稠密
概要
稠密（dense）とは、位相空間 $X$ の部分集合 $A$ の閉包が $X$ 全体に一致すること、すなわち $\overline{A}=X$ が成り立つことをいう。これは「$X$ のどの空でない開集合も $A$ と交わる」こと、「$X$ のどの点のどんな近傍にも $A$ の点がある」こと、「$A$ の補集合の内部が空である」ことと同値で、距離空間では「$X$ の各点が $A$ の点列の極限になる」ことと同値である。有理数全体が実数直線で稠密であることが典型例で、集合としては小さくても位相的には空間全体を代表する部分集合を表す。Hausdorff 空間への連続写像は稠密部分集合上の値で決まるため、稠密性は近似・拡張・一意性の議論の基礎になる。可算な稠密部分集合を持つ空間が可分空間であり、閉包の内部が空な集合（どこにも稠密でない集合）や順序集合の稠密性とは区別される。
定義
「$A$ は $B$ で稠密」は、$X$ における閉包を用いて $B\subset\overline{A}$ と言い換えられる。実際、相対位相に関する $A$ の $B$ での閉包は $\overline{A}\cap B$ に等しい（$B$ の閉集合は $X$ の閉集合と $B$ との共通部分だから）。
$1\Rightarrow 2$：空でない開集合 $U$ が $U\cap A=\emptyset$ を満たすと仮定する。すると $X\setminus U$ は $A$ を含む閉集合だから、閉包が $A$ を含む最小の閉集合であること（閉包）より $\overline{A}\subset X\setminus U\subsetneq X$ となり、$\overline{A}=X$ に反する。
$2\Rightarrow 3$：$x\in X$ と $x$ の近傍 $V$ を取る。近傍の定義により $x\in U\subset V$ なる開集合 $U$ があり、$U$ は空でないから 2 より $U\cap A\neq\emptyset$、したがって $V\cap A\neq\emptyset$ である。
$3\Rightarrow 4$：$W:=\operatorname{int}(X\setminus A)$ は $X\setminus A$ に含まれる開集合である。もし $W\neq\emptyset$ なら、点 $x\in W$ に対して $W$ は $x$ の近傍であり $W\cap A=\emptyset$ となって 3 に反する。よって $W=\emptyset$ である。
$4\Rightarrow 1$：$x\notin\overline{A}$ とすると、$X\setminus\overline{A}$ は $x$ を含む開集合で、$A\subset\overline{A}$ より $X\setminus A$ に含まれる。よって $x\in\operatorname{int}(X\setminus A)$ である。すなわち一般に $X\setminus\overline{A}\subset\operatorname{int}(X\setminus A)$ が成り立つ（実際には等号が成り立つ。閉包 参照）。4 の仮定から $X\setminus\overline{A}=\emptyset$、すなわち $\overline{A}=X$ を得る。$\square$
条件 2 は実用上最も使いやすい形である。さらに、$X$ の開基 $\mathcal{B}$ をひとつ固定すれば、「$\mathcal{B}$ の空でない元すべてと交わる」ことを確かめれば十分である。空でない開集合 $U$ は点 $x\in U$ を含み、開基の性質から $x\in B\subset U$ なる $B\in\mathcal{B}$ があるので、$B\cap A\neq\emptyset$ なら $U\cap A\neq\emptyset$ だからである。たとえば実数直線では、すべての空でない開区間と交わることを見ればよい。
$(X,d)$ を距離空間、$A\subset X$ とする。次は同値である。
- $A$ は $X$ において稠密である。
- 任意の $x\in X$ と任意の $\varepsilon>0$ に対して、$d(x,a)<\varepsilon$ なる $a\in A$ が存在する。
- $X$ の各点は $A$ の点列の極限である。すなわち任意の $x\in X$ に対して、$A$ の点列 $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $a_n\to x$ となるものが存在する。
$1\Rightarrow 2$：開球 $B(x,\varepsilon)$ は $x$ を含む空でない開集合だから、prop-dense-characterization の条件 2 により $B(x,\varepsilon)\cap A\neq\emptyset$ である。
$2\Rightarrow 3$：各 $n\in\mathbb{N}$ に対し、$\varepsilon=1/(n+1)$ として $d(x,a_n)<1/(n+1)$ なる $a_n\in A$ を選べば $a_n\to x$ である。
