表現可能関手(豊穣圏)

同義語：豊穣表現可能関手

概要

表現可能関手(豊穣圏)（enriched representable functor）とは、Hom対象による関手と豊穣自然同型になる関手である。普遍元による判定、表現の一意性、集合の場合への帰着と∞圏への接続を説明する。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 表現可能関手, モノイダル圏, 豊穣圏, 関手(豊穣圏), 自然変換(豊穣圏)

定義

$\mathcal V$ を局所小な対称モノイダル閉圏（モノイダル圏）とする。内部Hom $[U,V]$ は $\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T,[U,V])\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T\otimes U,V)$ を満たす。$\mathcal A$ はHom対象・結合的な合成・単位を持つ $\mathcal V$-豊穣圏である。
豊穣前層（前層(豊穣圏)）$P:\mathcal A^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$ は、各 $x$ に $P(x)$ を割り当て、作用 $\mathcal A(x,y)\otimes P(y)\to P(x)$ を持つ。この作用は合成・単位と両立する。これは豊穣関手（関手(豊穣圏)）$\mathcal A^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$ を作用の言葉で言い換えたものである。

豊穣表現可能関手

豊穣前層 $P$ が表現可能であるとは、対象 $a\in\mathcal A$ と豊穣自然同型（可逆な自然変換(豊穣圏)。通常の自然同型の豊穣版）
$$\phi_x:\mathcal A(x,a)\xrightarrow{\cong}P(x)$$
が存在することをいう。$(a,\phi)$ を表現と呼ぶ。豊穣自然性は、$\mathcal A(x,y)\otimes\mathcal A(y,a)$ から $P(x)$ へ、先に合成する経路と $\phi_y$ を施して作用させる経路が一致することである。
共変関手 $Q:\mathcal A\to\mathcal V$ の場合は、$\mathcal A(a,x)\cong Q(x)$ という豊穣自然同型で表現可能性を定義する。

同型は基礎圏 $\mathcal V$ 内で要求する。単位対象 $I$ からの元の集合の全単射で代用しない。Kel82 §§1.6, 1.9–1.10。

直感

対象 $a$ は、他の対象 $x$ からどう観測されるかというデータ $\mathcal A(x,a)$ を持つ。表現可能性は、与えられた観測データ $P$ がこの形で一つの対象から得られることを意味する。豊穣版では観測結果の加法や単体的構造も回復しなければならない。
通常の表現可能関手は集合の全単射で観測を同定する。豊穣版はそれをHom対象の同型へ強めた定義である。

例

集合値関手

$\mathcal V=\mathbf{Set}$ なら通常の表現可能な前層（前層(圏論)）である。例えば集合 $A$ に対する $X\mapsto\operatorname{Hom}(X,A)$ は、対象 $A$ で表現される。

加群のHom

可換環 $R$ の加群圏を $R$-加群で豊穣化する。固定した $M$ に対する $P(N)=\operatorname{Hom}_R(N,M)$ は $R$-加群値の表現可能前層である。作用は前合成で、表現は $M$ そのものである。

一対象の環

単位的環 $R$ を一対象の $\mathbf{Ab}$-豊穣圏とすると、反変豊穣関手は右 $R$-加群に対応する。唯一の対象で表現される前層は正則右加群（正則加群）$R_R$ である。従ってこの添字圏上で表現可能な右加群は、右 $R$-加群として $R_R$ と同型なものに限る。

反例：頂点の集合が合っても表現可能ではない

$\mathcal V=\mathrm{sSet}$（単体的集合の圏）、$\mathcal A$ を一対象でHomが $\Delta^0$ の単体的圏とする。表現可能前層の値は $\Delta^0$ である。非自明な群 $G$ の脈体 $BG$ を値とする前層 $P$ は、頂点の集合が一点でも $\Delta^0$ と同型ではない。台圏上の頂点集合値の関手は表現可能でも、元の単体的前層は豊穣表現可能とは限らない。

普遍元による記述

豊穣普遍元の判定

$u:I\to P(a)$ から、作用を使って
$$ \theta_x:\mathcal A(x,a)\cong\mathcal A(x,a)\otimes I \xrightarrow{1\otimes u}\mathcal A(x,a)\otimes P(a)\to P(x) $$
を作る。これは豊穣自然変換であり、すべての $\theta_x$ が $\mathcal V$ の同型になることが、この $u$ が表現を与える条件である。この条件を満たす $u$ が、通常の普遍要素の豊穣版である。Kel82 §§1.9–1.10。

作用と単位

$\theta$ の自然性は $P$ の作用の結合律から従う。逆に豊穣自然変換 $\phi:\mathcal A(-,a)\to P$ があれば、$u=\phi_a j_a$ と置く。$\phi$ の自然性に恒等射 $j_a$ を挿入し、合成の単位律を使うと $\phi_x=\theta_x$ となる。これはHom対象からの射の等式であり、元の集合だけを調べた証明ではない。各成分が同型なら豊穣自然同型を得る。

表現対象の一意性

二つの表現 $(a,\phi)$ と $(b,\psi)$ は、表現との対応を保つ台圏の一意な同型によって比較できる。Kel82 §1.10。

表現可能前層間の変換

$\psi^{-1}\phi:\mathcal A(-,a)\to\mathcal A(-,b)$ に前の構成を適用すると、これは一意の射 $f:a\to b$ による後合成である。逆の自然同型から $g:b\to a$ を得る。合成が恒等変換になることを単位で評価すれば $gf=1_a,fg=1_b$ である。一意性も単位での評価から従う。

米田・重み付き極限との関係

$\mathcal V$ が完備で $\mathcal A$ が小さければ、豊穣前層圏の自然変換対象をエンド(豊穣圏)で作れる。豊穣米田の補題（米田の補題(豊穣圏)）は
$$[\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V](\mathcal A(-,a),P)\cong P(a)$$
と述べる。これにより、表現可能な重みによる重み付き極限・余極限（重み付き極限(豊穣圏)）が対象での評価へ簡約される。Kel82 §§2.4, 3.1。
一般の豊穣前層について、台圏の通常の要素の圏に始対象・終対象があるという集合レベルの条件だけでは、Hom対象の同型を保証できない。上の普遍元から得る $\theta_x$ を基礎圏で判定する。

∞圏への接続

単体的圏での厳密な表現可能性は、単体的前層とHom前層との自然同型を要求する。∞圏版では、空間値前層と写像空間（写像空間(∞圏)）の前層との自然な同値を要求するため、厳密な同型とは区別する。
局所Kanな単体的圏、モデル圏のbifibrant部分圏、単体的局所化を用いる表示では、適切な導来写像空間を取って比較する。単体的前層と空間値前層の比較、および∞圏の米田埋め込みは HTT09 §§2.2, 5.1.3 による。

関連項目

参考文献

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