中点連結定理

$A(0,0)$、$B(8,0)$、$C(2,6)$ の三角形 $ABC$ で、辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $AC$ の中点を $N$ とする。
(1) 中点は座標の平均なので、$M\left(\dfrac{0+8}2,\dfrac{0+0}2\right)=(4,0)$、$N\left(\dfrac{0+2}2,\dfrac{0+6}2\right)=(1,3)$ である。
(2) $\overrightarrow{MN}=(1-4,\ 3-0)=(-3,3)$、$\overrightarrow{BC}=(2-8,\ 6-0)=(-6,6)$ で、$\overrightarrow{MN}=\dfrac12\overrightarrow{BC}$ である。
(3) したがって $MN\parallel BC$ で、長さは $MN=\sqrt{9+9}=3\sqrt2$、$BC=\sqrt{36+36}=6\sqrt2$ と、ちょうど半分である。

$A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(7,4)$、$D(1,5)$ の四角形 $ABCD$ で、4 つの辺 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ の中点を $E$、$F$、$G$、$H$ とする。
(1) $E(3,0)$、$F\left(\dfrac{13}2,2\right)$、$G\left(4,\dfrac92\right)$、$H\left(\dfrac12,\dfrac52\right)$ である。
(2) $\overrightarrow{EF}=\left(\dfrac72,2\right)$、$\overrightarrow{HG}=\left(\dfrac72,2\right)$ で等しい。$\overrightarrow{EH}=\left(-\dfrac52,\dfrac52\right)$、$\overrightarrow{FG}=\left(-\dfrac52,\dfrac52\right)$ も等しい。四角形 $EFGH$ は、向かい合う辺が平行で長さが等しい平行四辺形である（後の図 3）。
(3) さらに $\overrightarrow{EF}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$（$\overrightarrow{AC}=(7,4)$）、$\overrightarrow{EH}=\dfrac12\overrightarrow{BD}$（$\overrightarrow{BD}=(-5,5)$）である。どんな四角形でも、中点を結ぶと平行四辺形になる。その理由は中点連結定理である（ex-mpt-varignon）。

$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(-3,2)$ の三角形（角 $A$ は鈍角）で、$M(2,0)$、$N\left(-\dfrac32,1\right)$ である。$\overrightarrow{MN}=\left(-\dfrac72,1\right)$、$\overrightarrow{BC}=(-7,2)$ で、$\overrightarrow{MN}=\dfrac12\overrightarrow{BC}$ である。$MN=\dfrac12\sqrt{49+4}=\dfrac{\sqrt{53}}2$、$BC=\sqrt{53}$ で、どんな形の三角形でも「平行で半分」になる。

ex-mpt-start の三角形で、$M(4,0)$ を通り $\overrightarrow{BC}=(-6,6)$ に平行な直線の点は $(4-6s,\ 6s)$ である。辺 $AC$ の点 $(2t,\ 6t)$ と等しいとおくと $6s=6t$ から $s=t$、$4-6t=2t$ から $t=\dfrac12$ で、交点は $(1,3)=N$、つまり辺 $AC$ の中点である。

