放物型偏微分方程式
概要
放物型偏微分方程式（parabolic partial differential equation）とは、各時刻で空間の変数について楕円型の 2 階線形作用素 $L$ を用いて $u_t+Lu=f$ と書かれる発展方程式であり、熱方程式がその代表である。有界な領域では、2 階の係数が半正定値で $c\ge0$ なら解の最大値は放物境界での正の部分の最大値以下である（$c=0$ なら放物境界で最大値をとる）という弱最大値原理が成り立ち、初期境界値問題の古典解は一意である。発散形ではエネルギー評価からデータへの連続な依存が従い、一様放物型なら弱解がただ 1 つ存在し、領域・係数・右辺が滑らかなら正の時刻で滑らかになる。
放物型偏微分方程式（parabolic partial differential equation）は、時間 $t$ について 1 階、空間の変数 $x$ について楕円型の 2 階の作用素をもつ発展方程式
$$
u_t+Lu=f
$$
である。熱方程式 $u_t=\Delta u$ がその代表で、場所や時刻によって熱の伝わりやすさが変わる拡散、流れに乗って運ばれながら広がる物質の濃度、確率過程の分布の時間変化などを記述する。楕円型偏微分方程式 が時間が経ったあとの釣り合いを表すのに対し、放物型の方程式は釣り合いへ向かう途中の変化を表し、時間が十分経って変化が止まった解は楕円型の方程式を満たす。
この記事では、楕円型の場合と同じ 2 階の線形作用素 $L$ について放物型の方程式を定義し、熱方程式で見られる性質のうち、最大値原理と、エネルギーによる一意性と安定性を、係数が一般の場合に証明する。さらに、弱解の存在と一意性（Lions の定理）を有限次元の近似から証明し、熱方程式について $L^2$ の初期値に対する最大値原理を示す。正の時刻での平滑化は引用する。
定義
以下、$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を空でない開集合、$T>0$、$Q_T:=\Omega\times(0,T]$ とし、関数はすべて実数値とする。$a^{ij},b^i,c$（$1\le i,j\le n$）を $Q_T$ の上の関数とする。
各時刻 $t$ で空間の変数に作用する作用素
$$
Lu:=-\sum_{i,j=1}^na^{ij}(x,t)\,\partial_i\partial_ju+\sum_{i=1}^nb^i(x,t)\,\partial_iu+c(x,t)\,u\qquad(1)
$$
（非発散形）、または
$$
Lu:=-\sum_{i,j=1}^n\partial_j\bigl(a^{ij}(x,t)\,\partial_iu\bigr)+\sum_{i=1}^nb^i(x,t)\,\partial_iu+c(x,t)\,u\qquad(2)
$$
（発散形）について、方程式 $u_t+Lu=f$ を考える（$\partial_i=\partial/\partial x_i$）。$a^{ij}=a^{ji}$ とする。各点 $(x,t)\in Q_T$ で行列 $(a^{ij}(x,t))$ が正定値のとき、この方程式は 放物型 であるという。さらに定数 $\theta>0$ があって
$$
\sum_{i,j=1}^na^{ij}(x,t)\,\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2\qquad((x,t)\in Q_T,\ \xi\in\mathbb{R}^n)\qquad(3)
$$
が成り立つとき、一様放物型 であるという。
各時刻を止めると、$L$ は 楕円型偏微分方程式 の定義「2 階の線形楕円型偏微分方程式」の作用素そのものである。$a^{ij}=\delta_{ij}$、$b=0$、$c=0$ なら $u_t+Lu=u_t-\Delta u$ で、熱方程式になる。変数 $(x,t)$ の 2 階の係数行列は時間の方向に退化しているので、偏微分方程式 の節「2 階線形方程式の型」の分類でも放物型にあたる。符号を変えた $u_t-Lu=0$ は時間を逆向きにした方程式で、$s=T-t$ と置き換えれば $u_s+Lu=0$ の形になる。
- 熱方程式 $u_t=\Delta u$：$\theta=1$ で一様放物型である。
- 変化する伝導率の拡散 $u_t=\operatorname{div}(k(x,t)\nabla u)$：発散形 (2) で $a^{ij}=k\,\delta_{ij}$ とおいたもので、$k\ge\theta>0$ なら一様放物型である。
