論理的同値

同義語：logical equivalence論理同値

概要

論理的同値（logical equivalence）とは、2 つの論理式 $\varphi,\psi$ が、命題変数へのどの真理値の割り当てでも同じ真理値をとるという関係で、$\varphi\equiv\psi$ と書く。これは双条件 $\varphi\leftrightarrow\psi$ が恒真式であること、また $\varphi$ から $\psi$、$\psi$ から $\varphi$ の両方向に論理的帰結が成り立つことと同値であり、De Morgan の法則や対偶、分配律がその例である。論理的同値は同値関係で、同値な式どうしに同じ代入をしても、式の一部を同値な式に置き換えても同値が保たれるので、真理値表を作らずに式の変形で同値を示せる。応用として、どの論理式も、否定を命題変数の直前にだけもつ否定標準形の式と同値である。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 命題論理, 恒真式, 同値関係

「$p$ ならば $q$」と「$p$ でないか、または $q$」は、言い回しは違うが、$p,q$ の真偽がどうであっても同じ真偽をとる。このように、命題変数へのどの真理値の割り当てでも真理値が一致する 2 つの論理式を 論理的に同値 であるという。論理的に同値な式は真理値の上では区別がつかないので、論理式の一部を同値な式に置き換えながら式を変形していける。高校で学ぶ De Morgan の法則や対偶は、どれも論理的同値の例である。
本記事では、論理的同値を定義し、双条件 $\leftrightarrow$ が恒真式であることや両方向の論理的帰結との関係を確かめたうえで、論理的同値が代入と両立すること（論理式の一部を同値な式に置き換えても同値であること）を証明する。応用として、どの論理式も否定を命題変数の直前にだけもつ形（否定標準形）の式と論理的に同値であることを示す。
論理式・付値・恒真式の定め方は 命題論理 の記事の定義「論理式」「付値と真理値」と 恒真式 の記事にそろえる。命題変数は $p_0,p_1,\dots$（$p,q,r$ も使う）、結合子は $\lnot,\land,\lor,\to$、真理値は $\mathrm{T}$（真）・$\mathrm{F}$（偽）で書く。

定義

論理的同値

論理式 $\varphi,\psi$ が 論理的に同値（logically equivalent）であるとは、すべての付値 $v$ について $v(\varphi)=v(\psi)$ となることをいう。これを $\varphi\equiv\psi$ と書く。

この定義は 命題論理 の記事の定義「恒真式・充足可能性・論理的帰結」の 4 と同じである（MBTZ25 §12.2、p. 86）。Gal15 Definition 3.3.6（p. 47）は双条件が恒真式であることで定義しており、下の prop-leq-characterization によりこれと同値である。$\varphi\equiv\psi$ の否定、すなわち $v(\varphi)\neq v(\psi)$ となる付値があることを $\varphi\not\equiv\psi$ と書く。

双条件

論理式 $\varphi\leftrightarrow\psi$ を $(\varphi\to\psi)\land(\psi\to\varphi)$ の略記とし、双条件（biconditional）とよぶ。「$\varphi$ と $\psi$ は同値」「$\varphi$ であるのは $\psi$ のとき、かつそのときに限る」と読む。付値 $v$ について、$v(\varphi\leftrightarrow\psi)=\mathrm{T}$ となるのは $v(\varphi)=v(\psi)$ のときに限る。

最後の主張は 含意 の記事の定義「含意」の表から分かる。$v(\varphi)=v(\psi)$ なら $\varphi\to\psi$ と $\psi\to\varphi$ はともに真であり、$v(\varphi)\neq v(\psi)$ なら、真のほうを前件とする含意が偽になる。
記号の使い分け：$\leftrightarrow$ は論理式の中の結合子で、$\varphi\leftrightarrow\psi$ は 1 つの論理式である。$\equiv$ は 2 つの論理式の関係を述べる記号で、$\varphi\equiv\psi$ は論理式ではなく、論理式についての主張である。数学書では両方に $\Leftrightarrow$ を使うことも多いが、本記事では区別する。2 つは次の命題で結びつく。

