Nashの埋め込み定理
概要
Nashの埋め込み定理（Nash embedding theorem）とは、Riemann 多様体 $(M,g)$ が Euclid 空間 $\mathbb{R}^N$ への等長埋め込み、すなわち誘導計量が $g$ に一致する埋め込みをもつという J. Nash の定理である。$n$ 次元の閉多様体の $C^k$ 級（$k\ge3$）の計量は $N=n(3n+11)/2$ で $C^k$ 級の等長埋め込みをもつ。$C^1$ 級なら、閉多様体の短い埋め込みは $N\ge n+1$ で $C^1$ 級の等長埋め込みにいくらでも一様に近く変形できる（Nash–Kuiper の定理）。平坦トーラスは $\mathbb{R}^3$ に $C^1$ 級では等長に埋め込めるが、$C^3$ 級では埋め込めない。
Riemann 多様体は、Euclid 空間の中の曲面のように外から見るのではなく、各点の接空間の内積だけで長さや角度を定めた空間である。それでも、どの Riemann 多様体も、十分次元の高い Euclid 空間の中に、曲線の長さを変えずに埋め込める。これが J. Nash が 1954 年と 1956 年の論文で示した Nash の埋め込み定理（等長埋め込み定理）である。Whitneyの埋め込み定理 は多様体を $\mathbb{R}^{2n+1}$ に埋め込むが、長さは保たない。Nash の定理は、与えられた計量そのものを Euclid 空間の誘導計量として実現する。
定理には 2 つの形がある。$C^1$ 級の等長埋め込みは、余次元が小さくても（短い埋め込みがあれば余次元 $1$ でも）存在し、しかも与えられた「短い」埋め込みにいくらでも近くとれる（Nash–Kuiper の定理）。$C^3$ 級以上の等長埋め込みは、余次元を大きくとれば存在する。どちらの証明も長いので、この記事では主張を正確に述べたうえで、証明の出発点（短い埋め込みの存在と、計量の「原始計量」への分解）を証明し、1 次元の場合と平坦トーラスで等長埋め込みを具体的に作る。さらに、平坦トーラスが $\mathbb{R}^3$ に $C^3$ 級では等長に埋め込めないことを証明し、$C^1$ 級と滑らかな場合の違いを示す。
等長はめ込みと誘導計量
この記事では、多様体は Hausdorff かつ第 2 可算な $C^\infty$ 級の多様体で境界をもたないとし、$M$ の次元を $n\ge1$ とする。コンパクトな多様体を 閉多様体 という。$\mathbb{R}^N$ の標準内積を $\langle\cdot,\cdot\rangle$、ノルムを $\lvert\cdot\rvert$ と書く。$C^1$ 級の写像 $f\colon M\to\mathbb{R}^N$ が はめ込み であるとは各点で微分 $df_p$ が単射であることをいい、さらに $f\colon M\to f(M)$ が部分空間位相について同相写像であるとき 埋め込み という（$C^\infty$ 級の場合は はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の定義と同じである）。
$(M,g)$ を Riemann 多様体、$f\colon M\to\mathbb{R}^N$ を $C^1$ 級のはめ込みとする。
- $(f^*e)_p(X,Y):=\langle df_p(X),df_p(Y)\rangle$（$X,Y\in T_pM$）を $f$ による 誘導計量 という。局所座標 $(x^1,\dots,x^n)$ では $f^*e=\sum_{i,j}\langle\partial_if,\partial_jf\rangle\,dx^i\otimes dx^j$ である。
- $f^*e=g$ のとき $f$ を 等長はめ込み、さらに埋め込みなら 等長埋め込み という。$f$ が $C^k$ 級なら $C^k$ 級の等長はめ込み・等長埋め込みという。
- すべての $p$ と $X\in T_pM$ で $(f^*e)_p(X,X)\le g_p(X,X)$ のとき $f$ を 短い といい、$X\ne0$ で $<$ が成り立つとき 真に短い という。
座標では、等長であることは $\langle\partial_if,\partial_jf\rangle=g_{ij}$（$1\le i\le j\le n$）という $n(n+1)/2$ 個の偏微分方程式を、$N$ 個の未知関数（$f$ の成分）について解くことにあたる。