- 移流のある拡散 $u_t=\frac{\sigma^2}2u_{xx}+\mu u_x$（$n=1$、$\sigma>0$、$\mu\in\mathbb{R}$）：$a=\sigma^2/2$、$b=-\mu$、$c=0$ である。$v(x,t):=u(x-\mu t,t)$ とおくと $v_t=\frac{\sigma^2}2v_{xx}$ となり、流れとともに動く座標では熱方程式に戻る。
- 吸収のある拡散 $u_t=\Delta u-c(x)u$（$c\ge0$）：物質が場所によって消費される割合を $c$ で表す。
$\sigma>0$、$r\in\mathbb{R}$ とし、$S>0$、$t< T$ の関数 $V(S,t)$ の方程式
$$
V_t+\frac{\sigma^2}2S^2V_{SS}+rSV_S-rV=0
$$
を考える（金融で使われる Black–Scholes 方程式）。$S$ の係数 $\frac{\sigma^2}2S^2$ は $S\to0$ で $0$ に近づき、時間の向きも逆である。$x=\log S$、$\tau=T-t$、$V(S,t)=W(x,\tau)$ とおくと
$$
W_\tau=\frac{\sigma^2}2W_{xx}+\Bigl(r-\frac{\sigma^2}2\Bigr)W_x-rW
$$
となり、定数係数の一様放物型の方程式（$a=\sigma^2/2$、$b=-(r-\sigma^2/2)$、$c=r$）になる。さらに $\alpha:=\frac12-\frac r{\sigma^2}$、$\beta:=-\frac{\sigma^2}2\alpha^2-r$ として $W=e^{\alpha x+\beta\tau}U$ とおくと、$U_\tau=\frac{\sigma^2}2U_{xx}$ となる。
計算を開く
$S\partial_S=\partial_x$ なので $SV_S=W_x$、$S^2V_{SS}=W_{xx}-W_x$、$V_t=-W_\tau$ である。代入すると $-W_\tau+\frac{\sigma^2}2(W_{xx}-W_x)+rW_x-rW=0$ で、上の式になる。次に $W=e^{\alpha x+\beta\tau}U$ を代入して $e^{\alpha x+\beta\tau}$ で割ると
$$\beta U+U_\tau=\frac{\sigma^2}2\bigl(\alpha^2U+2\alpha U_x+U_{xx}\bigr)+\Bigl(r-\frac{\sigma^2}2\Bigr)(\alpha U+U_x)-rU$$
である。$U_x$ の係数は $\sigma^2\alpha+r-\frac{\sigma^2}2=0$、$U$ の係数は $\frac{\sigma^2}2\alpha^2+(r-\frac{\sigma^2}2)\alpha-r-\beta=\frac{\sigma^2}2\alpha^2-\sigma^2\alpha^2-r-\beta=0$ なので、$U_\tau=\frac{\sigma^2}2U_{xx}$ が残る。
初期境界値問題と最大値原理
$\Omega$ が有界なとき、$Q_T$ の 放物境界 を $\Gamma_T:=(\overline\Omega\times\{0\})\cup(\partial\Omega\times[0,T])$ とする（熱方程式 の節「最大値原理と一意性」と同じ）。与えられた $f$、初期値 $u_0$、境界値 $g$ について
$$
u_t+Lu=f\ \ (Q_T),\qquad u=g\ \ (\partial\Omega\times[0,T]),\qquad u(\cdot,0)=u_0\ \ (\Omega)
$$
を Dirichlet 条件の初期境界値問題 という。$u$ が $\overline\Omega\times[0,T]$ で連続で、$Q_T$ で $u_t$ と $\partial_i\partial_ju$ が存在して連続であり（$t=T$ での $u_t$ は左からの微分係数）、各点で方程式を満たすとき 古典解 という。最大値原理は非発散形 (1) について述べる。
$\Omega$ を有界な開集合とし、各点で $(a^{ij}(x,t))$ が対称で半正定値であるとする（$b^i,c$ は $Q_T$ の上の任意の関数でよい）。$u$ が古典解の正則性をもち、$Q_T$ で $u_t+Lu\le0$ を満たすとする。
- $c\equiv0$ なら $\displaystyle\max_{\overline\Omega\times[0,T]}u=\max_{\Gamma_T}u$ である。
