局所閉集合

条件 (i) ⇒ (ii)：$Z=U\cap F$ とする。$F$ は $Z$ を含む閉集合なので $\overline{Z}\subset F$ であり、$U\cap\overline{Z}\subset U\cap F=Z\subset U\cap\overline{Z}$ となる。よって $Z=U\cap\overline{Z}$ は $\overline{Z}$ の開集合である。
条件 (ii) ⇒ (iii)：$Z=\overline{Z}\cap U$ となる $X$ の開集合 $U$ がある。このとき $\overline{Z}\setminus Z=\overline{Z}\cap(X\setminus U)$ は 2 つの閉集合の共通部分なので閉である。
条件 (iii) ⇒ (iv)：$U_Z:=X\setminus(\overline{Z}\setminus Z)$ は開集合であり、$U_Z\cap\overline{Z}=\overline{Z}\setminus(\overline{Z}\setminus Z)=Z$ である。よって $Z$ は $U_Z$ の閉集合 $U_Z\cap\overline{Z}$ に等しい。
条件 (iv) ⇒ (v)：すべての点 $z$ について $V:=U$ ととればよい。
条件 (v) ⇒ (i)：各 $z\in Z$ について条件 (v) の開近傍 $V_z$ を選び、開集合 $W:=\bigcup_{z\in Z}V_z$ をおく。$Z=W\cap\overline{Z}$ を示せば (i) が従う。$Z\subset W\cap\overline{Z}$ は明らかである。逆に $y\in W\cap\overline{Z}$ とし、$y\in V_z$ となる $z$ をとる。$y$ の任意の開近傍 $G$ について $G\cap V_z$ も $y$ の開近傍なので $Z$ と交わり、したがって $G$ は $Z\cap V_z$ と交わる。よって $y$ は $Z\cap V_z$ の閉包に属し、$y\in V_z$ だから、$V_z$ の中での $Z\cap V_z$ の閉包に属する。$Z\cap V_z$ は $V_z$ で閉なので $y\in Z\cap V_z\subset Z$ である。
最後の主張：$Z$ が局所閉なら (iii) により $U_Z$ は開集合で、上で見たとおり $Z=U_Z\cap\overline{Z}$ は $U_Z$ の閉集合である。$Z$ が開集合 $U$ の閉集合なら、$U$ での $Z$ の閉包 $U\cap\overline{Z}$ は $Z$ に等しいので $U\cap(\overline{Z}\setminus Z)=\emptyset$、すなわち $U\subset U_Z$ である。$\square$

1．$Z_j=U_j\cap F_j$（$j=1,\dots,n$）なら、$\bigcap_jZ_j=\bigl(\bigcap_jU_j\bigr)\cap\bigl(\bigcap_jF_j\bigr)$ は開集合と閉集合の共通部分である。
2．$Z=U\cap F$ なら $f^{-1}(Z)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(F)$ であり、連続性により $f^{-1}(U)$ は開、$f^{-1}(F)$ は閉である。
3．包含写像 $Y\to X$ は連続なので、2 による。
4．$Z=Y\cap U'\cap F'$（$U'$ は $X$ の開集合、$F'$ は $X$ の閉集合。$Y$ の開集合・閉集合は $X$ の開集合・閉集合と $Y$ の共通部分である）、$Y=U\cap F$ と書くと、$Z=(U\cap U')\cap(F\cap F')$ である。
5．$z\in Z$ をとり、$z\in V_i$ となる $i$ を選ぶ。$Z\cap V_i$ は $V_i$ で局所閉なので、prop-locally-closed-subset-equivalent の条件 (v) を空間 $V_i$ に使うと、$V_i$ の開集合 $W\ni z$ で $Z\cap W$ が $W$ の閉集合になるものがある。$V_i$ は開なので $W$ は $X$ の開集合でもある。したがって $X$ で条件 (v) が成り立ち、$Z$ は局所閉である。$\square$

