イデールとイデール類群

要点：1 は アデール の記事の命題「制限直積の位相」を $X_v=K_v^\times$、$U_v=\mathcal{O}_v^\times$ に当てはめ、アデール環の場合と同じく、積と逆元が開部分群 $J_{K,S}$ の上で成分ごとに連続であることから従う。2 は、$\{x\mid x\in\mathcal{O}_v,\ x^{-1}\in\mathcal{O}_v\}=\mathcal{O}_v^\times$ により、2 つの位相の開基が互いに相手の開集合になることを確かめる。

各 $\lvert\cdot\rvert_v$ が乗法的なので準同型である。開部分群 $U_K$ の上では有限成分の絶対値がすべて $1$ なので $\lvert a\rvert=\prod_{v\mid\infty}\lvert a_v\rvert_v$ で、これは有限個の連続関数の積であり連続である。よって単位元で連続であり、位相群 の記事の系「準同型の連続性の判定」により $J_K$ 全体で連続である。全射性：無限素点 $v_0$ を 1 つ固定し、$t>0$ について、$v_0$ 成分が $t$（$v_0$ が実素点のとき）または $\sqrt t$（複素素点のとき）で他の成分が $1$ のイデールをとれば、ノルムは $t$ である。$J_K^1=\lvert\cdot\rvert^{-1}(1)$ は閉集合で、$K^\times\subset J_K^1$ は積公式である。$\square$

アデール の記事の定理「アデール環の中の代数体」の 2 の証明により、$\mathbb{A}_K$ の $0$ の開近傍 $U$ で $K\cap U=\{0\}$ となるものがある。包含 $J_K\to\mathbb{A}_K$ は連続なので（prop-idele-topology の 2）、$N:=\{a\in J_K\mid a-1\in U\}$ は $J_K$ の $1$ の開近傍である。$\alpha\in K^\times\cap N$ なら $\alpha-1\in K\cap U=\{0\}$ なので $\alpha=1$ である。$\beta\in K^\times$ について $\beta N$ は $\beta$ の開近傍で、$K^\times\cap\beta N=\beta(K^\times\cap N)=\{\beta\}$ である。よって $K^\times$ は離散である。閉集合であることは、$1$ の近傍 $N'$ で $N'^{-1}N'\subset N$ となるものをとり、アデール の記事の同じ定理の 2 の証明の後半（$z+V$ の議論）を乗法で繰り返せばよい。閉部分群による剰余群は Hausdorff な位相群である（位相群 の記事の命題「剰余空間の位相」）。$\square$

$\alpha\in K^\times$ が $U_K$ に属することは、すべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(\alpha)=0$、すなわち $\alpha\mathcal{O}_K=\mathcal{O}_K$ と同値であり、これは $\alpha$ が単数であることと同値である。
$r:=s-1$ とし、Dirichletの単数定理 の記事の定理「Dirichletの単数定理」により、基本単数系 $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_r$ をとる。$L(\varepsilon_1),\dots,L(\varepsilon_r)$ は $H$ の基底である。平行体 $P:=\{\sum_jc_jL(\varepsilon_j)\mid0\le c_j\le1\}$ はコンパクトで、
$$ B:=\{y\in K_\infty^1\mid L(y)\in P\} $$
とおく。$L(y)\in P$ なら各 $\lvert y_v\rvert_v$ は正の定数で上下から押さえられるので、$B$ は $K_\infty=\mathbb{R}^{r_1}\times\mathbb{C}^{r_2}$ の有界閉集合で、$0$ を成分にもたない。よって $B$ は $K_\infty^\times$ のコンパクト集合であり、Tychonoffの定理 により $B\times\prod_{v\nmid\infty}\mathcal{O}_v^\times$ は $U_K$ のコンパクト集合である。
$u=(y,w)\in U_K^1$（$y\in K_\infty^1$、$w\in\prod\mathcal{O}_v^\times$）とする。$L(y)\in H$ を $L(y)=\sum_jt_jL(\varepsilon_j)$ と書き、$\varepsilon:=\prod_j\varepsilon_j^{\lfloor t_j\rfloor}$ とおくと、$L(\varepsilon^{-1}y)=\sum_j(t_j-\lfloor t_j\rfloor)L(\varepsilon_j)\in P$ である。主イデール $\varepsilon$ の有限成分は単数なので、$\varepsilon^{-1}u\in B\times\prod_{v\nmid\infty}\mathcal{O}_v^\times$ である。よって $U_K^1$ の $C_K$ での像は、コンパクト集合 $B\times\prod_{v\nmid\infty}\mathcal{O}_v^\times$ の連続写像による像に等しく、コンパクトである。$\square$

