de Rhamコホモロジー
概要
de Rhamコホモロジー（de Rham cohomology）とは、微分形式の複体のコホモロジー、閉形式を完全形式で割った空間である。滑らかな多様体では $C^\infty$ 級微分形式と外微分から定め、de Rham の定理により実係数の特異コホモロジーと一致する。体 $k$ 上の滑らかなスキーム $X$ では Kähler 微分の複体 $\Omega^\bullet_{X/k}$ の超コホモロジーとして定め、affine なら大域的な微分形式の複体のコホモロジーに一致するが、$\mathbb{P}^1$ のように affine でないと超コホモロジーが要る。Hodge–de Rham スペクトル系列が Hodge コホモロジーと結び、$\mathbb{C}$ 上では Grothendieck の比較定理により $X^{an}$ の複素係数コホモロジーと同型になる。
前提知識: 可微分多様体, 微分形式, 外微分, 層コホモロジー, 超コホモロジー, スペクトル系列, Kähler微分
定義
de Rham コホモロジーには、滑らかな可微分多様体の上で $C^\infty$ 級の微分形式を使って定める古典的なものと、体の上の滑らかなスキームの上で代数的な微分形式の層の超コホモロジーとして定める代数的なものがある。どちらも「閉形式を完全形式で割る」という同じ考えに基づくが、後者は大域切断の複体だけでは正しい値にならず、超コホモロジーを経由する必要がある。両方の定義をここに完全に述べる。
$M$ を $C^\infty$ 級の多様体とし、$\mathcal{A}^p(M)$ を $M$ 上の実数値 $C^\infty$ 級 $p$ 次微分形式全体のなす実ベクトル空間、$d\colon\mathcal{A}^p(M)\to\mathcal{A}^{p+1}(M)$ を外微分とする。$d\circ d=0$ が成り立つので、
$$
\mathcal{A}^\bullet(M)\colon\ 0\to\mathcal{A}^0(M)\xrightarrow{d}\mathcal{A}^1(M)\xrightarrow{d}\mathcal{A}^2(M)\xrightarrow{d}\cdots
$$
は複体（複体とホモロジー）である。これを $M$ の de Rham 複体（de Rham complex）という。$d\omega=0$ をみたす $\omega$ を閉形式、$\omega=d\eta$ と書ける $\omega$ を完全形式といい、
$$
H^p_{dR}(M):=\frac{\ker\bigl(d\colon\mathcal{A}^p(M)\to\mathcal{A}^{p+1}(M)\bigr)}{\operatorname{im}\bigl(d\colon\mathcal{A}^{p-1}(M)\to\mathcal{A}^p(M)\bigr)}
$$
を $M$ の $p$ 次 de Rham コホモロジー（de Rham cohomology）という（$p=0$ では分母を $0$ とする）。閉形式 $\omega$ の定める類を $[\omega]$ と書く。$C^\infty$ 級写像 $f\colon M\to N$ は引き戻し $f^*$ が $d$ と可換なので線型写像 $f^*\colon H^p_{dR}(N)\to H^p_{dR}(M)$ を誘導し、$H^\bullet_{dR}$ は多様体の圏から次数付きベクトル空間の圏への反変関手である。複素数値の形式を使えば $H^p_{dR}(M;\mathbb{C})=H^p_{dR}(M)\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ が得られる。
外積 $\wedge$ は閉形式どうしを閉形式に、閉形式と完全形式を完全形式に移す（$d(\omega\wedge\eta)=d\omega\wedge\eta+(-1)^p\omega\wedge d\eta$）ので、$[\omega]\smile[\eta]:=[\omega\wedge\eta]$ により $H^\bullet_{dR}(M)$ は次数付き可換な環（次数付き環）になる。
代数的な定義に移る。$k$ を体、$X$ を $k$ 上局所有限型（有限型射）で滑らかなスキーム（滑らかな射）とし、$\Omega^1_{X/k}$ を Kähler微分の層、$\Omega^p_{X/k}:=\bigwedge^p_{\mathcal{O}_X}\Omega^1_{X/k}$ をその外冪とする。$X$ が滑らかなので各 $\Omega^p_{X/k}$ は局所自由層であり、とくに連接層である。外微分 $d\colon\Omega^p_{X/k}\to\Omega^{p+1}_{X/k}$ は $d(f\,dg_1\wedge\cdots\wedge dg_p)=df\wedge dg_1\wedge\cdots\wedge dg_p$ で定まる $k$ 線型（$\mathcal{O}_X$ 線型ではない）な層の射で、$d\circ d=0$ をみたす。
上の記号で、$k$ ベクトル空間の層の複体
$$
\Omega^\bullet_{X/k}\colon\ 0\to\mathcal{O}_X\xrightarrow{d}\Omega^1_{X/k}\xrightarrow{d}\Omega^2_{X/k}\xrightarrow{d}\cdots
$$
を $X$ の（$k$ 上の）de Rham 複体という。$X$ の $n$ 次の代数的 de Rham コホモロジー（algebraic de Rham cohomology）とは、この複体の超コホモロジー
$$
H^n_{dR}(X/k):=\mathbf{H}^n\bigl(X,\Omega^\bullet_{X/k}\bigr)\qquad(n\ge0)
$$
のことである。ここで $\mathbf{H}^n(X,K^\bullet)$ は、下に有界な層の複体 $K^\bullet$ に対し、擬同型 $K^\bullet\to I^\bullet$（$I^\bullet$ は入射層、またはより一般に $\Gamma(X,-)$ について非輪状な層（非輪状層）の複体）をとって $H^n(\Gamma(X,I^\bullet))$ と定めた値であり、導来圏の言葉では $\mathbf{R}\Gamma(X,K^\bullet)$ の $n$ 次コホモロジーである。$k$ が文脈から明らかなときは $H^n_{dR}(X)$ とも書く。
