重複ファイバー

1．$g\cdot(e,d)=(e,d)$ なら $e+g=e$、すなわち $g=0$ なので作用は自由である。$E\times D$ は射影多様体であり、有限群の任意の軌道はあるアフィン開集合に含まれるので、商 $X=(E\times D)/G$ が射影多様体として存在し、$\pi$ は有限射で $\mathcal{O}_X=(\pi_*\mathcal{O}_{E\times D})^G$ である（Mum70 §7）。作用が自由なので $\pi$ はエタールである（Mum70 §7）。$\pi$ は次数 $n$ の有限全射で、$E\times D$ は正則だから、$X$ の各局所環は正則である（$\mathcal{O}_{X,\pi(x)}\to\mathcal{O}_{E\times D,x}$ は平坦な局所準同型で、平坦な局所準同型の終域が正則なら始域も正則、Mat89 Theorem 23.7）。よって $X$ は滑らかな射影曲面である。
2．$\operatorname{pr}_2$ は $G$ 同変で $q$ は $G$ 不変なので $q\circ\operatorname{pr}_2$ は $G$ 不変であり、商の普遍性から $f$ が誘導される。$f$ は全射である。$f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_C$ を示す。$f\circ\pi=q\circ\operatorname{pr}_2$ であり、$\operatorname{pr}_{2*}\mathcal{O}_{E\times D}=\mathcal{O}_D\otimes_kH^0(E,\mathcal{O}_E)=\mathcal{O}_D$（平坦底変換）なので $(f\circ\pi)_*\mathcal{O}_{E\times D}=q_*\mathcal{O}_D$ である。$f_*$ は左完全なので $G$ 不変部分をとる操作と交換し、
$$ f_*\mathcal{O}_X=f_*\bigl((\pi_*\mathcal{O}_{E\times D})^G\bigr)=\bigl(q_*\mathcal{O}_D\bigr)^G=\mathcal{O}_C $$
となる。最後の等号は $C=D/G$ の定義である。
3．作用が忠実なので $G$ は $k(D)$ に忠実に作用し、$q\colon D\to C$ は関数体の拡大 $k(D)/k(D)^G$ が群 $G$ のGalois拡大（次数 $n$）であるような射で、$G$ は $c$ 上の点全体 $q^{-1}(c)=G\cdot d$ に推移的に作用するから、分岐指数 $e_{d'}$ は軌道上で一定であり、$\sum_{d'\in G\cdot d}e_{d'}=\deg q=n$（Har77 II.6.9）から $e_{d'}=n/|G\cdot d|=|G_d|=m$ である。よって $C$ 上の因子 $c$ の引き戻しは $q^*(c)=m\sum_{d'\in G\cdot d}[d']$ であり、
$$ \pi^*f^*(c)=\operatorname{pr}_2^*q^*(c)=m\sum_{d'\in G\cdot d}E\times\{d'\} $$
となる。一方 $f^{-1}(c)=\pi(E\times G\cdot d)=\pi(E\times\{d\})=:F$ は既約な閉曲線なので $f^*(c)=aF$（$a\ge1$）と書ける。$\pi$ はエタールなので、$X$ の既約曲線 $Z$ の Cartier 因子としての引き戻し $\pi^*Z$ は被約な因子 $\pi^{-1}(Z)$ に等しい（$Z$ の生成点での局所方程式は、不分岐な局所準同型により $\pi^{-1}(Z)$ の各成分の生成点で再び素元になる）。$\pi^{-1}(F)=\bigcup_{g\in G}g(E\times\{d\})=\bigcup_{d'\in G\cdot d}E\times\{d'\}$ だから $\pi^*(aF)=a\sum_{d'\in G\cdot d}E\times\{d'\}$ となり、上の式と比べて $a=m$ である。
$F\cong E/G_d$ を示す。$\pi^{-1}(F)$ をスキーム論的な逆像とすると、$\pi$ がエタールなので $\pi^{-1}(F)\to F$ はエタールであり、$\pi^{-1}(F)$ は滑らかな曲線 $E\times\{d'\}$（$d'\in G\cdot d$）の非交和である。とくに $\pi^{-1}(F)$ は正則なので、平坦な局所準同型に関する正則性の降下（Mat89 Theorem 23.7）により $F$ は正則、すなわち滑らかな射影曲線である。$\pi|_{E\times\{d\}}\colon E\to F$ はエタールな有限全射で、$\pi(e,d)=\pi(e',d)$ となるのは $(e',d)=g\cdot(e,d)$ なる $g\in G$ があるとき、すなわち $g\in G_d$ かつ $e'=e+g$ のときに限るので、$E\to F$ の各ファイバーはちょうど $m$ 点からなり、$E\to F$ は次数 $m$ である。$G_d$ の $E$ への平行移動作用の商 $E\to E/G_d$ も次数 $m$ で、$E\to F$ はこれを経由するから、誘導される $E/G_d\to F$ は滑らかな射影曲線の間の次数 $1$ の有限射、すなわち同型である。$E\to E/G_d$ はエタールなので Riemann–Hurwitzの公式から $E/G_d$ の種数は $1$ であり、$0$ の像を原点とする楕円曲線である。
4．$q$ の分岐点は $|G_{d}|\ge2$ となる $d$ の像であるから、3 から従う。