$f\colon(M,g)\to\mathbb{R}^N$ を $C^1$ 級の等長はめ込みとする。$M$ の区分的に $C^1$ 級の曲線 $\gamma$ の長さは、$f\circ\gamma$ の Euclid 空間での長さに等しい。とくに、$M$ の Riemann 距離 $d_g$ について $\lvert f(p)-f(q)\rvert\le d_g(p,q)$ である。
$(f\circ\gamma)'(t)=df(\gamma'(t))$ なので $\lvert(f\circ\gamma)'(t)\rvert^2=(f^*e)(\gamma',\gamma')=g(\gamma',\gamma')$ であり、積分して長さが等しい。$p,q$ を結ぶ曲線 $\gamma$ について、$\lvert f(p)-f(q)\rvert$ は線分の長さで、$f\circ\gamma$ の長さ以下である。$\gamma$ についての下限をとればよい。$\square$
等長埋め込みは曲線の長さを保つが、2 点の距離を保つとは限らない。半径 $1$ の円周は $\mathbb{R}^2$ への包含で等長に埋め込まれているが、対蹠点の弦の長さは $2$、円周の上の距離は $\pi$ である。距離を保つ写像（等長写像）とは別の概念である。
定理の主張
$(M,g)$ を $n$ 次元の閉 Riemann 多様体とし、$N\ge n+2$ とする。$v\colon M\to\mathbb{R}^N$ を $C^\infty$ 級の短いはめ込みとし、$\varepsilon>0$ とする。このとき $C^1$ 級の等長はめ込み $u\colon M\to\mathbb{R}^N$ で、すべての $p\in M$ で $\lvert u(p)-v(p)\rvert<\varepsilon$ となるものがある。$v$ が埋め込みなら、$u$ も埋め込みにとれる。
この記事では証明しない。DeL16 の Theorem 2.1.2（p. 22）にあり、証明は同じ第 2 章にある。原論文は Nash の 1954 年の論文「$C^1$ isometric imbeddings」である。
$k\ge3$（$k=\infty$ も含む）とし、$N=n(3n+11)/2$ とする。$n$ 次元の閉多様体の上の $C^k$ 級の Riemann 計量 $g$ について、$(M,g)$ の $C^k$ 級の等長埋め込み $u\colon M\to\mathbb{R}^N$ がある。
この記事では証明しない。DeL16 の Theorem 3.1.1（p. 33）にあり、証明は同じ第 3 章にある。原論文は Nash の 1956 年の論文「The imbedding problem for Riemannian manifolds」である。
DeL16 には次の補足も述べられている。
- thm-nash-c1 の $N\ge n+2$ は $N\ge n+1$ に弱められる。Nash は可能であることを述べ、N. Kuiper が 1955 年に示した（DeL16 Remark 2.1.6、p. 23）。これが Nash–Kuiper の定理 と呼ばれる。コンパクトでない多様体でも、$v$ の極限集合が $v$ の像と交わらなければ同じ結論が成り立つ（同 Theorem 2.1.4、p. 23）。Whitney の定理と合わせると、$n$ 次元の Riemann 多様体は $\mathbb{R}^{2n+1}$ に $C^1$ 級で等長に埋め込め、閉多様体なら $\mathbb{R}^{2n}$ に埋め込める（同 Corollary 2.1.5、p. 23）。
- thm-nash-ck のコンパクトでない場合は、$N$ をさらに大きくとれば同じ結論が成り立つ（同 Corollary 3.1.2、p. 33）。次元 $N$ は M. Gromov と M. Günther によって下げられ、コンパクトな場合、$N\ge n(n+1)/2+\max\{2n,5\}$ なら短い写像を $C^\infty$ 級の等長埋め込みで一様に近似できる（同 pp. 33–34）。
Lee18 p. 117 も、どの Riemann 計量も Euclid 空間への埋め込みの誘導計量として実現できるという Nash の定理を紹介し、そのため一般の Riemann 多様体を部分多様体として調べても一般性を失わないが、計量だけで決まる性質を見るには埋め込みの情報が邪魔になることを注意している。
短い埋め込みと原始計量
thm-nash-c1 を使うには、まず短い埋め込みが要る。閉多様体ではこれは Whitney の定理を縮めるだけで得られる。
$(M,g)$ を $n$ 次元の閉 Riemann 多様体とする。$C^\infty$ 級の真に短い埋め込み $v\colon M\to\mathbb{R}^{2n+1}$ がある。
