陰関数の微分

円 $x^2+y^2=25$ の上の点 $(3,\,4)$ での接線の傾きを求める。
$y$ について解いてから微分する：点 $(3,\,4)$ は上半分 $y>0$ にあるので、$y=\sqrt{25-x^2}$ である。連鎖律（高校数学） により
$$ y'=\frac{1}{2\sqrt{25-x^2}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{25-x^2}} $$
で、$x=3$ では $-\dfrac3{\sqrt{16}}=-\dfrac34$ である。
両辺を $x$ で微分する：$y$ を $x$ の関数とみると、$y^2$ は「$u^2$ と $u=y$ の合成」なので、連鎖律により $(y^2)'=2y\,y'$ である。よって $x^2+y^2=25$ の両辺を $x$ で微分して
$$ 2x+2y\,y'=0,\qquad y'=-\frac xy $$
である。$(x,\,y)=(3,\,4)$ を代入すると $y'=-\dfrac34$ で、一致する。
下半分の点 $(3,\,-4)$ では、$y=-\sqrt{25-x^2}$ を微分すると $y'=\dfrac{x}{\sqrt{25-x^2}}=\dfrac34$ である。一方、式 $y'=-\dfrac xy$ に $(3,\,-4)$ を代入しても $-\dfrac3{-4}=\dfrac34$ となる。同じ式で、上半分と下半分の両方の傾きが求まる（図1）。

$xy=1$ の両辺を $x$ で微分する。左辺は $x$ と $y$ の積なので、積の微分により $(xy)'=1\cdot y+x\,y'$ である。右辺は定数なので $0$ である。よって
$$ y+x\,y'=0,\qquad y'=-\frac yx $$
である。
$y$ について解くと $y=\dfrac1x$ で、$y'=-\dfrac1{x^2}$ である。$y=\dfrac1x$ を $-\dfrac yx$ に代入しても $-\dfrac1{x^2}$ となり、一致する。$x=2$ では、$y=\dfrac12$ で、どちらも $y'=-\dfrac14$ である。

$F(x,y)=x^2+y^2-25$ とし、区間 $-5< x<5$ で考える。

1. $\varphi_1(x)=\sqrt{25-x^2}$（上半分）と $\varphi_2(x)=-\sqrt{25-x^2}$（下半分）は、どちらも $x^2+\varphi(x)^2=25$ を満たすので、陰関数である。
2. $x<0$ では $\varphi_1$、$x\ge0$ では $\varphi_2$ を使う関数 $\varphi_3$ も、$x^2+\varphi_3(x)^2=25$ を満たすので、定義の上では陰関数である。しかし $\varphi_3$ は $x=0$ で値が $5$ から $-5$ へ跳び、連続でも微分可能でもない。
3. 連続であることを求めても、1 の $\varphi_1$ と $\varphi_2$ の 2 つが残るので、陰関数は 1 つに決まらない。そこで、曲線上の点を 1 つ指定する。たとえば点 $(3,\,4)$ を通る、$-5< x<5$ で連続な陰関数 $\varphi$ を考える。$\varphi(x)^2=25-x^2>0$ なので $\varphi(x)$ はどこでも $0$ にならず、連続なので（中間値の定理 により）符号が変わらない。$\varphi(3)=4>0$ なので $\varphi(x)>0$、つまり $\varphi=\varphi_1$ に決まる。$\varphi_3$ も点 $(-3,\,4)$ と点 $(3,\,-4)$ を通るが、連続でないので、この議論からは除かれる。連続という仮定を外すと、点 $(-3,\,4)$ を通る陰関数は $\varphi_1$ も $\varphi_3$ もあり（$x\ne-3$ の各点で符号を自由に選べるので、ほかにも無数にある）、1 つに決まらない。
   陰関数の微分で考えるのは、1 の $\varphi_1$、$\varphi_2$ のような微分可能な陰関数である。ex-imp-circle の式 $y'=-\frac xy$ は、点 $(x,\,y)$ を通る微分可能な陰関数の導関数を表す。$y$ が式に残るのは、同じ $x$ に対して曲線上の点が 2 つ（$y>0$ と $y<0$）あり、どちらの陰関数の傾きかを $y$ の値で区別するためである。

