分岐被覆

同義語：分岐被覆写像branched coveringbranched coverramified covering

概要

前提知識: 被覆空間, Riemann面, 正則写像, 固有写像

分岐被覆（branched covering）は、離散的な点の集合の外では被覆空間の射影になっていて、その点の上でだけいくつかのシートが合流する写像である。典型例は $z\mapsto z^n$ で、$0$ 以外の点の上には $n$ 個の点があるが、$0$ の上では $n$ 枚のシートが 1 点に集まる。Riemann面の間の定数でない固有な正則写像はすべて分岐被覆であり（thm-brc-riemann）、各点の上の点を零点の位数の記事の分岐指数で重み付けて数えるとシートの枚数が回復する。分岐点の近くの形は $u\mapsto u^e$ ただ 1 種類で（thm-brc-local-model）、分岐指数は分岐点を回るループのモノドロミー置換の巡回の長さとして読める（prop-brc-monodromy）。逆に、離散集合の外で与えた有限次の被覆は、穴を埋めて分岐被覆に延ばせる（thm-brc-completion）。

定義

以下、Riemann面は連結とし、位相空間はすべて Hausdorff 空間とする。

分岐被覆

$X,Y$ を局所コンパクト Hausdorff 空間とする。連続写像 $p\colon X\to Y$ が（有限）分岐被覆（branched covering, ramified covering）であるとは、$Y$ の離散な閉集合 $B$ で次を満たすものがあることをいう。

$p$ は固有写像であり、各ファイバー $p^{-1}(y)$ は有限集合である。
$p^{-1}(B)$ は $X$ の中で内点をもたない。
制限 $p\colon X\setminus p^{-1}(B)\to Y\setminus B$ は有限次の被覆写像である。
このような $B$ を $p$ の分岐集合の候補といい、3 の被覆の次数（ファイバーの点の個数が一定のとき、その値）を $p$ の次数（シートの枚数）という。$B=\emptyset$ にとれるとき、$p$ は不分岐であるという。

2 の条件は、$X$ に「$B$ の上だけにある余分な部分」がないことを要請する。たとえば $X=Y\sqcup\{*\}$ で $*$ を $b\in B$ に写す写像は 1 と 3 を満たすが 2 を満たさない。
Riemann 面の間の正則写像では、分岐は点ごとの量で測れる。零点の位数の記事の定義「分岐指数」のとおり、定数でない正則写像 $f\colon X\to Y$ の点 $x$ での分岐指数 $e_x(f)$ とは、$x$ と $f(x)$ のまわりの局所座標で $f$ を表したときの零点の位数であり、適切な局所座標をとれば $f$ は $x$ の近くで $u\mapsto u^{e_x(f)}$ と表される（開写像定理(複素解析) の記事の定理「正則写像の局所標準形」）。$e_x(f)\ge2$ の点を分岐点（臨界点）、その像を分岐値（臨界値）という。分岐点の全体を $C_f$ と書く。

流儀の違い

「分岐被覆」の定義は文献により異なる。位相幾何では、開写像でファイバーが離散な写像を指すことも、2 の条件のかわりに「$X\setminus p^{-1}(B)$ が稠密で $p$ が開写像」を課すことも、多様体の間の写像に限ることもある。代数幾何では、滑らかな射影曲線の間の有限射 $f\colon X\to Y$ を分岐被覆とみなし、点 $P$ での分岐指数を、$f(P)$ の局所パラメータ $t$ の $P$ での付値 $e_P=v_P(f^*t)$ で定める（Har77 §IV.2, p. 299）。この記事の定義は、Riemann 面の間の固有な正則写像（thm-brc-riemann）と、被覆次数の記事の状況を含むように選んだものである。

直感

$z\mapsto z^2$ の像を、円周 $\lvert z\rvert=r$ を 1 周する点で考えると、像の点 $z^2$ は円周 $\lvert w\rvert=r^2$ を 2 周する。$w$ を $0$ のまわりで 1 周させてその平方根を連続に追うと、出発した平方根 $\sqrt w$ と異なる $-\sqrt w$ に戻ってくる。$0$ を除けば 2 枚のシートがあるが、それらは $0$ のまわりで互いにつながっていて、$0$ の上で 1 点に合流する。分岐被覆とは、このような合流が離散的な点の上でだけ起きる写像である。Riemann 面の上では、合流の様子は局所的にはいつも $u\mapsto u^e$ で、合流するシートの枚数 $e$ が分岐指数である。

