Bloch–加藤予想(玉河数予想)

前提知識: Galoisコホモロジー, Selmer群, p進Hodge理論, Galois表現のL関数

Bloch–加藤予想(玉河数予想) は、モチーフ $M$ の $L$ 関数 $L(M,s)$ の $s=0$ での零点の位数と最初の係数を、$M$ の Galois コホモロジーで記述する予想である。零点の位数は局所条件つきの Selmer 群 $H^1_f$ と $H^0$ の次元の差で与えられ、最初の係数は周期とレギュレーターを除いて Galois コホモロジーの格子の大きさで与えられる、と主張する。S. Bloch と加藤和也（Kazuya Kato）が 1990 年の論文で定式化し、解析的類数公式 と Birch–Swinnerton-Dyer予想 を同じ形の特別な場合として含む（Ven05 pp. 8–9）。名前は代数群の 玉河数 との類似に由来する（Ven05 p. 9 の脚注 3）。
予想は一般には未解決である。2003 年の概説 Kin03 の時点で、$L$ の値そのものまで分かっている場合はある種の数体（Artin モチーフ）、ある種の虚数乗法をもつ楕円曲線、モジュラー形式の随伴モチーフと、Birch–Swinnerton-Dyer の公式が確かめられた場合に限られていた（Kin03 p. 179）。2025 年の時点でも、モジュラー形式について解析的階数が $1$ より大きい場合などの理解は極めて限られていると述べられている（Kim25 p. 2）。
この記事では、局所条件 $H^1_f$ を定義し、$\ell\ne p$ の素点での次元公式と直交性、数体の $\mathbb{Q}_p(1)$ と $\mathbb{Q}_p$ の $H^1_f$ の計算、楕円曲線の $H^1_f$ と Mordell–Weil 群の関係を証明する。予想の主張は Fontaine–Perrin-Riou の行列式の形で述べ、知られている場合を文献の範囲で挙げる。

同じ名前の別の主題

「Bloch–加藤予想」という名前は、次の別々の主題を指す。文献を読むときは主題を確かめる。

ノルム剰余同型は体の Milnor の $K$ 群についての定理で、$L$ 関数は現れない。また、代数群の玉河数についての Weil の予想（単連結な半単純群で玉河数が $1$ である。玉河数 の記事）も別の主張である。

局所条件 $H^1_f$

$p$ を素数、$K$ を 代数体、$v$ を $K$ の素点、$K_v$ を完備化、$G_{K_v}:=\operatorname{Gal}(\bar K_v/K_v)$ とする。$V$ を $G_{K_v}$ の連続な作用をもつ $\mathbb{Q}_p$ 上の有限次元ベクトル空間とする。$H^q(K_v,V)$ は連続な Galois コホモロジーであり、$V$ の中の安定な格子 $T$ について $H^q(K_v,T)\otimes\mathbb{Q}_p$ と一致する（Kat04 8.2、p. 181）。

$v\mid p$ で $V$ が de Rham 表現のときは、$H^1_f$ を計算する複体が $[D_{\mathrm{cris}}(V)\xrightarrow{(1-\varphi,\pi)}D_{\mathrm{cris}}(V)\oplus t_V]$（次数 $0,1$）で与えられる（Kin03 p. 184）。$t_V:=D_{\mathrm{dR}}(V)/D^0_{\mathrm{dR}}(V)$ は接空間である。Euler 標数をとると
$$ \dim_{\mathbb{Q}_p}H^1_f(K_v,V)=\dim_{\mathbb{Q}_p}H^0(K_v,V)+\dim_{\mathbb{Q}_p}t_V $$
となる（この等式を (1) と呼ぶ）。prop-bk-dim は接空間の項がない場合にあたる。
$V^*(1):=\operatorname{Hom}(V,\mathbb{Q}_p(1))$ を Kummer 双対とする（Tate捻り）。

$v\mid p$ でも $V$ が de Rham 表現なら同じ直交性が知られている。この記事では証明しない。

大域の群 $H^1_f$

以下、$V$ を $G_K$ の連続な作用をもつ $\mathbb{Q}_p$ 上の有限次元ベクトル空間で、有限個の素点の外で不分岐なものとする。$S$ を、無限素点、$p$ の上の素点、$V$ の分岐する素点を含む有限集合とし、$\mathcal{O}_S$ を $K$ の $S$ 整数環とする。$H^1(\mathcal{O}_S,V)$ は $S$ の外で不分岐な類の群である（Kat04 8.2、p. 181）。

有限係数の Selmer群 $\mathrm{Sel}^{(n)}(E/K)$ は、Kummer 写像の像を局所条件とした。$H^1_f$ はこれを一般の $V$ に広げたものである。

