de Rhamコホモロジー

$S^1=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ とし、角座標を $\theta$ とする。$S^1$ 上の $C^\infty$ 級関数は $2\pi$ 周期の $C^\infty$ 級関数 $f(\theta)$、1 次微分形式は $f(\theta)\,d\theta$（$f$ は $2\pi$ 周期）と同一視され、2 次以上の形式は $0$ である。$d(g)=g'(\theta)\,d\theta$ だから、$dg=0$ は $g$ が定数であることと同値で $H^0_{dR}(S^1)=\mathbb{R}$ である。1 次では、積分 $I\colon\mathcal{A}^1(S^1)\to\mathbb{R}$、$f\,d\theta\mapsto\int_0^{2\pi}f(\theta)\,d\theta$ を考える。$f\,d\theta=dg$ なら $I(f\,d\theta)=g(2\pi)-g(0)=0$ である。逆に $I(f\,d\theta)=0$ なら $g(\theta):=\int_0^\theta f(t)\,dt$ は $g(\theta+2\pi)=g(\theta)+I(f\,d\theta)=g(\theta)$ をみたす $C^\infty$ 級の周期関数で $dg=f\,d\theta$ である。よって $\ker I=\operatorname{im}d$ であり、$I(d\theta)=2\pi\ne0$ から $I$ は全射なので、
$$ H^1_{dR}(S^1)=\mathbb{R}\cdot[d\theta]\cong\mathbb{R} $$
である。$d\theta$ は閉形式だが完全形式ではない（$\theta$ は $S^1$ 上の一価な関数ではない）。これは $S^1$ の 1 次元の穴を検出している。

$\tau(t,s):=(t+1,-s)$ が生成する群 $\mathbb{Z}$ で $\mathbb{R}^2$ を割った多様体 $B:=\mathbb{R}^2/\bigl((t,s)\sim(t+1,-s)\bigr)$ を開いた Möbius の帯という（$\mathbb{Z}$ は自由かつ固有不連続に作用するので $B$ は 2 次元多様体で、商写像は局所微分同相である）。このとき
$$ H^0_{dR}(B)\cong\mathbb{R},\qquad H^1_{dR}(B)=\mathbb{R}\cdot[dt]\cong\mathbb{R},\qquad H^q_{dR}(B)=0\ \ (q\ge2) $$
である。ここで $dt$ は、$\tau^*dt=dt$ なので $\mathbb{R}^2$ 上の $1$ 形式 $dt$ が $B$ に降りた閉形式であり、底の円周を一周する積分が $1$ になる。

$k$ を標数 $0$ の体とする。affine 直線（アフィン直線）$\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[t]$ は affine だから、代数的de Rhamコホモロジー の定理「affine スキームの場合」により $H^\bullet_{dR}(\mathbb{A}^1_k)$ は複体 $k[t]\xrightarrow{d}k[t]\,dt$ のコホモロジーである。$d\bigl(\sum_m a_mt^m\bigr)=\sum_m ma_mt^{m-1}dt$ であり、標数 $0$ では $m\ge1$ について $ma_m=0$ と $a_m=0$ が同値だから $\ker d=k$、また $t^{m-1}dt=d(t^m/m)$（$m\ge1$）だから $d$ は全射である。よって
$$ H^0_{dR}(\mathbb{A}^1_k)=k,\qquad H^1_{dR}(\mathbb{A}^1_k)=0. $$
乗法群 $\mathbb{G}_{m,k}=\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]$ も affine で、複体は $k[t,t^{-1}]\xrightarrow{d}k[t,t^{-1}]\,dt$、$d\bigl(\sum_{m\in\mathbb{Z}}a_mt^m\bigr)=\sum_m ma_mt^{m-1}dt$ である。$m\ne0$ なら $ma_m=0$ から $a_m=0$ なので $\ker d=k$ であり、$\operatorname{im}d$ は $t^{m-1}dt$（$m\ne0$）の張る部分空間だから、商には $t^{-1}dt$ の類だけが残る。よって
$$ H^0_{dR}(\mathbb{G}_{m,k})=k,\qquad H^1_{dR}(\mathbb{G}_{m,k})=k\cdot\Bigl[\frac{dt}{t}\Bigr]. $$
$k=\mathbb{C}$ のとき $\mathbb{G}_m^{an}=\mathbb{C}^\times$ は $S^1$ とホモトピー同値で、$H^1(\mathbb{C}^\times,\mathbb{C})=\mathbb{C}$ である。単位円周 $t=e^{i\theta}$ 上で $dt/t=i\,d\theta$ だから $\int_{|t|=1}dt/t=2\pi i$ であり、比較定理（代数的de Rhamコホモロジー の定理「Grothendieck の比較定理」）の同型は $[dt/t]$ を、単位円周上の積分が $1$ になる類の $2\pi i$ 倍に送る。この $2\pi i$ が最も簡単な周期（周期(代数多様体)）である。