超コホモロジーの定義から、大域切断の複体 $\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k})$ から超コホモロジーへの標準写像
$$
\varepsilon_X\colon H^n\bigl(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k})\bigr)\to H^n_{dR}(X/k)
$$
がある（増大射 $\Omega^\bullet_{X/k}\to I^\bullet$ が誘導する）。これが同型になるのは $X$ が affine のときであり（thm-de-rham-affine）、一般には同型でない（ex-de-rham-projective-line）。$H^n_{dR}(X/k)$ は $k$ ベクトル空間で、$k$ 上のスキームの射について反変関手であり、外積により次数付き可換な $k$ 代数になる。また、次数 $p$ 以上の項だけを残した部分複体 $\sigma^{\ge p}\Omega^\bullet_{X/k}$ の超コホモロジーの像
$$
F^pH^n_{dR}(X/k):=\operatorname{im}\bigl(\mathbf{H}^n(X,\sigma^{\ge p}\Omega^\bullet_{X/k})\to H^n_{dR}(X/k)\bigr)
$$
を Hodge フィルトレーションという（フィルトレーション）。
直感
$p$ 次微分形式は「$p$ 次元の（向き付けられた）小片の上で積分できる量」であり、外微分 $d$ は Stokesの定理 $\int_{\partial S}\omega=\int_S d\omega$ を通して境界をとる操作の双対である。閉形式は「境界の上の積分が $0$ になる量」、完全形式は「積分が端点だけで決まる量」であり、その差 $H^p_{dR}(M)$ は、$M$ の中に「境界にならない $p$ 次元の穴」がどれだけあるかを、微分形式の側から数えたものである。$\mathbb{R}^n$ や星型領域に穴はなく（Poincaréの補題。cor-de-rham-poincare）、円周には 1 次元の穴が 1 つある（ex-de-rham-circle）。de Rham の定理（thm-de-rham-theorem）は、この数え方が特異コホモロジーの数え方と一致することを述べる。
代数多様体では $C^\infty$ 級の形式が使えないので、多項式・有理関数の微分形式だけを使う。affine 多様体（アフィン多様体）なら大域的な代数的微分形式の複体で十分だが、射影直線のように affine でない多様体では大域的な微分形式が少なすぎる（$\mathbb{P}^1$ 上の正則 1 形式は $0$ しかない）。そこで、局所的には affine 開集合の上の形式で計算し、それを層コホモロジーの仕組みで貼り合わせる。それが超コホモロジーによる定義である。Grothendieck の比較定理（thm-de-rham-comparison）により、$\mathbb{C}$ 上ではこの純代数的な構成が、複素点のなす複素多様体の位相的コホモロジーを完全に復元する。
例と反例
$S^1=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ とし、角座標を $\theta$ とする。$S^1$ 上の $C^\infty$ 級関数は $2\pi$ 周期の $C^\infty$ 級関数 $f(\theta)$、1 次微分形式は $f(\theta)\,d\theta$（$f$ は $2\pi$ 周期）と同一視され、2 次以上の形式は $0$ である。$d(g)=g'(\theta)\,d\theta$ だから、$dg=0$ は $g$ が定数であることと同値で $H^0_{dR}(S^1)=\mathbb{R}$ である。1 次では、積分 $I\colon\mathcal{A}^1(S^1)\to\mathbb{R}$、$f\,d\theta\mapsto\int_0^{2\pi}f(\theta)\,d\theta$ を考える。$f\,d\theta=dg$ なら $I(f\,d\theta)=g(2\pi)-g(0)=0$ である。逆に $I(f\,d\theta)=0$ なら $g(\theta):=\int_0^\theta f(t)\,dt$ は $g(\theta+2\pi)=g(\theta)+I(f\,d\theta)=g(\theta)$ をみたす $C^\infty$ 級の周期関数で $dg=f\,d\theta$ である。よって $\ker I=\operatorname{im}d$ であり、$I(d\theta)=2\pi\ne0$ から $I$ は全射なので、
$$
H^1_{dR}(S^1)=\mathbb{R}\cdot[d\theta]\cong\mathbb{R}
$$
である。$d\theta$ は閉形式だが完全形式ではない（$\theta$ は $S^1$ 上の一価な関数ではない）。これは $S^1$ の 1 次元の穴を検出している。
$k$ を標数 $0$ の体とする。affine 直線（アフィン直線）$\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[t]$ は affine だから、thm-de-rham-affine により $H^\bullet_{dR}(\mathbb{A}^1_k)$ は複体 $k[t]\xrightarrow{d}k[t]\,dt$ のコホモロジーである。$d\bigl(\sum_m a_mt^m\bigr)=\sum_m ma_mt^{m-1}dt$ であり、標数 $0$ では $m\ge1$ について $ma_m=0$ と $a_m=0$ が同値だから $\ker d=k$、また $t^{m-1}dt=d(t^m/m)$（$m\ge1$）だから $d$ は全射である。よって
$$
H^0_{dR}(\mathbb{A}^1_k)=k,\qquad H^1_{dR}(\mathbb{A}^1_k)=0.
