根と係数の関係と対称式

同義語：解と係数の関係Vieta's formulas

概要

根と係数の関係と対称式

2 次方程式 $ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）の 2 つの解を $\alpha,\beta$ とすると、$\alpha+\beta=-\frac ba$、$\alpha\beta=\frac ca$ が成り立つ。これが解と係数の関係（根と係数の関係）である。高校では、これを使って解を求めずに $\alpha^2+\beta^2$ などの値を計算し、「対称式は $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ で表せる」と習う。
この記事は、この高校の計算を、$n$ 次方程式・対称式の基本定理・Newton の恒等式・行列の固有値とトレースへと 4 本の記事でたどるための案内である。まず主題の定義と、各記事の入口になる計算を見る。

対称式・基本対称式と解と係数の関係

$n$ 個の文字 $x_1,\dots,x_n$ の多項式が、文字をどのように並べ替えても変わらないとき、対称式という。$k=1,\dots,n$ について、相異なる $k$ 個の文字の積すべての和
$$ e_1=x_1+\cdots+x_n,\quad e_2=\sum_{i< j}x_ix_j,\quad\dots,\quad e_n=x_1x_2\cdots x_n $$
を基本対称式という。$n$ 次方程式 $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=0$（$a_n\ne0$）の解を重複を込めて $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ とするとき、
$$ e_k(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}\qquad(k=1,\dots,n) $$
が成り立つことを、解と係数の関係という。

$n=2$ では $e_1=\alpha+\beta=-\frac{a_1}{a_2}$、$e_2=\alpha\beta=\frac{a_0}{a_2}$ で、高校の式そのものである。証明は n次方程式の解と係数の関係で行う。

解を求めずに式の値を求める

$x^2-3x+1=0$ の解 $\alpha,\beta$ は $\frac{3\pm\sqrt5}2$ だが、これを代入しなくても、$\alpha+\beta=3$、$\alpha\beta=1$ から
$$ \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9-2=7,\qquad \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=27-9=18 $$
が分かる。$\alpha^2+\beta^2$ も $\alpha^3+\beta^3$ も、$\alpha$ と $\beta$ を入れ替えても変わらない対称式である。

3 次方程式と冪の和

$(x-1)(x-2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6$ の解は $1,2,3$ である。基本対称式は $e_1=1+2+3=6$、$e_2=1\cdot2+2\cdot3+3\cdot1=11$、$e_3=1\cdot2\cdot3=6$ で、係数の $6,11,6$（符号を除く）と一致する。解の 2 乗の和は $1+4+9=14$ で、$e_1^2-2e_2=36-22=14$ とも計算できる。

行列の固有値の和

行列 $A=\begin{pmatrix}2&1\\ 1&2\end{pmatrix}$ について、$A\boldsymbol v=\lambda\boldsymbol v$ となる $\boldsymbol v\ne\boldsymbol 0$ がある数 $\lambda$（固有値）は、$(2-\lambda)^2-1=0$、すなわち $\lambda^2-4\lambda+3=0$ の解 $1,3$ である。解と係数の関係から、その和 $4$ は対角成分の和 $2+2$、積 $3$ は行列式 $2\cdot2-1\cdot1$ に等しい。

図1：x² − 3x + 1 = 0 の解で見た、4 本の記事のつながり
図 1 は、4 本の記事の主な式と、$x^2-3x+1=0$ の解 $\alpha,\beta$ での値を並べたものである。解と係数の関係で $e_1,e_2$ が係数から分かり（1）、対称式はすべて $e_1,e_2$ で書け（2）、冪和 $\alpha^k+\beta^k$ は漸化式で順に計算でき（3）、その値 $3,7,18,47,123$ は、この方程式から作った行列の $k$ 乗のトレースとしても現れる（4）。

高校の計算と大学の概念

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉	詳しい記事
$\alpha+\beta=-\frac ba$、$\alpha\beta=\frac ca$	$n$ 次方程式の解と係数の関係	1 次式の積の展開と基本対称式	n次方程式の解と係数の関係
$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$	対称式を $e_1,\dots,e_n$ で表す	対称式の基本定理（存在と一意性）	対称式の基本定理（高校数学）
$x^2$ の係数が $1$ で係数が整数なら $\alpha^k+\beta^k$ は整数	整数係数の対称式の値	基本定理の系	対称式の基本定理（高校数学）
$\alpha^{k+1}+\beta^{k+1}$ を前の 2 つから求める	冪和の漸化式	Newton の恒等式	Newtonの恒等式（高校数学）
$x+y+z$ などの値から $x,y,z$ を求める	冪和による根の決定	Newton の恒等式の系	Newtonの恒等式（高校数学）
2×2 行列で $\lambda_1+\lambda_2=a+d$	固有値の和・積・冪和	トレース・行列式・$\mathrm{tr}(A^k)$	トレースと固有値

読む順番

n次方程式の解と係数の関係：2 次・3 次で展開して確かめてから、$(t-x_1)\cdots(t-x_n)$ の展開の項を「各因子から $t$ か $-x_i$ を選ぶ選び方」で数えて、$n$ 次の解と係数の関係を証明する。解を重複込みで数える必要があることも見る。
対称式の基本定理（高校数学）：どんな対称式も基本対称式の多項式としてただ 1 通りに書けることを、2 文字の例で先頭の項を順に消す手順を見てから証明する。整数係数の方程式の解の対称式が整数になることも示す。
Newtonの恒等式（高校数学）：冪和 $p_k=x_1^k+\cdots+x_n^k$ と基本対称式を結ぶ等式を証明し、冪和を順に計算する。冪和 $p_1,\dots,p_n$ から解が決まることと、数学オリンピックの問題（アメリカ数学オリンピック（1973 年）第 4 問）を扱う。

トレースと固有値：正方行列の固有値の和がトレース、積が行列式、$k$ 乗の和が $\mathrm{tr}(A^k)$ であることを、固有多項式に解と係数の関係を使って示す。数学オリンピックの問題（国際数学オリンピック（1988 年）第 4 問）を行列で見直す。
1 は 2・3・4 のすべての前提である。2 と 3 は順に読むとよい（3 は 2 の基本対称式の言葉を使う）。4 は 1 と 3 の結果を使う。
疑問から記事を探すときは、次の表を使うとよい。

疑問	答えのある記事
3 次や 4 次の方程式でも、解と係数の関係は成り立つか	n次方程式の解と係数の関係
重解があるとき、解の和はどう数えるか	n次方程式の解と係数の関係
どんな対称式も $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ で書けるのか。書き方は 1 通りか	対称式の基本定理（高校数学）
$\bigl(\frac{3+\sqrt5}2\bigr)^5$ がほとんど整数なのはなぜか	対称式の基本定理（高校数学）
$\alpha^{10}+\beta^{10}$ を楽に計算する方法はあるか	Newtonの恒等式（高校数学）
$x+y+z$、$x^2+y^2+z^2$、$x^3+y^3+z^3$ から $x,y,z$ は決まるか	Newtonの恒等式（高校数学）
行列の固有値の和が対角成分の和になるのはなぜか	トレースと固有値

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