固有な局所同相写像は被覆写像

分岐集合の外では、分岐被覆は局所同相写像である。逆に、固有な局所同相写像は自動的に被覆写像になる。これが分岐被覆の理論の位相的な土台である。

固有な局所同相写像は有限次の被覆

$X,Y$ を局所コンパクト Hausdorff 空間、$p\colon X\to Y$ を固有な局所同相写像とする。このとき各ファイバー $p^{-1}(y)$ は有限集合で、各点 $y\in Y$ は、$p^{-1}(W)$ がちょうど $\#p^{-1}(y)$ 個の互いに交わらない開集合の和で、各開集合が $p$ で $W$ に同相に写るような開近傍 $W$ をもつ。とくに $y\mapsto\#p^{-1}(y)$ は局所定数であり、$Y$ が連結で $X\neq\emptyset$ なら、$p$ は全射で有限次の被覆写像である。

$y\in Y$ とする。$p^{-1}(y)$ は一点集合 $\{y\}$ の逆像なのでコンパクトである。各点 $x\in p^{-1}(y)$ は、$p$ が単射になる開近傍 $U$ をもち、$U\cap p^{-1}(y)=\{x\}$ なので、$p^{-1}(y)$ は離散である。コンパクトな離散空間は有限集合なので、$p^{-1}(y)=\{x_1,\dots,x_r\}$ である（$r=0$ もありうる）。
Hausdorff 性と局所同相性により、互いに交わらない開集合 $U_1,\dots,U_r$ で、$x_j\in U_j$ かつ $p|_{U_j}$ が $U_j$ から開集合 $p(U_j)$ への同相写像になるものがとれる。$p$ は閉写像である（固有写像の記事の系「固有写像は閉写像」）から、$p(X\setminus(U_1\cup\dots\cup U_r))$ は $y$ を含まない閉集合で、
$$ W:=\bigl(Y\setminus p(X\setminus(U_1\cup\dots\cup U_r))\bigr)\cap p(U_1)\cap\dots\cap p(U_r) $$
は $y$ の開近傍である（$r=0$ なら右側の共通部分はないものとする）。作り方から $p^{-1}(W)\subset U_1\cup\dots\cup U_r$ なので
$$ p^{-1}(W)=\bigsqcup_{j=1}^r\bigl(U_j\cap p^{-1}(W)\bigr) $$
であり、$W\subset p(U_j)$ なので、同相写像 $p|_{U_j}\colon U_j\to p(U_j)$ を $W$ の逆像に制限した $U_j\cap p^{-1}(W)\to W$ も同相写像である。よって $W$ の各点のファイバーはちょうど $r$ 点からなる。
したがって $y\mapsto\#p^{-1}(y)$ は局所定数である。$Y$ が連結ならこの値は一定で、$X\neq\emptyset$ なら $1$ 以上だから $p$ は全射であり、上の $W$ が均一被覆近傍になるので、$p$ は次数 $r$ の被覆写像である。$\square$

固有写像の記事の命題「固有な局所微分同相写像の像とファイバー」は、この定理の多様体の場合の前半にあたる。固有性は外せない。指数関数 $\exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ は被覆写像だがファイバーが無限集合で、開区間の包含 $(0,1)\to\mathbb{R}$ は局所同相写像だが被覆写像でない（ex-brc-counterexamples）。

Riemann 面の間の固有な正則写像

離散閉集合を除いた曲面の連結性

$Y$ を Riemann 面、$B\subset Y$ を離散な閉集合とすると、$Y\setminus B$ は連結で、$Y$ の中で稠密である。

要点：$B$ の各点のまわりの穴あき円板は連結なので、$Y\setminus B$ の開かつ閉な部分集合の閉包は $Y$ で開かつ閉になる。

詳しい証明を開く

各 $b\in B$ に、座標円板 $D_b$（局所座標で開円板に写る $b$ の開近傍）で $D_b\cap B=\{b\}$ となるものをとる。$D_b\setminus\{b\}$ は穴あき円板と同相なので空でなく連結であり、$b$ は $Y\setminus B$ の閉包に入る。よって $Y\setminus B$ は稠密である。

$A$ を $Y\setminus B$ の空でない開かつ閉な部分集合とし、$\bar A$ を $Y$ での閉包とする。$b\in B$ について、連結な $D_b\setminus\{b\}$ は $A$ に含まれるか $A$ と交わらないかのどちらかである。前者なら $b\in\bar A$ で $D_b\subset\bar A$、後者なら $D_b$ は $\bar A$ と交わらない（$D_b$ は開集合で $D_b\cap A=\emptyset$）。また $\bar A\cap(Y\setminus B)=A$ である（$A$ は $Y\setminus B$ で閉）。よって $\bar A$ の各点は $\bar A$ に含まれる近傍をもち（$A$ の点は $Y$ の開集合 $A$ を、$B$ の点 $b$ は $D_b$ を）、$\bar A$ は $Y$ の開かつ閉な空でない部分集合である。$Y$ は連結なので $\bar A=Y$ で、$A=\bar A\cap(Y\setminus B)=Y\setminus B$ である。$\square$

