特性サイクル
概要
特性サイクル（characteristic cycle）とは、滑らかな多様体 $X$ の上の構成可能層 $F$ に対して、余接束 $T^*X$ の $\dim X$ 次元の円錐的なサイクル $CC(F)$ を対応させる不変量である。複素多様体では、Whitney 層別の各層の余法束の閉包に、複素リンクを使った局所的な Euler 標数で係数をつけて定め、コンパクトな $X$ では Euler 標数が $CC(F)$ と零切断の交点数に等しい（大域指数公式）。正標数の代数多様体のエタール層では、斎藤毅が特異台の成分の整数係数の 1 次結合として、消失サイクルの全次元を交点数で表す Milnor 公式で特徴づけ、射影的な $X$ で同じ指数公式を証明した。曲線では係数は Artin 導手で決まり、指数公式は Grothendieck–Ogg–Shafarevich の公式になる。
前提知識: 特異台(エタール層), マイクロ台, 構成可能層, Euler標数, 交叉理論
特性サイクル（characteristic cycle）は、滑らかな多様体 $X$ の上の構成可能層（の複体）$F$ に対して、余接束 $T^*X$ の $\dim X$ 次元の円錐的なサイクル $CC(F)$、すなわち円錐的な既約閉集合の整数係数の 1 次結合を対応させる不変量である。台はマイクロ台（複素多様体の場合）や特異台(エタール層)（代数多様体のエタール層の場合）に含まれ、係数は「層別に横切る方向に見た局所的な Euler 標数」、あるいは消失サイクルの次元で決まる。
特性サイクルの基本的な性質は指数公式である：コンパクトな（射影的な）$X$ について、Euler 標数 $\chi(X,F)$ は $CC(F)$ と零切断 $T^*_XX$ の交点数に等しい。複素多様体では、これは Kashiwara の指数定理と Dubson・Sabbah・Ginsburg の交点公式にさかのぼり、特異点をもつ空間の Poincaré–Hopf の定理を含む。正標数の代数多様体では斎藤毅が特性サイクルを構成し、指数公式を証明した。曲線の場合、指数公式は Grothendieck–Ogg–Shafarevich の公式になる。
この記事では、複素多様体の上の特性サイクルを層別 Morse 理論の言葉で定義し、局所系と曲線の上の層について係数を計算する。エタール層の特性サイクルを Milnor 公式で特徴づけ、曲線の場合の式を Milnor 公式から導く。指数公式は引用とし、曲線の上で定数層・零拡張・摩天楼層について両辺を直接計算して確かめる。
複素多様体の上の特性サイクル
$M$ を $m$ 次元の複素多様体、$X\subset M$ を閉じた複素解析的部分集合（または複素代数多様体の閉部分多様体）とし、$X$ の複素解析的な Whitney 層別 $\mathcal S$ を固定する（Whitney層別）。係数は体 $R$ とし、$\mathcal S$ に関して構成可能な複体 $F\in D^b_{\mathcal S\text{-}c}(X;R)$（構成可能層）を考える。$F$ の茎の Euler 標数
$$
\alpha(x):=\chi(F_x)=\sum_i(-1)^i\dim_RH^i(F)_x
$$
は各層の上で一定であり、$\mathcal S$ に関して構成可能な関数になる。層 $S$ の上の値を $\alpha(S)$ と書く。
層 $S\in\mathcal S$ の余法束 $T^*_SM$ の閉包 $\overline{T^*_SM}$ は、$T^*M$ の $m$ 次元の既約な円錐的 Lagrange 部分集合である。その基本類を $[T^*_SM]$ と書き、
$$
\sum_{S\in\mathcal S}m(S)\,[T^*_SM]\qquad(m(S)\in\mathbb Z)
$$
の形の（局所）有限和を Lagrange サイクルという（MS21 Definition 3.32、p. 38）。
層 $S$ の点 $x$ での複素リンクを次のように定める（MS21 の式 (29)、pp. 29–30）。$x$ の近くで $M$ を $\mathbb C^n$ の開集合と見て $x=0$ とし、$x$ を通り $S$ と横断的に交わる複素部分多様体 $N$（法断面、$N\cap S=\{x\}$、$\dim N=m-\dim S$）をとる。$g$ を、$dg_x$ が $T^*_SM$ の非退化な元（$S$ 以外の層の余法束の閉包に入らない元）となる正則関数とし、$r(z):=\sum_i|z_i|^2$ とおく。$0< |w|\ll\delta\ll1$ について