- $c\ge0$ なら $\displaystyle\max_{\overline\Omega\times[0,T]}u\le\max_{\Gamma_T}u^+$ である（$u^+:=\max(u,0)$）。
$\varepsilon>0$ とし、$v:=u-\varepsilon t$ とおく。$L$ を定数 $\varepsilon t$（$x$ について定数）に当てると $c\,\varepsilon t$ なので、$Q_T$ で
$$
v_t+Lv=(u_t+Lu)-\varepsilon-c\,\varepsilon t\le-\varepsilon< 0
$$
である（1 では $c=0$、2 では $c\ge0$ と $t\ge0$ を使う）。$v$ がコンパクト集合 $\overline\Omega\times[0,T]$ での最大値を $\Gamma_T$ の外の点 $(x_0,t_0)$ でとったとする。$x_0\in\Omega$、$0< t_0\le T$ で、左からの差分商から $v_t(x_0,t_0)\ge0$ である。$x\mapsto v(x,t_0)$ は内点 $x_0$ で最大なので、楕円型偏微分方程式 の補題「内部の最大点での符号」により $\nabla v(x_0,t_0)=0$、$\sum_{i,j}a^{ij}\partial_i\partial_jv(x_0,t_0)\le0$ である。
1．このとき $(v_t+Lv)(x_0,t_0)\ge0$ で矛盾する。よって $\max v=\max_{\Gamma_T}v$ で、$\max u\le\max v+\varepsilon T\le\max_{\Gamma_T}u+\varepsilon T$ である。
2．最大値 $v(x_0,t_0)$ が正なら $c\,v(x_0,t_0)\ge0$ なので、やはり $(v_t+Lv)(x_0,t_0)\ge0$ で矛盾する。よって $v$ の最大値は $0$ 以下か $\Gamma_T$ でとられ、$\max v\le\max_{\Gamma_T}v^+\le\max_{\Gamma_T}u^+$（$v\le u$）である。$\max u\le\max v+\varepsilon T$ と合わせる。
どちらも $\varepsilon\to+0$ として結論を得る（1 の逆向きの不等式は明らか）。$\square$
一様放物性は使っていない。最大値原理に効くのは $a^{ij}$ の半正定値性と $c$ の符号だけである。
thm-ppde-maximum の仮定のうち $c\ge0$ を、ある定数 $\lambda\ge0$ について $c\ge-\lambda$ に弱める。$u_1,u_2$ が同じ $f$ について古典解の正則性をもって $u_t+Lu=f$ を満たし、$\Gamma_T$ の上で $u_1\le u_2$ なら、$\overline\Omega\times[0,T]$ 全体で $u_1\le u_2$ である。とくに Dirichlet 条件の初期境界値問題の古典解はただ 1 つである。
$w:=e^{-\lambda t}(u_1-u_2)$ とおく。$w_t=e^{-\lambda t}(u_1-u_2)_t-\lambda w$ なので、$L_\lambda:=L+\lambda$（$c$ を $c+\lambda\ge0$ に替えた作用素）について $w_t+L_\lambda w=e^{-\lambda t}\bigl((u_1-u_2)_t+L(u_1-u_2)\bigr)=0$ である。thm-ppde-maximum の 2 を $L_\lambda$ と $w$ に当てると $\max w\le\max_{\Gamma_T}w^+=0$ である。一意性は $u_1,u_2$ を入れ替えた不等式と合わせればよい。$\square$
エネルギー評価
発散形 (2) の方程式では、解の 2 乗の積分を時間について追う方法が使える。以下 $\|\cdot\|$ は $L^2(\Omega)$ のノルムである。