Riemann 面の間の固有な正則写像は分岐被覆

$X,Y$ を Riemann 面、$f\colon X\to Y$ を定数でない固有な正則写像とする。

分岐点の集合 $C_f$ は $X$ の離散な閉集合で、分岐値の集合 $B:=f(C_f)$ は $Y$ の離散な閉集合である。
$f$ は全射で、各ファイバーは有限集合である。
制限 $f\colon X\setminus f^{-1}(B)\to Y\setminus B$ は有限次 $n\ge1$ の被覆写像である。したがって $f$ は分岐集合 $B$ の分岐被覆である。
任意の $y\in Y$ について
$$ \sum_{x\in f^{-1}(y)}e_x(f)=n $$
が成り立つ。

1．$C_f$ が離散な閉集合であることは被覆次数の記事の系「臨界点は孤立する」による（局所標準形 $u\mapsto u^e$ の導関数 $eu^{e-1}$ は $u\neq0$ で $0$ にならない）。$f$ は閉写像（固有写像の記事の系「固有写像は閉写像」）なので $B=f(C_f)$ は閉集合である。$y\in Y$ のコンパクトな近傍 $K$ をとると、$f^{-1}(K)$ はコンパクトで、その中の離散な閉集合 $C_f\cap f^{-1}(K)$ は有限集合である。よって $B\cap K$ は有限集合で、$B$ の各点は孤立している。
2．各点 $x$ の近くで $f$ は $u\mapsto u^{e_x(f)}$ と表され、$u^e=0$ は $u=0$ でしか成り立たないので、ファイバー $f^{-1}(y)$ は離散である。またコンパクトなので有限集合である。全射性は 3 の後に示す。
3．$X':=X\setminus f^{-1}(B)$、$Y':=Y\setminus B$ とおく。$f^{-1}(B)$ は閉集合で、$X$ の各コンパクト集合 $L$ について $f^{-1}(B)\cap L\subset f^{-1}(B\cap f(L))$ は有限集合（$f(L)$ はコンパクトなので 1 の証明により $B\cap f(L)$ は有限で、各ファイバーも有限）だから、$X$ の離散な閉集合である。lem-brc-connected により $X'$ は空でない。$X'=f^{-1}(Y')$ なので、$K\subset Y'$ がコンパクトなら $f^{-1}(K)\subset X'$ はコンパクトであり、制限 $f'\colon X'\to Y'$ は固有である。$X'$ は分岐点を含まないので、各点で $f$ は局所座標で $u\mapsto u$ と表され、$f'$ は局所同相写像である。lem-brc-connected により $Y'$ は連結なので、thm-brc-proper-local-homeo により $f'$ は全射で有限次 $n\ge1$ の被覆写像である。$f(X)$ は $Y'$ を含む閉集合で、$Y'$ は $Y$ で稠密なので $f(X)=Y$ である。$f^{-1}(B)$ が内点をもたないことは lem-brc-connected を $X$ に当てればわかる。
4．$f^{-1}(y)=\{x_1,\dots,x_r\}$、$e_j:=e_{x_j}(f)$ とし、$y$ を中心とする局所座標 $w$ を固定する。各 $x_j$ のまわりに、$x_j$ を中心とする局所座標 $\zeta_j$ で $w\circ f=\zeta_j^{e_j}$ となるものがとれる（局所標準形の証明は $y$ 側の座標を先に任意に選んでから $x_j$ 側の座標を作る。被覆次数の記事の補題「正則写像の局所正規形」の証明）。$\delta>0$ を小さくとり、$U_j:=\{\lvert\zeta_j\rvert< \delta\}$ が座標の定義域に収まり互いに交わらないようにする。1 の証明と同じく $f$ は閉写像なので、$W_0:=Y\setminus f(X\setminus(U_1\cup\dots\cup U_r))$ は $y$ の開近傍で $f^{-1}(W_0)\subset U_1\cup\dots\cup U_r$ である。$0< \varepsilon\le\min_j\delta^{e_j}$ を、$D:=\{\lvert w\rvert< \varepsilon\}$ が $W_0$ に含まれるように選ぶと、$U_j\cap f^{-1}(D)=\{\lvert\zeta_j\rvert< \varepsilon^{1/e_j}\}$ である。$B$ は離散なので、$D\setminus\{y\}$ に $B$ に属さない点 $y'$ がある。$c:=w(y')$ とすると $0< \lvert c\rvert< \varepsilon$ で、$U_j$ の中の $y'$ の逆像は $\zeta_j^{e_j}=c$ の $e_j$ 個の相異なる解である。$f^{-1}(y')\subset f^{-1}(D)\subset U_1\cup\dots\cup U_r$ なので $\#f^{-1}(y')=e_1+\dots+e_r$ であり、$y'\in Y'$ だから左辺は $n$ である。$\square$