$$
l_X:=X\cap N\cap\{r\le\delta,\ g=w\},\qquad \partial l_X:=X\cap N\cap\{r=\delta,\ g=w\}
$$
とし、$l^\circ_X:=l_X\setminus\partial l_X$ とおく。これは $g$ の $X\cap N$ の上の局所 Milnor ファイバーであり、その上のコホモロジーは層 $S$ だけで決まり、$x$、$N$、$g$ の選び方によらない（MS21 Proposition 3.14、p. 29）。
$F\in D^b_{\mathcal S\text{-}c}(X;R)$ の特性サイクルを
$$
CC(F):=\sum_{S\in\mathcal S}m(S)\,[T^*_SM]
$$
と定める。ここで係数 $m(S)$ は、層 $S$ の点 $x$ と、$S$ を境界に含む層 $S'$（$S\subset\overline{S'}\setminus S'$）について
$$
(-1)^{\dim S}m(S)=\alpha(x)-\sum_{S\subset\partial S'}c(S,S')\,\alpha(S'),\qquad c(S,S'):=\chi_c(l^\circ_X\cap S')
$$
で与えられる。
これは MS21 Definition 3.34 と式 (39)・(40)（p. 39）である。同書は係数をもともと、層別 Morse 理論の「法 Morse データ」$\mathrm{NMD}(F,S)$ の Euler 標数を使って $m(S)=(-1)^{\dim S}\chi(\mathrm{NMD}(F,S))$ と定め、複素リンクを使う上の式がそれと等しいことを示している。$\mathrm{NMD}(F,S)$ は、$x$ で非退化な余接ベクトル $d(\mathrm{Re}\,g)_x$ をもつ関数について $R\Gamma_{\{\mathrm{Re}\,g\ge0\}}(F|_{N\cap X})_x$ をとったものであり（同 式 (26)、pp. 28–29）、マイクロ台の定義に現れた量と同じ形をしている。係数は $\alpha$ だけで決まり、$CC(F)$ は Whitney 層別を細かくしても変わらない（同 p. 40）。
特性サイクルは加法的である：完全三角形 $F'\to F\to F''\xrightarrow{+1}$ について $\alpha_F=\alpha_{F'}+\alpha_{F''}$ なので、$CC(F)=CC(F')+CC(F'')$ である。とくに $CC(F[1])=-CC(F)$ である。構成可能関数と Lagrange サイクルの対応 $\alpha\mapsto CC(\alpha)$ は同型 $CF(X)\cong L(T^*M|_X)$ を与える（同 式 (45)、p. 40）。
マイクロ台との関係。 $k\colon X\to M$ を包含とすると、$\operatorname{supp}CC(F)\subset\mathrm{SS}(Rk_*F)$ であり、$F$ が偏屈層なら等号が成り立ち、しかも $CC(F)$ は有効（係数がすべて $0$ 以上）である（MS21 の式 (42)・(43) と p. 40）。一般には等号は成り立たない（節「反例」）。
係数の計算
$X\subset M$ が連結な閉部分多様体で、$F$ が $X$ 上の階数 $r$ の局所系なら、$CC(F)=(-1)^{\dim X}r\,[T^*_XM]$ である。
$X$ だけからなる層別 $\mathcal S=\{X\}$ について $F$ は構成可能であり、$\alpha(X)=\chi(F_x)=r$ である。$X$ を境界に含む層はないので、def-cc-complex の和は空であり、$(-1)^{\dim X}m(X)=r$ となる。$\square$
これは MS21 Example 3.35（p. 39）である。符号 $(-1)^{\dim X}$ は、次に述べる交点数の向きの規約から来る。