Whitneyの埋め込み定理 の定理「Whitneyの埋め込み定理」により、$C^\infty$ 級の埋め込み $f\colon M\to\mathbb{R}^{2n+1}$ がある。$M$ はコンパクトなので、有限個の局所座標の定義域 $U_1,\dots,U_r$ とコンパクト集合 $K_a\subset U_a$ で $M=\bigcup_aK_a$ となるものがとれる。$U_a$ の座標で $g$ の行列を $G(x)=(g_{ij}(x))$、$f^*e$ の行列を $H(x)=(\langle\partial_if,\partial_jf\rangle)$ とする。$G$ の最小固有値 $\lambda(x)>0$ と $H$ の最大固有値 $\Lambda(x)$ は $x$ の連続関数なので、$K_a$ の上で $\lambda\ge\lambda_a>0$、$\Lambda\le\Lambda_a$ となる定数がある。すると $K_a$ の上で、$\xi\in\mathbb{R}^n$ について $\xi^{\mathsf T}H\xi\le\Lambda_a\lvert\xi\rvert^2\le(\Lambda_a/\lambda_a)\,\xi^{\mathsf T}G\xi$ である。$C:=\max_a\Lambda_a/\lambda_a+1$ とおけば $M$ 全体で $f^*e\le Cg$ であり、$v:=f/(2\sqrt C)$ は $v^*e=f^*e/(4C)\le g/4$ を満たす。$X\ne0$ なら $g(X,X)>0$ なので $v$ は真に短く、$f$ の定数倍なので埋め込みである。$\square$
$v$ が真に短いとき、$h:=g-v^*e$ は正定値な対称 2 階テンソルである。Nash の証明は、$h$ を次の形の項の和に分け、1 項ずつ $v$ に「足していく」。
$M$ を閉多様体、$h$ を $M$ の上の $C^\infty$ 級の正定値な対称 2 階テンソルとする。有限個の $C^\infty$ 級関数 $a_1,\dots,a_m$、$\psi_1,\dots,\psi_m\colon M\to\mathbb{R}$ があって
$$
h=\sum_{k=1}^ma_k^2\,d\psi_k\otimes d\psi_k
$$
となる。$a^2\,d\psi\otimes d\psi$ の形のテンソルを 原始計量 という。
要点：対称行列の空間は階数 1 の行列 $ww^{\mathsf T}$ で張られるので、各点の近くで $h$ の行列をそれらの正の係数の和に書ける。それを有限個の座標近傍で行い、自乗の和が $1$ の重みで貼り合わせる。
詳しい証明を開く
段 1（線形代数）：$\mathrm{Sym}_n$ を実対称 $n\times n$ 行列の空間（次元 $J:=n(n+1)/2$）とし、$E_{ij}$ を行列単位、$e_i$ を標準基底とする。$e_ie_i^{\mathsf T}=E_{ii}$、$(e_i+e_j)(e_i+e_j)^{\mathsf T}=E_{ii}+E_{jj}+E_{ij}+E_{ji}$（$i< j$）なので、これら $J$ 個の行列 $w_lw_l^{\mathsf T}$ は $\mathrm{Sym}_n$ を張り、基底になる。$Q:=\sum_lw_lw_l^{\mathsf T}$ は $\xi^{\mathsf T}Q\xi=\sum_l\langle w_l,\xi\rangle^2\ge\lvert\xi\rvert^2$ なので正定値である。正定値な $P\in\mathrm{Sym}_n$ に対し $T:=P^{1/2}Q^{-1/2}$ とおくと $TQT^{\mathsf T}=P$ であり、$X\mapsto TXT^{\mathsf T}$ は $\mathrm{Sym}_n$ の線形同型なので、$b_l:=Tw_l$ について $b_lb_l^{\mathsf T}$ も基底で $P=\sum_lb_lb_l^{\mathsf T}$ である。この基底の双対基底を $\mu_l\colon\mathrm{Sym}_n\to\mathbb{R}$ とすると、すべての $X$ で $X=\sum_l\mu_l(X)b_lb_l^{\mathsf T}$、とくに $\mu_l(P)=1$ である。