1. $F=x^2+y^2-25$：$F_x=2x$、$F_y=2y$ である。
2. $F=xy-1$：$F_x=y$、$F_y=x$ である。
3. $F=x^3+y^3-3xy$：$F_x=3x^2-3y$、$F_y=3y^2-3x$ である。点 $(1,\,2)$ では $F_x=3-6=-3$、$F_y=12-3=9$ である。

1. 円 $x^2+y^2=25$：$F_x=2x$、$F_y=2y$ なので、$y\ne0$ の点で $y'=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac xy$ である。ex-imp-circle と同じ式である。
2. 双曲線 $xy=1$：$F_x=y$、$F_y=x$ なので $y'=-\dfrac yx$ で、ex-imp-hyperbola と同じである。
3. 逆関数：関数 $f$ の逆関数 $y=g(x)$ は、$x=f(y)$、つまり $F(x,y)=x-f(y)=0$ で定まる陰関数である。$F_x=1$、$F_y=-f'(y)$ なので
   $$ y'=-\frac{1}{-f'(y)}=\frac1{f'(y)} $$
   で、逆関数の微分 の公式 $g'(x)=\dfrac1{f'(g(x))}$ と同じである。たとえば $x=y^3+y$ で定まる $y$ は、点 $(2,\,1)$ で $y'=\dfrac1{3\cdot1^2+1}=\dfrac14$ である。ただし、ここでも陰関数 $g$ が微分可能であることは仮定している。それを示したのが 逆関数の微分 の定理である。

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$、$b>0$）の上の点 $(x_0,\,y_0)$ での接線を求める。
$y_0\ne0$ の場合。両辺を $x$ で微分すると $\dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2y\,y'}{b^2}=0$ なので、$y'=-\dfrac{b^2x}{a^2y}$ である。点 $(x_0,\,y_0)$ での接線は
$$ y-y_0=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0) $$
である。両辺に $\dfrac{y_0}{b^2}$ を掛けて移項すると
$$ \frac{x_0(x-x_0)}{a^2}+\frac{y_0(y-y_0)}{b^2}=0,\qquad \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1 $$
となる（最後の等号は、点 $(x_0,\,y_0)$ が楕円の上にあることによる）。
$y_0=0$ の場合。点は $(\pm a,\,0)$ で、$y'$ の式の分母が $0$ になる。そこで役割を入れ替え、$x$ を $y$ の関数とみて両辺を $y$ で微分すると、$\dfrac{2x}{a^2}\cdot\dfrac{dx}{dy}+\dfrac{2y}{b^2}=0$ で、点 $(\pm a,\,0)$ では $\dfrac{dx}{dy}=0$ である。$x$ が $y$ についての傾き $0$ で変わるので、接線は垂直な直線 $x=\pm a$ である。これは公式 $\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$ に $(x_0,\,y_0)=(\pm a,\,0)$ を代入した $\pm\dfrac xa=1$ と一致する。
数値の例：楕円 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ の点 $\left(1,\,\dfrac{\sqrt3}2\right)$ では、傾きは $-\dfrac{1\cdot1}{4\cdot\frac{\sqrt3}2}=-\dfrac1{2\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt3}6$ で、接線は $\dfrac x4+\dfrac{\sqrt3}2y=1$ である。$y=\sqrt{1-\frac{x^2}4}$ を直接微分しても、$x=1$ で $-\dfrac{\sqrt3}6$ になる。
$a=b=r$ とすると、円 $x^2+y^2=r^2$ の接線 $x_0x+y_0y=r^2$ になる。円の場合は 円と直線の位置関係 で、半径に垂直な直線として図形的に求めている。楕円の焦点と接線の関係（光の反射）は 2次曲線の接線と光学的性質 で扱う。