論理的同値の言い換え

論理式 $\varphi,\psi$ について次は同値である。

  1. $\varphi\equiv\psi$。
  2. $\varphi\leftrightarrow\psi$ は恒真式である。
  3. $\{\varphi\}\vDash\psi$ かつ $\{\psi\}\vDash\varphi$。すなわち、$\varphi$ を真にする付値はすべて $\psi$ を真にし、$\psi$ を真にする付値はすべて $\varphi$ を真にする。
  4. $\varphi\to\psi$ と $\psi\to\varphi$ はともに恒真式である。
    また、関係 $\equiv$ は論理式全体の上の 同値関係 である。

1 $\iff$ 2：def-leq-biconditional により、各付値で $v(\varphi\leftrightarrow\psi)=\mathrm{T}\iff v(\varphi)=v(\psi)$ である。「すべての $v$ で左辺が成り立つ」と「すべての $v$ で右辺が成り立つ」は同じことである。
1 $\iff$ 3：$v(\varphi)\neq v(\psi)$ となる付値は、$\varphi$ を真にして $\psi$ を偽にするか、$\psi$ を真にして $\varphi$ を偽にするかのどちらかである。そのような付値がないことは、3 の 2 つの条件がともに成り立つことと同じである。
3 $\iff$ 4：含意 の記事の定理「意味論的な演繹定理」の $\Sigma=\emptyset$ の場合により、$\{\varphi\}\vDash\psi$ は $\varphi\to\psi$ が恒真式であることと同値であり、$\{\psi\}\vDash\varphi$ についても同様である。
同値関係であること：各付値で $v(\varphi)=v(\varphi)$ なので反射的である。$v(\varphi)=v(\psi)$ なら $v(\psi)=v(\varphi)$ なので対称的である。$\varphi\equiv\psi$ かつ $\psi\equiv\chi$ なら、各付値で $v(\varphi)=v(\psi)=v(\chi)$ なので推移的である。$\square$

論理式が命題変数 $q_1,\dots,q_n$ だけを含むとき、その真理関数 $f_\varphi\colon\{\mathrm{T},\mathrm{F}\}^n\to\{\mathrm{T},\mathrm{F}\}$ が定まり（命題論理 の記事の補題「現れる変数だけで値が決まる」の後の段落）、$\varphi\equiv\psi$ は $f_\varphi=f_\psi$ と同値である。したがって論理的同値は真理値表の最終列が一致することで判定できる。

直感

論理的同値は「真理値しか見ない目には同じに見える」という関係である。$p\to q$ と $\lnot q\to\lnot p$ は文としては別物だが、どの状況でも同時に真、同時に偽になる。論理的同値な式は、推論の前提にしても結論にしても同じ働きをする。数学で「示すべきことを言い換える」とき、言い換えの前後が論理的に同値であることが、その言い換えが正当であることの中身である。一方、論理的同値は式の長さや読みやすさ、計算の手間を区別しない。同じ真理関数を表す式の中から目的に合った形を選ぶことが、式の変形の目標になる。

例

基本的な論理的同値

次の各組は論理的に同値である（$\varphi,\psi,\chi$ は任意の論理式）。

名前論理的同値
二重否定$\lnot\lnot\varphi\equiv\varphi$
交換律$\varphi\land\psi\equiv\psi\land\varphi$、$\varphi\lor\psi\equiv\psi\lor\varphi$
結合律$(\varphi\land\psi)\land\chi\equiv\varphi\land(\psi\land\chi)$、$\lor$ も同様
冪等律$\varphi\land\varphi\equiv\varphi$、$\varphi\lor\varphi\equiv\varphi$
分配律$\varphi\land(\psi\lor\chi)\equiv(\varphi\land\psi)\lor(\varphi\land\chi)$、$\varphi\lor(\psi\land\chi)\equiv(\varphi\lor\psi)\land(\varphi\lor\chi)$
吸収律$\varphi\land(\varphi\lor\psi)\equiv\varphi$、$\varphi\lor(\varphi\land\psi)\equiv\varphi$
De Morgan の法則$\lnot(\varphi\land\psi)\equiv\lnot\varphi\lor\lnot\psi$、$\lnot(\varphi\lor\psi)\equiv\lnot\varphi\land\lnot\psi$
含意の書き換え$\varphi\to\psi\equiv\lnot\varphi\lor\psi$、$\lnot(\varphi\to\psi)\equiv\varphi\land\lnot\psi$
対偶$\varphi\to\psi\equiv\lnot\psi\to\lnot\varphi$
仮定の分け方$(\varphi\land\psi)\to\chi\equiv\varphi\to(\psi\to\chi)$
双条件の書き換え$\varphi\leftrightarrow\psi\equiv(\varphi\land\psi)\lor(\lnot\varphi\land\lnot\psi)$