三角形 $ABC$ の辺 $BC$、$CA$、$AB$ の中点を $L$、$N$、$M$ とする（図 2 の左）。
(1) thm-mpt-main を 3 回使うと、$MN=\dfrac12BC$、$NL=\dfrac12AB$、$LM=\dfrac12CA$ である。一方、$AM=MB=\dfrac12AB$、$BL=LC=\dfrac12BC$、$CN=NA=\dfrac12CA$ である。よって 4 つの三角形 $AMN$、$MBL$、$NLC$、$LNM$ は、どれも 3 辺が $\dfrac12BC$、$\dfrac12CA$、$\dfrac12AB$ で、互いに合同である（3 辺の合同条件）。4 つの三角形は重ならずに三角形 $ABC$ をちょうど埋める（図 2 の左のとおりとして認める）ので、面積はどれも三角形 $ABC$ の $\dfrac14$ である。
(2) ex-mpt-start の三角形 $A(0,0)$、$B(8,0)$、$C(2,6)$ では、$L(5,3)$、$M(4,0)$、$N(1,3)$ である。三角形 $ABC$ の面積は $\dfrac12\cdot8\cdot6=24$ である。三角形 $AMN$ は底辺 $AM=4$、高さ $3$（$N$ の $y$ 座標）で、面積は $\dfrac12\cdot4\cdot3=6$ である。同じように $MBL$ は底辺 $4$、高さ $3$ で $6$、$NLC$ は底辺 $NL=4$（$y=3$ の上）、高さ $3$ で $6$、残りの $LNM$ も $24-18=6$ で、4 つとも $6=\dfrac{24}4$ である。

$A(1,3)$、$D(4,3)$、$B(0,0)$、$C(7,0)$ の台形（図 2 の右）で、$AD=3$、$BC=7$ である。$M\left(\dfrac12,\dfrac32\right)$、$N\left(\dfrac{11}2,\dfrac32\right)$ で、$MN=5=\dfrac{3+7}2$ であり、$MN$ は $x$ 軸（$BC$）に平行である。

四角形 $ABCD$ の辺 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ の中点を $E$、$F$、$G$、$H$ とする。
(1) 三角形 $ABC$ に thm-mpt-main を使うと、$EF\parallel AC$、$EF=\dfrac12AC$ である。三角形 $ADC$ に使うと、$HG\parallel AC$、$HG=\dfrac12AC$ である。位置ベクトルで書くと、どちらも $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$ である。向かい合う辺 $EF$ と $HG$ が平行で長さが等しいので、四角形 $EFGH$ は平行四辺形である。
(2) ex-mpt-start-quad の四角形では、$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}=\left(\dfrac72,2\right)=\dfrac12(7,4)=\dfrac12\overrightarrow{AC}$ で、(1) のとおりである。この例では、四角形 $ABCD$ の面積は $\dfrac{55}2$、平行四辺形 $EFGH$ の面積は $\left\lvert\dfrac72\cdot\dfrac52-2\cdot\left(-\dfrac52\right)\right\rvert=\dfrac{55}4$ で、ちょうど半分になっている。

ex-mpt-start の三角形 $A(0,0)$、$B(8,0)$、$C(2,6)$ では、$P=\begin{pmatrix}8&2\\ 0&6\end{pmatrix}$、$\vec v=\vec 0$ である。$M_0\left(\dfrac12,0\right)$ は $P\begin{pmatrix}1/2\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\ 0\end{pmatrix}$ に、$N_0\left(0,\dfrac12\right)$ は $\begin{pmatrix}1\\ 3\end{pmatrix}$ に移り、確かに $M(4,0)$、$N(1,3)$ である。$\overrightarrow{M_0N_0}=\left(-\dfrac12,\dfrac12\right)$ は $P\begin{pmatrix}-1/2\\ 1/2\end{pmatrix}=(-3,3)=\overrightarrow{MN}$ に移る。

空間の 4 点 $A(0,0,0)$、$B(2,0,0)$、$C(2,2,0)$、$D(0,0,2)$ は同じ平面の上にない（$D$ だけが $z\ne0$ で、$A,B,C$ の平面 $z=0$ の上にない）。辺 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ の中点は $E(1,0,0)$、$F(2,1,0)$、$G(1,1,1)$、$H(0,0,1)$ で、$\overrightarrow{EF}=(1,1,0)=\overrightarrow{HG}$ である。$\overrightarrow{EF}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$ で、4 つの中点は平行四辺形の頂点になる。