要点：開写像は近傍を近傍に写すので、閉包をとる操作と逆像が交換する（1）。すると prop-locally-closed-subset-equivalent の条件 (iii) の閉集合 $\overline{T}\setminus T$ の逆像が $\overline{f^{-1}(T)}\setminus f^{-1}(T)$ になり、全射な開写像では「逆像が開（閉）なら元の集合も開（閉）」なので、局所閉性が $Y$ へ降りる（2）。

1．$x\notin U\cap F$ なら、$x\notin U$ であるか、$x\in U$ かつ $x\notin F$ であり、この 2 つの場合は互いに排反である。$U\cap(X\setminus F)$ は開集合の共通部分なので開集合であり、とくに局所閉である。
2．和で閉じていることは定義から明らかである。共通部分については、$\bigl(\bigcup_iL_i\bigr)\cap\bigl(\bigcup_jM_j\bigr)=\bigcup_{i,j}(L_i\cap M_j)$ で、$L_i\cap M_j$ は prop-locally-closed-subset-operations の 1 により局所閉である。補集合については、$X\setminus\bigcup_{i=1}^nL_i=\bigcap_{i=1}^n(X\setminus L_i)$ であり、1 により各 $X\setminus L_i$ は $\mathcal{E}(X)$ に属する（閉集合も局所閉である）から、共通部分で閉じていることにより右辺も $\mathcal{E}(X)$ に属する（$n=0$ なら右辺は $X$ で、$X$ は開集合である）。
最小性：すべての開集合を含み、有限個の共通部分と補集合で閉じた族 $\mathcal{B}$ をとる。$\mathcal{B}$ は開集合の補集合として閉集合を含み、共通部分として局所閉集合 $U\cap F$ を含む。$A,B\in\mathcal{B}$ なら $A\cup B=X\setminus\bigl((X\setminus A)\cap(X\setminus B)\bigr)\in\mathcal{B}$ なので、局所閉集合の有限和も $\mathcal{B}$ に属する。よって $\mathcal{E}(X)\subset\mathcal{B}$ である。$\mathcal{E}(X)$ 自身がこの性質をもつことは前段で示した。
3．$E=L_1\cup\cdots\cup L_n$（$L_i$ は局所閉）とし、$E_j:=L_j\setminus(L_1\cup\cdots\cup L_{j-1})$ とおくと、$E=E_1\sqcup\cdots\sqcup E_n$ は非交和である。各 $E_j$ が互いに交わらない局所閉集合の有限和であることを示せばよい。1 により $X\setminus L_i=A_i\sqcup B_i$（$A_i,B_i$ は局所閉）と書けるので、
$$ E_j=L_j\cap\bigcap_{i< j}(A_i\sqcup B_i)=\bigsqcup_{(C_1,\dots,C_{j-1})}\bigl(L_j\cap C_1\cap\cdots\cap C_{j-1}\bigr) $$
である。ここで和は各 $C_i\in\{A_i,B_i\}$ の選び方すべてにわたり、選び方が違えばある $i$ で $A_i$ と $B_i$ が分かれるので、各項は互いに交わらない。各項は局所閉集合の有限個の共通部分なので局所閉である。$\square$

1．稠密な局所閉集合 $Z$ は、prop-locally-closed-subset-equivalent の条件 (ii) により $\overline{Z}=X$ の開集合であり、$X$ は空でないので $Z$ も空でない。既約空間では逆に、空でない開集合はどれも稠密である（既約空間 の記事の命題「既約性の同値条件」）。
2．条件 (ii) を $Z=\{p\}$ に使えばよい。$\square$

これは 局所コンパクト空間 の記事の定理「局所コンパクトな部分空間の特徴づけ」である。要点：局所閉なら $A$ は閉集合 $\overline{A}$（局所コンパクト）の開集合（局所コンパクト）である。逆に $A$ が局所コンパクトなら、各点 $x\in A$ の $A$ でのコンパクト近傍 $K$ は Hausdorff 空間の中で閉なので、$x$ の開近傍 $U$ で $U\cap\overline{A}\subset K\subset A$ となるものがとれ、$A$ は $\overline{A}$ の開集合になる。$\square$