確かめ方の例として、分配律の 1 つ目を見る。付値 $v$ で左辺が真になるのは、$v(\varphi)=\mathrm{T}$ で、$\psi,\chi$ の少なくとも一方が真のときである。右辺が真になるのは、$\varphi\land\psi$ か $\varphi\land\chi$ が真、すなわち $v(\varphi)=\mathrm{T}$ で $\psi,\chi$ の少なくとも一方が真のときであり、条件が一致する。吸収律の 1 つ目は、$v(\varphi)=\mathrm{T}$ なら $\varphi\lor\psi$ も真で両辺とも $\mathrm{T}$、$v(\varphi)=\mathrm{F}$ なら両辺とも $\mathrm{F}$ である。双条件の書き換えは、右辺が真になるのが $v(\varphi)=v(\psi)=\mathrm{T}$ か $v(\varphi)=v(\psi)=\mathrm{F}$ のとき、すなわち $v(\varphi)=v(\psi)$ のときに限ることから、def-leq-biconditional により従う。交換律・結合律・冪等律は $\land,\lor$ の真理値の規則から直ちに分かる。
De Morgan の法則は De Morganの法則 の記事の定理「命題論理のDe Morganの法則」、二重否定と対偶は 論理と命題 の記事の命題「基本的な恒真式」、含意の書き換えは 含意 の記事の命題「含意による言い換え」、仮定の分け方は同じ記事の命題「真理値の順序による言い換え」の 4 で確かめられている（一覧は Gal15 Lemma 3.3.6、pp. 48–49 にもある）。

反例：論理的に同値でない組
  1. $p\to q\not\equiv q\to p$。$v(p)=\mathrm{F}$、$v(q)=\mathrm{T}$ で左辺は真、右辺は偽である。含意とその逆は同値でない。
  2. $p\land q\not\equiv p$。$\{p\land q\}\vDash p$ は成り立つが、$v(p)=\mathrm{T}$、$v(q)=\mathrm{F}$ で左辺は偽、右辺は真である。片方向の論理的帰結だけでは論理的同値にならない（prop-leq-characterization の 3 は両方向を要求する）。
  3. $p\not\equiv q$。$v(p)=v(q)=\mathrm{T}$ となる付値では $p\leftrightarrow q$ は真だが、$v(p)=\mathrm{T}$、$v(q)=\mathrm{F}$ で真理値が食い違う。ある 1 つの付値で双条件が真であることと、論理的に同値であること（すべての付値で双条件が真）は違う。
  4. $\lnot(p\land q)\not\equiv\lnot p\land\lnot q$。$v(p)=\mathrm{T}$、$v(q)=\mathrm{F}$ で左辺は真、右辺は偽である。否定を内側に入れるときは $\land$ と $\lor$ を入れ替える必要がある。

性質

代入と論理的同値

論理的同値を式の変形に使うには、「式の一部を同値な式に取り替えても、全体は同値のまま」であることが要る。これは代入の言葉で正確に述べられる。代入 $\varphi[\psi_1/p_1,\dots,\psi_n/p_n]$（$\varphi[\vec\psi/\vec p]$ と略す）は、$\varphi$ の中の相異なる命題変数 $p_i$ のすべての出現を同時に論理式 $\psi_i$ に置き換えたものである（恒真式 の記事の定義「代入」）。

代入と論理的同値

$p_1,\dots,p_n$ を相異なる命題変数とする。

  1. $\varphi\equiv\varphi'$ ならば、任意の論理式 $\psi_1,\dots,\psi_n$ について $\varphi[\vec\psi/\vec p]\equiv\varphi'[\vec\psi/\vec p]$ である。
  2. $\psi_i\equiv\psi_i'$（$1\le i\le n$）ならば、任意の論理式 $\varphi$ について $\varphi[\vec\psi/\vec p]\equiv\varphi[\vec\psi'/\vec p]$ である。

