分解可能な元で張られ、$D$ と $\iota_v$ はともに線形なので、$D=\iota_v$ である。$\square$
この定理により、内部積は基底や評価を使わずに「外積代数の次数 $-1$ の反微分（反導分）で、1 次形式の上では $v$ での値をとるもの」と定義することもできる。外微分 $d$ が「次数 $+1$ の反微分で、関数の上では微分をとり $d^2=0$ を満たすもの」として特徴づけられるのと対になっている（外微分 の定理「外微分の存在と一意性」）。
引き戻しと最高次の形式
$F\colon N\to M$ を $C^\infty$ 級写像、$X$ を $N$ 上の、$Y$ を $M$ 上のベクトル場とし、すべての $y\in N$ で $dF_y(X_y)=Y_{F(y)}$（$X$ と $Y$ は $F$ で関係する）とする。このとき $\omega\in\Omega^p(M)$ に対し
$$
F^\ast(\iota_Y\omega)=\iota_X(F^\ast\omega)
$$
が成り立つ。とくに $F$ が微分同相写像なら、$F^\ast(\iota_{F_\ast X}\omega)=\iota_X(F^\ast\omega)$ である。
A 方式で、$y\in N$ と $v_1,\dots,v_{p-1}\in T_yN$ に対し、引き戻しの定義（微分形式 の定義「微分形式の引き戻し」）により
$$
\bigl(F^\ast(\iota_Y\omega)\bigr)_y(v_1,\dots,v_{p-1})=\omega_{F(y)}\bigl(Y_{F(y)},dF_y(v_1),\dots\bigr)=\omega_{F(y)}\bigl(dF_y(X_y),dF_y(v_1),\dots\bigr)=\bigl(\iota_X(F^\ast\omega)\bigr)_y(v_1,\dots,v_{p-1})
$$
である。B 方式では両辺に同じ係数 $p$ がかかる。$p=0$ では両辺 $0$ である。$\square$
$\dim V=n\ge1$ とし、$\mu\in\Lambda^n(V^\ast)$ を $0$ でない元とする。このとき線形写像
$$
V\to\Lambda^{n-1}(V^\ast),\qquad v\mapsto\iota_v\mu
$$
は同型である。
$V$ の基底 $e_1,\dots,e_n$ と双対基底 $\theta^1,\dots,\theta^n$ をとる。$\Lambda^n(V^\ast)$ は $\theta^1\wedge\cdots\wedge\theta^n$ で張られる 1 次元の空間なので（微分形式 の命題「交代形式の基底と成分表示」）、$\mu=c\,\theta^1\wedge\cdots\wedge\theta^n$（$c\ne0$）と書ける。lem-interior-product-decomposable により
$$
\iota_{e_k}\mu=(-1)^{k-1}c\,\theta^1\wedge\cdots\wedge\widehat{\theta^k}\wedge\cdots\wedge\theta^n\qquad(1\le k\le n)
$$
である。右辺の $n$ 個は（$0$ でない定数倍を除いて）$\Lambda^{n-1}(V^\ast)$ の基底をなすので、基底を基底に写す写像として $v\mapsto\iota_v\mu$ は同型である。$\square$
$\mathbb{R}^3$ ではこの同型により、ベクトル場 $X$ と、$X$ の流束を測る 2 形式 $\iota_X(dx\wedge dy\wedge dz)$ が 1 対 1 に対応する（ex-interior-product-r3）。一般の多様体では、体積形式 $\mu$ を一つ選ぶと、ベクトル場と $(n-1)$ 形式が $X\mapsto\iota_X\mu$ で 1 対 1 に対応する（体積形式）。
Cartan の公式
内部積の最も重要な使い道は、外微分と組み合わせて Lie 微分を表すことである。
$M$ 上のベクトル場 $X$ と $\omega\in\Omega^p(M)$ に対し
$$
\mathcal{L}_X\omega=d(\iota_X\omega)+\iota_X(d\omega)
$$
が成り立つ。証明は Lie微分 の定理「Cartan の公式」にある。その証明は、右辺の $d\iota_X+\iota_Xd$ が次数 $0$ の微分（導分）になることを、外微分の Leibniz 則と prop-interior-product-leibniz の 1 から導くものであり、二つの反微分の符号 $(-1)^p$ がちょうど打ち消し合うことがその要である。外積を A・B どちらの方式で定めても、$\iota_X$ の係数 $p$ が差を吸収するので公式の形は変わらない。
