Weierstrassの予備定理

要点：$g(0,\cdot)$ の零点は $w=0$ で孤立しているので、小さい円周 $|w|=\rho$ の上で $|g(0,w)|$ は正の下限をもち、$z'$ を少し動かしても円周上で $0$ にならない。零点の個数は 偏角の原理 の積分で表され、整数値で連続なので一定である。

存在：lem-wp-roots の $\Delta'$、$\rho$ をとり、$z'\in\Delta'$ に対し
$$ W(z',w):=\prod_{l=1}^b\bigl(w-\alpha_l(z')\bigr)=w^b+\sum_{j=0}^{b-1}a_j(z')w^j $$
とおく。根の並べ方によらず定まる。冪和 $s_k(z')=\sum_l\alpha_l(z')^k$ は根の積分表示で $h(t)=t^k$ とおいたものなので $\Delta'$ 上で正則である。$a_j$ は符号を除いて $\alpha_1,\dots,\alpha_b$ の基本対称式であり、Newtonの恒等式 により基本対称式は冪和 $s_1,\dots,s_b$ の有理数係数の多項式なので、$a_j$ は $\Delta'$ 上で正則である。$z'=0$ では根はすべて $0$ なので $W(0,w)=w^b$、すなわち $a_j(0)=0$ であり、$W$ は Weierstrass 多項式である。
各 $z'\in\Delta'$ について、$g(z',\cdot)$ と $W(z',\cdot)$ は $D(\rho)$ で同じ零点を同じ重複度でもつので、$g(z',\cdot)/W(z',\cdot)$ は $D(\rho)$ の近傍で除去可能な特異点しかもたず、$D(\rho)$ で零点をもたない。$|t|=\rho$ では $W(z',t)\ne0$ だから、1 変数の Cauchy の積分公式（Cauchyの積分公式）により
$$ u(z',w):=\frac1{2\pi i}\oint_{|t|=\rho}\frac{g(z',t)}{W(z',t)\,(t-w)}\,dt=\frac{g(z',w)}{W(z',w)}\qquad(|w|<\rho) $$
である。左辺の積分は lem-wp-roots の証明と同じ理由で $(z',w)\in\Delta'\times D(\rho)$ について正則なので、$u$ は $\Delta'\times D(\rho)$ 上の零点をもたない正則関数で、$g=uW$ である。
一意性：$g=u_1W_1$ を原点の近くでのもう一つの分解とする。$W_1(0,w)=w^{b_1}$ と $g(0,w)=w^be(w)$、$u_1(0)\ne0$ を比べて $b_1=b$ である。$\rho$ と $\Delta'$ をさらに小さくとって、$u_1$ が $\Delta'\times\overline{D(\rho)}$ の近傍で零点をもたず、$W_1(z',\cdot)$ の根がすべて $D(\rho)$ に入るようにできる（rem-wp-root-bound）。このとき $W_1(z',\cdot)$ の $b$ 個の根は $g(z',\cdot)$ の $D(\rho)$ 内の $b$ 個の零点と重複度こみで一致するので、$W_1(z',\cdot)=W(z',\cdot)$、したがって $u_1=u$ である。$\square$

