Lagrangeの未定乗数法

$k=n$ なら $\dim T_a=0$ で $v=0$ なので、定数の曲線 $\gamma(t)=a$ でよい。以下 $k< n$ とする。
陰関数定理 の定理「正則な等位集合の局所グラフ表示」を $F=g$、$c=0$、$p=a$ に当てる（$g$ は $C^1$ 級で $\operatorname{rank}Dg(a)=k$）。座標を並べ替えて $z\leftrightarrow(x,y)$（$x\in\mathbb{R}^{n-k}$、$y\in\mathbb{R}^k$）、$a\leftrightarrow(a',b')$ と同一視すると、$a'$ を含む開集合 $W$、$b'$ を含む開集合 $V$ と $C^1$ 級写像 $\varphi\colon W\to V$ があって、$M\cap(W\times V)=\{(x,\varphi(x))\mid x\in W\}$ となる。とくに $\varphi(a')=b'$ である。
$\Gamma(x):=(x,\varphi(x))$ とおくと、$W$ 上で $g(\Gamma(x))=0$ である。連鎖律 の記事の定理「多変数の連鎖律」で $x=a'$ において微分すると、すべての $w\in\mathbb{R}^{n-k}$ について
$$ Dg(a)\bigl(w,\ D\varphi(a')w\bigr)=0 $$
となる。したがって部分空間 $S:=\{(w,D\varphi(a')w)\mid w\in\mathbb{R}^{n-k}\}$ は $T_a$ に含まれる。$w\mapsto(w,D\varphi(a')w)$ は単射なので $\dim S=n-k=\dim T_a$ であり、$S=T_a$ である。
$v\in T_a$ を $v\leftrightarrow(v',v'')$ と分けると、$S=T_a$ から $v''=D\varphi(a')v'$ である。$W$ は開集合なので、ある $\varepsilon>0$ について $|t|<\varepsilon$ なら $a'+tv'\in W$ であり、$\gamma(t):=\Gamma(a'+tv')=(a'+tv',\varphi(a'+tv'))$ とおけば $\gamma(t)\in M$、$\gamma(0)=a$、$\gamma'(0)=(v',D\varphi(a')v')=v$ である（座標の並べ替えを戻して読む）。

段 1（$\nabla f(a)\perp T_a$）。$f$ は $a$ で条件付きの極大をとるとする（極小でも同じ）。$v\in T_a$ に対し lem-lm-curve の曲線 $\gamma$ をとる。$\gamma$ は連続で $\gamma(0)=a$ なので、$|t|$ が小さければ $\|\gamma(t)-a\|<\delta$ であり、$\gamma(t)\in M$ だから $f(\gamma(t))\le f(a)=f(\gamma(0))$ となる。1 変数の関数 $t\mapsto f(\gamma(t))$ は $t=0$ で極大で、連鎖律（連鎖律 の記事の系「成分による表示と曲線に沿った微分」）により $t=0$ で微分可能だから、その微分係数は $0$ である（偏微分 の記事の命題「極値での偏微分係数」の 1 変数の場合）。微分係数は $\nabla f(a)\cdot\gamma'(0)=\nabla f(a)\cdot v$ なので、$\nabla f(a)\cdot v=0$ である。
段 2（直交補空間）。$N:=\operatorname{span}\{\nabla g_1(a),\dots,\nabla g_k(a)\}$ とおく。$T_a$ の定義から $N$ のベクトルは $T_a$ に直交するので $N\subset T_a^{\perp}$ である。$\dim N=k$（正則点）、$\dim T_a^{\perp}=n-\dim T_a=k$ なので $N=T_a^{\perp}$ である。段 1 から $\nabla f(a)\in T_a^{\perp}=N$ であり、$\nabla f(a)=\sum_i\lambda_i\nabla g_i(a)$ と書ける。$\nabla g_i(a)$ は線形独立なので、係数 $\lambda_i$ はただ 1 組である。