$X$ を連結な Riemann 面（$M=X$、$m=1$）、$\Sigma=\{x_1,\dots,x_s\}\subset X$ を離散集合、$U:=X\setminus\Sigma$ とし、$F$ を $U$ の上で局所定数な構成可能複体とする。$u\in U$ について $r:=\chi(F_u)$ とおくと
$$
CC(F)=-r\,[T^*_XX]+\sum_{i=1}^s\bigl(\chi(F_{x_i})-r\bigr)[T^*_{x_i}X]
$$
である。
層別 $\mathcal S=\{U,\{x_1\},\dots,\{x_s\}\}$ をとる（$U$ は連結で、各点 $x_i$ は $U$ の境界にある）。これは Whitney 層別であり、$F$ はこれに関して構成可能である。
開いた層 $U$ については、$U$ を境界に含む層がないので $(-1)^1m(U)=\alpha(U)=r$、すなわち $m(U)=-r$ である。$\overline{T^*_UX}$ は零切断 $T^*_XX$ である。
点の層 $\{x_i\}$ については、法断面 $N$ は $x_i$ の近傍全体（$\dim N=1-0$）である。$\{x_i\}$ より大きい層は $U$ だけで、その余法束は零切断なので、非退化な $g$ とは $dg_{x_i}\neq0$ となる正則関数、すなわち $x_i$ のまわりの局所座標である。$g=w$ となる点は、$x_i$ の小さな近傍の中にちょうど 1 つあり、$|w|\ll\delta$ ならそれは球 $\{r< \delta\}$ の内部にある。よって $l^\circ_X$ は $U$ の 1 点であり、$c(\{x_i\},U)=\chi_c(\mathrm{pt})=1$ である。定義により
$$
(-1)^0m(\{x_i\})=\alpha(x_i)-c(\{x_i\},U)\,\alpha(U)=\chi(F_{x_i})-r
$$
である。$T^*_{\{x_i\}}X$ はファイバー $T^*_{x_i}X$ である。$\square$
たとえば $F$ が $X$ 全体の定数層 $\mathbb C_X$ なら、$\chi(F_{x_i})=r=1$ なので点の係数は消え、$CC(\mathbb C_X)=-[T^*_XX]$ となって prop-cc-local-system と合う。$j\colon U\to X$ による零拡張 $j_!\mathbb C_U$ なら $\chi(F_{x_i})=0$ なので $CC=-[T^*_XX]-\sum_i[T^*_{x_i}X]$、摩天楼層 $\mathbb C_{\{x\}}$ なら $r=0$ なので $CC=[T^*_xX]$ である。
指数公式
$T^*M$ の $m$ 次元の閉集合 $A,B$ で $A\cap B$ がコンパクトなものについて、Borel–Moore ホモロジーの類の交点数 $\sharp(A\cap B)\in\mathbb Z$ が、$T^*M$ と $A,B$ の複素構造から定まる向きを使って定義される（MS21 p. 41）。複素部分多様体が 1 点で横断的に交わるときの局所交点数は $1$ である（同 Example 3.37、p. 41）。
$X\subset M$ をコンパクトな複素解析的部分集合とし、$F\in D^b_{\mathcal S\text{-}c}(X;R)$ とする。このとき
$$
\chi(X,F)=\sharp\bigl(CC(F)\cap[T^*_MM]\bigr)
$$
である。さらに、$M$ 上の 1 形式 $\omega$ で、そのグラフ $\omega(M)$ が $\bigcup_ST^*_SM$ と有限個の点でしか交わらないものについて、右辺は $\sharp(CC(F)\cap[\omega(M)])$ に等しく、各交点での局所交点数の和になる。
