大域類体論

1。$\alpha a\in W_{\mathfrak{m}}$ は有限個の素点での開条件なので、弱近似定理 (G3) により $\alpha$ がとれる。$\alpha,\alpha'$ がともに条件を満たせば $\beta:=\alpha'\alpha^{-1}=(\alpha'a)(\alpha a)^{-1}\in K^\times\cap W_{\mathfrak{m}}$ なので $(\beta)\in P_{K,\mathfrak{m}}$ で、$\iota^{\mathfrak{m}}(\alpha'a)=(\beta)\,\iota^{\mathfrak{m}}(\alpha a)$ の両辺の $\psi_{L/K}$ は等しい。$\mathfrak{m}$ で割り切れる法 $\mathfrak{m}''$ も定義法であり（$P_{K,\mathfrak{m}''}\subset P_{K,\mathfrak{m}}$）、$W_{\mathfrak{m}''}\subset W_{\mathfrak{m}}$ で、$\alpha a\in W_{\mathfrak{m}''}$ なら $\mathfrak{m}_0''$ を割り $\mathfrak{m}_0$ を割らない $\mathfrak{p}$ で $(\alpha a)_{\mathfrak{p}}$ は単数なので $\iota^{\mathfrak{m}}(\alpha a)=\iota^{\mathfrak{m}''}(\alpha a)$ である。2 つの定義法はともにその積の法を割るので、$\theta_{L/K}$ は定義法によらない。$\alpha,\alpha'$ が $a,a'$ に対する元なら $\alpha\alpha'$ は $aa'$ に対する元なので、$\theta_{L/K}$ は準同型である。$\gamma\in K^\times$ には $\alpha=\gamma^{-1}$ をとれば $\theta_{L/K}(\gamma)=\psi_{L/K}(\mathcal{O}_K)=1$ である。$W_{\mathfrak{m}}$ の元で $\mathfrak{m}_0$ を割らない有限素点の成分がすべて単数であるものの群 $U$ は $J_K$ の開部分群で、$U$ の元には $\alpha=1$ をとれて $\theta_{L/K}(U)=1$ なので、$\theta_{L/K}$ は連続である。$\mathfrak{a}=\prod\mathfrak{p}^{n_{\mathfrak{p}}}\in I_K^{\mathfrak{m}}$ に、$\mathfrak{p}$ 成分が素元の $n_{\mathfrak{p}}$ 乗でほかが $1$ のイデール $c_{\mathfrak{a}}\in W_{\mathfrak{m}}$ を対応させると $\theta_{L/K}(c_{\mathfrak{a}})=\psi_{L/K}(\mathfrak{a})$ であり、thm-gcft-artin の全射性から $\theta_{L/K}$ の全射性と 3 の前半が従う。
2。$b\in J_L$ とし、$\beta\in L^\times$ を、$\mathfrak{m}_0$ の素因子の上の $L$ の素点 $w$ で $(\beta b)_w\in1+\mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{m}_0)}\mathcal{O}_w$、$\mathfrak{m}_\infty$ の上の実素点で $(\beta b)_w>0$ となるように弱近似でとる。局所体のノルム $N_{L_w/K_{\mathfrak{p}}}$ は $1+\mathfrak{p}^k\mathcal{O}_w$ を $1+\mathfrak{p}^k\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}$ に写し（Galois 閉包の中で共役の積をとる。共役も $1+\mathfrak{p}^k$ の形である）、実素点の上ではノルムは正の実数の積と $\lvert z\rvert^2$ の積なので、$N_{L/K}(\beta b)\in W_{\mathfrak{m}}$ である。$v_{\mathfrak{p}}(N_{L_w/K_{\mathfrak{p}}}(x))=f(w\mid\mathfrak{p})\,v_w(x)$（局所体のノルム群 の記事の命題「ノルムの基本性質」の (ii)）から $\iota^{\mathfrak{m}}(N_{L/K}(\beta b))=N_{L/K}(\iota_L(\beta b))$ である。ここで $\iota_L(\beta b)\in I_L^{\mathfrak{m}}$ は $\beta b$ の $\mathfrak{m}_0$ の上にない有限成分の付値から作るイデアル、右辺の $N_{L/K}$ はイデアルのノルムである。$N_{L/K}(\beta)\in K^\times$ なので、1 と Artin写像とArtin相互法則 の記事の命題「Artin写像の基本性質」の 3 から
$$ \theta_{L/K}(N_{L/K}(b))=\theta_{L/K}(N_{L/K}(\beta b))=\psi_{L/K}\bigl(N_{L/K}(\iota_L(\beta b))\bigr)=1 $$
である。よって $\ker\theta_{L/K}\supset K^\times N_{L/K}(J_L)$ である。左辺の指数は $\lvert G\rvert$、右辺の指数は $(C_K:N_{L/K}C_L)$ で、類体論の第二不等式 の記事の定理「類体論の第二不等式」により $\lvert G\rvert$ 以下なので、等号が成り立つ。
3。前半は 1 で示した。後半は、$L'/K$ の定義法は $L/K$ の定義法でもある（Artin写像とArtin相互法則 の記事の命題「Artin写像の基本性質」の 1）ので、共通の定義法で同命題の 1 を使えばよい。$\square$