外す条件は標数 $0$ である。$k$ を標数 $p>0$ の体とする。$\mathbb{A}^1_k$ は affine なので複体は上と同じ $k[x]\xrightarrow{d}k[x]\,dx$ だが、整数 $m$ が $k$ の中で $0$ になるのは $p\mid m$ のときである。よって $\ker d=k[x^p]$ であり、$\operatorname{im}d$ は $x^{m-1}dx$（$p\nmid m$）の張る部分空間だから
$$ H^0_{dR}(\mathbb{A}^1_k)=k[x^p],\qquad H^1_{dR}(\mathbb{A}^1_k)=\bigoplus_{m\ge1}k\cdot[x^{mp-1}dx] $$
で、どちらも無限次元である。破れる結論は、標数 $0$ で成り立つ $H^0_{dR}(\mathbb{A}^1)=k$、$H^1_{dR}(\mathbb{A}^1)=0$（ex-de-rham-affine-line-gm。Poincaré の補題の代数版）と、$H^n_{dR}$ の有限次元性である。固有なスキームでは標数によらず $H^n_{dR}$ は有限次元なので（代数的de Rhamコホモロジー の注意「有限次元性と Hodge–de Rhamスペクトル系列の退化」）、無限次元になるのは $\mathbb{A}^1$ が固有でないことにもよる。標数 $p$ では、de Rham コホモロジーは固有でない多様体の「Betti 数」を与えない。この欠陥を補うのが Grothendieck の結晶コホモロジーである。

$k$ を任意の体、$X=\mathbb{P}^1_k$ とし、$U_0=\operatorname{Spec}k[t]$、$U_1=\operatorname{Spec}k[t^{-1}]$ で覆う。$U_{01}=U_0\cap U_1=\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]$ である。大域切断は $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=k[t]\cap k[t^{-1}]=k$、$\Gamma(X,\Omega^1_{X/k})=0$ である。実際 $f(t)\,dt$（$f\in k[t]$）が $U_1$ まで延びるには、$dt=-t^2\,d(t^{-1})$ により係数 $-t^2f(t)$ が $k[t^{-1}]$ に属する必要があり、$f=0$ しかない。したがって大域切断の複体は $k\to0$ で、そのコホモロジーは $H^0=k$、$H^1=H^2=0$ である。
一方、$X$ は分離的（分離射）で $U_0,U_1,U_{01}$ は affine だから、代数的de Rhamコホモロジー の命題「affine 開被覆による Čech 計算」により $H^n_{dR}(X)$ は Čech 二重複体（Čechコホモロジー）の全複体
$$ k[t]\oplus k[t^{-1}]\ \xrightarrow{\ \delta_0\ }\ \bigl(k[t]\,dt\oplus k[t^{-1}]\,d(t^{-1})\bigr)\oplus k[t,t^{-1}]\ \xrightarrow{\ \delta_1\ }\ k[t,t^{-1}]\,dt $$
のコホモロジーである。ここで次数 $0$ は $\check C^0(\Omega^0)$、次数 $1$ は $\check C^0(\Omega^1)\oplus\check C^1(\Omega^0)$、次数 $2$ は $\check C^1(\Omega^1)$ であり、微分は $\delta_0(f_0,f_1)=\bigl((df_0,df_1),\,f_1-f_0\bigr)$、$\delta_1\bigl((\omega_0,\omega_1),g\bigr)=\omega_1-\omega_0-dg$ である（$U_{01}$ 上での差をとる）。
次数 $2$：$\operatorname{im}\delta_1$ は $d(k[t,t^{-1}])$（$t^{m-1}dt$、$m\ne0$。標数 $p$ では $p\nmid m$ に限る）、$k[t]\,dt$（$t^m\,dt$、$m\ge0$）、$k[t^{-1}]\,d(t^{-1})=k[t^{-1}]\,t^{-2}dt$（$t^{-m}dt$、$m\ge2$）の和で、$t^{-1}dt$ 以外のすべての単項式 $t^m\,dt$ を含み、$t^{-1}dt$ を含まない。よって
$$ H^2_{dR}(\mathbb{P}^1_k)=k\cdot\Bigl[\frac{dt}{t}\Bigr]\cong k. $$
次数 $1$：$\delta_1\bigl((\omega_0,\omega_1),g\bigr)=0$ とすると $dg=\omega_1-\omega_0$ である。$g=g_++a_0+g_-$（正冪の部分、定数項、負冪の部分）と分けると、$\omega_0\in k[t]\,dt$ と $\omega_1\in k[t^{-1}]\,t^{-2}dt$ は共通の単項式をもたないので $dg_+=-\omega_0$、$dg_-=\omega_1$ となり、$(f_0,f_1):=(-g_+-a_0,\ g_-)$ が $\delta_0(f_0,f_1)=\bigl((\omega_0,\omega_1),g\bigr)$ をみたす。よって $H^1_{dR}(\mathbb{P}^1_k)=0$。次数 $0$：$f_0=f_1$ は $k[t]\cap k[t^{-1}]=k$ に限るので $H^0_{dR}(\mathbb{P}^1_k)=k$。
まとめると、任意の体 $k$ の上で $H^0_{dR}(\mathbb{P}^1_k)=k$、$H^1_{dR}(\mathbb{P}^1_k)=0$、$H^2_{dR}(\mathbb{P}^1_k)=k$ であり、$k=\mathbb{C}$ では $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ が球面 $S^2$ であることと整合する。この例が破る含意は「標準写像 $\varepsilon_X$ は同型である」（$n=2$ で $0\to k$ となり全射でない）であり、外れている条件は affine 性である。Hodge–de Rham スペクトル系列（代数的de Rhamコホモロジー の定理「Hodge–de Rhamスペクトル系列」）で見ると、$E_1$ 項のうち $0$ でないのは $H^0(X,\mathcal{O}_X)=k$ と $H^1(X,\Omega^1_{X/k})=k$ だけで、後者が $H^2_{dR}$ を担っている。大域切断の複体は $E_1$ の行 $q=0$ しか見ておらず、超コホモロジーは残りの行も取り込む。