楕円曲線では $H^1_f$ が Mordell–Weil 群と Tate–Shafarevich群 から決まる。$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の 楕円曲線、$T_pE$ を Tate加群、$V_pE:=T_pE\otimes\mathbb{Q}_p$ とし、$V_pШ(E/\mathbb{Q}):=T_pШ(E/\mathbb{Q})\otimes\mathbb{Q}_p$ とおく。

予想の主張

モチーフの実現と $L$ 関数

$K$ を代数体、$M$ を $K$ 上の Chow モチーフ（係数は簡単のため $\mathbb{Q}$）とする。予想は次のデータで述べられる（Kin03 pp. 180–182）。

• Betti 実現 $M_B$ とその Hodge 構造、de Rham 実現 $M_{\mathrm{dR}}$ とフィルトレーション $D^\bullet$、$p$ 進エタール実現 $M_p$（$G_K$ の表現）。
• 接空間 $\tan_M:=M_{\mathrm{dR}}/D^0M_{\mathrm{dR}}$ と、複素共役の不変部分 $M_B^+$ からの周期写像 $\alpha_M\colon M_B^+\otimes\mathbb{R}\to\tan_M\otimes\mathbb{R}$。
• 双対 $M^\vee$ と Tate 捻り $M(n)$、Kummer 双対 $M^\vee(1)$。
• モチーフ的コホモロジー $H^0(K,M)$、$H^1(K,M)$ と、その中の有限部分 $H^1_f(K,M)$。
  $L$ 関数は、$\mathfrak{p}\nmid p$ で $D_{\mathfrak{p}}(M_p):=M_p^{I_{\mathfrak{p}}}$、$\mathfrak{p}\mid p$ で $D_{\mathfrak{p}}(M_p):=(B_{\mathrm{cris}}\otimes M_p)^{G_{K_{\mathfrak{p}}}}$ とおいて
  $$ L(M,s):=\prod_{\mathfrak{p}}\det\bigl(1-\mathrm{Fr}_{\mathfrak{p}}\,N\mathfrak{p}^{-s}\ \big|\ D_{\mathfrak{p}}(M_p)\bigr)^{-1} $$
  と定める（$\mathrm{Fr}_{\mathfrak{p}}$ は幾何的 Frobenius。Galois表現のL関数 と同じ流儀）。$L(M(n),s)=L(M,s+n)$ である。

基本直線と主予想

$L_f(M):=\det H^0(K,M)\otimes\det{}^{-1}H^1_f(K,M)$ とおき、Fontaine–Perrin-Riou の 基本直線 を
$$ \Delta_f(M):=L_f(M)\otimes L_f(M^\vee(1))\otimes\det{}^{-1}(M_B^+)\otimes\det(\tan_M) $$
と定める（Kin03 Definition 1.2.1）。これは $1$ 次元の $\mathbb{Q}$ ベクトル空間である。次の完全列の予想（Kin03 Conjecture 1.1.2）を仮定する。
$$ 0\to H^0(K,M)_{\mathbb{R}}\to\ker\alpha_M\to H^1_f(K,M^\vee(1))^\vee_{\mathbb{R}}\to H^1_f(K,M)_{\mathbb{R}}\to\operatorname{coker}\alpha_M\to H^0(K,M^\vee(1))^\vee_{\mathbb{R}}\to0 $$
写像は Beilinson のレギュレーターなどで与えられる（Kin03 p. 182）。この列と $0\to\ker\alpha_M\to M_B^+\otimes\mathbb{R}\to\tan_M\otimes\mathbb{R}\to\operatorname{coker}\alpha_M\to0$ の行列式から同型 $\iota_\infty\colon\Delta_f(M)\otimes\mathbb{R}\cong\mathbb{R}$ が定まる。
一方 $p$ 進の側では、conj-bk-realization のもとで同型 $\Delta_f(M)\otimes\mathbb{Q}_p\cong\det R\Gamma_c(\mathcal{O}_S,M_p)$ が得られる。ここで $R\Gamma_c$ はコンパクト台の Galois コホモロジーで、安定な格子 $T_p\subset M_p$ の $\det_{\mathbb{Z}_p}R\Gamma_c(\mathcal{O}_S,T_p)$ は $\det R\Gamma_c(\mathcal{O}_S,M_p)$ の格子を与え、$T_p$ の取り方によらない。その生成元を $1$ に送ることで $\iota_p\colon\Delta_f(M)\otimes\mathbb{Q}_p\cong\mathbb{Q}_p$ が定まる（Kin03 pp. 183–184）。$\iota_p$ は単数倍を除いて定まる。
$L(M,0)^*:=\lim_{s\to0}s^{-d_M}L(M,s)$、$d_M:=\operatorname{ord}_{s=0}L(M,s)$ を最初の係数とする。