$X$ がコンパクトなら、$X$ から Hausdorff 空間への連続写像はいつも固有なので、コンパクトな Riemann 面からの定数でない正則写像は分岐被覆である。この場合の $n$ が被覆次数の記事の被覆次数で、4 は同記事の命題「局所次数の和」である。thm-brc-riemann はそれを $X$ がコンパクトでない場合に広げたものである。固有性が要るのは、ファイバーの有限性と、分岐値の外で点の個数が一定であることのためである。

分岐点の近くの形とモノドロミー

$\mathbb{D}^*:=\{u\in\mathbb{C}\mid0< \lvert u\rvert<1\}$ を穴あき単位円板とし、$q_e\colon\mathbb{D}^*\to\mathbb{D}^*$、$q_e(u):=u^e$ とおく。$q_e$ は連結な $e$ 重被覆である。

穴あき円板の連結な有限被覆

$p\colon E\to\mathbb{D}^*$ を、$E$ が連結な次数 $e$ の被覆写像とする。このとき同相写像 $\varphi\colon E\to\mathbb{D}^*$ で $q_e\circ\varphi=p$、すなわち $p=\varphi^e$ となるものがある。$E$ が Riemann 面で $p$ が正則なら、$\varphi$ は双正則にとれる。

$\mathbb{D}^*$ は円周 $\{\lvert u\rvert=\frac12\}$ に変形レトラクトするので、基点 $u_0=\frac12$ について $\pi_1(\mathbb{D}^*,u_0)\cong\mathbb{Z}$ で、生成元は円周を正の向きに 1 周するループ $\gamma(t)=\frac12e^{2\pi it}$ の類である（Hat02 §1.1, Theorem 1.7）。$\mathbb{D}^*$ は弧状連結・局所弧状連結・半局所単連結なので、被覆空間の記事の定理「普遍被覆の存在と被覆空間の分類」が使える。$e_0\in p^{-1}(u_0)$ をとると、同記事の定理「基本群との関係」の 2 により、部分群 $p_*\pi_1(E,e_0)$ の指数はファイバーの点の個数 $e$ に等しい。$\mathbb{Z}$ の指数 $e$ の部分群は $e\mathbb{Z}$ だけである。
$q_e$ について、$u_1:=2^{-1/e}$（$q_e(u_1)=u_0$）を基点とする。$\mathbb{D}^*$ の基本群の生成元 $\gamma_1(t)=u_1e^{2\pi it}$ の像 $q_e\circ\gamma_1(t)=\frac12e^{2\pi iet}$ は $\gamma$ の $e$ 乗の類を表すので、$(q_e)_*\pi_1(\mathbb{D}^*,u_1)=e\mathbb{Z}$ である。分類定理の 2 により、基点を保つ被覆の同型 $\varphi\colon(E,e_0)\to(\mathbb{D}^*,u_1)$、すなわち $q_e\circ\varphi=p$ を満たす同相写像がある。
$E$ が Riemann 面で $p$ が正則なら、$p$ は局所同相写像なので各点で分岐指数が $1$ で、局所双正則である。$\varphi$ は各点の近くで「$q_e$ の局所的な逆写像（$e$ 乗根の 1 つの枝）と $p$ の合成」に等しいので正則であり、逆写像も同様に正則である。$\square$

$f\colon X\to Y$ を Riemann 面の間の定数でない固有な正則写像、$b\in Y$、$D\ni b$ を十分小さい座標円板で $D\cap B\subset\{b\}$ となるものとする（$B$ は分岐値の集合。「十分小さい」は prf-brc-riemann の 4 の円板 $\{\lvert w\rvert< \varepsilon\}$ に含まれることを指す）。座標で $D$ を単位円板、$b$ を $0$ と同一視する。$D^*:=D\setminus\{b\}$ の逆像 $f^{-1}(D^*)$ は有限次の被覆 $f^{-1}(D^*)\to D^*$ である（thm-brc-riemann の 3 の被覆の制限）。