段 2（局所）：$p\in M$ の座標近傍 $U$ で $h$ の行列を $H(x)$ とし、段 1 を $P=H(p)$ に当てる。座標の 1 次関数 $\varphi_l(x):=\langle b_l,x\rangle$ について $d\varphi_l\otimes d\varphi_l$ の行列は $b_lb_l^{\mathsf T}$ なので、$U$ の上で $h=\sum_l\mu_l(H(x))\,d\varphi_l\otimes d\varphi_l$ である。$\mu_l(H(x))$ は $C^\infty$ 級で $x=p$ で $1$ なので、$p$ の開近傍 $V\subset U$ の上で正であり、$\alpha_l:=\mu_l(H)^{1/2}$ は $V$ の上で $C^\infty$ 級、$h=\sum_l\alpha_l^2\,d\varphi_l\otimes d\varphi_l$ である。
段 3（貼り合わせ）：各点 $p$ に段 2 の $V_p$ と、隆起関数 の定理「隆起関数の存在」による $p$ の近くで $1$、台がコンパクトで $V_p$ に含まれる $\rho_p\ge0$ をとる。$\rho_p$ が $1$ となる開集合で $M$ を覆い、有限個 $p_1,\dots,p_s$ を選ぶ。$\rho_t:=\rho_{p_t}$ とすると $\sigma:=\sum_t\rho_t^2>0$ である。さらに同記事の定理「コンパクト集合に対する隆起関数」で、$\operatorname{supp}\rho_t$ の近傍で $1$、台が $V_{p_t}$ に含まれる $\beta_t$ をとる。$\psi_{t,l}:=\beta_t\varphi_{t,l}$、$a_{t,l}:=\rho_t\alpha_{t,l}/\sqrt\sigma$（$V_{p_t}$ の外では $0$）は $M$ の上の $C^\infty$ 級関数で、$\rho_t\ne0$ の点の近くで $d\psi_{t,l}=d\varphi_{t,l}$ なので、$\sum_{t,l}a_{t,l}^2\,d\psi_{t,l}\otimes d\psi_{t,l}=\sum_t(\rho_t^2/\sigma)\sum_l\alpha_{t,l}^2\,d\varphi_{t,l}\otimes d\varphi_{t,l}=\sum_t(\rho_t^2/\sigma)\,h=h$ である。$\square$
原始計量 $a^2\,d\psi\otimes d\psi$ を足す段階で Nash が使うのは、$v$ に法線方向の速い振動を加える方法である。$v$ に垂直な互いに直交する単位ベクトル場 $\zeta,\eta$ をとり、$v+\frac a\lambda(\cos(\lambda\psi)\,\zeta+\sin(\lambda\psi)\,\eta)$ とすると、誘導計量はおよそ $v^*e+a^2\,d\psi\otimes d\psi$ になり、誤差は振動数 $\lambda$ を大きくすると小さくなる。写像の変化は $a/\lambda$ の程度で小さいが、微分の変化は小さくならない（DeL16 §2.2–§2.4）。法線のベクトル場が 2 つ要るので $N\ge n+2$ が現れる。次の例は、この仕組みが誤差なしに働く場合である。
$\mathbb{R}$ に計量 $dt\otimes dt$ を入れ、$0< c<1$ について $v(t)=(ct,0,0)\in\mathbb{R}^3$ とする。$\lvert v'\rvert=c<1$ なので $v$ は真に短い。$r:=\sqrt{1-c^2}$、$\lambda>0$ として
$$
u_\lambda(t):=\Bigl(ct,\ \frac r\lambda\cos\lambda t,\ \frac r\lambda\sin\lambda t\Bigr)
$$
とおくと、$u_\lambda'(t)=(c,-r\sin\lambda t,r\cos\lambda t)$、$\lvert u_\lambda'\rvert^2=c^2+r^2=1$ なので $u_\lambda$ は $C^\infty$ 級の等長埋め込みである（第 1 成分が単調なので単射で、逆写像 $u_\lambda(t)\mapsto t$ は連続）。$\lvert u_\lambda-v\rvert=r/\lambda$ は $\lambda\to\infty$ で $0$ に近づくが、$\lvert u_\lambda'-v'\rvert=r$ は小さくならない。これは $h=g-v^*e=r^2\,dt\otimes dt$ を $a=r$、$\psi=t$ の原始計量として足したものにあたる。
具体的な等長埋め込み