付値 $v$ と論理式の列 $\vec\chi=(\chi_1,\dots,\chi_n)$ に対し、付値 $v_{\vec\chi}$ を、$v_{\vec\chi}(p_i):=v(\chi_i)$（$1\le i\le n$）、それ以外の命題変数 $q$ では $v_{\vec\chi}(q):=v(q)$ で定める。恒真式 の記事の補題「代入と付値」により、すべての論理式 $\theta$ について
$$ v\bigl(\theta[\vec\chi/\vec p]\bigr)=v_{\vec\chi}(\theta) $$
である。
1：任意の付値 $v$ について、$v(\varphi[\vec\psi/\vec p])=v_{\vec\psi}(\varphi)=v_{\vec\psi}(\varphi')=v(\varphi'[\vec\psi/\vec p])$ である。中央の等号は $\varphi\equiv\varphi'$ を付値 $v_{\vec\psi}$ に当てはめたものである。
2：任意の付値 $v$ について、$v_{\vec\psi}(p_i)=v(\psi_i)=v(\psi_i')=v_{\vec\psi'}(p_i)$ であり、ほかの命題変数ではどちらも $v$ と一致するので、$v_{\vec\psi}=v_{\vec\psi'}$ である。よって $v(\varphi[\vec\psi/\vec p])=v_{\vec\psi}(\varphi)=v_{\vec\psi'}(\varphi)=v(\varphi[\vec\psi'/\vec p])$ である。$\square$

2 で $\varphi$ を $p_1\land p_2$ などにとると、$\psi_1\equiv\psi_1'$、$\psi_2\equiv\psi_2'$ のとき $\psi_1\land\psi_2\equiv\psi_1'\land\psi_2'$ であり、$\lor,\to,\lnot$ についても同様である。すなわち論理的同値は結合子と両立する同値関係（合同関係）である（Gal15 Lemma 3.3.5、p. 47）。1 は、論理的同値の一覧（ex-leq-laws）を命題変数の形で覚えておけば、どんな論理式を当てはめても成り立つことを保証する。2 は Gal15 の問題 3.3.10（p. 55）の主張でもある。

同値な部分論理式の置き換え

論理式 $\chi$ の中の部分論理式 $\theta$ の 1 つの出現を論理式 $\theta'$ に置き換えた論理式を $\chi'$ とする。$\theta\equiv\theta'$ ならば $\chi\equiv\chi'$ である。

$\chi$ にも $\theta'$ にも現れない命題変数 $r$ をとる（命題変数は無限個あり、$\chi,\theta'$ に現れるのは有限個である）。$\chi$ の中の指定した $\theta$ の出現を $r$ に置き換えた論理式を $\chi_0$ とする。$r$ は $\chi_0$ にちょうど 1 回、その位置にだけ現れるので、$\chi_0[\theta/r]=\chi$、$\chi_0[\theta'/r]=\chi'$ である。thm-leq-substitution の 2（$n=1$）により $\chi_0[\theta/r]\equiv\chi_0[\theta'/r]$、すなわち $\chi\equiv\chi'$ である。$\square$

同じ主張は一階述語論理でも成り立ち、古典論理 の記事の補題「同値な部分論理式の置き換え」が論理式の組み立てに沿った帰納法で直接示している。ここでは代入の補題からの帰結として導いた。

同値変形

cor-leq-replacement と ex-leq-laws の一覧を組み合わせると、真理値表を作らずに、式の変形の列で論理的同値を示せる。

同値変形による証明
  1. $(p\to q)\land(p\to r)\equiv p\to(q\land r)$：含意の書き換えで左辺は $(\lnot p\lor q)\land(\lnot p\lor r)$ と同値であり、分配律（2 つ目を右から左へ）で $\lnot p\lor(q\land r)$、含意の書き換えで $p\to(q\land r)$ と同値である。
  2. $(p\to r)\land(q\to r)\equiv(p\lor q)\to r$（場合分けの形）：左辺は $(\lnot p\lor r)\land(\lnot q\lor r)$ と同値で、交換律と分配律で $(\lnot p\land\lnot q)\lor r$、De Morgan の法則で $\lnot(p\lor q)\lor r$、含意の書き換えで $(p\lor q)\to r$ と同値である。
  3. $p\to(q\to p)\equiv p\lor\lnot p$：含意の書き換えを 2 回使うと $\lnot p\lor(\lnot q\lor p)$ と同値で、交換律・結合律で $(p\lor\lnot p)\lor\lnot q$ と同値である。$p\lor\lnot p$ は恒真式なので、この式はつねに真であり、$p\lor\lnot p$ と同値である（恒真式 の記事の命題「恒真式の判定」の 3）。
    各段では、式の一部を一覧の同値で置き換えているので、cor-leq-replacement により前後の式は論理的に同値であり、推移律（prop-leq-characterization）により最初と最後の式も同値である。