$K_X$ は捩れ元なので、任意の曲線 $Z$ について $K_X\cdot Z=0$ である。ファイバーに含まれる $(-1)$ 曲線 $Z$ は $K_X\cdot Z=-1$ を満たすはずなので存在せず、$f$ は相対極小である。thm-multiple-fiber-canonical-bundle（標数 $0$）により、重複ファイバーを $m_1F_1,\dots,m_rF_r$ として
$$ K_X\sim f^*(K_{\mathbb{P}^1}\otimes L)+\sum_{i=1}^r(m_i-1)F_i,\qquad\deg L=\chi(\mathcal{O}_X)=1 $$
である。$H$ を $X$ 上の豊富な可逆層の因子、$F$ を一般のファイバーとすると $F\cdot H>0$ であり、$m_iF_i\sim F$ から $F_i\cdot H=(F\cdot H)/m_i$ である。両辺と $H$ との交点数をとると、$\deg(K_{\mathbb{P}^1}\otimes L)=-1$ なので
$$ 0=K_X\cdot H=-F\cdot H+\sum_{i=1}^r\Bigl(1-\frac{1}{m_i}\Bigr)F\cdot H, $$
すなわち $\sum_{i=1}^r(1-1/m_i)=1$ を得る。$m_i\ge2$ より各項は $1/2$ 以上 $1$ 未満なので、$r=2$、$m_1=m_2=2$ しかない。このとき $K_{\mathbb{P}^1}\otimes L\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1)$ で、$f^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)\sim f^*(p_1)=2F_1$ だから $K_X\sim-2F_1+F_1+F_2=F_2-F_1$ であり、$2F_1\sim2F_2$ から $F_2-F_1\sim F_1-F_2$ でもある。

1．$f$ は固有射で $f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_C$ なので、Zariski の連結性定理（形式関数の定理の記事の定理。Har77 III.11.3）により各ファイバーは空でなく連結である。$F$ の台は $f^{-1}(p)$ に等しい。
2．$p-p'=\operatorname{div}(h)$（$h\in K^\times$）なら $f^*(p)-f^*(p')=\operatorname{div}(f^*h)$ なので、Cartier 因子の引き戻しは線形同値を保つ。数値的同値は、3 と 4 で示す値 $f^*(p)\cdot D$（水平なら $\deg(f|_D)$、垂直なら $0$）が $p$ によらないことから従う。
3．交点数の基本性質（Har77 V.1、Liu02 §9.1）により、既約曲線 $D$ と Cartier 因子 $Z$ について $Z\cdot D=\deg_D(\mathcal{O}_X(Z)|_D)$ である。$\mathcal{O}_X(f^*(p))=f^*\mathcal{O}_C(p)$ なので $\mathcal{O}_X(f^*(p))|_D=(f|_D)^*\mathcal{O}_C(p)$ であり、$f|_D\colon D\to C$ は整な射影曲線の間の有限全射だから $\deg_D\bigl((f|_D)^*\mathcal{O}_C(p)\bigr)=\deg(f|_D)\cdot\deg\mathcal{O}_C(p)=\deg(f|_D)$ である（Liu02 §7.3）。$\deg(f|_D)=[k(D):K]$ は次数の定義である。
4．$D$ が垂直なら $f|_D$ は定数写像 $D\to\{p'\}\to C$ を経由し、$\mathcal{O}_C(p)$ を $1$ 点に引き戻したものは自明なので $\mathcal{O}_X(f^*(p))|_D\cong\mathcal{O}_D$、よって $f^*(p)\cdot D=0$ である。$f^*(p)^2=\sum_ia_i\,f^*(p)\cdot C_i=0$ であり、$F=\frac1mf^*(p)$ についても同じである。

$\mathcal{O}_X(mF)=\mathcal{O}_X(f^*(p))=f^*\mathcal{O}_C(p)$ である。$F$ の局所方程式を $g$ とすると $f^*t=u\,g^m$（$u$ は単元）なので $f^*t$ は $F$ のイデアル層に入り、$f^*t|_F=0$ である。すなわち $f$ を閉部分スキーム $F$ に制限した射は $F\to\operatorname{Spec}\kappa(p)\to C$ と分解する（$mF$ についても、そのイデアル層が $f^*t$ で生成されるので同じ）。可逆層 $\mathcal{O}_C(p)$ を $1$ 点 $\operatorname{Spec}\kappa(p)$ に引き戻したものは階数 $1$ の自由加群なので自明であり、したがって
$$ \mathcal{O}_X(mF)|_F=(f|_F)^*\mathcal{O}_C(p)\cong\mathcal{O}_F $$
である。$mF$ についても同じ議論で $\mathcal{O}_X(mF)|_{mF}\cong\mathcal{O}_{mF}$ を得る。$\mathcal{O}_F(F)^{\otimes m}=\mathcal{O}_X(F)^{\otimes m}|_F=\mathcal{O}_X(mF)|_F$ なので、$\mathcal{O}_F(F)$ の $m$ 乗は自明であり、位数 $\nu$ は有限で $m$ を割る。最後の主張は prop-multiple-fiber-basic の 4 と、$\deg(\mathcal{O}_X(F)|_{C_i})=F\cdot C_i$ による。