$S^1=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ の上の $C^\infty$ 級の Riemann 計量 $g=\mu(\theta)\,d\theta\otimes d\theta$（$\mu>0$）について、全長を $L:=\int_0^{2\pi}\sqrt{\mu}\,d\theta$ とする。$(S^1,g)$ は $\mathbb{R}^2$ の半径 $L/2\pi$ の円周への等長埋め込みをもつ。
$s(\theta):=\int_0^\theta\sqrt{\mu}$ は真に増加し、$s(\theta+2\pi)=s(\theta)+L$ を満たす。$R:=L/2\pi$、$\omega(\theta):=s(\theta)/R$ として $u(\theta):=R(\cos\omega(\theta),\sin\omega(\theta))$ とおく。$\omega(\theta+2\pi)=\omega(\theta)+2\pi$ なので $u$ は $S^1$ の上で定まり、$\lvert u'(\theta)\rvert=R\,\omega'(\theta)=s'(\theta)=\sqrt{\mu(\theta)}$ だから $u^*e=g$ である。$\omega$ は $[0,2\pi)$ を $[0,2\pi)$ へ単調に写すので $u$ は単射で、$u'\ne0$ なのではめ込みである。$S^1$ はコンパクトなので、連続な単射 $u$ は像への同相写像であり、$u$ は埋め込みである。$\square$
$T^n=\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ に $\mathbb{R}^n$ の標準計量から来る平坦な計量 $g=\sum_idx^i\otimes dx^i$ を入れる。
$$
u(x):=\frac1{2\pi}\bigl(\cos2\pi x^1,\sin2\pi x^1,\dots,\cos2\pi x^n,\sin2\pi x^n\bigr)\in\mathbb{R}^{2n}
$$
は $C^\infty$ 級の等長埋め込みであり、像は半径 $\sqrt n/2\pi$ の球面に含まれる。
$u$ は各 $x^i$ について周期 $1$ なので $T^n$ の上で定まる。$\partial_iu$ は第 $2i-1,2i$ 成分だけが $(-\sin2\pi x^i,\cos2\pi x^i)$ で他は $0$ なので、$\langle\partial_iu,\partial_ju\rangle=\delta_{ij}$、すなわち $u^*e=g$ である。各成分の組 $(\cos2\pi x^i,\sin2\pi x^i)$ は $x^i\bmod1$ を決めるので $u$ は単射で、$T^n$ はコンパクトなので埋め込みである。$\lvert u\rvert^2=n/(2\pi)^2$ である。$\square$
$n=2$ では $T^2$ が $\mathbb{R}^4$ に等長に埋め込まれる。$\mathbb{R}^3$ の回転面としてのトーラスは $T^2$ と微分同相だが、外側が膨らみ内側が鞍の形で、平坦な計量を誘導しない。次の節で、これが偶然でないことを示す。
$C^1$ 級と $C^3$ 級の違い
この節では、$\mathbb{R}^3$ の曲面の Gauss 曲率を Gauss曲率 の記事の記号で扱う。ただし第 2 基本形式の係数は $h_{11},h_{12},h_{22}$ と書き、正則曲面片 $x$ の第 1 基本形式の係数 $E,F,G$ とともに $K=(h_{11}h_{22}-h_{12}^2)/(EG-F^2)$ である（同記事の定理「第 1・第 2 基本形式による表示」）。
$\Sigma$ を 2 次元の閉多様体、$f\colon\Sigma\to\mathbb{R}^3$ を $C^3$ 級のはめ込みとし、$R:=\max_\Sigma\lvert f\rvert$ をとる点を $p_0$ とする。$p_0$ のまわりの局所座標で $f$ を正則曲面片 $x$ と見ると、$p_0$ での Gauss 曲率は $K\ge1/R^2>0$ である。
$R>0$ である（$R=0$ なら $f$ は定数で、はめ込みでない）。$p_0$ を座標 $(0,0)$ とし、$\varphi:=\lvert x\rvert^2$ とおく。$\varphi$ は $(0,0)$ で極大なので、$\varphi_u=2\langle x,x_u\rangle$、$\varphi_v=2\langle x,x_v\rangle$ は $0$ である。よって $x(0,0)$ は接平面に直交し、必要なら $u,v$ を入れ替えて、単位法ベクトルを $\nu=-x(0,0)/R$ とできる。極大点では Hesse 行列は半負定値であり、