$$
乗法群 $\mathbb{G}_{m,k}=\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]$ も affine で、複体は $k[t,t^{-1}]\xrightarrow{d}k[t,t^{-1}]\,dt$、$d\bigl(\sum_{m\in\mathbb{Z}}a_mt^m\bigr)=\sum_m ma_mt^{m-1}dt$ である。$m\ne0$ なら $ma_m=0$ から $a_m=0$ なので $\ker d=k$ であり、$\operatorname{im}d$ は $t^{m-1}dt$（$m\ne0$）の張る部分空間だから、商には $t^{-1}dt$ の類だけが残る。よって
$$
H^0_{dR}(\mathbb{G}_{m,k})=k,\qquad H^1_{dR}(\mathbb{G}_{m,k})=k\cdot\Bigl[\frac{dt}{t}\Bigr].
$$
$k=\mathbb{C}$ のとき $\mathbb{G}_m^{an}=\mathbb{C}^\times$ は $S^1$ とホモトピー同値で、$H^1(\mathbb{C}^\times,\mathbb{C})=\mathbb{C}$ である。単位円周 $t=e^{i\theta}$ 上で $dt/t=i\,d\theta$ だから $\int_{|t|=1}dt/t=2\pi i$ であり、比較定理（thm-de-rham-comparison）の同型は $[dt/t]$ を、単位円周上の積分が $1$ になる類の $2\pi i$ 倍に送る。この $2\pi i$ が最も簡単な周期（周期(代数多様体)）である。
外す条件は標数 $0$ である。$k$ を標数 $p>0$ の体とする。$\mathbb{A}^1_k$ は affine なので複体は上と同じ $k[x]\xrightarrow{d}k[x]\,dx$ だが、整数 $m$ が $k$ の中で $0$ になるのは $p\mid m$ のときである。よって $\ker d=k[x^p]$ であり、$\operatorname{im}d$ は $x^{m-1}dx$（$p\nmid m$）の張る部分空間だから
$$
H^0_{dR}(\mathbb{A}^1_k)=k[x^p],\qquad H^1_{dR}(\mathbb{A}^1_k)=\bigoplus_{m\ge1}k\cdot[x^{mp-1}dx]
$$
で、どちらも無限次元である。破れる結論は、標数 $0$ で成り立つ $H^0_{dR}(\mathbb{A}^1)=k$、$H^1_{dR}(\mathbb{A}^1)=0$（ex-de-rham-affine-line-gm。Poincaré の補題の代数版）と、標数 $0$ の有限型スキームで成り立つ $H^n_{dR}$ の有限次元性（rem-de-rham-finiteness）である。標数 $p$ では、de Rham コホモロジーは固有でない多様体の「Betti 数」を与えない。この欠陥を補うのが Grothendieck の結晶コホモロジーである。
$k$ を任意の体、$X=\mathbb{P}^1_k$ とし、$U_0=\operatorname{Spec}k[t]$、$U_1=\operatorname{Spec}k[t^{-1}]$ で覆う。$U_{01}=U_0\cap U_1=\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]$ である。大域切断は $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=k[t]\cap k[t^{-1}]=k$、$\Gamma(X,\Omega^1_{X/k})=0$ である。実際 $f(t)\,dt$（$f\in k[t]$）が $U_1$ まで延びるには、$dt=-t^2\,d(t^{-1})$ により係数 $-t^2f(t)$ が $k[t^{-1}]$ に属する必要があり、$f=0$ しかない。したがって大域切断の複体は $k\to0$ で、そのコホモロジーは $H^0=k$、$H^1=H^2=0$ である。
一方、$X$ は分離的（分離射）で $U_0,U_1,U_{01}$ は affine だから、prop-de-rham-cech により $H^n_{dR}(X)$ は Čech 二重複体（Čechコホモロジー）の全複体
$$
k[t]\oplus k[t^{-1}]\ \xrightarrow{\ \delta_0\ }\ \bigl(k[t]\,dt\oplus k[t^{-1}]\,d(t^{-1})\bigr)\oplus k[t,t^{-1}]\ \xrightarrow{\ \delta_1\ }\ k[t,t^{-1}]\,dt
$$
のコホモロジーである。ここで次数 $0$ は $\check C^0(\Omega^0)$、次数 $1$ は $\check C^0(\Omega^1)\oplus\check C^1(\Omega^0)$、次数 $2$ は $\check C^1(\Omega^1)$ であり、微分は $\delta_0(f_0,f_1)=\bigl((df_0,df_1),\,f_1-f_0\bigr)$、$\delta_1\bigl((\omega_0,\omega_1),g\bigr)=\omega_1-\omega_0-dg$ である（$U_{01}$ 上での差をとる）。
次数 $2$：$\operatorname{im}\delta_1$ は $d(k[t,t^{-1}])$（$t^{m-1}dt$、$m\ne0$。標数 $p$ では $p\nmid m$ に限る）、$k[t]\,dt$（$t^m\,dt$、$m\ge0$）、$k[t^{-1}]\,d(t^{-1})=k[t^{-1}]\,t^{-2}dt$（$t^{-m}dt$、$m\ge2$）の和で、$t^{-1}dt$ 以外のすべての単項式 $t^m\,dt$ を含み、$t^{-1}dt$ を含まない。よって
$$
H^2_{dR}(\mathbb{P}^1_k)=k\cdot\Bigl[\frac{dt}{t}\Bigr]\cong k.