1 は「$L(M,0)^*$ が周期とレギュレーターを除いて有理数である」ことを述べ、2 はその有理数を $p$ ごとに Galois コホモロジーの格子で測る。したがって $\mathbb{Q}^\times/\{\pm1\}$ の元として値が決まる。元の定式化は玉河測度を用いたもので、行列式を用いたこの形は同値な言い換えである（Ven05 p. 9）。
$M$ が重さ $w$ の純なモチーフなら、完全列は次のように短くなる（Kin03 pp. 184–185）。

$w=-1$ の行の位数は conj-bk-rank で $H^0(K,M^\vee(1))$ が重さの理由で $0$ になることによる（Kin03 Lemma 1.3.2）。
また、$L$ 関数の関数等式に対応して、$M$ についての予想は $M^\vee(1)$ についての予想を導くと予想されている（Kin03 Conjecture 1.3.4）。

小さな場合

代数体の単数と Dedekind ゼータ関数

最初の係数も計算できる。$M=\mathbb{Q}(0)$ では $\zeta_F(s)$ の $s=0$ での最初の係数は $-hR/w$ である（$h$ は類数、$R$ は単数基準、$w$ は 1 の冪根の個数。Ven05 Example 3.8、解析的類数公式）。$F=\mathbb{Q}$ では $\zeta(0)=-1/2$ であり、$h=R=1$、$w=2$ と合う。主予想はこの形の 解析的類数公式 の言い換えであり、$M=\mathbb{Q}(0),\mathbb{Q}(1)$ について成り立つ（Kin03 Proposition 2.1.4 と直後の記述。完全な証明は少なくとも $p\ne2$ で書かれている）。この記事では証明しない。

楕円曲線

$E/\mathbb{Q}$ について $M=h^1(E)(1)$ とする。$L(M,s)=L(E,s+1)$ で（Ven05 Example 3.1 B）、Weil対 により $V^*(1)\cong V=V_pE$ である。$E(\mathbb{Q})$ の捩れは有限なので $H^0(\mathbb{Q},V)=0$ である。よって conj-bk-rank の Galois 側の等式は、prop-bk-elliptic により
$$ \operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)=\operatorname{rank}E(\mathbb{Q})+\operatorname{corank}Ш(E/\mathbb{Q})[p^\infty] $$
と書ける。$Ш(E/\mathbb{Q})$ が有限なら、これは Birch–Swinnerton-Dyer予想 の階数の主張である。conj-bk-main は最初の係数について、$Ш(E/\mathbb{Q})$ の有限性のもとで Birch–Swinnerton-Dyer の形
$$ \frac{L(M,0)^*}{\Omega\cdot R}\sim\frac{\lvert Ш(E/\mathbb{Q})\rvert}{\lvert E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}\rvert^2}\prod_\ell c_\ell\quad(\mathbb{Z}_p^\times\text{ を除いて、}p\ne2) $$
と同値である（Ven05 (3.35)、p. 15。$\Omega$ は周期、$R$ は高さの対の行列式、$c_\ell$ は局所の因子）。この記事では証明しない。
$L(E,1)\ne0$ のとき $E(\mathbb{Q})$ と $Ш(E/\mathbb{Q})$ は有限である（加藤のEuler系。モジュラー性定理 のもとで Kat04 Corollary 14.3 の $A=E$、自明な指標の場合にあたる）。したがって $H^1_f(\mathbb{Q},V_pE)=0$ となり、この場合の位数の等式は両辺 $0$ で成り立つ。

現状

次の表は文献の時点で知られている場合である。$p$ の条件は主予想の 2 についてのものである。

重さ $-1$ の場合は Birch–Swinnerton-Dyer 予想にあたり、個別の結果が多い（Kin03 p. 186 は扱いを省いている。Birch–Swinnerton-Dyer予想 の表を見よ）。
証明の鍵は 2 つの道具である。1 つは岩澤理論と主予想で、$L$ 値を Selmer 群の位数に結びつける（岩澤主予想）。もう 1 つはモチーフ的な元（多重対数の実現、加藤のEuler系 の Beilinson 元）で、$L$ 値を Galois コホモロジーの元に結びつける（Kin03 p. 180）。

反例

次の表は、conj-bk-rank の形から 1 つの条件を外すと等式が破れることを示す。

また、conj-bk-realization は conj-bk-rank と別の予想である。prop-bk-elliptic の完全列で $V_pШ\ne0$ なら $H^1_f(\mathbb{Q},V_pE)$ は $E(\mathbb{Q})\otimes\mathbb{Q}_p$ より真に大きくなる。$Ш(E/\mathbb{Q})$ の有限性は一般には予想なので、この可能性は証明の上では排除されていない。

関連項目

• 前提: Galoisコホモロジー, Selmer群, p進Hodge理論, Galois表現のL関数
• 特別な場合: 解析的類数公式, Birch–Swinnerton-Dyer予想
• 比較: 岩澤主予想, Tate予想, Milnor K群
• 発展: 加藤のEuler系, Tate–Shafarevich群, 玉河数