$\Omega$ を有界な開集合とし、$\overline\Omega$ は滑らかな境界をもつコンパクトな領域（Gaussの発散定理 の定義「滑らかな境界をもつコンパクトな領域」）で、$\Omega$ はその内部であるとする。$L$ は発散形 (2) で、$a^{ij}=a^{ji}$ は $\overline\Omega\times[0,T]$ を含む開集合で $C^1$ 級で (3) を満たし、$b^i,c$ は $\overline\Omega\times[0,T]$ で連続で、定数 $\beta,\kappa\ge0$ について $|b(x,t)|\le\beta$、$c(x,t)\ge-\kappa$ とする。$u$ は $\overline\Omega\times[0,T]$ を含む開集合で $C^2$ 級で、$\partial\Omega\times[0,T]$ で $u=0$、$Q_T$ で $u_t+Lu=f$（$f$ は連続）を満たすとする。このとき $\gamma:=\frac{\beta^2}{4\theta}+\kappa+\frac12$ として
$$
\|u(t)\|^2\le e^{2\gamma t}\Bigl(\|u(0)\|^2+\int_0^t\|f(s)\|^2\,ds\Bigr)\qquad(0\le t\le T)
$$
である。とくに $f=0$、$u(0)=0$ なら $u\equiv0$ である。
$\varphi(t):=\frac12\|u(t)\|^2$ とおく。$uu_t$ は $\overline\Omega\times[0,T]$ で連続なので、積分記号の下で微分して $\varphi'(t)=\int_\Omega uu_t\,dx=\int_\Omega u(f-Lu)\,dx$ である。ベクトル場 $F:=u\,(\sum_ia^{ij}\partial_iu)_j$ は $C^1$ 級で、$\partial\Omega$ の上で $u=0$ なので $F\cdot\nu=0$ である。Gaussの発散定理 の定理「Gauss の発散定理」から
$$
\int_\Omega u\sum_{i,j}\partial_j\bigl(a^{ij}\partial_iu\bigr)\,dx=\int_\Omega\operatorname{div}F\,dx-\int_\Omega\sum_{i,j}a^{ij}\partial_iu\,\partial_ju\,dx=-\int_\Omega\sum_{i,j}a^{ij}\partial_iu\,\partial_ju\,dx
$$
である。よって (3) と Cauchy–Schwarz の不等式から
$$
\varphi'(t)\le-\theta\|\nabla u\|^2+\beta\|\nabla u\|\,\|u\|+\kappa\|u\|^2+\frac12\|f\|^2+\frac12\|u\|^2
$$
である（$\int fu\le\frac12\|f\|^2+\frac12\|u\|^2$）。$\beta\|\nabla u\|\|u\|\le\theta\|\nabla u\|^2+\frac{\beta^2}{4\theta}\|u\|^2$ を使うと、$\varphi'\le2\gamma\varphi+\frac12\|f\|^2$ となる。したがって $(e^{-2\gamma t}\varphi(t))'\le\frac12e^{-2\gamma t}\|f(t)\|^2\le\frac12\|f(t)\|^2$ で、$0$ から $t$ まで積分すると $e^{-2\gamma t}\varphi(t)\le\varphi(0)+\frac12\int_0^t\|f\|^2ds$ である。2 倍して $e^{2\gamma t}$ を掛ければよい（Grönwallの不等式 の定理「微分形の評価」と同じ、積分因子を掛ける議論である）。後半は $\|u(t)\|=0$ と $u$ の連続性から従う。$\square$
thm-ppde-energy の正則性をもち境界値が等しい 2 つの解の差に当てると、$\|u_1(t)-u_2(t)\|^2\le e^{2\gamma t}\bigl(\|u_1(0)-u_2(0)\|^2+\int_0^t\|f_1-f_2\|^2ds\bigr)$ となる。初期値と右辺が $L^2$ で近ければ解も $L^2$ で近く、問題はデータに連続に依存する。$b=0$、$c\ge0$、$f=0$ なら同じ計算で $\varphi'\le-\theta\|\nabla u\|^2\le0$ となり、エネルギー $\|u(t)\|$ は増えない（熱方程式 の定理「エネルギー等式と指数減衰」と同じ形）。
弱解の存在と平滑化
古典解の存在を直接示すのは難しいので、方程式に試験関数を掛けて積分した形で解を探す。$V:=H^1_0(\Omega)$（Sobolev空間）、$H:=L^2(\Omega)$ とし、発散形 (2) の係数について
$$