$$
次数 $1$：$\delta_1\bigl((\omega_0,\omega_1),g\bigr)=0$ とすると $dg=\omega_1-\omega_0$ である。$g=g_++a_0+g_-$（正冪の部分、定数項、負冪の部分）と分けると、$\omega_0\in k[t]\,dt$ と $\omega_1\in k[t^{-1}]\,t^{-2}dt$ は共通の単項式をもたないので $dg_+=-\omega_0$、$dg_-=\omega_1$ となり、$(f_0,f_1):=(-g_+-a_0,\ g_-)$ が $\delta_0(f_0,f_1)=\bigl((\omega_0,\omega_1),g\bigr)$ をみたす。よって $H^1_{dR}(\mathbb{P}^1_k)=0$。次数 $0$：$f_0=f_1$ は $k[t]\cap k[t^{-1}]=k$ に限るので $H^0_{dR}(\mathbb{P}^1_k)=k$。
まとめると、任意の体 $k$ の上で $H^0_{dR}(\mathbb{P}^1_k)=k$、$H^1_{dR}(\mathbb{P}^1_k)=0$、$H^2_{dR}(\mathbb{P}^1_k)=k$ であり、$k=\mathbb{C}$ では $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ が球面 $S^2$ であることと整合する。この例が破る含意は「標準写像 $\varepsilon_X$ は同型である」（$n=2$ で $0\to k$ となり全射でない）であり、外れている条件は affine 性である。Hodge–de Rham スペクトル系列（thm-de-rham-hodge-ss）で見ると、$E_1$ 項のうち $0$ でないのは $H^0(X,\mathcal{O}_X)=k$ と $H^1(X,\Omega^1_{X/k})=k$ だけで、後者が $H^2_{dR}$ を担っている。大域切断の複体は $E_1$ の行 $q=0$ しか見ておらず、超コホモロジーは残りの行も取り込む。
性質
多様体の場合：ホモトピー不変性と Poincaré の補題
滑らかな多様体の de Rham コホモロジーの基本性質はすべて、次のホモトピー作用素の計算から出る。
$M$ を多様体、$t$ を $\mathbb{R}$ の座標とし、$s\in\mathbb{R}$ に対し $\iota_s\colon M\to\mathbb{R}\times M$、$x\mapsto(s,x)$ とおく。$\mathbb{R}\times M$ 上の $p$ 次微分形式 $\eta$ は、$dt$ を含まない $p-1$ 次形式 $\alpha$ と $p$ 次形式 $\beta$ により $\eta=dt\wedge\alpha+\beta$ と一意に書ける（$\alpha$ は $\partial_t$ による内部積 $\iota_{\partial_t}\eta$）。$M$ の局所座標 $x=(x_1,\dots,x_n)$ で $\alpha=\sum_I a_I(t,x)\,dx_I$（$I$ は $p-1$ 個の添字の増加列、$dx_I=dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_{p-1}}$）と書き、
$$
K\eta:=\sum_I\Bigl(\int_0^1a_I(s,x)\,ds\Bigr)dx_I\in\mathcal{A}^{p-1}(M)
$$
と定める（$p=0$ のときは $K\eta:=0$）。$K\eta$ は座標の取り方によらず定まり、すべての $p\ge0$ と $\eta\in\mathcal{A}^p(\mathbb{R}\times M)$ について
$$
d(K\eta)+K(d\eta)=\iota_1^*\eta-\iota_0^*\eta
$$
が成り立つ。
座標によらないこと：$M$ の別の座標 $y$ への座標変換は $t$ を含まないので、$dx_I$ を $dy_J$ たちで表す係数は $x$ だけの関数であり、$s$ についての積分の外に出せる。よって二つの座標で定めた $K\eta$ は共通部分の上で一致する。
等式：局所座標で $\beta=\sum_Jb_J(t,x)\,dx_J$（$|J|=p$）と書く。$d\alpha=dt\wedge\partial_t\alpha+d_x\alpha$（$\partial_t\alpha=\sum_I\partial_ta_I\,dx_I$、$d_x\alpha=\sum_I\sum_j\partial_ja_I\,dx_j\wedge dx_I$）であり $dt\wedge dt=0$ だから、
$$
d\eta=d(dt\wedge\alpha)+d\beta=-dt\wedge d_x\alpha+dt\wedge\partial_t\beta+d_x\beta
$$
となる。$d\eta$ の $dt$ を含む部分は $dt\wedge(-d_x\alpha+\partial_t\beta)$ なので、$K$ の定義から
$$
K(d\eta)=-\sum_I\sum_j\Bigl(\int_0^1\partial_ja_I(s,x)\,ds\Bigr)dx_j\wedge dx_I+\sum_J\bigl(b_J(1,x)-b_J(0,x)\bigr)dx_J
$$
である。一方、被積分関数が $[0,1]\times(\text{座標近傍})$ 上で $C^\infty$ 級なので積分記号下で微分でき、
$$