これは MS21 Theorem 3.38（p. 41）と Example 3.39 の式 (52)–(54)（p. 43）である。この記事では証明しない。証明は、層別 Morse 関数 $f$ の臨界点ごとに、コホモロジーの変化 $\chi(\text{局所 Morse データ})$ が $(-1)^\lambda\chi(\mathrm{NMD}(F,S))$（$\lambda$ は Morse 指数）であることと、$d f$ のグラフと $[T^*_SM]$ の局所交点数が $(-1)^{\dim S}(-1)^\lambda$ であること（同 式 (47)）を合わせて行う。係数の符号 $(-1)^{\dim S}$ はこの一致のために選ばれている。層 $F$ が定数層 $\mathbb C_X$ で $X=M$ がコンパクトな多様体なら、$CC=(-1)^m[T^*_MM]$ であり、公式は零切断の自己交点数が $(-1)^m\chi(M)$ であるという Poincaré–Hopf の定理の言い換えになる。$\omega$ を動かした形は、特異点をもつ空間の上の 1 形式の指数の和で Euler 標数を表す（同 式 (54)）。
指数公式の左辺は、茎の Euler 標数だけで書ける：層 $S$ ごとのコンパクト台の Euler 標数 $\chi_c(S)$ を使って
$$
\chi(X,F)=\chi_c(X,F)=\sum_{S\in\mathcal S}\chi_c(S)\,\alpha(S)
$$
である（MS21 の式 (3)・(6)、p. 11。$X$ がコンパクトなので $\chi=\chi_c$）。曲線ではこれを使って両辺を直接比べられる。
$X$ を種数 $g$ のコンパクトで連結な Riemann 面とし、thm-cc-complex-curve と同じ記号で $F$ をとる。このとき thm-cc-global-index の両辺はともに
$$
r(2-2g-s)+\sum_{i=1}^s\chi(F_{x_i})
$$
に等しい。
左辺。 上の式で層 $U,\{x_1\},\dots,\{x_s\}$ に分けると、$\chi(X,F)=\chi_c(U)\,r+\sum_i\chi(F_{x_i})$ である。同じ式を定数層 $\mathbb C_X$（$\alpha=1$）に使うと $\chi(X)=\chi_c(U)+s$ であり、コンパクトな種数 $g$ の Riemann 面の Euler 標数は $2-2g$ なので（種数の系「種数のEuler標数による式」）、$\chi_c(U)=2-2g-s$ である。よって左辺は主張の値に等しい。
右辺。 thm-cc-complex-curve により
$$
\sharp\bigl(CC(F)\cap[T^*_XX]\bigr)=-r\,\sharp\bigl([T^*_XX]\cap[T^*_XX]\bigr)+\sum_i\bigl(\chi(F_{x_i})-r\bigr)\,\sharp\bigl([T^*_{x_i}X]\cap[T^*_XX]\bigr)
$$
である。ファイバー $T^*_{x_i}X$ と零切断は、点 $(x_i;0)$ だけで横断的に交わる複素曲線なので、交点数は $1$ である。零切断の自己交点数は、零切断の法束の次数に等しい。ベクトル束の零切断の法束はそのベクトル束自身なので、法束は正則余接束 $T^*X$、すなわち標準束であり、その次数は $2g-2$ である（標準因子の定理「標準因子の次数」。曲面の上の曲線の自己交点数と法束の次数の関係は交叉理論の系「自己交叉数と法束」）。よって右辺は
$$
-r(2g-2)+\sum_i\bigl(\chi(F_{x_i})-r\bigr)=r(2-2g-s)+\sum_i\chi(F_{x_i})
$$
であり、左辺と一致する。$\square$
たとえば $g=0$（Riemann 球面）、$s=2$、$F=j_!\mathbb C_U$（$U=\mathbb C^\times$）なら、両辺は $1\cdot(2-0-2)+0=0$ であり、$\chi_c(\mathbb C^\times)=0$ と合う。
エタール層の特性サイクル
$k$ を完全体、$X$ を $k$ 上の $n$ 次元の滑らかな多様体、$\Lambda$ を標数 $\ell\neq p$ の剰余体をもつ有限局所環とし、$F$ を有限 Tor 次元の構成可能複体とする。$F$ の特異台(エタール層)を $C=\mathrm{SS}(F)$ とすると、$C$ の既約成分はすべて $n$ 次元である。