分岐指数とモノドロミー

上の状況で、$f^{-1}(D^*)$ の連結成分は有限個 $V_1,\dots,V_r$ で、$f^{-1}(b)=\{x_1,\dots,x_r\}$ の点と一対一に対応し（$x_j$ は $V_j$ の閉包に入るただ 1 つの $f^{-1}(b)$ の点）、$V_j\to D^*$ の次数は $e_{x_j}(f)$ に等しい。さらに、$u_0\in D^*$ を基点として $b$ のまわりを正の向きに 1 周するループ $\gamma$ がファイバー $f^{-1}(u_0)$ に引き起こす置換（モノドロミー置換）は、長さ $e_{x_1}(f),\dots,e_{x_r}(f)$ の巡回置換の積である。

要点：小さい $D$ の上で $f^{-1}(D)$ は局所標準形の円板 $\{\lvert\zeta_j\rvert< \varepsilon^{1/e_j}\}$ の和で、$\gamma$ の持ち上げは $\zeta\mapsto\zeta e^{2\pi i/e_j}$ と回る。

詳しい証明を開く

prf-brc-riemann の 4 の構成で $D$ を小さくとれば、$f^{-1}(D)$ は互いに交わらない開集合 $\{\lvert\zeta_j\rvert< \varepsilon^{1/e_j}\}$（$j=1,\dots,r$）の和で、その上で $w\circ f=\zeta_j^{e_j}$ である。$\zeta_j$ は $\{\lvert\zeta_j\rvert< \varepsilon^{1/e_j}\}$ を円板に写すので、$V_j:=\{0< \lvert\zeta_j\rvert< \varepsilon^{1/e_j}\}$ は穴あき円板と同相で連結であり、$f^{-1}(D^*)=V_1\sqcup\dots\sqcup V_r$ がその連結成分への分解である。$V_j$ の閉包に入る $f^{-1}(b)$ の点は $x_j$（$\zeta_j=0$）だけで、$V_j\to D^*$ は座標で $\zeta\mapsto\zeta^{e_j}$ なので次数 $e_j$ である。

$\gamma(t)=ce^{2\pi it}$（$0< \lvert c\rvert< \varepsilon$）を持ち上げると、$V_j$ の中の点 $\zeta$（$\zeta^{e_j}=c$）を始点とする持ち上げは $\zeta e^{2\pi it/e_j}$ で、終点は $\zeta e^{2\pi i/e_j}$ である。よって $\gamma$ は $V_j$ の中の $e_j$ 個のファイバーの点を 1 つの巡回置換で回し、全体の置換はこれら $r$ 個の巡回置換の積である。$\square$

ファイバーの点の個数 $\sum_je_{x_j}(f)=n$ はこの巡回置換の長さの和であり、thm-brc-riemann の 4 のもう 1 つの見方を与える。

穴を埋める

被覆写像だけが与えられているとき、分岐点を付け加えて分岐被覆を作ることができる。

有限次の被覆の穴埋め

$Y$ を Riemann 面、$B\subset Y$ を離散な閉集合、$p\colon X'\to Y\setminus B$ を有限次の被覆写像で $X'$ が連結なものとし、$X'$ に $p$ が局所双正則になる Riemann 面の構造を入れる（被覆空間の記事の命題「被覆によるRiemann面構造の持ち上げ」）。このとき Riemann 面 $X$ と固有な正則写像 $f\colon X\to Y$ で、$X'$ が $X$ の開集合、$X\setminus X'$ が離散な閉集合、$f|_{X'}=p$ となるものがある。

要点：各 $b\in B$ の座標円板 $D_b$ の穴あき部分 $D_b^*$ の逆像を連結成分に分け、各成分を thm-brc-local-model で穴あき円板 $\mathbb{D}^*$ と同一視し、穴の中心にあたる点を 1 つずつ付け加える。

詳しい証明を開く

段 1（局所の形）．$b\in B$ ごとに、$b$ を中心とする局所座標 $w_b$ で単位円板に写る座標円板 $D_b$ を、$D_b\cap B=\{b\}$ となるようにとる（$B$ は離散な閉集合なので、$b$ の近傍で $B$ と $b$ だけで交わるものの中に円板をとればよい）。$D_b^*:=D_b\setminus\{b\}$ の逆像 $p^{-1}(D_b^*)$ は有限次の被覆なので、有限個の連結成分 $V$ に分かれ、各 $V\to D_b^*$ は連結な有限次の被覆である（局所連結な底空間の被覆を連結成分に制限したものは被覆である）。thm-brc-local-model により、双正則写像 $\varphi_V\colon V\to\mathbb{D}^*$ で $w_b\circ p=\varphi_V^{e_V}$（$e_V$ は $V\to D_b^*$ の次数）となるものがある。