円 $x^2+y^2=25$ の $y>0$ の部分で、$y'=-\dfrac xy$ をもう一度 $x$ で微分する。商の微分と、$y$ が $x$ の関数であることから
$$ y''=-\frac{1\cdot y-x\,y'}{y^2}=-\frac{y-x\left(-\frac xy\right)}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{y^3}=-\frac{25}{y^3} $$
である（最後に $x^2+y^2=25$ を使った）。$(3,\,4)$ では $y''=-\dfrac{25}{64}$ で、$y=\sqrt{25-x^2}$ を 2 回微分した値と一致する。
$y>0$ では $y''<0$ なので上半分は上に凸、$y<0$ では $y''>0$ なので下半分は下に凸である（接線・法線と曲線の凹凸）。

$x^2+y^2+1=0$ の両辺を形式的に $x$ で微分すると、$2x+2y\,y'=0$ から $y'=-\dfrac xy$ となり、円 $x^2+y^2=25$ と同じ式が出る。
しかし、実数 $x$、$y$ について $x^2+y^2+1\ge1>0$ なので、$x^2+y^2+1=0$ を満たす点 $(x,\,y)$ は 1 つもない。陰関数は存在せず、$y'=-\frac xy$ は何の傾きでもない。
同じように、$x^2+y^2=0$ を満たす点は原点 $(0,\,0)$ だけである。1 点だけでは、区間で定義された陰関数はない。

円 $x^2+y^2=25$ の点 $(5,\,0)$ では $F_y=2y=0$ で、$y'=-\frac xy$ の分母が $0$ になる。この点の近くの様子を調べる。

1. $x$ が $5$ より少し小さいとき、たとえば $x=4.6$ では、$y^2=25-4.6^2=3.84$ で、$y=\pm1.9595\ldots$ の 2 つの値がある（図1）。
2. $x>5$ では $y^2=25-x^2<0$ となり、$y$ の値は 1 つもない。
   したがって、$x=5$ を内部に含むどんな区間でも、$x^2+\varphi(x)^2=25$、$\varphi(5)=0$ を満たす関数 $\varphi$ は定義できない（$x>5$ で値がないため）。点 $(5,\,0)$ の近くで、$y$ は $x$ の関数ではない。
   一方、$F_x=2x=10\ne0$ なので、役割を入れ替えると、$x$ は $y$ の関数 $x=\sqrt{25-y^2}$ として表せる。ex-imp-ellipse-tangent の $y_0=0$ の場合と同じく、$\dfrac{dx}{dy}=-\dfrac yx=0$ で、接線は垂直な直線 $x=5$ である。

$F=x^3+y^3-3xy$ とすると、ex-imp-partial の 3 から $F_x=3x^2-3y$、$F_y=3y^2-3x$ である。prop-imp-differentiate により、$y^2\ne x$ の点では
$$ y'=-\frac{3x^2-3y}{3y^2-3x}=\frac{y-x^2}{y^2-x} $$
である。

1. 点 $\left(\dfrac32,\,\dfrac32\right)$ は曲線の上にある（$\dfrac{27}8+\dfrac{27}8=\dfrac{27}4=3\cdot\dfrac94$）。$y'=\dfrac{\frac32-\frac94}{\frac94-\frac32}=\dfrac{-\frac34}{\frac34}=-1$ で、接線は $y-\dfrac32=-\left(x-\dfrac32\right)$、つまり $x+y=3$ である。
2. 水平な接線（$y'=0$）：分子 $y-x^2=0$ で分母が $0$ でない点を探す。$y=x^2$ を曲線の式に代入すると $x^3+x^6=3x^3$、つまり $x^3(x^3-2)=0$ で、$x=0$ または $x=\sqrt[3]{2}$ である。$x=0$ のときは $y=0$ で原点になり、分母 $y^2-x$ も $0$ になるので除く（原点は 4 で調べる）。$x=\sqrt[3]2$ のとき $y=\sqrt[3]4$ で、分母は $y^2-x=\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]2=\sqrt[3]2\,(2-1)\ne0$ である。点 $(\sqrt[3]2,\,\sqrt[3]4)=(1.2599\ldots,\,1.5874\ldots)$ で接線は水平である。
3. 垂直な接線：$x$ と $y$ を入れ替えても曲線の式は変わらないので、2 の点を直線 $y=x$ で折り返した点 $(\sqrt[3]4,\,\sqrt[3]2)$ で接線は垂直である。ここでは $F_y=0$、$F_x\ne0$ で、ex-imp-vertical と同じく $x$ を $y$ の関数とみれば $\dfrac{dx}{dy}=0$ となる。
4. 原点 $(0,\,0)$ では $F_x=F_y=0$ で、$y'$ の式は $\dfrac00$ になる。これは次の例で調べる（図2）。