Milnor 公式の設定。 エタール射 $j\colon W\to X$、滑らかな曲線への射 $f\colon W\to Y$、閉点 $u\in W$ について、$u$ の近傍 $V$ があって試験対 $X\leftarrow V\setminus\{u\}\to Y$ が $C$ 横断的であるとき、$u$ を $f$ の高々孤立した $C$ 特性点という（Sai17 Definition 4.3、p. 40）。このとき、$Y$ の $f(u)$ の近くの 1 形式の基底 $\omega$ を引き戻した $T^*W$ の切断 $f^*\omega$（$df$ と書く）と、$j^*C$ の成分は、ファイバー $T^*_uW$ の上の高々 1 点でしか交わらず、局所交点数 $(A,df)_{T^*W,u}$ が $C$ の成分の 1 次結合 $A$ について定まる（同）。
消失サイクル $\phi_u(j^*F,f)$ は $\bar u$ での茎と Milnor ファイバーのコホモロジーの差であり、その全次元 $\dim\mathrm{tot}$ は、次元に Swan 導手（野性分岐の大きさ）を足したものの交代和である（Sai17 (1.19)、p. 14）。
上の設定で、$C=\bigcup_aC_a$ の既約成分の整数係数の 1 次結合 $CC(F)=\sum_am_a[C_a]$ で、すべての $j$、$f$、高々孤立した $C$ 特性点 $u$ について Milnor 公式
$$
-\dim\mathrm{tot}\,\phi_u(j^*F,f)=(CC(F),df)_{T^*W,u}
$$
を満たすものがただ 1 つ存在する。
これは Sai17 Theorem 4.9（p. 45）・Definition 4.10（p. 46）であり、係数が整数であること（同 Theorem 4.18、p. 48。Beilinson の証明）を含む。この記事では証明しない。証明の要点は、射影空間への埋め込みから作る鉛筆（pencil）の族の上で、消失サイクルの全次元が連続的に変わること（Deligne–Laumon の Swan 導手の半連続性の高次元化、同 Proposition 1.16）にある。
特性サイクルは加法的であり（完全三角形について $CC(F)=CC(F')+CC(F'')$）、Verdier 双対で変わらず（$CC(D_XF)=CC(F)$）、偏屈層なら有効で台は $\mathrm{SS}(F)$ に一致する（Sai17 Lemma 4.13、p. 47、Proposition 4.14、pp. 47–48）。局所定数な $F$ については $CC(F)=(-1)^n\operatorname{rank}F\,[T^*_XX]$ である（同 Lemma 4.11 の 1、p. 46。定数層の場合は Deligne の Milnor 公式）。これは複素の場合の prop-cc-local-system と同じ形である。
曲線の場合と Artin 導手
$X$ を曲線（$n=1$）、$U\subset X$ を $F$ が局所定数となる稠密な開集合とする。$x\in X\setminus U$ について、狭義局所化の幾何的生成点を $\bar\eta_x$ とし、Artin 導手を
$$
a_x(F):=\operatorname{rank}F_{\bar\eta_x}-\operatorname{rank}F_{\bar x}+\mathrm{Sw}_xF_{\bar\eta_x}
$$
と定める（$\operatorname{rank}$ は茎の階数の交代和、$\mathrm{Sw}_x$ は Swan 導手）。
上の記号で、$r:=\operatorname{rank}F_{\bar\eta}$（生成点での階数）とすると
$$
CC(F)=-\Bigl(r\,[T^*_XX]+\sum_{x\in X\setminus U}a_x(F)\,[T^*_xX]\Bigr)
$$
である。
特異台(エタール層)の定理「曲線の上の層の特異台」により、$\mathrm{SS}(F)$ は零切断と、$x\in X\setminus U$ の上のファイバー $T^*_xX$ の和に含まれる（台が $X$ 全体でないときも、この和にマイクロ台をもつ）。よって $CC(F)=m_0[T^*_XX]+\sum_xm_x[T^*_xX]$ と書ける。