段 2（点の追加）．各成分 $V$ に新しい点 $x_V$ を 1 つずつ付け加えて $X:=X'\sqcup\{x_V\}$ とし、$f|_{X'}:=p$、$f(x_V):=b$ とおく。$\hat V:=V\cup\{x_V\}$ に $\hat\varphi_V(x_V):=0$ と延ばした全単射 $\hat\varphi_V\colon\hat V\to\mathbb{D}$ を考え、$X'$ の開集合と、$\hat\varphi_V^{-1}$ による $\mathbb{D}$ の開集合の像の全体で生成される位相を $X$ に入れる。$X'$ の局所座標と $\hat\varphi_V$ を合わせたものは、重なり $V$ の上で $\varphi_V$ と $X'$ の座標の座標変換が双正則なので、$X$ の複素構造を定める。

段 3（Hausdorff 性と連結性）．$f$ は $X'$ 上で $p$ に等しく、$x_V$ の近くでは座標で $u\mapsto u^{e_V}$ なので連続である。異なる 2 点 $x_V,x_{V'}$ は、同じ $b$ の上にあれば互いに交わらない近傍 $\hat V,\hat V'$ をもち、異なる $b,b'$ の上にあれば $b,b'$ の交わらない近傍の $f$ による逆像で分けられる。$x_V$ と $x'\in X'$ については、$y':=p(x')$ とし、$y'\in D_b$ なら $r^{e_V}< \lvert w_b(y')\rvert$、そうでなければ $r=\frac12$ となる $0< r<1$ をとる。$C:=\{y\in D_b\mid\lvert w_b(y)\rvert\le r^{e_V}\}$ は $Y$ のコンパクト集合なので閉集合で、$y'\notin C$ である。$N_1:=\hat\varphi_V^{-1}(\{\lvert u\rvert< r\})$ は $x_V$ の近傍で $f(N_1)\subset C$、$N_2:=p^{-1}(Y\setminus C)$ は $x'$ の開近傍なので、$N_1\cap N_2=\emptyset$ である。$X'$ は連結で $X$ で稠密なので $X$ も連結である。

段 4（正則性と固有性）．$f$ は $X'$ 上で正則で、$x_V$ の近くでも座標で $u\mapsto u^{e_V}$ なので正則である。$K\subset Y$ をコンパクトとすると $K\cap B$ は有限集合である。$K_0:=K\setminus\bigcup_{b\in K\cap B}\{\lvert w_b\rvert< \frac12\}$ は $Y\setminus B$ のコンパクト集合で、有限次の被覆写像はコンパクト集合の逆像をコンパクトに保つ（$K_0$ を有限個の、均一被覆近傍に含まれるコンパクト近傍で覆うと、それぞれの逆像は有限個のコンパクトな複製の和になる）ので $p^{-1}(K_0)$ はコンパクトである。また $f^{-1}(\{\lvert w_b\rvert\le\frac12\})$ は有限個のコンパクト集合 $\hat\varphi_V^{-1}(\{\lvert u\rvert\le2^{-1/e_V}\})$ の和である。$f^{-1}(K)$ はこれらの和の閉部分集合なのでコンパクトである。$X\setminus X'=\{x_V\}$ は各 $x_V$ が孤立し、どのコンパクト集合とも有限個でしか交わらないので離散な閉集合である。$\square$

穴埋めで付け加えた点 $x_V$ での分岐指数は成分 $V$ の次数 $e_V$ で、prop-brc-monodromy の対応はこの構成を逆にたどったものである。$Y$ が Riemann 球面 $\mathbb{P}^1$ のとき、有限個の点 $B$ の外の有限次の被覆は、モノドロミー置換のなす $\pi_1(\mathbb{P}^1\setminus B)$ の作用で決まる（被覆空間の記事の定理「被覆の圏と基本群が作用する集合」）。したがって、$\mathbb{P}^1$ の上の分岐被覆を作ることは、分岐値のまわりのループに置換を割り当てることに帰着する。

例

冪写像

$f(z)=z^n$（$n\ge1$）は $\mathbb{C}$ から $\mathbb{C}$ への固有な正則写像である（$\lvert z\rvert^n\le R$ なら $\lvert z\rvert\le R^{1/n}$）。分岐点は $0$ だけで $e_0(f)=n$、分岐値の集合は $B=\{0\}$ である。$\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ は次数 $n$ の被覆で（被覆空間の記事の例「円周の $n$ 重被覆」の、半径方向を付け加えたもの）、$0$ のまわりのモノドロミー置換は $n$ 個の $n$ 乗根を $e^{2\pi i/n}$ 倍で回す 1 つの $n$ 巡回である。$\mathbb{P}^1$ に延ばした $z\mapsto z^n$ は $0$ と $\infty$ の 2 点で分岐指数 $n$ をもち、Koebeの1/4定理の記事の別証明で使う Riemann 球面の 2 対 1 の写像は、両側の Möbius 変換で座標を取り替えると $n=2$ の場合になる。