否定標準形

否定を命題変数の直前にだけもち、$\to$ を使わない形に、どの論理式も変形できる。命題変数 $p$ と、その否定 $\lnot p$ をあわせて リテラル という。

否定標準形

リテラルから $\land$ と $\lor$ だけを使って作られる論理式を 否定標準形（negation normal form）の論理式という。

否定標準形の存在

任意の論理式 $\varphi$ に対し、否定標準形の論理式 $N(\varphi)$ で次を満たすものがある。

  1. $N(\varphi)\equiv\varphi$。
  2. $N(\varphi)$ に現れる命題変数は $\varphi$ に現れる命題変数と同じである。
  3. $N(\varphi)$ の中の $\land,\lor$ の個数は、$\varphi$ の中の $\land,\lor,\to$ の個数に等しい。

否定標準形の論理式の組 $N(\varphi)$、$\overline{N}(\varphi)$ を、$\varphi$ の組み立てに沿って同時に定める（命題論理 の記事の定理「一意読み取り」により、この定義は矛盾なく定まる）。
$$ \begin{aligned} N(p)&:=p, & \overline{N}(p)&:=\lnot p,\\ N(\lnot\varphi)&:=\overline{N}(\varphi), & \overline{N}(\lnot\varphi)&:=N(\varphi),\\ N(\varphi\land\psi)&:=N(\varphi)\land N(\psi), & \overline{N}(\varphi\land\psi)&:=\overline{N}(\varphi)\lor\overline{N}(\psi),\\ N(\varphi\lor\psi)&:=N(\varphi)\lor N(\psi), & \overline{N}(\varphi\lor\psi)&:=\overline{N}(\varphi)\land\overline{N}(\psi),\\ N(\varphi\to\psi)&:=\overline{N}(\varphi)\lor N(\psi), & \overline{N}(\varphi\to\psi)&:=N(\varphi)\land\overline{N}(\psi). \end{aligned} $$
右辺はどれも、リテラルであるか、帰納法の仮定により否定標準形である論理式を $\land$ か $\lor$ でつないだものなので、否定標準形である。2 と 3 は、各行で命題変数の集まりと $\land,\lor,\to$ の個数が保たれる（$\to$ は $\lor$ に、$\land,\lor$ は $\land$ か $\lor$ に移り、$\lnot$ は数に入らない）ことから、帰納法で $N$ と $\overline{N}$ の両方について従う。
1 を示すため、$N(\varphi)\equiv\varphi$ と $\overline{N}(\varphi)\equiv\lnot\varphi$ を同時に帰納法で示す。命題変数では明らかである。以下、帰納法の仮定と、thm-leq-substitution の後で述べた合同性（成分を同値な式に替えても同値）を使う。

  • $\lnot\varphi$：$N(\lnot\varphi)=\overline{N}(\varphi)\equiv\lnot\varphi$。$\overline{N}(\lnot\varphi)=N(\varphi)\equiv\varphi\equiv\lnot\lnot\varphi$（二重否定）。
  • $\varphi\land\psi$：$N(\varphi\land\psi)\equiv\varphi\land\psi$。$\overline{N}(\varphi\land\psi)\equiv\lnot\varphi\lor\lnot\psi\equiv\lnot(\varphi\land\psi)$（De Morgan の法則）。
  • $\varphi\lor\psi$：同様に $\overline{N}(\varphi\lor\psi)\equiv\lnot\varphi\land\lnot\psi\equiv\lnot(\varphi\lor\psi)$。
  • $\varphi\to\psi$：$N(\varphi\to\psi)\equiv\lnot\varphi\lor\psi\equiv\varphi\to\psi$、$\overline{N}(\varphi\to\psi)\equiv\varphi\land\lnot\psi\equiv\lnot(\varphi\to\psi)$（含意の書き換え）。
    どの場合も最後の同値は ex-leq-laws の一覧のものである。$\square$