零切断の係数：$U$ の上では $F$ は局所定数なので、エタール射（開埋め込み）$U\to X$ への制限と Lemma 4.11 の 1（上に引用）から $m_0=(-1)^1r=-r$ である（Milnor 公式はエタール局所的な条件なので、$CC(F|_U)=CC(F)|_U$）。
ファイバーの係数：$j=\mathrm{id}_X$、$f=\mathrm{id}_X\colon X\to Y=X$、$u=x$ に Milnor 公式を使う。$x$ の開近傍 $V$ を $V\cap(X\setminus U)=\{x\}$ となるようにとると、$V\setminus\{x\}$ の上では $C$ は零切断であり、恒等射は滑らかなので零切断に横断的である。よって $x$ は $f$ の高々孤立した $C$ 特性点である。$x$ の近くの座標 $t$ について $df=dt$ は零切断と交わらない $T^*X$ の切断である。交点数は、$dt$ のグラフが零切断と交わらず、ファイバー $T^*_xX$ と点 $(x;dt_x)$ で横断的に 1 回交わることから
$$
(CC(F),dt)_{T^*X,x}=m_x
$$
である。一方、恒等射の Milnor ファイバーは幾何的生成点 $\bar\eta_x$ なので、消失サイクルは茎の写像 $F_{\bar x}\to F_{\bar\eta_x}$ の錐であり、その全次元は $\dim\mathrm{tot}F_{\bar\eta_x}-\operatorname{rank}F_{\bar x}=a_x(F)$ である（Sai17 Lemma 4.11 の証明、p. 46）。Milnor 公式から $m_x=-a_x(F)$ である。$\square$
これは Sai17 Lemma 4.11 の 3（p. 46）である。$F$ が順分岐なら $\mathrm{Sw}=0$ で、係数 $-a_x(F)=\operatorname{rank}F_{\bar x}-r$ は複素の場合の thm-cc-complex-curve の係数 $\chi(F_x)-r$ と同じ形である。Swan 導手は、複素の場合にない「野性分岐の分だけ特性サイクルが重くなる」現象を表す。
指数公式と Grothendieck–Ogg–Shafarevich の公式
$X$ を代数閉体上の射影的で滑らかな多様体とすると、上の $F$ について
$$
\chi(X,F)=(CC(F),T^*_XX)_{T^*X}
$$
である。右辺は $T^*X$ の中での $CC(F)$ と零切断の交点数である。
これは Sai17 Theorem 6.13（p. 64）である。この記事では証明しない。証明は Beilinson によるもので、特性サイクルが Radon 変換と両立することを使い、射影空間の場合に帰着する（同 §6.2）。
$X$ を代数閉体 $k$ 上の種数 $g$ の射影的で滑らかな連結曲線とし、$F$ と $U$、$r$、$a_x(F)$ を prop-cc-etale-curve のとおりとする。このとき
$$
\chi(X,F)=r(2-2g)-\sum_{x\in X\setminus U}a_x(F)
$$
である。
thm-cc-saito-index と prop-cc-etale-curve により
$$
\chi(X,F)=-r\,(T^*_XX,T^*_XX)_{T^*X}-\sum_xa_x(F)\,(T^*_xX,T^*_XX)_{T^*X}
$$
である。ファイバー $T^*_xX$ と零切断は点 $(x;0)$ で横断的に交わるので、交点数は $1$ である。零切断の自己交点数は、その法束である余接束 $\Omega^1_X$ の次数 $2g-2$ に等しい（Riemann–Rochの定理の系「Riemann–Rochの定理の帰結」の 2。同記事は $k$ を任意の代数閉体として述べ、$\mathcal O_X(K)\cong\Omega^1_X$ も示している）。よって $\chi(X,F)=-r(2g-2)-\sum_xa_x(F)$ である。$\square$