$3\Rightarrow 1$：$U$ を空でない開集合、$x\in U$ とする。$U$ は開集合だからある $\varepsilon>0$ で $B(x,\varepsilon)\subset U$ である。$a_n\to x$ なる $A$ の点列を取ると、十分大きい $n$ で $d(x,a_n)<\varepsilon$、すなわち $a_n\in U\cap A$ である。prop-dense-characterization の条件 2 により $A$ は稠密である。$\square$
直感
稠密な部分集合とは、空間のどこをどんなに細かく拡大して見ても必ずその点が見つかる、空間全体に隙間なく行き渡った部分集合のことである。有理数だけを知っていれば任意の実数をいくらでも良い精度で近似できるように、稠密部分集合は、集合としては小さくても（たとえば可算でも）位相的には空間全体を代表し、「そこだけ調べれば全体が分かる」骨格として解析学・関数解析・数論などの至る所で使われる。連続写像が稠密集合上の値で決まること（prop-dense-determines-map）はその正確な定式化である。
例と反例
有理数全体 $\mathbb{Q}$ は実数直線 $\mathbb{R}$（通常の位相）において稠密である。実際、任意の空でない開区間 $(a,b)$ は有理数を含む。Archimedes の性質から $1/n< b-a$ なる $n\in\mathbb{Z}_{>0}$ を取り、$m:=\lfloor na\rfloor+1$ とおけば $na< m\le na+1$ より $a< m/n\le a+1/n< b$ である。同様に無理数全体 $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ も $\mathbb{R}$ で稠密である。$(a,b)$ に対し有理数 $q\in(a-\sqrt2,\,b-\sqrt2)$ を取れば $q+\sqrt2\in(a,b)$ は無理数だからである。したがって、稠密集合の補集合が再び稠密になることもある。同じ理由で、有理点全体 $\mathbb{Q}^n$ は $\mathbb{R}^n$ において稠密である。
$n\ge1$ のとき、Euclid空間 $\mathbb{R}^n$ から原点を除いた $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ は $\mathbb{R}^n$ において稠密である。空でない開集合 $U$ は開球 $B(x,r)$ を含み、開球は無限個の点を含むので、$U$ は $0$ 以外の点を含むからである。prop-dense-characterization の条件 4 で言えば、一点集合 $\{0\}$ の内部が空だということである。一般に、$X$ の部分集合 $F$ の内部が空であることと $X\setminus F$ が稠密であることは同値である（条件 4 を $A=X\setminus F$ に適用）。
閉区間 $[a,b]$ 上の実数値連続関数全体 $C([a,b])$ に一様収束の位相（上限ノルム $\|f\|_\infty:=\sup_{t\in[a,b]}|f(t)|$ による距離位相）を入れると、多項式関数全体は $C([a,b])$ において稠密である。これは Weierstrass の多項式近似定理（Weierstrassの近似定理）の内容であり、prop-dense-metric の形で言えば「どんな連続関数も多項式でいくらでも一様に近似できる」ということである。証明は Rud76 Theorem 7.26 を参照。より一般の形が Stone-Weierstrassの定理 である。
整数全体 $\mathbb{Z}$ は $\mathbb{R}$ において稠密ではない。開区間 $(0,1)$ は空でない開集合だが整数を含まないからである。実際 $\overline{\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}\neq\mathbb{R}$ である。$\mathbb{Z}$ は無限集合であり、上にも下にも有界でないという性質を満たすが、稠密という性質を満たさない。この例は「無限で非有界な部分集合は稠密である」という含意を破る。それどころか $\mathbb{Z}$ は $\mathbb{R}$ の閉集合で内部が空、すなわち補足で述べる「どこにも稠密でない集合」の典型例である。
一点集合がすべて閉集合であるような空間（$T_1$ 空間。特に Hausdorff空間）では、有限集合 $F$ は有限個の閉集合の和集合として閉集合なので $\overline{F}=F$ であり、$F$ が稠密になるのは $F=X$ のときに限る。したがって無限 $T_1$ 空間の有限部分集合は、空でないという性質を満たしても稠密という性質を満たさない。この例は「空でない部分集合はすべて稠密になり得る」という含意を無限 $T_1$ 空間で破る。一方、ex-dense-extreme の密着位相のように、一点集合が閉でない空間では有限集合も稠密になり得る。
性質
閉包の単調性（閉包）から、稠密集合を含む部分集合は稠密である。すなわち $A\subset A'\subset X$ で $A$ が稠密なら $A'$ も稠密である。
$A\subset B\subset X$ とする。$A$ が $B$（相対位相）で稠密であり、$B$ が $X$ で稠密ならば、$A$ は $X$ で稠密である。