d(K\eta)=\sum_I\sum_j\partial_j\Bigl(\int_0^1a_I(s,x)\,ds\Bigr)dx_j\wedge dx_I=\sum_I\sum_j\Bigl(\int_0^1\partial_ja_I(s,x)\,ds\Bigr)dx_j\wedge dx_I
$$
である。二つを足すと第 1 の項が打ち消し合い、$d(K\eta)+K(d\eta)=\sum_J\bigl(b_J(1,x)-b_J(0,x)\bigr)dx_J$ となる。$\iota_s^*dt=0$、$\iota_s^*(b_J\,dx_J)=b_J(s,x)\,dx_J$ だから、右辺は $\iota_1^*\eta-\iota_0^*\eta$ である。$p=0$ のときは $\eta=\beta$ が関数で、$K(d\eta)=\int_0^1\partial_t\eta\,ds=\eta(1,x)-\eta(0,x)$ となり同じ等式が成り立つ。$\square$
- $f,g\colon M\to N$ を多様体の間の $C^\infty$ 級写像とし、$C^\infty$ 級写像 $H\colon\mathbb{R}\times M\to N$ で $H\circ\iota_0=f$、$H\circ\iota_1=g$ となるものがあるとする（$f$ と $g$ は $C^\infty$ 級ホモトピック。ホモトピー）。このとき $f^*=g^*\colon H^p_{dR}(N)\to H^p_{dR}(M)$ がすべての $p$ で成り立つ。
- （Poincaré の補題）$U\subset\mathbb{R}^n$ を原点に関して星型な開集合（星型領域。$x\in U$ と $0\le\lambda\le1$ について $\lambda x\in U$）とする。$H^0_{dR}(U)=\mathbb{R}$ であり、$p\ge1$ について $H^p_{dR}(U)=0$、すなわち $U$ 上の閉 $p$ 形式はすべて完全である。
- 可縮な多様体（可縮空間）$M$、とくに $\mathbb{R}^n$ について $H^0_{dR}(M)=\mathbb{R}$、$H^p_{dR}(M)=0$（$p\ge1$）である。
1：$\omega\in\mathcal{A}^p(N)$ を閉形式とし、$\eta:=H^*\omega$ とおく。$d\eta=H^*d\omega=0$ であり、$\iota_1^*\eta=(H\circ\iota_1)^*\omega=g^*\omega$、$\iota_0^*\eta=f^*\omega$ だから、lem-de-rham-homotopy-operator により $g^*\omega-f^*\omega=d(K\eta)$ である。よって $[g^*\omega]=[f^*\omega]$。
2：$\varphi\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ を、$t\le0$ で $0$、$t\ge1$ で $1$ となる $C^\infty$ 級関数とし（たとえば $\psi(t)=e^{-1/t}$（$t>0$）、$0$（$t\le0$）に対し $\varphi(t)=\psi(t)/(\psi(t)+\psi(1-t))$）、$H(t,x):=\varphi(t)x$ とおく。星型性から $H(\mathbb{R}\times U)\subset U$ であり、$H\colon\mathbb{R}\times U\to U$ は $C^\infty$ 級で、$H\circ\iota_1=\mathrm{id}_U$、$H\circ\iota_0=c$（原点への定値写像）である。1 により $\mathrm{id}^*=c^*$ が $H^p_{dR}(U)$ 上で成り立つ。$p\ge1$ なら定値写像による $p$ 次形式の引き戻しは $0$ だから、$H^p_{dR}(U)$ 上で $\mathrm{id}=0$、すなわち $H^p_{dR}(U)=0$ である。$p=0$ では、$df=0$ をみたす関数 $f$ は各点の近傍で定数であり、$U$ は星型なので弧状連結（弧状連結空間）だから $f$ は定数である。よって $H^0_{dR}(U)=\mathbb{R}$。
3：$M$ が可縮とは恒等写像がある定値写像 $c$ とホモトピックなことであり、連続ホモトピーは $C^\infty$ 級ホモトピー $H\colon\mathbb{R}\times M\to M$ に取り替えられる（Lee12 Ch. 6）。あとは 2 と同じ議論である。$\square$
Poincaré の補題は、閉形式が「局所的には」常に完全であることを述べる。したがって層の複体 $\mathbb{R}_M\to\mathcal{A}^0_M\to\mathcal{A}^1_M\to\cdots$（$\mathcal{A}^p_M$ は $C^\infty$ 級 $p$ 形式の層）は完全であり、定数層 $\mathbb{R}_M$ の分解になっている。各 $\mathcal{A}^p_M$ は 1 の分割（1の分割）をもつので細層であり、正の次数の層コホモロジーをもたない。これが次の定理の層論的な内容である。
$M$ を $C^\infty$ 級多様体（Hausdorff空間で第 2 可算（第2可算公理））とする。
- 自然な同型 $H^p_{dR}(M)\cong H^p(M,\mathbb{R}_M)$（定数層 $\mathbb{R}_M$ の層コホモロジー）がある。
- 微分形式を $C^\infty$ 級の特異 $p$ 単体の上で積分する操作 $\omega\mapsto\bigl(\sigma\mapsto\int_\sigma\omega\bigr)$ は、同型
$$ H^p_{dR}(M)\xrightarrow{\ \sim\ }H^p_{\mathrm{sing}}(M;\mathbb{R}) $$