段 1（$J_K^1\to\operatorname{Cl}_K$ は全射）。$\mathfrak{a}\in\mathcal{I}_K$ について、$\iota(a)=\mathfrak{a}$ となるイデール $a$ をとる。無限素点 $v_0$ の成分だけを正の実数倍して $\lvert a\rvert=1$ に直しても $\iota(a)$ は変わらない（$\iota$ は有限成分だけで決まる）。よって $\iota(J_K^1)=\mathcal{I}_K$ で、合成 $J_K^1\to\mathcal{I}_K\to\operatorname{Cl}_K$ は全射である。
段 2（核）。$a\in J_K^1$ の像が $\operatorname{Cl}_K$ で自明なら $\iota(a)=\alpha\mathcal{O}_K$（$\alpha\in K^\times$）と書け、$u:=\alpha^{-1}a$ は $\iota(u)=\mathcal{O}_K$ を満たすので $u\in U_K$ である。積公式から $\lvert u\rvert=\lvert a\rvert/\lvert\alpha\rvert=1$ なので $u\in U_K^1$ で、$a\in K^\times U_K^1$ である。逆に $K^\times U_K^1$ の元の像は自明である。よって核は $K^\times U_K^1$ であり、$K^\times$ を割って完全列を得る。左端の同型は、準同型 $U_K^1\to U_K^1K^\times/K^\times$ が全射で、その核が $U_K^1\cap K^\times=\mathcal{O}_K^\times$（lem-idele-units）であることから従う。
段 3（コンパクト性）。類数の有限性（イデアル類群 の記事の定理「類数の有限性」）により $h:=\lvert\operatorname{Cl}_K\rvert$ は有限である。段 1 により、各類の代表となる $a_1,\dots,a_h\in J_K^1$ がとれ、段 2 により
$$ C_K^1=\bigcup_{i=1}^h[a_i]\cdot\bigl(U_K^1K^\times/K^\times\bigr) $$
である。lem-idele-units により右辺の各項は、コンパクト集合の、同相写像 $x\mapsto[a_i]x$ による像なのでコンパクトであり、有限個の和集合 $C_K^1$ もコンパクトである。Hausdorff であることは prop-idele-discrete である。$\square$

$s\colon\mathbb{R}_{>0}\to J_K$ は連続な準同型で $\lvert s(t)\rvert=t$ である。逆写像は $[a]\mapsto([a\,s(\lvert a\rvert)^{-1}],\lvert a\rvert)$ で与えられる。$\lvert\cdot\rvert$ は $K^\times$ 上で $1$ なので $C_K$ 上の連続な準同型を引き起こし、両方の写像は連続な準同型で互いに逆である。$\mathbb{R}_{>0}$ はコンパクトでないので、それを連続な全射 $C_K\to\mathbb{R}_{>0}$ の像にもつ $C_K$ もコンパクトでない。$\square$

$a\in J_K$ について、$\iota(a)$ の類は、ある $i$ と $\alpha\in K^\times$ によって $\iota(a)=\mathfrak{a}_i\,\alpha\mathcal{O}_K$ と書ける。$a':=\alpha^{-1}a$ とすると $\iota(a')=\mathfrak{a}_i$ で、$\mathfrak{a}_i$ の素因子は $S$ に含まれるので、$v\notin S$ の有限素点で $v_{\mathfrak{p}}(a'_v)=0$、すなわち $a'_v\in\mathcal{O}_v^\times$ である。よって $a'\in J_{K,S}$、$a=\alpha a'\in K^\times J_{K,S}$ である。$\square$