ホモトピー固定点

1：$g(g_0,\dots,g_n)=(g_0,\dots,g_n)$ なら $gg_0=g_0$ なので $g=e$ である。2：単体的集合 $K$ から $EG$ への写像は、頂点の写像 $K_0\to G$ と一対一に対応する。実際、写像 $f$ と $x\in K_m$ について、$f(x)\in G^{m+1}$ の $i$ 番目の成分は $x$ の $i$ 番目の頂点の像であり、逆に任意の $K_0\to G$ はこの式で写像を定める。$n\ge1$ なら $\partial\Delta^n$ と $\Delta^n$ は同じ頂点をもつので、$\partial\Delta^n\to EG$ は $\Delta^n$ にただ一通りに延びる。$n=0$ なら $\emptyset\to\Delta^0$ に沿う延長は $EG$ の頂点を 1 つ選べばよい（$G\ne\emptyset$）。よって $EG\to\Delta^0$ は境界の包含 $\partial\Delta^n\subset\Delta^n$ すべてに対して右持ち上げ性質をもち、自明 Kan ファイブレーションである（Kan–Quillenモデル構造 の定理「Kan–Quillen モデル構造」の 1）。自明 Kan ファイブレーションは Kan ファイブレーションかつ弱同値である。

要点：1 は「$G$ 写像は $e$ での値で決まる」ことであり、2 は非退化単体の軌道がどれも $G$ と同じ形になることによる。

$P_n(X):=\operatorname{Map}_G(\operatorname{sk}_nE,X)$ とおく（$P_{-1}(X)=\operatorname{Map}_G(\emptyset,X)=\Delta^0$）。$\operatorname{Map}_G(-,X)$ は余極限を極限に送るので、lem-hfp-free-cells の 2 の押し出しは、1 の同型と合わせて引き戻しの正方形
$$ \begin{array}{ccc} P_n(X)&\longrightarrow&\prod_{R_n}\operatorname{Map}(\Delta^n,X)\\ \downarrow{\scriptstyle p_n}&&\downarrow{\scriptstyle\rho}\\ P_{n-1}(X)&\longrightarrow&\prod_{R_n}\operatorname{Map}(\partial\Delta^n,X) \end{array} $$
を与え、$\operatorname{Map}_G(E,X)\cong\lim_nP_n(X)$ である。$\rho$ は制限の写像の積である。$X$ が Kan 複体なので、各制限 $\operatorname{Map}(\Delta^n,X)\to\operatorname{Map}(\partial\Delta^n,X)$ は Kan ファイブレーションであり（Kan–Quillenモデル構造 の系「単体的モデル構造」の 2）、Kan ファイブレーションは積と引き戻しで閉じる（Kanファイブレーション の定理「閉包性」）。よって $\rho$ と $p_n$ は Kan ファイブレーションであり、塔 $(P_n(X))_{n\ge0}$ はファイブラントである（$P_0(X)\to P_{-1}(X)=\Delta^0$ も Kan ファイブレーション）。極限は右 Quillen 関手なので、$\operatorname{Map}_G(E,X)$ は Kan 複体である。これが 1 である。
2：$f$ は塔の間の写像 $P_n(X)\to P_n(Y)$ を誘導する。これがすべての $n$ で弱同値であることを $n$ の帰納法で示す。$n=-1$ では恒等写像である。$n\ge0$ のとき、上の正方形の右の二つの頂点の間の写像
$$ \prod_{R_n}\operatorname{Map}(\Delta^n,X)\to\prod_{R_n}\operatorname{Map}(\Delta^n,Y),\qquad \prod_{R_n}\operatorname{Map}(\partial\Delta^n,X)\to\prod_{R_n}\operatorname{Map}(\partial\Delta^n,Y) $$
は、単体的モデル圏 の系「写像空間の弱同値不変性」の 1（$\mathbf{sSet}$ で、すべての単体的集合はコファイブラント）により各成分が Kan 複体の間の弱同値なので、積も弱同値である。帰納法の仮定により $P_{n-1}(X)\to P_{n-1}(Y)$ も弱同値である。$\mathbf{sSet}$ は右固有であり（HTT09 §A.2.7、p. 828）、二つのコスパンの右の脚 $\rho$ は Kan ファイブレーションなので、ホモトピー極限 の定理「引き戻しの貼り合わせ補題」により、引き戻しの間の写像 $P_n(X)\to P_n(Y)$ は弱同値である。こうして $f$ はファイブラントな塔の間の各段の弱同値を誘導するので、極限の間の写像 $\operatorname{Map}_G(E,X)\to\operatorname{Map}_G(E,Y)$ は弱同値である。最後の主張は lem-hfp-eg の 1 による。