1 を示す。2 は $f$、$\lambda$ を $-f$、$-\lambda$ に替えて 1 を当てればよい。
狭義の極小でないと仮定すると、$M$ の点列 $x_j\ne a$ で $x_j\to a$、$f(x_j)\le f(a)$ となるものがある。$h_j:=x_j-a$、$d_j:=h_j/\|h_j\|$ とおく。$d_j$ は単位球面の上にあるので、Bolzano–Weierstrassの定理 の記事の定理「$\mathbb{R}^m$ の Bolzano–Weierstrass の定理」により部分列をとって $d_j\to d$、$\|d\|=1$ としてよい。
段 1（$d\in T_a$）。$g_i$ は $a$ で全微分可能なので $0=g_i(x_j)-g_i(a)=\nabla g_i(a)\cdot h_j+r_i(h_j)$、$r_i(h)/\|h\|\to0$ である。$\|h_j\|$ で割って $j\to\infty$ とすると $\nabla g_i(a)\cdot d=0$ を得る。
段 2（2 次の展開）。$\varphi$ は $C^2$ 級で、thm-lm-main の式から $\nabla\varphi(a)=0$ である。$a$ を中心とする開球 $B\subset U$ をとると、$B$ は凸なので、Taylorの定理 の注意「多変数の関数への拡張」により、$x_j\in B$ のとき線分 $[a,x_j]$ 上の点 $\xi_j$ で
$$ \varphi(x_j)=\varphi(a)+\nabla\varphi(a)\cdot h_j+\frac12\,h_j\cdot H(\xi_j)\,h_j=\varphi(a)+\frac12\,h_j\cdot H(\xi_j)\,h_j $$
となる（$H(\xi)$ は $\xi$ での 2 階偏導関数の行列）。$M$ の上では $g=0$ なので $\varphi=f$ であり、
$$ 0\ge f(x_j)-f(a)=\varphi(x_j)-\varphi(a)=\frac12\,h_j\cdot H(\xi_j)\,h_j $$
である。$\|h_j\|^2$ で割ると $d_j\cdot H(\xi_j)d_j\le0$ である。$j\to\infty$ のとき $\xi_j\to a$ で、2 階偏導関数は連続なので $H(\xi_j)\to H(a)=H$ であり、$d\cdot Hd\le0$ を得る。
段 1 から $d\in T_a\setminus\{0\}$ なので、これは仮定 $d\cdot Hd>0$ に反する。

連鎖律（連鎖律 の記事の系「成分による表示と曲線に沿った微分」）により
$$ \frac{\partial V}{\partial c_i}=\nabla f(x(c))\cdot\frac{\partial x}{\partial c_i}=\sum_{l}\lambda_l\,\nabla g_l(x(c))\cdot\frac{\partial x}{\partial c_i}=\sum_l\lambda_l\,\frac{\partial(g_l\circ x)}{\partial c_i} $$
である。$g_l(x(c))=c_l$ なので $\frac{\partial(g_l\circ x)}{\partial c_i}$ は $l=i$ のとき $1$、それ以外は $0$ であり、和は $\lambda_i$ になる。

$S$ は有界な閉集合で $q$ は連続なので、$q$ は $S$ 上で最大値をとる（Bolzano–Weierstrassの定理 の記事の系「最大値と最小値の存在」）。$S$ は $g(x):=x\cdot x-1=0$ で与えられ、$\nabla g(x)=2x$ は $S$ の上で $0$ にならないので、$S$ のすべての点は正則点である（$k=1$）。$A$ は対称なので $\nabla q(x)=2Ax$ である（全微分 の記事の例「2 次形式とノルム」の (1)）。thm-lm-main により、ある実数 $\mu$ で $2Aa=\mu\cdot2a$、すなわち $Aa=\mu a$ となる。$a\cdot a=1$ なので $q(a)=a\cdot Aa=\mu$ である。$\lambda:=\mu$ とすればよい。

$s>0$ を固定し、$K:=\{x\in\mathbb{R}^n\mid x_i\ge0,\ x_1+\dots+x_n=s\}$ の上で $P(x):=x_1\cdots x_n$ を考える。$K$ は有界な閉集合なので $P$ は $K$ 上で最大値をとる。$x=(s/n,\dots,s/n)\in K$ で $P>0$ なので、最大の点 $a$ では $P(a)>0$、つまりすべての $a_i>0$ である。
$U:=\{x\mid x_i>0\ (i=1,\dots,n)\}$ は開集合で、$a\in U$、$g(x):=x_1+\dots+x_n-s$ とすると $a$ は $M=U\cap K$ 上での $P$ の最大の点、とくに条件付きの極大の点である。$\nabla g=(1,\dots,1)\ne0$ なので正則点であり、thm-lm-main により $\frac{\partial P}{\partial x_i}(a)=\frac{P(a)}{a_i}=\lambda$（$i=1,\dots,n$）となる $\lambda$ がある。$P(a)>0$ なので $a_1=\dots=a_n$ であり、$a_i=s/n$ である。よって $K$ 上で $P\le(s/n)^n$ であり、等号は $x=(s/n,\dots,s/n)$ のときに限る（最大値をとる点は上の方程式の解なので、この 1 点だけである）。
正の $x_i$ が与えられたら $s:=\sum_ix_i$ とおけば、$x_1\cdots x_n\le(s/n)^n$ であり、$n$ 乗根をとって主張を得る。