を誘導する。右辺は実係数の特異コホモロジーである。この同型は外積とカップ積を対応させ、$C^\infty$ 級写像の引き戻しと可換である。
代数的 de Rham コホモロジーの基本性質
代数的な場合の基本の道具は、de Rham 複体の次数によるフィルトレーションから来るスペクトル系列である。
$X$ を体 $k$ 上局所有限型で滑らかなスキームとする。
- 第 1 象限のスペクトル系列
$$ E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega^p_{X/k})\Longrightarrow H^{p+q}_{dR}(X/k) $$
があり、$d_1\colon E_1^{p,q}\to E_1^{p+1,q}$ は外微分 $d$ が層コホモロジーに誘導する写像である。到達項のフィルトレーションは Hodge フィルトレーション $F^\bullet$ であり、$\operatorname{gr}^p_FH^n_{dR}(X/k)\cong E_\infty^{p,n-p}$ である。 - 行 $q=0$ の $E_1$ 項は複体 $\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k})$ そのものであり、$E_2^{n,0}=H^n(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k}))$ から到達項への辺写像は標準写像 $\varepsilon_X$ である。
$\Omega^\bullet_{X/k}$ の Cartan–Eilenberg分解 $\Omega^\bullet_{X/k}\to I^{\bullet,\bullet}$ をとる（Wei94 §5.7）。これは入射層からなる第 1 象限の二重複体で、各 $p$ について $\Omega^p_{X/k}\to I^{p,\bullet}$ が入射分解であり、横の微分による境界・コサイクル・コホモロジーの各列も入射分解になっているもので、増大射 $\Omega^\bullet_{X/k}\to\operatorname{Tot}I^{\bullet,\bullet}$ は擬同型である。よって $H^n_{dR}(X/k)=H^n\bigl(\Gamma(X,\operatorname{Tot}I^{\bullet,\bullet})\bigr)$ である。二重複体 $B^{p,q}:=\Gamma(X,I^{p,q})$ を列（$p$）でフィルターすると、第 1 象限型なので全複体のコホモロジーに収束するスペクトル系列があり（Wei94 §5.6）、$E_0^{p,q}=B^{p,q}$、$d_0$ は縦の微分だから $E_1^{p,q}=H^q(\Gamma(X,I^{p,\bullet}))=H^q(X,\Omega^p_{X/k})$、$d_1$ は横の微分が誘導する写像、すなわち $H^q(d)$ である。$p$ 列以降の部分 $I^{\ge p,\bullet}$ は $\sigma^{\ge p}\Omega^\bullet_{X/k}$ の Cartan–Eilenberg 分解なので、フィルトレーション $F^p=\operatorname{im}\bigl(H^n(\Gamma(X,\operatorname{Tot}I^{\ge p,\bullet}))\to H^n_{dR}\bigr)$ は Hodge フィルトレーションに一致する。これで 1 が出る。
2：$\Gamma(X,-)$ は左完全（左完全関手）で $I^{p,\bullet}$ は $\Omega^p_{X/k}$ の分解だから $E_1^{p,0}=\ker(B^{p,0}\to B^{p,1})=\Gamma(X,\Omega^p_{X/k})$ であり、$d_1=d$ なので行 $q=0$ は $\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k})$、$E_2^{n,0}=H^n(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k}))$ である。第 1 象限型では $E_\infty^{n,0}=F^nH^n\subset H^n$ で、辺写像 $E_2^{n,0}\to H^n_{dR}(X/k)$ は、閉形式 $\omega\in\Gamma(X,\Omega^n_{X/k})$ の類を、増大射 $\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k})\to\Gamma(X,\operatorname{Tot}I^{\bullet,\bullet})$ による像の類に送る写像、すなわち $\varepsilon_X$ である。$\square$
$\Omega^p_{X/k}$ は準連接層であり、affine スキーム上の準連接層の正の次数の層コホモロジーは消える（Har77 III.3.5）。よって thm-de-rham-hodge-ss の $E_1^{p,q}$ は $q\ge1$ で $0$ であり、$E_1$ は行 $q=0$ の複体 $\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k})$ だけからなる。$r\ge2$ の $d_r\colon E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q-r+1}$ は始点か終点が $q\ne0$ の位置にあるので $0$ であり、$E_2=E_\infty$ である。$\operatorname{gr}^p_FH^n_{dR}=E_\infty^{p,n-p}$ は $p=n$ 以外で $0$ なので $H^n_{dR}(X/k)=F^nH^n_{dR}=E_\infty^{n,0}=E_2^{n,0}=H^n(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k}))$ であり、この同型は辺写像、すなわち thm-de-rham-hodge-ss の 2 により $\varepsilon_X$ である。$\square$