原点の近くの様子を、原点を通る直線 $y=tx$ との交点で調べる（2次曲線の媒介変数表示 で円の点を作ったのと同じ方法である）。
段 1（交点を求める）。$y=tx$ を曲線の式に代入すると $x^3+t^3x^3=3tx^2$、つまり $x^2\bigl((1+t^3)x-3t\bigr)=0$ である。$x=0$ は原点で、もう 1 つの交点は、$t\ne-1$ のとき
$$ x=\frac{3t}{1+t^3},\qquad y=tx=\frac{3t^2}{1+t^3} $$
である。$t$ を動かすと、この点は葉線の上を動く。$t\to-1$ のときは分母 $1+t^3$ が $0$ に近づき、点は遠くへ行く。一方、$1+t^3=(1+t)(1-t+t^2)$ なので
$$ x+y=\frac{3t(1+t)}{1+t^3}=\frac{3t}{1-t+t^2}\to\frac{-3}{3}=-1\qquad(t\to-1) $$
である。つまり遠くへ行くにつれて、曲線は直線 $x+y=-1$ に近づく。この直線を葉線の漸近線という（図2の灰色の破線）。
段 2（$t$ が $0$ に近いとき）。$t\to0$ のとき点は原点に近づき、$x\approx3t$、$y\approx3t^2$、つまり $y\approx\dfrac{x^2}3$ である。この部分は原点で $x$ 軸（$y=0$）に接する。実際、$\dfrac{dx}{dt}=3$、$\dfrac{dy}{dt}=0$（$t=0$）である。
段 3（$|t|$ が大きいとき）。$|t|\to\infty$ のときも点は原点に近づき、$x\approx\dfrac3{t^2}$、$y\approx\dfrac3t$、つまり $x\approx\dfrac{y^2}3$ である。この部分は原点で $y$ 軸（$x=0$）に接する。
段 4（まとめ）。葉線は原点を 2 回通り、そこで $x$ 軸に接する部分と $y$ 軸に接する部分が交わる。接線が 1 本に決まらないので、$y'$ の式が $\dfrac00$ になるのは自然である。原点の近くで $y$ は $x$ の関数でもない。たとえば $x=0.01$ のとき、$y^3-0.03y+0.000001=0$ の実数解は $y=0.0000333\ldots$、$0.17318\ldots$、$-0.17322\ldots$ の 3 つある（1 つ目は $y\approx\frac{x^2}3$ の部分、残りは $x\approx\frac{y^2}3$ の部分）。

$F(x,y)=y^3-x$ とする。$F=0$ は $y=\sqrt[3]{x}$ と同じで、陰関数 $\varphi(x)=\sqrt[3]x$ は実数全体で定義された連続関数である。
$F_y=3y^2$ は原点で $0$ になる。原点で $\varphi$ は微分可能でない（逆関数の微分 の 3 乗の反例と同じ。差分商 $\frac{\sqrt[3]h}h$ は $h=0.001$ で $100$ になり、限りなく大きくなる）。$F_y=0$ の点では、陰関数があっても微分できないことがある。

$F(x,y)=(y-x)^2$ とする。$F=0$ は直線 $y=x$ と同じで、陰関数 $\varphi(x)=x$ は微分可能で $\varphi'(x)=1$ である。
一方、$F_y=2(y-x)$、$F_x=-2(y-x)$ は直線 $y=x$ の上のすべての点で $0$ になり、$y'=-\frac{F_x}{F_y}$ は $\frac00$ で使えない。$F_y\ne0$ は、陰関数が微分可能であるための必要条件ではない。同じ直線を $F=y-x$ で表せば $F_y=1\ne0$ で、$y'=1$ と求まる。どの式で曲線を表すかによって、条件が満たされるかどうかが変わる。