3 次多項式

$P(z)=z^3-3z$ は $\mathbb{C}$ から $\mathbb{C}$ への固有な正則写像で（固有写像の記事の例「多項式と代数学の基本定理」）、次数は $3$ である。$P'(z)=3(z-1)(z+1)$ なので分岐点は $\pm1$、分岐値は $P(1)=-2$、$P(-1)=2$ である。$2$ の上のファイバーは
$$ z^3-3z-2=(z+1)^2(z-2) $$
から $\{-1,2\}$ で、分岐指数は $e_{-1}=2$、$e_2=1$、和は $3$ である（thm-brc-riemann の 4）。prop-brc-monodromy により、$2$ のまわりを 1 周するループのモノドロミー置換は互換（長さ $2$ と $1$ の巡回の積）である。$-2$ の上も $z^3-3z+2=(z-1)^2(z+2)$ で同じ形をしている。

超楕円曲線の 2 重被覆

$P\in\mathbb{C}[x]$ を重根のない次数 $m\ge1$ の多項式、根を $a_1,\dots,a_m$ とし、$X:=\{(x,y)\in\mathbb{C}^2\mid y^2=P(x)\}$ を Riemann面の記事の例「超楕円曲線のアフィン部分」の Riemann 面とする。射影 $\pi(x,y)=x$ は固有である：$K\subset\mathbb{C}$ がコンパクトなら $\pi^{-1}(K)$ は閉集合で、$\lvert y\rvert^2=\lvert P(x)\rvert\le\max_K\lvert P\rvert$ により有界だからコンパクトである。$y\neq0$ の点では $x$ が局所座標なので $\pi$ は不分岐で、$(a_j,0)$ では $y$ が局所座標で $x=a_j+y^2/P'(a_j)+\cdots$ となるので $e=2$ である。$X$ が連結であることもモノドロミーからわかる。$a_1$ だけを囲む小さいループに沿って $\sqrt{P(x)}$ を連続に追うと、$P(x)=(x-a_1)Q(x)$（$Q(a_1)\neq0$）の因子 $x-a_1$ の偏角だけが $2\pi$ 増えるので符号が変わり、$\pi^{-1}(x_0)$ の 2 点が入れ替わる。よって $X\setminus\pi^{-1}(\{a_j\})$ は連結で、その閉包 $X$ も連結である。こうして $\pi$ は分岐値 $a_1,\dots,a_m$ をもつ次数 $2$ の分岐被覆である。これをコンパクト化した 2 重被覆への Riemann–Hurwitzの公式の適用は、同記事の例「超楕円二重被覆」にある。

Weierstrass の $\wp$ 関数

格子 $\Lambda$ について、Weierstrassの楕円関数 $\wp$ は複素トーラス $\mathbb{C}/\Lambda$ から $\mathbb{P}^1$ への正則写像で、$0$ にだけ 2 位の極をもつので次数 $2$ である（極の位数の和が次数。被覆次数の記事の系「有理型関数の零点と極の個数」）。$\wp$ は偶関数で周期 $\Lambda$ をもつので、$z$ と $-z$ は同じ値をとる。$z\equiv-z\pmod\Lambda$ となるのは $z\in\frac12\Lambda$ の 4 点 $0,\omega_1/2,\omega_2/2,(\omega_1+\omega_2)/2$ で、値はそれぞれ $\infty,e_1,e_2,e_3$ である。これらは相異なる（Weierstrassの楕円関数の記事の定理「半周期での値と判別式」）ので、たとえば $e_1$ の上のファイバーは、$z$ と $-z$ が一致する $\omega_1/2$ だけからなり、thm-brc-riemann の 4 によりそこでの分岐指数は $2$ である。ほかの値の上には $z\neq-z$ の 2 点がある。つまり $\wp\colon\mathbb{C}/\Lambda\to\mathbb{P}^1$ は 4 点 $\infty,e_1,e_2,e_3$ で分岐する 2 重の分岐被覆で、楕円曲線 $y^2=4x^3-g_2x-g_3$ の $x$ 座標への射影にあたる。

反例

各行は、記事の主張の仮定を 1 つ外したときに結論が崩れる例である。

外す条件	反例	成り立たなくなること
固有（thm-brc-proper-local-homeo）	開区間の包含 $(0,1)\to\mathbb{R}$	被覆写像であること
固有（thm-brc-riemann）	単位円板の包含 $\mathbb{D}\to\mathbb{C}$	全射性と、分岐値の外でファイバーの点の個数が一定であること
定数でない（thm-brc-riemann）	$\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$ の定数写像	ファイバーが有限であること
正則（連続写像に弱める）	$\mathbb{C}\to\mathbb{C}$、$s+it\mapsto s^2+it$	分岐値の集合が離散であること、全射性
局所同相（thm-brc-proper-local-homeo）	$\mathbb{C}\to\mathbb{C}$、$z\mapsto z^2$	被覆写像であること（$0$ の上で）
被覆が有限次（thm-brc-completion）	$\exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$、$B=\{0\}$	点を付け加えて固有な正則写像に延ばせること

