Osgoodの補題

$k=0,1,\dots,n$ に対し $p^{(k)}:=(w_1,\dots,w_k,z_{k+1},\dots,z_n)$ とおくと、$p^{(0)}=z$、$p^{(n)}=w$ であり、各 $p^{(k)}$ は $\Delta(a,\rho)$ に属する。
$$ f(z)-f(w)=\sum_{k=1}^n\bigl(f(p^{(k-1)})-f(p^{(k)})\bigr) $$
であり、$p^{(k-1)}$ と $p^{(k)}$ は第 $k$ 座標だけが違う。$\varphi(t):=f(w_1,\dots,w_{k-1},t,z_{k+1},\dots,z_n)$ は円板 $|t-a_k|< R_k$ の上で正則で $|\varphi|\le M$ である。$|t-a_k|\le\rho_k$ となる $t$ では、中心 $t$、半径 $s< R_k-\rho_k$ の円板が $|t'-a_k|< R_k$ に含まれるので、Cauchyの積分公式 の命題「Cauchy の評価式」により $|\varphi'(t)|\le M/s$ であり、$s\to R_k-\rho_k$ として $|\varphi'(t)|\le M/(R_k-\rho_k)$ を得る。$z_k$ と $w_k$ を結ぶ線分は閉円板 $|t-a_k|\le\rho_k$ に含まれるので、
$$ |\varphi(z_k)-\varphi(w_k)|=\Bigl|\int_0^1\varphi'\bigl(w_k+s(z_k-w_k)\bigr)(z_k-w_k)\,ds\Bigr|\le\frac{M|z_k-w_k|}{R_k-\rho_k} $$
である。これを $k=1,\dots,n$ について足せばよい。$\Delta(a,R)$ の各点は、ある $\rho$ について $\Delta(a,\rho)$ に属するので、$f$ は連続である。$\square$

1。 $x\in U$ をとり、$|f|$ が有界になる $x$ の近傍の中に多重円板 $\Delta(x,R)$ をとる。lem-osgood-lipschitz により $f$ は $\Delta(x,R)$ 上で連続である。$x$ は任意なので $f$ は $U$ 上で連続である。
2。 $z\in\Delta(a,r)$ を固定する。$0\le k< n$ と、$|\zeta_j-a_j|\le r_j$（$j\le k$）を満たす $\zeta_1,\dots,\zeta_k$ に対し、1 変数の関数 $\psi(w):=f(\zeta_1,\dots,\zeta_k,w,z_{k+2},\dots,z_n)$ を考える。$|w-a_{k+1}|\le r_{k+1}$ なら変数の点は $\overline{\Delta}(a,r)\subset U$ に属するので、$\psi$ が定義される開集合は閉円板 $|w-a_{k+1}|\le r_{k+1}$ を含み、仮定から $\psi$ はその上で正則である。Cauchyの積分公式 の定理「円板に対する Cauchy の積分公式」により
$$ f(\zeta_1,\dots,\zeta_k,z_{k+1},\dots,z_n)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta_{k+1}-a_{k+1}|=r_{k+1}}\frac{f(\zeta_1,\dots,\zeta_{k+1},z_{k+2},\dots,z_n)}{\zeta_{k+1}-z_{k+1}}\,d\zeta_{k+1} $$
である。$k=0$ の式の被積分関数に $k=1$ の式を代入し、以下 $k=n-1$ まで順に代入すると、$f(z)$ は円周の上の $n$ 重の逐次積分で表される。1 により被積分関数 $f(\zeta)\prod_j(\zeta_j-z_j)^{-1}$ は $T(a,r)$ 上で連続なので、媒介変数で書いた $[0,2\pi]^n$ 上の連続関数の逐次積分は重積分に等しく、2 の式を得る。
3。 $M:=\max_{T(a,r)}|f|$ とし、$K\subset\Delta(a,r)$ をコンパクト集合、$q_j:=\max_{z\in K}|z_j-a_j|/r_j<1$ とする。$\zeta\in T(a,r)$、$z\in K$ では等比級数により
$$ \prod_{j=1}^n\frac1{\zeta_j-z_j}=\sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n}\frac{(z-a)^\alpha}{(\zeta-a)^{\alpha+\mathbf 1}},\qquad\Bigl|\frac{(z-a)^\alpha}{(\zeta-a)^{\alpha+\mathbf 1}}\Bigr|\le\frac{q^\alpha}{r_1\cdots r_n} $$
であり、$\sum_\alpha q^\alpha=\prod_j(1-q_j)^{-1}<\infty$ なので級数は $T(a,r)\times K$ 上で一様に絶対収束する。2 の式に代入して項別に積分すると $f(z)=\sum_\alpha c_\alpha(z-a)^\alpha$ を得る。$T(a,r)$ 上で $|f(\zeta)(\zeta-a)^{-\alpha-\mathbf 1}\prod_j(i(\zeta_j-a_j))|\le Mr^{-\alpha}$ なので $|c_\alpha|\le Mr^{-\alpha}$ であり、$\sup_K|c_\alpha(z-a)^\alpha|\le Mq^\alpha$ だから級数は $K$ 上で正規収束する。
最後に、$U$ の各点 $a$ は $U$ に含まれる閉多重円板の中心になるので、3 により $f$ は定義の意味で正則である。$\square$

正則関数は連続（多変数の正則関数 の定理「正則性の言い換え」）なので局所有界で、各変数について正則である。逆は thm-osgood-main である。$\square$

連続性。 $z^0\in U$ と、$U$ に含まれる閉多重円板 $P$ で $z^0$ を内部に含むものをとる。$\varphi$ はコンパクト集合 $P\times[0,1]$ の上で一様連続なので、$z\to z^0$ のとき $\sup_t|\varphi(z,t)-\varphi(z^0,t)|\to0$ であり、$F(z)\to F(z^0)$ である。
各変数についての正則性。 $z_j$ 以外の変数を止め、$G(w):=F(z_1,\dots,w,\dots,z_n)=\int_0^1\psi(w,t)\,dt$（$\psi(w,t):=\varphi(z_1,\dots,w,\dots,z_n,t)$）を、$G$ が定義される開集合 $W\subset\mathbb{C}$ の上で考える。$G$ は連続である。$W$ に含まれる開円板 $B$ と、$B$ に含まれる三角形 $\tau$ をとる。$\psi$ は $\partial\tau\times[0,1]$ の上で連続なので、媒介変数で書いた積分の順序を交換でき、
$$ \oint_{\partial\tau}G(w)\,dw=\int_0^1\Bigl(\oint_{\partial\tau}\psi(w,t)\,dw\Bigr)dt=0 $$
である（各 $t$ で $\psi(\cdot,t)$ は $B$ 上で正則なので、内側の積分は Cauchyの積分定理 により $0$）。Cauchyの積分公式 の定理「Morera の定理」により $G$ は $B$ 上で正則であり、$B$ は任意なので $W$ 上で正則である。
以上から $F$ は連続で各変数について正則であり、thm-osgood-main により正則である。$\square$