1．prop-multiple-fiber-basic の 3 により $\deg(f|_D)=f^*(p)\cdot D=m\,(F\cdot D)$ であり、$F\cdot D$ は整数だから $m\mid\deg(f|_D)$ である。閉点 $Q\in X_\eta$ の閉包を $D$ とすれば $[\kappa(Q):K]=[k(D):K]=\deg(f|_D)$ である。
2．切断 $\sigma\colon C\to X$ があれば $D:=\sigma(C)$ は水平曲線で $f|_D\circ\sigma=\mathrm{id}_C$ から $\deg(f|_D)=1$ となり、$m\ge2$ に反する。$K$ 有理点 $Q\in X_\eta(K)$ は $[\kappa(Q):K]=1$ の閉点なので同様に存在しない（固有射の付値判定法により、$X_\eta$ の $K$ 有理点は $f$ の切断に延びる。固有射を参照）。
3．各 $m_i$ がすべての閉点の次数を割るので、$m_i\mid\delta$、したがって最小公倍数も $\delta$ を割る。

2 ⟹ 3 は切断の生成点をとればよい。3 ⟹ 2 は、$\mathcal{O}^{\mathrm{h}}$ が離散付値環で $f$ が固有射なので、固有射の付値判定法により $K^{\mathrm{h}}$ 有理点が $\operatorname{Spec}\mathcal{O}^{\mathrm{h}}$ 上の切断に延びることによる（固有射）。
2 ⟹ 1．切断 $\sigma$ をとり、その閉点の像を $x\in f^{-1}(p)$ とする。$\sigma$ は局所準同型 $\phi\colon\mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}^{\mathrm{h}}$ で、合成 $\mathcal{O}_{C,p}\xrightarrow{f^\sharp}\mathcal{O}_{X,x}\xrightarrow{\phi}\mathcal{O}^{\mathrm{h}}$ が標準的な写像になるものを与える。とくに $\phi(f^*t)=t$ である。$\mathcal{O}_{X,x}$ は $2$ 次元の正則局所環なので一意分解整域（一意分解整域）であり、$x$ を通る成分 $C_i$ の局所方程式 $g_i$ は素元で、$f^*t=u\prod_{i\ni x}g_i^{a_i}$（$u$ は単元）と書ける。$\phi$ を施し $\mathcal{O}^{\mathrm{h}}$ の正規化付値 $v$ をとると
$$ 1=v(t)=v(\phi(u))+\sum_{i\ni x}a_i\,v(\phi(g_i))=\sum_{i\ni x}a_i\,v(\phi(g_i)) $$
であり、各 $v(\phi(g_i))$ は非負整数（$\phi$ が局所準同型なので $\phi(g_i)$ は極大イデアルに入り、$v(\phi(g_i))\ge1$）である。よって $x$ を通る成分の重複度の最大公約数は $1$ を割り、$m=1$ である。
1 ⟹ 2．$m=1$ なら重複度 $a_1=1$ の成分 $C_1$ がある。$C_1$ は $k$ 上の整な曲線なので滑らかな点が稠密であり（Har77 I.5.3）、他の成分 $C_i$（$i\ne1$）に乗らない $C_1$ の滑らかな点 $x$ がとれる。$x$ の近くでは $f^*t=u\,g_1$（$u$ は単元）なので、$x$ の近くで $f^{-1}(p)=\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,x}/(f^*t)=\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,x}/(g_1)$ はスキームとして $C_1$ に一致し、$x$ で $\kappa(p)=k$ 上滑らかである。$f$ は平坦で $x$ でのファイバーが滑らかなので、$f$ は $x$ の近傍で滑らかな射である（平坦で幾何的ファイバーが滑らかな点の全体は開集合で、その上で射は滑らか。Har77 III.10.2、BLR90 §2.2）。よって $X^{\mathrm{h}}:=X\times_C\operatorname{Spec}\mathcal{O}^{\mathrm{h}}$ は $x$ の像を含む開集合上で $\operatorname{Spec}\mathcal{O}^{\mathrm{h}}$ 上滑らかであり、$\mathcal{O}^{\mathrm{h}}$ は Hensel 局所環で剰余体 $k$、$x$ は閉ファイバーの $k$ 有理点だから、Henselの補題の滑らかな射に対する形（BLR90 §2.3 Proposition 5）により $x$ を通る切断 $\operatorname{Spec}\mathcal{O}^{\mathrm{h}}\to X^{\mathrm{h}}$ が存在する。