これが Grothendieck–Ogg–Shafarevich の公式であり、Sai17 の序（p. 1）は指数公式がその高次元化であると述べる。$\mathrm{Sw}=0$ の順分岐の場合、右辺は $r\,\chi_c(U)+\sum_x\operatorname{rank}F_{\bar x}$ と書き直せ（$\chi_c(U)=2-2g-|X\setminus U|$）、複素の場合の prop-cc-curve-index と同じ式になる。
指数公式そのものを使わずに、曲線の上の簡単な層で両辺を直接確かめられる。
cor-cc-gos の $X$ と $\Lambda=\mathbb Z/\ell^m$（$\ell$ は $k$ の標数と異なる素数）について、次の層では thm-cc-saito-index の両辺を独立に計算でき、一致する。
- 定数層 $\Lambda_X$：両辺とも $2-2g$。
- $\Sigma\subset X$ を $s$ 個の点、$j\colon X\setminus\Sigma\to X$ として、零拡張 $j_!\Lambda$：両辺とも $2-2g-s$。
- 点 $x$ の摩天楼層 $i_{x*}\Lambda$：両辺とも $1$。
したがって、完全三角形で $F$ をこれらの層から組み立てられるとき（たとえば $F|_U$ が定数層 $\Lambda^r$ のとき）、指数公式が成り立つ。
左辺。 $k$ は代数閉なので $\mu_{\ell^m}\cong\Lambda$ であり、$H^0(X,\Lambda)=\Lambda$、$H^1(X,\Lambda)\cong\Lambda^{2g}$、$H^2(X,\Lambda)\cong\Lambda$、$H^i=0$（$i\ge3$）である（エタールコホモロジーの例「代数閉体上の曲線」）。自由 $\Lambda$ 加群の階数の交代和で $\chi$ を測ると $\chi(X,\Lambda_X)=1-2g+1=2-2g$ である。完全列 $0\to j_!\Lambda\to\Lambda_X\to\bigoplus_{x\in\Sigma}i_{x*}\Lambda\to0$ と、$\chi(X,i_{x*}\Lambda)=\chi(\operatorname{Spec}k,\Lambda)=1$ から、$\chi(X,j_!\Lambda)=2-2g-s$ である。
右辺。 prop-cc-etale-curve で Artin 導手を計算する。定数層は $X$ 全体で局所定数なので $CC(\Lambda_X)=-[T^*_XX]$ である。$j_!\Lambda$ では $x\in\Sigma$ で $\operatorname{rank}F_{\bar\eta_x}=1$、$F_{\bar x}=0$、Swan 導手は $0$（生成点の近くで定数層なので Galois 群の作用が自明）だから $a_x=1$ であり、$CC(j_!\Lambda)=-[T^*_XX]-\sum_{x\in\Sigma}[T^*_xX]$ である。摩天楼層では $r=0$、$a_x=0-1+0=-1$ なので $CC(i_{x*}\Lambda)=[T^*_xX]$ である。cor-cc-gos の証明の交点数（ファイバーとは $1$、零切断とは $2g-2$）を使うと、右辺はそれぞれ $-(2g-2)$、$-(2g-2)-s$、$1$ であり、左辺と一致する。
最後の主張：$\chi$ は完全三角形について加法的であり、$CC$ も加法的である（Sai17 Lemma 4.13 の 1、p. 47）ので、両辺の差は完全三角形について加法的である。$F|_U\cong\Lambda^r_U$ なら、完全三角形 $j_!j^*F\to F\to\bigoplus_{x}i_{x*}i_x^*F\xrightarrow{+1}$ の両端は $j_!\Lambda$ と摩天楼層の和と平行移動から作られるので、差は $0$ である。$\square$
反例