a(t;u,v):=\int_\Omega\Bigl(\sum_{i,j}a^{ij}\partial_iu\,\partial_jv+\sum_ib^i\partial_iu\,v+c\,uv\Bigr)dx\qquad(u,v\in V)
$$
とおく。$u$ が古典解で境界で $0$ なら、上の証明と同じ部分積分により、台がコンパクトな滑らかな $v$ について $\int_\Omega u_tv\,dx+a(t;u,v)=\int_\Omega fv\,dx$ が成り立つ。この等式をほとんどすべての $t$ と $v\in V$ について要求したものが 弱解 である。
$\Omega$ を開集合とし、$a^{ij},b^i,c\in L^\infty(\Omega\times(0,T))$ が (3) をほとんどすべての $(x,t)$ で満たすとする。$u_0\in L^2(\Omega)$、$f\in L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))$ について、
$$
u\in L^2(0,T;H^1_0(\Omega))\cap C([0,T];L^2(\Omega)),\qquad\frac{du}{dt}\in L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))
$$
であって、ほとんどすべての $t$ とすべての $v\in H^1_0(\Omega)$ で $\langle\frac{du}{dt}(t),v\rangle+a(t;u(t),v)=\langle f(t),v\rangle$、かつ $u(0)=u_0$ を満たす $u$ がただ 1 つ存在する。
要点：$V:=H^1_0(\Omega)$ は可分な Hilbert 空間で、$H:=L^2(\Omega)$ と Gelfand の三つ組 $V\subset H\subset V^*=H^{-1}(\Omega)$ をなす（Gelfandの三つ組 の例「Sobolev 空間 $H^1_0\subset L^2\subset H^{-1}$」）。$a(t;\cdot,\cdot)$ は有界で $a(t;v,v)\ge\alpha\|v\|_{H^1}^2-C|v|^2$ を満たす。$V$ の可算な基底で有限次元に制限した方程式（Galerkin 近似）を解き、エネルギー評価で一様に抑えて弱極限をとる。初期値と一意性は、Gelfandの三つ組 の定理「時間の trace と energy の等式」で確かめる。
詳しい証明を開く
以下 $\|\cdot\|$ は $H^1$ ノルム、$|\cdot|$ は $L^2$ ノルムとする。$V$ は等長写像 $v\mapsto(v,\partial_1v,\dots,\partial_nv)$ で $L^2(\Omega)^{n+1}$ の部分空間とみなせるので可分である。
段 1（形式の性質）：係数の上限から定数 $M$ があり、ほとんどすべての $t$ で $|a(t;u,v)|\le M\|u\|\|v\|$ である。$u,v\in V$ を固定すると、被積分関数は $\Omega\times(0,T)$ で可積分なので、Fubini の定理から $t\mapsto a(t;u,v)$ は可測である。$\beta:=\|b\|_{L^\infty}$、$\kappa:=\|c\|_{L^\infty}$ とおくと、(3) と $\beta|\nabla v||v|\le\frac\theta2|\nabla v|^2+\frac{\beta^2}{2\theta}|v|^2$ から $a(t;v,v)\ge\alpha\|v\|^2-C|v|^2$（$\alpha:=\theta/2$、$C:=\frac\theta2+\frac{\beta^2}{2\theta}+\kappa$）である。
段 2（作用素の可測性）：$\langle A(t)u,v\rangle:=a(t;u,v)$ で $A(t)\colon V\to V^*$、$\|A(t)\|\le M$ を定める。$V$ の正規直交基底 $(e_k)$ をとると、$(R_Ve_k)$ は $V^*$ の正規直交基底で、$A(t)u=\sum_ka(t;u,e_k)R_Ve_k$ である。部分和は可測な係数をもつ有限次元値の関数なので、$t\mapsto A(t)u$ は強可測である（Bochner積分 の命題「強可測関数の基本性質」の 4）。$u\in L^2(0,T;V)$ なら、単関数 $u_m\to u$（ほとんど至る所）について $\|A(t)(u_m(t)-u(t))\|_{V^*}\le M\|u_m(t)-u(t)\|$ なので、$t\mapsto A(t)u(t)$ も強可測で、$\|Au\|_{L^2(0,T;V^*)}\le M\|u\|_{L^2(0,T;V)}$ である。ここで $V$ の可分性を使った。