ex-mpt-start の三角形 $A(0,0)$、$B(8,0)$、$C(2,6)$ で、$M(4,0)$ は $AB$ の中点とする。
(1) $AC$ を $1:2$ に分ける点 $N'\left(\dfrac23,2\right)$ をとると、$\overrightarrow{MN'}=\left(-\dfrac{10}3,2\right)$ である。これが $\lambda(-6,6)=\lambda\overrightarrow{BC}$ に等しいとすると、$x$ 成分から $\lambda=\dfrac59$、$y$ 成分から $\lambda=\dfrac13$ で両立しないので、$MN'$ は $BC$ と平行でない。比が $1:1$ と $1:2$ で違うからである（平行線と線分の比 の逆の形）。
(2) $M$ を通り向き $(-1,2)$ の直線（$BC$ と平行でない）の点 $(4-s,\ 2s)$ が辺 $AC$ の点 $(2t,6t)$ と等しくなるのは、$2s=6t$ から $s=3t$、$4-3t=2t$ から $t=\dfrac45$ のときで、交点 $\left(\dfrac85,\dfrac{24}5\right)$ は $AC$ を $4:1$ に分ける点であり、中点ではない。

$A(0,3)$、$D(4,5)$、$B(0,0)$、$C(6,0)$ の四角形 $ABCD$ では、$AD$（向き $(4,2)$）と $BC$（向き $(6,0)$）は平行でない。$AB$ の中点 $M\left(0,\dfrac32\right)$、$DC$ の中点 $N\left(5,\dfrac52\right)$ で、$MN=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}=5.099\ldots$ である。一方 $\dfrac{AD+BC}2=\dfrac{2\sqrt5+6}2=\sqrt5+3=5.236\ldots$ で、等しくない。
prf-mpt-trapezoid の段 1 の式 $\overrightarrow{MN}=\dfrac{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}}2=\dfrac{(4,2)+(6,0)}2=(5,1)$ は台形でなくても成り立つ。ベクトルの長さの三角不等式（Cauchy–Schwarzの不等式（高校数学））により $MN\le\dfrac{AD+BC}2$ である。$\overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{BC}$ が同じ向き、つまり台形のときは等号が成り立つ（prf-mpt-trapezoid）。等号が成り立つのがそのときに限ることは、ここでは証明しない。

半径 $1$ の球面の上で、$A(0,0,1)$（北極）、$B(1,0,0)$、$C(0,1,0)$ を大円の弧で結んだ球面三角形を考える。球面の上の 2 点の距離は、2 点を結ぶ大円の短い方の弧の長さで、それは 2 点の位置ベクトルのなす角（ラジアン）に等しい。
(1) $B$ と $C$ の位置ベクトルは垂直なので $BC=\dfrac\pi2$ である。
(2) 弧 $AB$ の中点は、$A$ と $B$ の位置ベクトルの和の向きの点 $M\left(\dfrac1{\sqrt2},0,\dfrac1{\sqrt2}\right)$、弧 $AC$ の中点は $N\left(0,\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2}\right)$ である。内積は $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=0+0+\dfrac12=\dfrac12$ なので、なす角は $\dfrac\pi3$ で、$MN=\dfrac\pi3$ である。
(3) $\dfrac12BC=\dfrac\pi4$ で、$MN=\dfrac\pi3>\dfrac\pi4$ である。長さが半分にならない。さらに、球面の上の 2 本の大円は必ず交わるので、大円 $MN$ と大円 $BC$（赤道）も交わり、「平行」も成り立たない。
球面では 2 本の大円が必ず交わるので、prf-mpt-congruence の段 4 の「平行線の錯角は等しい」だけでなく、段 3 の「錯角が等しい 2 直線は交わらない」もすでに成り立たない。球面は、直線がどこまでも延びることなど、平行線公準以外の性質も平面と違う。平行線公準だけを外した双曲幾何では、直線 $MN$ と直線 $BC$ は交わらないが $MN<\dfrac12BC$ となり、崩れるのは長さの主張である（この記事では証明しない。双曲幾何の三角形）。球面の幾何は 球面三角形の面積 で扱う。