$U$ を $X$ の空でない開集合とする。$B$ が $X$ で稠密だから $U\cap B\neq\emptyset$。$U\cap B$ は相対位相に関する $B$ の開集合であり空でないので、$A$ が $B$ で稠密であることから $(U\cap B)\cap A\neq\emptyset$。特に $U\cap A\neq\emptyset$ である。$U$ は任意だったから、prop-dense-characterization の条件 2 より $A$ は $X$ で稠密である。$\square$
$A$ を位相空間 $X$ の稠密部分集合、$U$ を $X$ の開集合とする。このとき $\overline{U\cap A}=\overline{U}$ である。特に $U\cap A$ は $U$（相対位相）で稠密である。
$U\cap A\subset U$ より単調性から $\overline{U\cap A}\subset\overline{U}$ である。逆に $x\in\overline{U}$ とし、$W$ を $x$ を含む任意の開集合とする。$x\in\overline{U}$ だから $W\cap U\neq\emptyset$（閉包 の触点による特徴づけ）。$W\cap U$ は空でない開集合なので、$A$ の稠密性から $(W\cap U)\cap A\neq\emptyset$、すなわち $W\cap(U\cap A)\neq\emptyset$ である。よって $x\in\overline{U\cap A}$ である。最後の主張は、$U\subset\overline{U}=\overline{U\cap A}$ が「$U\cap A$ は $U$ で稠密」の言い換えであることから従う。$\square$
$f\colon X\to Y$ を連続写像、$A\subset X$ を $X$ の稠密部分集合とする。このとき $f(A)$ は $f(X)$（相対位相）において稠密である。特に $f$ が全射なら $f(A)$ は $Y$ で稠密である。
$f(X)$ の空でない開集合は、$Y$ の開集合 $V$ で $V\cap f(X)\neq\emptyset$ なるものにより $V\cap f(X)$ の形に書ける。$f$ の連続性より $f^{-1}(V)$ は $X$ の開集合であり、$V\cap f(X)\neq\emptyset$ から $f^{-1}(V)\neq\emptyset$ である。$A$ が $X$ で稠密だから $f^{-1}(V)\cap A\neq\emptyset$、すなわちある $a\in A$ が $f(a)\in V$ を満たす。よって $f(a)\in V\cap f(X)\cap f(A)$ となり、$f(A)$ は $f(X)$ のすべての空でない開集合と交わる。prop-dense-characterization の条件 2 より主張が従う。$\square$
$U,V$ を位相空間 $X$ の稠密な開集合とすると、$U\cap V$ も $X$ の稠密な開集合である。帰納的に、有限個の稠密開集合の共通部分は稠密開集合である。
$U\cap V$ が開集合であることは開集合系の公理から従う。稠密性を示す。$W$ を $X$ の空でない開集合とする。$U$ が稠密だから $W\cap U\neq\emptyset$ であり、$W\cap U$ は空でない開集合である。次に $V$ が稠密だから $(W\cap U)\cap V\neq\emptyset$、すなわち $W\cap(U\cap V)\neq\emptyset$ である。よって $U\cap V$ は稠密である。有限個の場合は個数についての帰納法で従う。$\square$
prop-dense-open-intersection で「開集合」という仮定は本質的である。$\mathbb{Q}$ と $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ はどちらも $\mathbb{R}$ で稠密である（ex-dense-rationals）が、共通部分は空集合であり稠密でない。この例は「二つの稠密集合の共通部分は稠密である」という含意を破る。また、可算無限個の稠密開集合の共通部分は一般には開でなく、その稠密性も任意の空間では保証されない（$\mathbb{Q}$ に相対位相を入れた空間で $U_q:=\mathbb{Q}\setminus\{q\}$（$q\in\mathbb{Q}$）とすると各 $U_q$ は稠密開集合だが $\bigcap_q U_q=\emptyset$）。完備距離空間や局所コンパクト Hausdorff 空間では可算個の稠密開集合の共通部分が再び稠密になる、というのが Baireのカテゴリー定理 の内容である（Mun00 §48）。
$f,g\colon X\to Y$ を連続写像、$Y$ を Hausdorff空間 とする。$X$ の稠密部分集合 $A$ 上で $f=g$（すなわちすべての $a\in A$ で $f(a)=g(a)$）ならば、$X$ 全体で $f=g$ である。