affine でないスキームは affine 開被覆で覆い、各交わりの上の計算を Čech 複体で貼り合わせる。
$X$ を体 $k$ 上有限型で滑らかな分離的スキーム、$\mathfrak{U}=(U_i)_{i\in I}$ を affine 開被覆とし、$I$ に全順序を入れる。$U_{i_0\cdots i_r}:=U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_r}$ とおき、交代 Čech 複体 $\check C^r(\mathfrak{U},\Omega^p_{X/k}):=\prod_{i_0<\cdots< i_r}\Gamma(U_{i_0\cdots i_r},\Omega^p_{X/k})$ を成分とし、Čech 微分 $\delta$ と外微分 $d$ を微分とする二重複体の全複体を $\operatorname{Tot}\check C^\bullet(\mathfrak{U},\Omega^\bullet_{X/k})$ と書く。このとき自然な同型
$$
H^n_{dR}(X/k)\cong H^n\bigl(\operatorname{Tot}\check C^\bullet(\mathfrak{U},\Omega^\bullet_{X/k})\bigr)
$$
がある。
超コホモロジーの記事の命題（Čech 複体による計算）は、開被覆 $\mathfrak{U}$ と下に有界な層の複体 $K^\bullet$ について、各 $K^p$ と各有限交わり $U_{i_0\cdots i_r}$ で $H^q(U_{i_0\cdots i_r},K^p)=0$（$q\ge1$）なら、Čech 二重複体 $\check C^r(\mathfrak{U},K^p)$ の全複体のコホモロジーが $\mathbf{H}^n(X,K^\bullet)$ に標準的に同型であることを述べる。$K^\bullet=\Omega^\bullet_{X/k}$ についてこの仮定を確かめればよい。$X$ は分離的で $U_i$ は affine だから、有限交わり $U_{i_0\cdots i_r}$ は affine である（Har77 II Ex. 4.3）。$\Omega^p_{X/k}$ は準連接層なので、affine スキーム $U_{i_0\cdots i_r}$ の上で $H^q(U_{i_0\cdots i_r},\Omega^p_{X/k})=0$（$q\ge1$）である（Har77 III.3.5）。よって仮定が満たされ、主張はその命題の特別な場合である。$\square$
$X$ を体 $k$ 上有限型で滑らかな分離的スキーム、$K/k$ を体の拡大、$X_K:=X\times_{\operatorname{Spec}k}\operatorname{Spec}K$ とする。自然な同型 $H^n_{dR}(X_K/K)\cong H^n_{dR}(X/k)\otimes_kK$ がある。
$X$ は準コンパクトなので有限個の affine 開集合 $U_1,\dots,U_m$ で覆える。$U_{i,K}:=U_i\times_kK$ は affine で $X_K$ を覆い、$X_K$ は分離的で $K$ 上滑らかであり、$U_{i_0\cdots i_r,K}=U_{i_0\cdots i_r}\times_kK$ である。affine スキーム $U=\operatorname{Spec}A$ について Kähler 微分は底変換と可換で $\Omega^1_{A\otimes_kK/K}=\Omega^1_{A/k}\otimes_kK$（Har77 II.8.2A）、したがって外冪についても $\Gamma(U_K,\Omega^p_{X_K/K})=\Gamma(U,\Omega^p_{X/k})\otimes_kK$ であり、外微分もこの同一視で対応する。有限個の直積は $\otimes_kK$ と可換だから、prop-de-rham-cech の Čech 全複体について $\operatorname{Tot}\check C^\bullet(\mathfrak{U}_K,\Omega^\bullet_{X_K/K})=\operatorname{Tot}\check C^\bullet(\mathfrak{U},\Omega^\bullet_{X/k})\otimes_kK$ である。$K$ は $k$ ベクトル空間として自由なので $-\otimes_kK$ は完全関手（完全関手）であり、コホモロジーと可換である。両辺に prop-de-rham-cech を適用して主張を得る。$\square$
比較定理