$\omega$ が閉形式なら $\mathcal{L}_X\omega=d(\iota_X\omega)$ となる。$n$ 次元多様体の $n$ 形式はつねに閉なので、体積形式 $\mu$ について $\mathcal{L}_X\mu=d(\iota_X\mu)$ であり、この $n$ 形式を $\mu$ の関数倍で書いた係数が $\mu$ に関する $X$ の発散であり、$\mu=dV_g$ のときが Riemann 多様体の発散である（発散(ベクトル場) の定義「Riemann 多様体の上の発散」）。
例
$\mathbb{R}^3$ の座標を $(x,y,z)$、$\mu:=dx\wedge dy\wedge dz$ とし、$X=a\,\partial_x+b\,\partial_y+c\,\partial_z$ とする（$a,b,c$ は関数）。lem-interior-product-decomposable により
$$
\iota_X\,dx=a,\qquad\iota_X(dx\wedge dy)=a\,dy-b\,dx,\qquad\iota_X\mu=a\,dy\wedge dz+b\,dz\wedge dx+c\,dx\wedge dy
$$
である（第 3 式の中央の項は $-b\,dx\wedge dz=b\,dz\wedge dx$）。$\iota_X\mu$ は、向きづけられた曲面 $S$ の上で積分すると $X$ の流束 $\int_S X\cdot\boldsymbol{n}\,dS$ を与える 2 形式であり、$d(\iota_X\mu)=(a_x+b_y+c_z)\,\mu$ は $\operatorname{div}X$ を与える（微分形式 の注意「Stokes の定理の出典と古典的な形」の 3）。
さらにもう一つのベクトル場 $Y=a'\partial_x+b'\partial_y+c'\partial_z$ を入れると
$$
\iota_Y\iota_X\mu=(bc'-cb')\,dx+(ca'-ac')\,dy+(ab'-ba')\,dz
$$
となる。係数はベクトル積 $X\times Y$ の成分であり、$\iota_Y\iota_X\mu(Z)=\mu(X,Y,Z)=(X\times Y)\cdot Z$ という等式を形式の言葉で書いたものである。prop-interior-product-leibniz の 3 により $\iota_X\iota_Y\mu=-\iota_Y\iota_X\mu$ であり、これは $Y\times X=-X\times Y$ に対応する。
$\mathbb{R}^n$ の Euler ベクトル場 $E:=\sum_ix^i\partial_i$ と $\mu:=dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$ について、prop-interior-product-local により
$$
\iota_E\mu=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}x^i\,dx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^i}\wedge\cdots\wedge dx^n
$$
である。外微分をとると、$d(x^i)=dx^i$ を $i$ 番目の位置へ移す符号 $(-1)^{i-1}$ が打ち消すので、$d(\iota_E\mu)=n\,\mu$ である。Cartan の公式で読めば $\mathcal{L}_E\mu=n\,\mu$ であり、$E$ の流れ $x\mapsto e^tx$ が体積を $e^{nt}$ 倍することに対応する。この $(n-1)$ 形式を $\|x\|^n$ で割ったものが、de Rhamの定理 の例「原点を除いた Euclid 空間」の立体角形式である。
$\mathbb{R}^2$ の 2 形式 $\omega:=dx\wedge dy$ と $X=a\,\partial_x+b\,\partial_y$ について $\iota_X\omega=a\,dy-b\,dx$ である。$\omega$ は最高次の $0$ でない形式なので、prop-interior-product-top により $X\mapsto\iota_X\omega$ はベクトル場と 1 形式の 1 対 1 対応である。関数 $H$ に対し $\iota_{X_H}\omega=dH$ となる $X_H$ を求めると、$a\,dy-b\,dx=H_x\,dx+H_y\,dy$ から
$$