右の写像を考える（左は $E$ と $E'$ を入れ替えれば同じである）。$\operatorname{Map}(E,X)$ に、$m$ 単体 $u\colon E\times\Delta^m\to X$ を $g\circ u\circ(g^{-1}\times\mathrm{id})$ に送る作用を入れる。指数法則 $\operatorname{Hom}(E\times W,X)\cong\operatorname{Hom}(W,\operatorname{Map}(E,X))$（Kan–Quillenモデル構造 の補題「写像の単体的集合と積の随伴」）を $W=E'\times\Delta^n$ に当てる。$\varphi\colon E\times E'\times\Delta^n\to X$ に対応する $\psi\colon E'\times\Delta^n\to\operatorname{Map}(E,X)$ について、$g^{-1}\circ\varphi\circ(g\times g\times\mathrm{id})$ に対応するのは $(g^{-1}\cdot{-})\circ\psi\circ(g\times\mathrm{id})$ である（指数法則は三つの変数について自然である）。よって $\varphi$ が $G$ 写像であることと $\psi$ が $G$ 写像であることは同値で、同型
$$ \operatorname{Map}_G(E\times E',X)\cong\operatorname{Map}_G\bigl(E',\operatorname{Map}(E,X)\bigr) $$
を得る。$\varphi=x'\circ\mathrm{pr}_{E'\times\Delta^n}$ のとき $\psi=c\circ x'$ である。ここで $c\colon X\to\operatorname{Map}(E,X)$ は $E\to\Delta^0$ が誘導する定値写像の埋め込みで、$g\circ c(x)\circ(g^{-1}\times\mathrm{id})=c(gx)$ なので $G$ 写像である。したがって右の写像は $c_*\colon\operatorname{Map}_G(E',X)\to\operatorname{Map}_G(E',\operatorname{Map}(E,X))$ と同一視される。$\operatorname{Map}(E,X)$ は Kan 複体であり（Kan–Quillenモデル構造 の系「単体的モデル構造」の 2）、$E\to\Delta^0$ はコファイブラント対象の間の弱同値なので、単体的モデル圏 の系「写像空間の弱同値不変性」の 2 により $c\colon X=\operatorname{Map}(\Delta^0,X)\to\operatorname{Map}(E,X)$ は弱同値である。$E'$ は自由なので、thm-hfp-invariance により $c_*$ は弱同値である。

作用が自明なので、$G$ 写像 $E\times\Delta^n\to X$ は軌道の上で一定な写像、すなわち $(E\times\Delta^n)/G\to X$ と同じである。$G$ は $\Delta^n$ に自明に作用するので、次数ごとに $(E_m\times\Delta^n_m)/G=(E_m/G)\times\Delta^n_m$ であり、$(E\times\Delta^n)/G\cong(E/G)\times\Delta^n$ となる。$EG/G$ については、$[g_0,\dots,g_n]\mapsto(g_0^{-1}g_1,g_1^{-1}g_2,\dots,g_{n-1}^{-1}g_n)$ が全単射 $G^{n+1}/G\to G^n$ であり、この対応で $d_0$ は最初の成分を、$d_n$ は最後の成分を除き、$0< i< n$ の $d_i$ は隣り合う成分 $(h_i,h_{i+1})$ を積 $h_ih_{i+1}$ に替える。これは反対群 $G^{\mathrm{op}}$（積 $h\cdot_{\mathrm{op}}h'=h'h$）を対象 1 つの圏とみたときの脈体であり、群の同型 $G^{\mathrm{op}}\cong G$、$h\mapsto h^{-1}$ を通して $G$ の脈体 $BG$ と同型である。

定値単体的集合への写像は、辺の両端で同じ値をとる（辺 $z$ について $f(d_0z)=d_0f(z)=f(z)=d_1f(z)=f(d_1z)$）ので、連結成分の上で一定である。$EG\times\Delta^n$ は連結である（$EG$ の二頂点 $g,g'$ は辺 $(g,g')$ で結ばれ、$\Delta^n$ も連結）。よって $G$ 写像 $EG\times\Delta^n\to X$ は一点 $x$ への定値写像で、$G$ 写像であることは $gx=x$（すべての $g$）と同値である。こうして $X^{hG}$ の $n$ 単体は $X^G$ の点と一対一に対応し、この対応は比較写像の逆である。