$$
\tfrac12\begin{pmatrix}\varphi_{uu}&\varphi_{uv}\\ \varphi_{uv}&\varphi_{vv}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E&F\\ F&G\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\langle x,x_{uu}\rangle&\langle x,x_{uv}\rangle\\ \langle x,x_{uv}\rangle&\langle x,x_{vv}\rangle\end{pmatrix}
$$
である。$(0,0)$ で $x=-R\nu$ なので右辺の第 2 項は $-R(h_{ij})$ であり、$A:=(h_{ij})$、$B:=\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}$ について $B-RA$ は半負定値、すなわち $A\ge B/R$ である。$B$ は正定値なので、$B^{-1/2}AB^{-1/2}\ge I/R$ の固有値はどれも $1/R$ 以上で、$\det A/\det B=\det(B^{-1/2}AB^{-1/2})\ge1/R^2$ である。これが $K\ge1/R^2$ である。$\square$
$T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ に平坦な計量 $g=dx\otimes dx+dy\otimes dy$ を入れる。$C^3$ 級の等長はめ込み $(T^2,g)\to\mathbb{R}^3$ は存在しない。
そのような $f$ があったとする。$\mathbb{R}^2$ の座標 $(x,y)$ を局所座標に使うと、$f^*e=g$ は $E=G=1$、$F=0$ を意味する。平面の曲面片 $(x,y)\mapsto(x,y,0)$ も同じ $E,F,G$ をもち Gauss 曲率は $0$ なので、Gauss曲率 の系「第 1 基本形式の等しい曲面片」により $f$ の Gauss 曲率もいたるところ $0$ である（座標の入れ替えは $E,F,G$ を変えない）。これは thm-nash-positive-point に反する。$\square$
一方、$T^2$ は回転面として $\mathbb{R}^3$ に埋め込めるので、それを縮めた短い埋め込みに Nash–Kuiper の定理（$N=n+1=3$）を当てると、$(T^2,g)$ の $C^1$ 級の等長埋め込みが $\mathbb{R}^3$ に存在する。DeL16 Remark 2.1.6（p. 23）は、向き付けられた閉 2 次元 Riemann 多様体が $\mathbb{R}^3$ のいくらでも小さな球の中に $C^1$ 級で等長に埋め込めることを注意している。$C^1$ 級の等長埋め込みでは Gauss 曲率が定義できず、上の議論が働かない。
仮定を外すと成り立たなくなること
次の表は、thm-nash-c1 を DeL16 Remark 2.1.6 の形（$N\ge n+1$ に弱めた Nash–Kuiper の定理）で読み、その仮定または結論の正則性を 1 つ変えた例である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $v$ が短い | 単位円の計量の $S^1$ と $v(\theta)=(2\cos\theta,2\sin\theta,0)$ | $\lvert u-v\rvert<1$ の $C^1$ 級の等長はめ込み $u$ がない |
| $u$ は $C^1$ 級でよい（$C^3$ 級を求める） | 平坦な $T^2$ と $N=3$ | 等長はめ込みがない（cor-nash-torus-r3） |