$X$ を滑らかな曲線とする。定数層 $\Lambda_X$ について $CC(\Lambda_X)=-[T^*_XX]$ であり、係数が負なので有効でない。平行移動した $\Lambda_X[1]$ は偏屈層であり、$CC(\Lambda_X[1])=[T^*_XX]$ は有効である。さらに $F:=\Lambda_X\oplus\Lambda_X[1]$ とすると、加法性から $CC(F)=-[T^*_XX]+[T^*_XX]=0$ である。一方 $F$ は局所定数で台が $X$ なので、$\mathrm{SS}(F)$ は零切断である（特異台(エタール層)の命題「局所定数性と零切断」と命題「特異台の底は台を含む」）。よって $\operatorname{supp}CC(F)=\emptyset\neq\mathrm{SS}(F)$ であり、偏屈層で成り立つ等号は一般の複体では成り立たない。複素多様体の場合も同じ計算がそのまま成り立つ（prop-cc-local-system）。
$X=M=\mathbb C$、$F=\mathbb C_X$ とする。$CC(F)=-[T^*_{\mathbb C}\mathbb C]$ である（prop-cc-local-system）。1 形式 $\omega=dz$ のグラフは零切断と交わらないので、$\sharp(CC(F)\cap[\omega(M)])=0$ である。一方 $\chi(\mathbb C,\mathbb C_{\mathbb C})=1$ である（$\mathbb C$ は可縮）。thm-cc-global-index はコンパクト性を仮定しており、それを外すと、1 形式を動かした形の公式は成り立たない。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 偏屈層であること | 曲線の定数層 $\Lambda_X$（ex-cc-non-perverse） | $CC(F)$ が有効であること |
| 偏屈層であること | $\Lambda_X\oplus\Lambda_X[1]$（ex-cc-non-perverse） | $\operatorname{supp}CC(F)=\mathrm{SS}(F)$ |
| $X$ がコンパクト（射影的）であること | $\mathbb C$ の定数層と $\omega=dz$（ex-cc-noncompact） | $\chi(X,F)$ が $CC(F)$ と 1 形式のグラフの交点数に等しいこと |
| 順分岐であること（$\mathrm{Sw}=0$） | 野性分岐する局所系（prop-cc-etale-curve） | $CC(F)$ の係数が茎の階数だけで決まること |
最後の行は、エタールの場合に特有の現象である：同じ階数の茎をもつ層でも、Swan 導手が違えば特性サイクルと Euler 標数が違う。複素の場合は、係数が茎の Euler 標数（構成可能関数）だけで決まり（def-cc-complex）、この現象は起きない。
関連する結果
- Kashiwara の指数定理。 ホロノミック $\mathcal D$ 加群（D加群）の特性サイクルと解の複体の特性サイクルの関係、および局所指数公式は、特性サイクルの理論の出発点である（MS21 §3.3 の冒頭、p. 37 と Remark 3.44、p. 45）。
- 局所 Euler 障害と Chern–Schwartz–MacPherson 類。 部分多様体 $Z$ の局所 Euler 障害 $\mathrm{Eu}_Z$ は、$CC$ の逆写像で $(-1)^{\dim Z}[T^*_ZM]$ に対応する構成可能関数である（MS21 Corollary 3.43 と式 (59)、p. 45）。局所 Euler 障害は、特異点をもつ複素代数多様体の Chern 類（MacPherson の Chern 類）の定義に使われる量である（同 p. 37）。
- 特性類。 斎藤は正標数でも $CC(F)$ から MacPherson の Chern 類の類似である特性類を定め（Sai17 の序、p. 2、Definition 5.7、p. 54）、その次数 $0$ の部分が指数公式の右辺 $(CC(F),T^*_XX)_{T^*X}$ であることを示した（同 Lemma 5.9 の 1、p. 55）。
関連項目
- 前提: 特異台(エタール層), マイクロ台, 構成可能層, Euler標数, 交叉理論
- 比較: Riemann–Hurwitzの公式, 種数, D加群
- 直後に読む: 偏屈層, Verdier双対
- 発展: Whitney層別, 局所非輪状, エタールコホモロジー
参考文献
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