たとえば $\varphi=\lnot(p\to(q\land\lnot r))$ では $N(\varphi)=\overline{N}(p\to(q\land\lnot r))=p\land\overline{N}(q\land\lnot r)=p\land(\lnot q\lor r)$ である。3 により、否定標準形への変形は式の長さをほとんど変えない。これに対し、さらに分配律で選言標準形（リテラルの連言の選言）にすると式が長くなりうる。たとえば $(p_1\lor q_1)\land\cdots\land(p_n\lor q_n)$ を分配律で展開すると $2^n$ 個の連言の選言になる。選言標準形の存在そのものは 命題論理 の記事の定理「選言標準形による関数的完全性」で真理値表から示されている。標準形の詳しい扱いは 選言標準形と連言標準形 の記事の主題である。

同値類の個数と構造

$n\ge1$ 個の命題変数 $p_1,\dots,p_n$ だけを含む論理式の論理的同値による類は、真理関数 $\{\mathrm{T},\mathrm{F}\}^n\to\{\mathrm{T},\mathrm{F}\}$ と 1 対 1 に対応し、ちょうど $2^{2^n}$ 個ある。類の全体は $\lor,\land,\lnot$ で Boole代数 になり、その順序は「$\varphi\to\psi$ が恒真式」で与えられる。どちらも 命題論理 の記事の定理「選言標準形による関数的完全性」「論理式の同値類のなすBoole代数」で証明されている。ex-leq-laws の一覧の多くは、この Boole 代数の公理や基本法則（Boole代数 の記事の命題「補元の一意性と基本法則」）を論理式の言葉で読んだものである。

仮定を外したときの反例

外す条件反例成り立たなくなること
両方向の帰結（$\{\theta\}\vDash\theta'$ だけにする）$\theta=p\land q$、$\theta'=p$ を $\lnot(\cdot)$ の中で置き換える置き換えの前後の同値：$\lnot(p\land q)\not\equiv\lnot p$
すべての付値で一致（1 つの付値で一致にする）$v(p)=v(q)=\mathrm{T}$ の付値で一致する $p$ と $q$ を、$p\lor\lnot q$ の中で置き換える置き換えの前後の同値：$q\lor\lnot q$ は恒真だが $p\lor\lnot q$ は恒真でない
変数のすべての出現に代入する$p\land p\equiv p$ の左辺の最初の $p$ だけを $q$ に、右辺の $p$ を $q$ に替える同じ代入をした結果の同値：$q\land p\not\equiv q$
真理値が 2 つ（3 元の Heyting 代数にする）$\{0<\tfrac12<1\}$ で $v(p)=\tfrac12$$\lnot\lnot p\equiv p$：$\lnot\lnot p$ の値は $1$、$p$ の値は $\tfrac12$

1 行目：$v(p)=\mathrm{T}$、$v(q)=\mathrm{F}$ で $\lnot(p\land q)$ は真、$\lnot p$ は偽である。片方向の帰結は否定の中に入れると向きが逆になるので、置き換えに使えない。2 行目：$v(p)=v(q)=\mathrm{F}$ で $p\lor\lnot q$ は真だが、$v(p)=\mathrm{F}$、$v(q)=\mathrm{T}$ で偽になる。3 行目：$v(q)=\mathrm{T}$、$v(p)=\mathrm{F}$ で $q\land p$ は偽、$q$ は真である。4 行目の計算は 古典論理 の記事の例「反例：3 つの真理値」にある。

補足：ほかの論理での論理的同値

一階述語論理でも、すべての構造・すべての割り当てで真理値が一致することを論理的同値という。量化記号の移動（$\lnot\forall x\,\varphi\equiv\exists x\,\lnot\varphi$ など）を加えると、どの論理式も量化記号を先頭に集めた形と同値になる（古典論理 の記事の定理「冠頭標準形」）。
直観主義論理 では、$\varphi\leftrightarrow\psi$ が証明できることを同値とみると、古典的に同値な $\lnot\lnot p$ と $p$、$p\to q$ と $\lnot p\lor q$ は同値でなくなる。直観主義論理で証明できる式は古典論理でも証明できるので、同値関係としては古典論理の論理的同値より細かくなる。

関連項目

参考文献

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