1 行目：$S^1=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$、$g=d\theta\otimes d\theta$（全長 $2\pi$）とし、$N=3$ とする。$\lvert v'\rvert=2$ なので $v$ は短くない。$C^1$ 級の等長はめ込み $u$ で $\lvert u-v\rvert<1$ となるものがあったとする。$P$ を最初の 2 成分への射影とし、$w:=Pu$ を複素数値とみると、$\lvert w(\theta)-2e^{i\theta}\rvert<1$ なので $\lvert w\rvert>1$ で、$w/e^{i\theta}$ は円板 $\lvert z-2\rvert<1$ に値をとる。この円板は原点を含まない凸集合なので、偏角の連続な枝 $\beta(\theta)\in(-\pi/2,\pi/2)$ をとって $w(\theta)=\lvert w(\theta)\rvert e^{i(\theta+\beta(\theta))}$ と書け、$\alpha(\theta):=\theta+\beta(\theta)$ は $C^1$ 級で $\alpha(2\pi)-\alpha(0)=2\pi$ である（$\beta$ は周期的）。$w=\lvert w\rvert e^{i\alpha}$ から $w'=(\lvert w\rvert'+i\lvert w\rvert\alpha')e^{i\alpha}$ なので $\lvert w'\rvert\ge\lvert w\rvert\,\lvert\alpha'\rvert\ge\lvert\alpha'\rvert$ である。さらに $\alpha'$ は連続で $\int_0^{2\pi}\alpha'\,d\theta=2\pi$ なので $\alpha'\ne0$ となる区間があり、そこでは $\lvert w\rvert>1$ から $\lvert w\rvert\,\lvert\alpha'\rvert>\lvert\alpha'\rvert$ である。よって $u$ の長さ $\ge$ $w$ の長さ $\ge\int_0^{2\pi}\lvert w\rvert\,\lvert\alpha'\rvert\,d\theta>\int_0^{2\pi}\lvert\alpha'\rvert\,d\theta\ge2\pi$ となる。一方、prop-nash-length により $u$ の長さは $2\pi$ であり、矛盾する。
2 行目：cor-nash-torus-r3 である。$N=3=n+1$ は Nash–Kuiper の定理の範囲内であり、$C^1$ 級なら存在する。
次元の条件について：$n\ge1$ かつ $N\le n$ では、空でない閉 $n$ 次元多様体から $\mathbb{R}^N$ へのはめ込みはない（$N< n$ では微分が単射になれず、$N=n$ でははめ込みが局所微分同相なので、像が $\mathbb{R}^n$ の空でない開かつコンパクトな集合になるが、$\mathbb{R}^n$ は連結なのでそのような集合は $\mathbb{R}^n$ 自身しかなく、$n\ge1$ では $\mathbb{R}^n$ はコンパクトでない）。したがって定理の仮定を満たす $v$ がなく、次元の条件は表の形の反例では示せない。たとえば $S^1$ から $\mathbb{R}$ への $C^1$ 級の写像は最大値をとる点で微分が $0$ になる。
補足
Riemann 多様体の Euclid 空間への等長埋め込みの問題は L. Schläfli に始まるとされ、Nash 以前には、解析的な計量について局所的な等長埋め込みの存在（M. Janet、É. Cartan、C. Burstin）や、正の Gauss 曲率をもつ球面の計量の $\mathbb{R}^3$ への埋め込み（H. Weyl の問題、H. Lewy、L. Nirenberg、A. Pogorelov）が知られていた（DeL16 §2.1、pp. 21–22）。Nash は 1954 年に $C^1$ 級の定理を、1956 年に $C^k$ 級の定理を示した。後者の証明で導入された、微分の損失のある方程式を平滑化と反復で解く方法は、のちに J. Moser によって一般化され、Nash–Moser の反復 として偏微分方程式で広く使われている（同 p. 34）。Günther は、等長埋め込みの方程式の線形化が楕円型作用素で解けることを示し、計量を $C^{k,\alpha}$ 級（$0<\alpha<1$）とすれば、Banach 空間の縮小写像の原理で証明できるようにした（同 p. 35）。
関連項目
- 前提: Riemann多様体, はめ込みと埋め込み(可微分多様体), Whitneyの埋め込み定理
- 比較: 等長写像, Gauss曲率, Gaussの驚異の定理, トーラス
- 関連: 隆起関数, 正定値行列, 部分多様体
参考文献
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