X_H=H_y\,\partial_x-H_x\,\partial_y
$$
であり、これは シンプレクティック多様体 の定義「Hamilton ベクトル場と Poisson 括弧」の $X_H$ である。$X_H(H)=dH(X_H)=\iota_{X_H}\iota_{X_H}\omega$ は prop-interior-product-leibniz の 2 により $0$ であり、$H$ は $X_H$ の積分曲線に沿って一定である（エネルギー保存）。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\omega$ が交代的 | $\mathbb{R}^2$ の Euclid 計量 $g=dx\otimes dx+dy\otimes dy$ に、第 1 変数への代入を 2 回行う。$X=\partial_x$ | $\iota_X\iota_X=0$。$g(X,X)=1\ne0$ |
| Leibniz 則の符号 $(-1)^p$ | $X=\partial_x$、$\omega=dy$、$\eta=dx$ | 符号なしの式 $\iota_X\omega\wedge\eta+\omega\wedge\iota_X\eta$ は $dy$ を与えるが、$\iota_X(dy\wedge dx)=-dy$ |
| 各点で代入するだけの作用素であること（$\iota_X$ を $\mathcal{L}_X$ に替える） | $\mathbb{R}$ 上で $X=\partial_x$、$f=x$、$\omega=dx$ | $X$ についての $C^\infty$-線形性。$\mathcal{L}_{fX}\omega=dx$ だが $f\,\mathcal{L}_X\omega=0$ |
| $\mu$ が最高次の $0$ でない形式 | $\mathbb{R}^3$ で $\mu=dx\wedge dy$、$v=\partial_z$ | $v\mapsto\iota_v\mu$ の単射性。$\iota_{\partial_z}(dx\wedge dy)=0$ |
各行の確かめを開く
1 行目：対称テンソル $g$ の第 1 変数に $X$ を代入すると 1 次形式 $g(X,\cdot)=dx$ になり、もう一度代入すると $g(X,X)=1$ である。交代形式なら $\omega(X,X,\dots)=0$ なので 0 になるが（prop-interior-product-leibniz の 2）、対称なテンソルではこの打ち消しが起きない。
2 行目：$\iota_X dy=0$、$\iota_X dx=1$ なので、符号なしの式は $0\wedge dx+dy\cdot1=dy$ である。一方 lem-interior-product-decomposable により $\iota_X(dy\wedge dx)=dy(X)\,dx-dx(X)\,dy=-dy$ である。正しい Leibniz 則では第 2 項に $(-1)^1$ がつき、$-dy$ を与える。
3 行目：Cartan の公式と $d\omega=0$ により $\mathcal{L}_{fX}\omega=d(\iota_{fX}\omega)=d(f\,\iota_X\omega)=df\wedge\iota_X\omega+f\,d(\iota_X\omega)$ である。$\iota_X\,dx=1$ は定数なので $d(\iota_X\omega)=0$、$\mathcal{L}_X\omega=0$ であり、$\mathcal{L}_{fX}\omega=df=dx\ne0=f\,\mathcal{L}_X\omega$ となる。$\mathcal{L}_X$ は $X$ の微分を含むので、点 $x$ での値が $X_x$ だけでは決まらない。
4 行目：lem-interior-product-decomposable により $\iota_{\partial_z}(dx\wedge dy)=dx(\partial_z)\,dy-dy(\partial_z)\,dx=0$ である。$\partial_z\ne0$ なので単射でない。次数 $2<3$ の形式では、$v\mapsto\iota_v\mu$ の核が $0$ でないことがある。
関連項目
- 前提: 微分形式, 外積代数, ベクトル場, 双対空間(線形代数)
- 対になる作用素: 外微分, Lie微分
- 使い道: 体積形式, 発散(ベクトル場), Gaussの発散定理, シンプレクティック多様体, Hodgeのスター作用素
- 例: ベクトル積, de Rhamの定理
参考文献
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