指数(群論)

$X$ を 2 次元数ベクトル空間 $\mathbb{F}_p^2$ の 1 次元部分空間（原点を通る直線）の全体とする。$\mathbb{F}_p^2$ の零でないベクトルは $p^2-1$ 個あり、各直線はそのうち $p-1$ 個を含み、異なる直線は零ベクトルでしか交わらないので、$|X|=(p^2-1)/(p-1)=p+1$ である。
$\gamma\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の成分を法 $p$ で還元した行列を $\bar\gamma\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ と書くと、還元は積を保つので、$\gamma\cdot\ell:=\bar\gamma(\ell)$ は $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の $X$ への作用である（$\bar\gamma$ は可逆な線形写像なので直線を直線に移す）。
この作用は推移的である。$\ell_0$ を $e_1=(1,0)^{\mathsf T}$ が張る直線とする。どの直線も、ある $c\in\mathbb{Z}$ についての $(1,\bar c)^{\mathsf T}$ か、$(0,1)^{\mathsf T}$ で張られる。前者は $\begin{pmatrix}1&0\\c&1\end{pmatrix}\cdot\ell_0$、後者は $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\ell_0$ であり、これらの行列は $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に属する。
$\ell_0$ の安定化群を求める。$\gamma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ について $\bar\gamma e_1=(\bar a,\bar c)^{\mathsf T}$ であり、これが $\ell_0$ に属することは $\bar c=0$、すなわち $c\equiv0\pmod p$ と同値である。よって安定化群は $\Gamma_0(p)$ である。軌道・安定化群定理（群の作用 の記事の定理「軌道・安定化群定理」）により $[\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}):\Gamma_0(p)]=|X|=p+1$ である。$\square$

1：$n+1$ 個の左剰余類 $H,gH,g^2H,\dots,g^nH$ を考える。剰余類は全部で $n$ 個しかないので、鳩の巣原理により $g^iH=g^kH$ となる $0\le i< k\le n$ がある。このとき $g^{-i}g^k=g^{k-i}\in H$ であり、$j:=k-i$ は $1\le j\le n$ を満たす。
2：$H$ が正規なら剰余群 $G/H$ は位数 $n$ の群であり、Lagrangeの定理 の記事の系「元の位数」により、その元 $gH$ の位数は $n$ を割る。よって $(gH)^n=g^nH$ は単位元 $H$ に等しく、$g^n\in H$ である。$\square$

$H\le D$ を指数 $n$ の部分群とし、$x\in D$ を任意にとる。$D$ は可除なので $n!\,y=x$ となる $y\in D$ がある。prop-index-powers の 1 を $y$ に当てはめると、$1\le j\le n$ かつ $jy\in H$ となる $j$ がある。$j$ は $n!$ を割るので $n!/j$ は正の整数であり、$x=\frac{n!}{j}\,(jy)\in H$ である。よって $H=D$ である。$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ が可除であることは、$x/m$（$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ では代表元を $m$ で割ったものの類）が $my=x$ を満たすことから分かる。指数 $n$ の部分群による剰余群は位数 $n$ なので、最後の主張が従う。$\square$

$\operatorname{Hom}(G,S_n)$ を $G$ から $n$ 次対称群への準同型の全体とする。準同型は生成元 $g_1,\dots,g_r$ の像で決まり、各像の候補は $n!$ 個なので、$|\operatorname{Hom}(G,S_n)|\le(n!)^r$ である。
$H$ を指数 $n$ の部分群とする。$G/H$ の元に $1,\dots,n$ の番号を、$H$ 自身が $1$ になるように付ける。$G$ は $G/H$ に $g\cdot xH:=gxH$ で作用するので、番号を通して準同型 $\varphi_H\colon G\to S_n$ が得られる（群の作用 の記事の命題「作用と対称群への準同型」）。$g\cdot H=gH$ が $H$ に等しいことは $g\in H$ と同値なので
$$ H=\{g\in G\mid\varphi_H(g)(1)=1\} $$
である。すなわち $H$ は準同型 $\varphi_H$ から復元できる。写像 $\varphi\mapsto\{g\in G\mid\varphi(g)(1)=1\}$ は $\operatorname{Hom}(G,S_n)$ の各元に部分群を対応させ、指数 $n$ の部分群はどれもこの形で得られる。よって指数 $n$ の部分群の個数は $|\operatorname{Hom}(G,S_n)|\le(n!)^r$ 以下である。$\square$

thm-index-finitely-many により $K_n$ は有限個の有限指数部分群の共通部分なので、Lagrangeの定理 の記事の命題「共通部分の指数の評価」をくり返し使って有限指数である。自己同型 $\alpha$ は部分群 $H$ を部分群 $\alpha(H)$ に移し、剰余類 $gH$ を剰余類 $\alpha(g)\alpha(H)$ に移す全単射 $G/H\to G/\alpha(H)$ を与えるので、$[G:\alpha(H)]=[G:H]$ である。よって $\alpha$ は指数 $n$ の部分群の集合を自身に移し（逆写像 $\alpha^{-1}$ も同様なので全単射に）、共通部分 $K_n$ を保つ。内部自己同型 $x\mapsto gxg^{-1}$ で保たれることは、$K_n$ が正規であることを意味する。$\square$