反例の確認

各行で、外した条件以外の仮定は満たされている。

各行の確認を開く

1 行目：包含は局所同相写像だが、$K=[0,1]$ の逆像 $(0,1)$ はコンパクトでなく固有でない。ファイバーの点の個数は $(0,1)$ の上で $1$、外で $0$ で、$0$ の近くで一定でないので被覆写像でない。

2 行目：包含は定数でない正則写像だが、閉円板 $\{\lvert z\rvert\le1\}$ の逆像 $\mathbb{D}$ はコンパクトでない。像は $\mathbb{D}$ で全射でなく、ファイバーの点の個数は $\mathbb{D}$ の上で $1$、外で $0$ である。$\mathbb{C}$ のどんな離散な閉集合 $B$ をとっても、$\mathbb{C}\setminus B$ は連結で点の個数が一定にならないので、分岐被覆にならない。

3 行目：$\mathbb{P}^1$ はコンパクトなので定数写像は固有で正則だが、値の上のファイバーは $\mathbb{P}^1$ 全体で有限でない。

4 行目：写像 $(s,t)\mapsto(s^2,t)$ は連続で固有（$s^2$ と $t$ が有界なら $s,t$ も有界）だが正則でない。像は閉半平面 $\{\operatorname{Re}w\ge0\}$ で全射でなく、虚軸 $\{\operatorname{Re}w=0\}$ の上の点ではファイバーが 1 点、その右では 2 点、左では 0 点である。点の個数が一定にならない場所が直線全体で、離散でない。

5 行目：$z\mapsto z^2$ は固有だが $0$ で局所同相でない（$0$ のどの近傍でも単射でない）。$0$ の上のファイバーは 1 点、ほかでは 2 点なので、$\mathbb{C}$ 全体の被覆写像ではない。

6 行目：$\exp$ は無限次の被覆写像である。thm-brc-completion の結論を満たす Riemann 面 $X\supset\mathbb{C}$ と固有な正則写像 $f\colon X\to\mathbb{C}$ があったとすると、$f$ は定数でないので thm-brc-riemann の 2 により $f^{-1}(1/4)$ は有限集合である。ところが $f|_{\mathbb{C}}=\exp$ なので $f^{-1}(1/4)$ は無限集合 $\log(1/4)+2\pi i\mathbb{Z}$ を含み、矛盾する。$0$ の穴あき近傍 $\{0< \lvert w\rvert< r\}$ の逆像は左半平面 $\{\operatorname{Re}z< \log r\}$ で、穴あき円板ではない（thm-brc-local-model が使えるのは有限次の場合である）。

補足

代数幾何では、代数閉体上の滑らかな射影曲線の間の有限射 $f\colon X\to Y$ について、点 $P$ の分岐指数を $e_P=v_P(f^*t)$（$t$ は $f(P)$ の局所パラメータ）と定め、因子の引き戻し $f^*Q=\sum_{f(P)=Q}e_PP$ の次数が $\deg f$ に等しい（Har77 Proposition II.6.9, p. 138、§IV.2, p. 299）。これは thm-brc-riemann の 4 の代数版である。平坦射の記事の例 $k[t]\to k[t,x]/(x^2-t)$ は、$t=0$ で分岐指数 $2$ をもつ 2 重の分岐被覆 $\mathbb{A}^1\to\mathbb{A}^1$ の座標環の側の姿であり、平坦だが分岐点でエタールでない。
分岐被覆の種数と分岐の関係は Riemann–Hurwitzの公式 $2g_X-2=n(2g_Y-2)+\sum_x(e_x(f)-1)$ で表される。数論でも同じ形の現象がある。代数体の拡大 $L/K$ で $K$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ が $\mathfrak{p}\mathcal{O}_L=\mathfrak{P}_1^{e_1}\cdots\mathfrak{P}_r^{e_r}$ と分解するとき、剰余次数 $f_i$ とともに $\sum_ie_if_i=[L:K]$ が成り立つ（Neu99 Chapter I, Proposition (8.2), p. 46）。たとえば $\mathbb{Z}[i]$ では $2=-i(1+i)^2$ で、$2$ は $z\mapsto z^2$ の $0$ のように分岐する。この類似は不分岐拡大と完全分岐拡大の記事で詳しく扱われる。