存在：まず Weierstrass 多項式で割る。thm-wp-preparation の $g=uW$ をとり、$\Delta'$ と $\rho$ を小さくして、$f$ が $\overline{\Delta'}\times\overline{D(\rho)}$ の近傍で正則で、$z'\in\Delta'$、$|t|=\rho$ で $W(z',t)\ne0$ となるようにする（lem-wp-roots の性質は保たれる）。$(z',w)\in\Delta'\times D(\rho)$ に対し
$$ q_0(z',w):=\frac1{2\pi i}\oint_{|t|=\rho}\frac{f(z',t)}{W(z',t)\,(t-w)}\,dt,\qquad r:=f-q_0W $$
とおく。$q_0$ は $\Delta'\times D(\rho)$ 上で正則である。$f(z',w)$ を Cauchy の積分公式で表して引き算すると
$$ r(z',w)=\frac1{2\pi i}\oint_{|t|=\rho}\frac{f(z',t)}{W(z',t)}\cdot\frac{W(z',t)-W(z',w)}{t-w}\,dt $$
となる。$a_b:=1$ とおくと $\dfrac{W(z',t)-W(z',w)}{t-w}=\sum_{k=1}^ba_k(z')\sum_{i=0}^{k-1}t^{k-1-i}w^i$ は $w$ について次数 $b-1$ 以下の多項式で、係数は $t$ の多項式と $a_k(z')$ の積である。積分を係数ごとに行えば、$r=\sum_{i< b}r_i(z')w^i$、$r_i$ は $\Delta'$ 上で正則となる。こうして $f=q_0W+r$ を得る。$u$ は零点をもたないので $q:=q_0/u$ とおけば $f=qg+r$ である。
一意性：$qg+r=0$、$\deg_wr< b$ とする。$q,r$ がともに定義される $\Delta'\times D(\rho)$ をとり直して lem-wp-roots を使うと、各 $z'\in\Delta'$ で $g(z',\cdot)$ は $D(\rho)$ に重複度こみで $b$ 個の零点をもち、$r(z',\cdot)=-q(z',\cdot)g(z',\cdot)$ はそれらを少なくとも同じ重複度で零点にもつ。次数 $b$ 未満の多項式が重複度こみで $b$ 個の零点をもつので $r(z',\cdot)\equiv0$、すなわち $r=0$ である。すると $qg=0$ で、$g\not\equiv0$ だから 一致の定理 により $q=0$ である。$\square$

$f=\sum_{k\ge m}P_k$（$P_k$ は $k$ 次の斉次多項式、$P_m\ne0$）と展開する。0 でない多項式は $\mathbb{C}^n$ 上で恒等的に $0$ にならないので、$P_m(v)\ne0$ となる $v\in\mathbb{C}^n$ がある。$v$ を最後の基底ベクトルに含む $\mathbb{C}^n$ の基底をとり、その座標を $(z',w)$ とすると $(0,w)$ は点 $wv$ を表し、$f(wv)=\sum_{k\ge m}P_k(v)w^k=P_m(v)w^m+\cdots$ だから、$f$ は $w$ について $m$ 次の正則である。$\square$

$n$ についての帰納法による。$n=0$ では体 $\mathbb{C}$ である。$n\ge1$ とし、$\mathbb{C}\{z'\}$ が Noether 環だと仮定する。$I\subset\mathbb{C}\{z\}$ を 0 でないイデアルとし、$0\ne g\in I$ をとる。線形な座標変換は $\mathbb{C}\{z\}$ の環の自己同型を引き起こすので、lem-wp-coordinates により $g$ は $w$ について $b$ 次の正則だとしてよい。$M:=I\cap\{r\in\mathbb{C}\{z'\}[w]\mid\deg_wr< b\}$ は、階数 $b$ の自由 $\mathbb{C}\{z'\}$ 加群 $\bigoplus_{i< b}\mathbb{C}\{z'\}w^i$ の部分加群である。Noether 環上の有限生成加群の部分加群は有限生成なので（Noether加群）、$M$ は有限個の $r_1,\dots,r_k$ で生成される。$f\in I$ を thm-wp-division で $f=qg+r$ と割ると $r=f-qg\in M$ なので、$f\in(g,r_1,\dots,r_k)$ である。よって $I=(g,r_1,\dots,r_k)$ は有限生成である。$\square$

$u$ は零点をもたないので $g$ と $W$ の零点集合は一致し、$W(z',\cdot)$ はモニックな $b$ 次多項式だから $D(\rho)$ に重複度こみで $b$ 個の根をもつ。$g(0)=0$ なので $g(0,w)$ の零点の位数 $b$ は $1$ 以上である。$z'\ne0$ を $0$ に近づけると、rem-wp-root-bound により $W(z',\cdot)$ の根は $0$ に近づくので、原点に収束する原点以外の零点の列がとれる。$\square$