力学系

1：$f'$ は $p$ で連続なので、$\delta\in(0,r)$ を小さくとれば、$J:=I\cap(p-\delta,p+\delta)$ の上で $\lvert f'\rvert\le\lambda$ である。$x\in J$ なら、平均値の定理 により $x$ と $p$ の間の $\xi$（$\xi\in J$）で
$$ \lvert f(x)-p\rvert=\lvert f(x)-f(p)\rvert=\lvert f'(\xi)\rvert\,\lvert x-p\rvert\le\lambda\lvert x-p\rvert $$
となる。とくに $f(x)\in J$ である。帰納法により $f^n(x)\in J$ と $\lvert f^n(x)-p\rvert\le\lambda^n\lvert x-p\rvert$ がすべての $n$ で成り立つ。$\lambda^n\to0$ なので $p$ は吸引的であり、$\lvert f^n(x)-p\rvert\le\lvert x-p\rvert$ から、安定性の定義の $\varepsilon$ に対して $\min\{\delta,\varepsilon\}$ をとればよい。
2：$\lvert f'(p)\rvert>\mu>1$ となる $\mu$ をとり、$\delta\in(0,r)$ を $J:=I\cap(p-\delta,p+\delta)$ の上で $\lvert f'\rvert\ge\mu$ となるようにとる。1 と同じく、$y\in J$ なら $\lvert f(y)-p\rvert\ge\mu\lvert y-p\rvert$ である。$0<\lvert x-p\rvert<\delta$ とし、すべての $n$ で $f^n(x)\in J$ だったとすると、帰納法で $\lvert f^n(x)-p\rvert\ge\mu^n\lvert x-p\rvert\to\infty$ となり、$\lvert f^n(x)-p\rvert<\delta$ に反する。よってある $n$ で $f^n(x)\notin J$、つまり $\lvert f^n(x)-p\rvert\ge\delta$ である。$\square$

要点：$h\circ f^n=g^n\circ h$ により、$f$ の軌道は $h$ で $g$ の軌道に移り、$h$ は同相写像なので稠密な集合と開集合を保つ。

1：$h$ は連続で狭義単調増加、$h(0)=0$、$h(1)=1$ なので同相写像である。$x\le\frac12$ なら $h(T(x))=\sin^2\pi x$、$x\ge\frac12$ なら $h(T(x))=\sin^2(\pi-\pi x)=\sin^2\pi x$ である。一方 $L(h(x))=4\sin^2\frac{\pi x}2\cos^2\frac{\pi x}2=\sin^2\pi x$ である。
2：$n$ についての帰納法による。$n=1$ は $T$ の定義そのものである。$T$ は $I_{n+1,j}$ を傾き $\pm2$ で、$j< 2^n$ なら $I_{n,j}$ の上へ、$j\ge2^n$ なら $I_{n,2^{n+1}-1-j}$ の上へ写す。そこで $T^n$ は傾き $\pm2^n$ で $[0,1]$ の上へ写すので、$T^{n+1}=T^n\circ T$ は $I_{n+1,j}$ の上で傾き $\pm2^{n+1}$ の 1 次式で、$[0,1]$ の上へ写す。不動点：$I_{n,j}$ の両端で $T^n$ の値は $0$ と $1$ なので、$T^n(x)-x$ は一方の端で $0$ 以下、他方で $0$ 以上であり、傾き $\pm2^n-1\ne0$ の 1 次式なので $I_{n,j}$ にちょうど 1 つの零点をもつ。隣り合う区間の共有点 $\frac j{2^n}$（$0< j< 2^n$）では $T^n$ の値は $0$ か $1$ で $\frac j{2^n}$ と異なるから、不動点は重複して数えられていない。よって $T^n$ の不動点は $2^n$ 個である。
3：$[0,1]$ の空でない開集合 $U$ は、$n$ が大きければある $I_{n,j}$ を含む。2 から $I_{n,j}$ は $T^n$ の不動点を含むので、周期点は稠密である。また $T^n(U)\supset T^n(I_{n,j})=[0,1]$ なので、$T$ は位相推移的である。鋭敏性：$x\in[0,1]$、$\varepsilon>0$ に対し $2^{-n}<\varepsilon$ となる $n$ をとり、$x\in I_{n,j}$ となる $j$ をとると $I_{n,j}\subset(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ である。$T^n(y_0)=0$、$T^n(y_1)=1$ となる $y_0,y_1\in I_{n,j}$ があり、$\lvert T^n(y_i)-T^n(x)\rvert\ge\frac12$ となる $i$ がある。よって $T$ は $\delta=\frac12$ で初期値に鋭敏である。
$L$ については、1 と prop-ds-conjugacy により、周期点の稠密性・位相推移性・$L^n$ の不動点の個数が $T$ から移る。鋭敏性は距離に関わるので、コンパクト性を使って移す。$\delta_L:=\min\{\lvert h(a)-h(b)\rvert\mid a,b\in[0,1],\ \lvert a-b\rvert\ge\frac12\}$ は、コンパクト集合上の連続関数の最小値で、$h$ が単射なので正である。$x\in[0,1]$、$\varepsilon>0$ に対し、$h$ の一様連続性から $\lvert a-b\rvert<\varepsilon'$ なら $\lvert h(a)-h(b)\rvert<\varepsilon$ となる $\varepsilon'$ をとる。$x':=h^{-1}(x)$ と $\varepsilon'$ に $T$ の鋭敏性を使って $y'$、$n$ をとり、$y:=h(y')$ とおくと、$\lvert x-y\rvert<\varepsilon$ かつ $\lvert L^n(x)-L^n(y)\rvert=\lvert h(T^n(x'))-h(T^n(y'))\rvert\ge\delta_L$ である。$\square$