要点：イデール $a$ の各 $p$ 成分の付値と実成分の符号から有理数 $r$ を作ると、$r^{-1}a\in W$ となる。

$\iota$ は成分ごとの付値の和なので準同型である。全射性：(G1) により分数イデアルは $\mathfrak{a}=\prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{n_{\mathfrak{p}}}$（有限積）と書ける。$\pi_{\mathfrak{p}}$ を $K_{\mathfrak{p}}$ の素元とし、$n_{\mathfrak{p}}\ne0$ の $\mathfrak{p}$ で成分 $\pi_{\mathfrak{p}}^{n_{\mathfrak{p}}}$、それ以外で成分 $1$ のイデールを作れば、その像は $\mathfrak{a}$ である。核：$\iota(a)=\mathcal{O}_K$ は、すべての有限素点で $v_{\mathfrak{p}}(a_{\mathfrak{p}})=0$、すなわち $a_{\mathfrak{p}}\in\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}^\times$ と同値なので、核は $U_K$ である。$\alpha\in K^\times$ については $v_{\mathfrak{p}}(\alpha)$ は単項イデアル $(\alpha)$ の素イデアル分解での $\mathfrak{p}$ の指数なので、$\iota(\alpha)=(\alpha)$、$\iota(K^\times)=P_K$ である。
$J_K\to I_K\to I_K/P_K$ の合成は全射で、その核は $\iota^{-1}(P_K)$ である。$\iota(a)=(\alpha)$ なら $\iota(\alpha^{-1}a)=\mathcal{O}_K$ より $\alpha^{-1}a\in U_K$ なので、$\iota^{-1}(P_K)=K^\times U_K$ である。準同型定理と $J_K/K^\times U_K\cong(J_K/K^\times)/(K^\times U_K/K^\times)$ から同型を得る。
$U_K=J_{K,\emptyset}$ は $J_K$ の開部分群なので、$K^\times U_K$ も開で、その像 $K^\times U_K/K^\times$ は $C_K$ の開部分群である（商写像は開写像）。指数は $\lvert\operatorname{Cl}_K\rvert$ で、(G1) により有限である。$\square$

(a)：Frobenius元 の記事の例「円分体」である。
(b)：単射は上で見た。$a\in(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ を任意にとり、$a$ を代表する $m$ と素な正の整数を $a'=\ell_1^{k_1}\cdots\ell_t^{k_t}$ と素因数分解する。各 $\ell_i$ は $m$ を割らないので、(a) により $\chi(\operatorname{Frob}_{\ell_i})=\ell_i$ となる元がある。$\sigma:=\prod_i\operatorname{Frob}_{\ell_i}^{k_i}$ について $\chi(\sigma)=a'\equiv a$ である。よって $\chi$ は全射である。
(c)：(a) により $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}$ は $\ell$ の上の $\mathfrak{P}$ の選び方によらないので、素イデアル $(\ell)$ に $\operatorname{Frob}_\ell:=\chi^{-1}(\ell)$ を対応させる準同型 $\psi$ が $I^{(m)}$（$\ell\nmid m$ の $(\ell)$ で生成される自由アーベル群）上に定まる。正の整数 $r=\prod\ell^{k_\ell}$ について $\psi((r))=\chi^{-1}(\prod\ell^{k_\ell})=\chi^{-1}(r)$ なので、$\psi((r/s))=\chi^{-1}(rs^{-1})$ である。$I^{(m)}$ の元は $m$ と素な正の整数 $r,s$ によって $(r/s)$ と書けるので、(b) から $\psi$ は全射であり、$\psi((r/s))=1$ は $r\equiv s\pmod m$ と同値である。一方、$P_{\mathbb{Q},m\infty}$ は、$a>0$ かつ $a\equiv1\pmod m$（乗法的合同：$a=r/s$ と既約に書いたとき $r\equiv s\pmod m$）となる $a\in\mathbb{Q}^\times$ の生成する単項イデアルの群なので、核に一致する。
最後に、$L$ の素イデアル $\mathfrak{P}$（$\ell$ の上、剰余次数 $f$）のノルムは $(\ell)^f$ で、$\operatorname{Frob}_\ell$ の位数は $f$ なので $\psi(N_{L/\mathbb{Q}}\mathfrak{P})=1$ である。よって $N_{L/\mathbb{Q}}(I_L^{(m)})\subseteq P_{\mathbb{Q},m\infty}$ で、thm-gcft-artin の同型の分母は $P_{\mathbb{Q},m\infty}$ に等しい。$\square$