ある $x\in X$ で $f(x)\neq g(x)$ と仮定する。$Y$ は Hausdorff だから、交わらない開集合 $V_1\ni f(x)$、$V_2\ni g(x)$ が取れる。$f,g$ の連続性より $W:=f^{-1}(V_1)\cap g^{-1}(V_2)$ は $x$ を含む開集合であり、特に空でない。$A$ の稠密性からある $a\in W\cap A$ が存在する。このとき $f(a)\in V_1$、$g(a)\in V_2$ であり、$V_1\cap V_2=\emptyset$ だから $f(a)\neq g(a)$。これは $A$ 上で $f=g$ であることに反する。よって $X$ 全体で $f=g$ である。$\square$
この命題は「稠密部分集合を調べれば写像全体が分かる」ことの正確な定式化であり、たとえば $\mathbb{Q}$ 上で一致する二つの連続関数 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は同一である。連続写像の一意的拡張の理論（完備距離空間における一様連続写像の拡張や完備化の構成など）の出発点でもある。なお $Y$ の Hausdorff 性は落とせない。$Y$ が密着位相を持つ二点空間 $\{p,q\}$ なら任意の写像 $X\to Y$ が連続であり、$X=\mathbb{R}$、$A=\mathbb{Q}$ として $f\equiv p$、$g$ を「有理数で $p$、無理数で $q$」と定めると、$A$ 上で一致するが全体では一致しない。
補足
可分性
可算な稠密部分集合を持つ位相空間を可分空間（separable space）という。$\mathbb{R}$ は $\mathbb{Q}$ を可算稠密集合として持つので可分であり、$\mathbb{R}^n$ も有理点全体 $\mathbb{Q}^n$ により可分である（ex-dense-rationals）。$C([a,b])$ も可分である。有理数係数の多項式全体は可算であり、各係数を有理数で近似すれば多項式全体の中で（上限ノルムについて）稠密なので、ex-dense-polynomials と prop-dense-transitivity により $C([a,b])$ で稠密になるからである。可分性は空間の「大きさ」を測る可算性公理のひとつであり、第2可算公理を満たす空間は常に可分で、距離空間では両者は同値である（Mun00 §30、Engelking89 §1.3・§4.1）。解析学で扱う多くの関数空間は可分である。
どこにも稠密でない集合との対比
位相空間 $X$ の部分集合 $A$ が どこにも稠密でない（nowhere dense、疎）とは、閉包の内部が空であること、すなわち $\operatorname{int}(\overline{A})=\emptyset$ をいう。
「稠密でない」ことと「どこにも稠密でない」ことは別の概念である。$\mathbb{Z}$ は $\mathbb{R}$ においてどこにも稠密でない（rem-dense-integers）。Cantor集合は非可算無限個の点を持つ閉集合でありながら、どの開区間も含まないので $\mathbb{R}$ においてどこにも稠密でない（Rud76 §2.44）。一方 $\mathbb{Q}\cap(0,1)$ は $\mathbb{R}$ で稠密でないが、閉包 $[0,1]$ が内点を持つのでどこにも稠密でない集合でもない。$A$ がどこにも稠密でないことは、$X\setminus\overline{A}$ が稠密な開集合であることと同値である（prop-dense-characterization の条件 4 を $X\setminus\overline{A}$ に適用）。稠密／どこにも稠密でないという両極の間の階層を扱うのが Baireのカテゴリー定理 を軸とするカテゴリー論法である。詳細は どこにも稠密でない集合 を参照。
順序集合の稠密性
位相空間論とは別に、順序集合論においても「稠密」という語が用いられる。両者は関連しているが、定義としては独立している。
全順序集合 $(X,<)$ が稠密（dense）である、または $(X,<)$ が稠密順序であるとは、任意の $x,y\in X$ で $x< y$ なるものに対して $x< z< y$ となる $z\in X$ が存在することをいう。
たとえば $\mathbb{Q}$ や $\mathbb{R}$ は通常の大小関係について稠密な順序集合であるが、$\mathbb{Z}$ は稠密でない（$1$ と $2$ の間に整数はない）。順序位相を通じて位相的な稠密性と関係はあるが、定義としては別物である。「稠密」の語はさらに、孤立点を持たない集合（各 $x\in A$ が $A\setminus\{x\}$ の閉包に属する）を表す dense-in-itself（自己稠密）にも使われる。文献を読む際は、どの意味の dense かを文脈で判別する必要がある。
関連項目
- 前提: 位相空間, 開集合, 閉包, 内部, 近傍
- 比較: どこにも稠密でない集合, 稠密順序
- 直後に読む: 可分空間, 相対位相, 連続写像, Hausdorff空間, 開基
- 発展: Baireのカテゴリー定理, Weierstrassの近似定理, Stone-Weierstrassの定理, 完備化, 第2可算公理
参考文献
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