要点：どちらも 中間値の定理 による。1 では $K$ の両端の値をとる点のうち、互いに最も近いものを選ぶ。

周期 $3$ の軌道を $a< b< c$ とする。$f(a)=b$、$f(b)=c$、$f(c)=a$ の場合を示す（もう一方の $f(a)=c$、$f(c)=b$、$f(b)=a$ の場合は、$g(x):=-f(-x)$ を区間 $-I$ で考えると軌道 $-c<-b<-a$ がこの場合になり、$x\mapsto-x$ は周期を保つ）。$I_0:=[a,b]$、$I_1:=[b,c]$ とおくと、中間値の定理により
$$ f(I_0)\supset I_1,\qquad f(I_1)\supset[a,c]=I_0\cup I_1 $$
である。$n=1$ では $f(I_1)\supset I_1$ なので、lem-ds-intervals の 2 により $I_1$ に不動点がある。
$n\ge2$ とする。$J_0:=I_1$ から始めて、$k=0,1,\dots,n-2$ について $J_{k+1}\subset J_k$、$f^{k+1}(J_{k+1})=I_1$ となる有界閉区間を順にとる。$f^k(J_k)=I_1$ なら $f^{k+1}(J_k)=f(I_1)\supset I_1$ なので、lem-ds-intervals の 1（連続写像 $f^{k+1}$ に使う）でとれる。ただし最後の段 $k=n-2$ だけは、$f^{n-1}(J_{n-2})=f(I_1)\supset I_0$ を使って $f^{n-1}(J_{n-1})=I_0$ となる $J_{n-1}\subset J_{n-2}$ をとる。すると $f^n(J_{n-1})=f(I_0)\supset I_1\supset J_{n-1}$ なので、lem-ds-intervals の 2 により $f^n(x)=x$ となる $x\in J_{n-1}$ がある。$x\in J_k$ から
$$ f^k(x)\in I_1\ (0\le k\le n-2),\qquad f^{n-1}(x)\in I_0 $$
である。
$f^{n-1}(x)\ne b$ を示す。$f^{n-1}(x)=b$ なら $x=f^n(x)=f(b)=c$、$f(x)=f(c)=a$ である。$n\ge3$ なら $f(x)\in I_1$ に反し、$n=2$ なら $f(x)=f^{n-1}(x)=b$ に反する。よって $f^{n-1}(x)\in[a,b)$、つまり $f^{n-1}(x)\notin I_1$ である。
$x$ の最小周期を $m$ とする。$m$ は $n$ の約数である。$m< n$ なら、$n-1$ を $m$ で割った余りを $r$ とすると $f^{n-1}(x)=f^r(x)$ で、$r\le m-1\le n-2$ なので $f^r(x)\in I_1$ となり矛盾する。よって $x$ は周期 $n$ の点である。$\square$