$k=\mathbb{C}$ のとき、$X$ の複素点の集合 $X^{an}=X(\mathbb{C})$ は複素多様体であり、代数的微分形式は正則微分形式とみなせる。したがって層の複体の射 $\Omega^\bullet_{X/\mathbb{C}}\to\Omega^\bullet_{X^{an}}$（解析化）があり、超コホモロジーの射 $\mathbf{H}^n(X,\Omega^\bullet_{X/\mathbb{C}})\to\mathbf{H}^n(X^{an},\Omega^\bullet_{X^{an}})$ を誘導する。正則 Poincaré の補題（多重円板上の閉じた正則形式は完全。cor-de-rham-poincare の証明を冪級数の項別積分で行ったもの）により $\mathbb{C}_{X^{an}}\to\Omega^\bullet_{X^{an}}$ は分解なので、右辺は $H^n(X^{an},\mathbb{C})$ に等しい。こうして得られる比較写像
$$
\rho_X\colon H^n_{dR}(X/\mathbb{C})\longrightarrow H^n(X^{an},\mathbb{C})
$$
について、次が成り立つ。
$X$ を $\mathbb{C}$ 上局所有限型で滑らかなスキームとする。比較写像 $\rho_X\colon H^n_{dR}(X/\mathbb{C})\to H^n(X^{an},\mathbb{C})$ はすべての $n$ で同型である。$X$ が分離的なら右辺は $X^{an}$ の複素係数特異コホモロジーに一致する（thm-de-rham-theorem）。
証明は Grothendieck Gro66 に譲る。筋は次のとおりである。$X$ が固有（完備。固有射）なら、Serre の GAGA により $E_1$ 項 $H^q(X,\Omega^p_{X/\mathbb{C}})\to H^q(X^{an},\Omega^p_{X^{an}})$ が同型なので、Hodge–de Rham スペクトル系列（thm-de-rham-hodge-ss）の比較により $\rho_X$ は Hodge フィルトレーション込みで同型になり、特異点解消は不要である。一般の $X$ については、affine 開被覆の Čech 型スペクトル系列で affine の場合に帰着し、affine 多様体 $X$ を Hironaka の特異点解消により滑らかな射影多様体 $\bar X$ の正規交叉因子 $D$ の補集合として実現し、$\bar X$ 上の「$D$ に沿って極をもつ代数的な形式」の複体と解析的な形式の複体を比べる。標数 $p$ では ex-de-rham-char-p のとおり対応する主張は成り立たない。この定理により、複素代数多様体の位相的コホモロジー $H^n(X^{an},\mathbb{C})$ は、$X$ の定義方程式だけから代数的に計算でき、$X$ が部分体 $k\subset\mathbb{C}$ 上のスキーム $X_0$ から来ていれば $k$ 構造 $H^n_{dR}(X_0/k)\otimes_k\mathbb{C}$（cor-de-rham-base-change）をもつ。この $k$ 構造と特異コホモロジーの $\mathbb{Q}$ 構造とを比べる行列の成分が周期である。
- $X$ が体 $k$ 上有限型で滑らかで固有なら、各 $H^q(X,\Omega^p_{X/k})$ が有限次元（射影的なら Har77 III.5.2、固有一般には Stacks の Cohomology of Schemes の章の Chow の補題による有限性定理）なので、thm-de-rham-hodge-ss により $H^n_{dR}(X/k)$ は任意の標数で有限次元である。標数 $0$ では固有でなくても有限型なら有限次元である（$k=\mathbb{C}$ では thm-de-rham-comparison と特異コホモロジーの有限性から従い、一般の標数 $0$ の体には cor-de-rham-base-change と Lefschetz原理で移す。Gro66）。標数 $p$ では ex-de-rham-char-p のとおり固有性なしには成り立たない。
- $X$ が標数 $0$ の体上滑らかで固有なら、Hodge–de Rham スペクトル系列は $E_1$ で退化し、$\dim H^n_{dR}(X/k)=\sum_{p+q=n}\dim H^q(X,\Omega^p_{X/k})$ である。$k=\mathbb{C}$ で射影的な場合は Kähler多様体の Hodge 理論（Hodge分解。Voi02 第 8 章）による。Deligne–Illusie DI87 は、標数 $p$ の完全体上の滑らかで固有な $X$ が Wittベクトルの環 $W_2(k)$ 上に持ち上がり $\dim X< p$ なら退化することを示し、標数 $0$ の場合をそこから純代数的に導いた。退化しても分かるのは付随次数 $\operatorname{gr}^p_F$ だけで、$H^n_{dR}(X/k)$ の $F^\bullet$ による自然な分裂は一般には存在しない。
- 任意の底スキーム上の de Rham 複体、射影空間束の公式、Gysin 列（Gysin写像）など、より一般の設定は Stacks Project Stacks の de Rham Cohomology の章にまとめられている。滑らかでないスキームの代数的 de Rham コホモロジーは、滑らかなスキームへの埋め込みと形式的完備化を使って定義される（Hartshorne Har75）。
関連項目
- 前提: 微分形式, 外微分, Kähler微分, 層コホモロジー, 超コホモロジー, スペクトル系列
- 比較: 特異コホモロジー, Čechコホモロジー, Dolbeaultコホモロジー, エタールコホモロジー, 結晶コホモロジー
- 直後に読む: Poincaréの補題, de Rham の定理, GAGA, Hodge分解
- 発展: Hodge構造, Gauss–Manin接続, 周期(代数多様体), 特異点解消
参考文献
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