段 3（Galerkin 近似）：$V$ の可算な稠密部分集合に $L^2$ の内積で Gram–Schmidt の直交化を行い、一次従属な元を除くと、$L^2$ で正規直交で、張る空間が $V$ で稠密な列 $(w_k)\subset V$ が得られる。$V_m:=\operatorname{span}\{w_1,\dots,w_m\}$、$P_m$ を $V_m$ への $L^2$ の直交射影とし、$u_m(t)=\sum_{k\le m}d_k(t)w_k$ について、ほとんどすべての $t$ で$$(u_m'(t),w_k)+a(t;u_m(t),w_k)=\langle f(t),w_k\rangle\quad(k\le m),\qquad u_m(0)=P_mu_0$$を考える。これは係数行列が有界可測、右辺が二乗可積分な線形の常微分方程式で、積分方程式を逐次近似で解けば（$j$ 回目の差は $(Kt)^j/j!$ 倍で抑えられる）絶対連続な解がただ 1 つある。
段 4（一様な評価）：方程式に $d_k$ を掛けて $k$ について足すと $\frac12\frac d{dt}|u_m|^2+a(t;u_m,u_m)=\langle f,u_m\rangle$ なので、$\|f\|_{V^*}\|u_m\|\le\frac\alpha2\|u_m\|^2+\frac1{2\alpha}\|f\|_{V^*}^2$ と段 1 から$$\frac d{dt}|u_m|^2+\alpha\|u_m\|^2\le2C|u_m|^2+\frac1\alpha\|f\|_{V^*}^2$$である。$e^{-2Ct}$ を掛けて積分すると（Grönwallの不等式）、$|P_mu_0|\le|u_0|$ から $\sup_t|u_m(t)|^2\le e^{2CT}(|u_0|^2+\alpha^{-1}\|f\|_{L^2(0,T;V^*)}^2)=:K_0$ であり、もう一度積分して $\alpha\int_0^T\|u_m\|^2dt\le|u_0|^2+2CTK_0+\alpha^{-1}\|f\|_{L^2(0,T;V^*)}^2$ である。
段 5（極限）：$L^2(0,T;V)$ は Hilbert 空間なので、部分列をとって $u_m$ はある $u$ に弱収束する（反射的Banach空間 の定理「有界列の弱収束部分列」）。$k$ を固定し、$\eta\in C^1([0,T])$、$\eta(T)=0$ とする。$m\ge k$ なら $(P_mu_0,w_k)=(u_0,w_k)$ なので、部分積分から$$-\int_0^T(u_m,w_k)\eta'dt+\int_0^Ta(t;u_m,w_k)\eta\,dt=\int_0^T\langle f,w_k\rangle\eta\,dt+(u_0,w_k)\eta(0)$$である。左辺の各項は $L^2(0,T;V)$ の上の有界線形汎関数なので、$u_m$ を $u$ に替えても成り立つ。線形結合と稠密性から、$w_k$ をすべての $v\in V$ に替えてよい（★）。$\eta\in C_c^\infty(0,T)$ に限れば、(★) は $u$ の弱い時間微分が $f-Au\in L^2(0,T;V^*)$ であることを言っている（Gelfandの三つ組 の定義「時間微分が双対空間に入る関数の空間」）。よって Gelfandの三つ組 の定理「時間の trace と energy の等式」の 1 により $u\in C([0,T];H)$ であり、ほとんどすべての $t$ で $V^*$ の等式 $u'(t)+A(t)u(t)=f(t)$、すなわちすべての $v$ についての方程式が成り立つ。
段 6（初期値）：同じ定理の 2 を $u$ と $\eta v$（$\eta\in C^1([0,T])$、$\eta(T)=0$、$v\in V$）に当てると $-(u(0),v)\eta(0)=\int_0^T\bigl(\langle u',v\rangle\eta+(u,v)\eta'\bigr)dt$ である。$u'=f-Au$ を代入して (★) と比べると $(u(0)-u_0,v)\eta(0)=0$ で、$\eta(0)=1$ とし $V$ が $H$ で稠密であることから $u(0)=u_0$ である。
段 7（一意性）：方程式を各 $v$ ごとのほとんどすべての $t$ でしか仮定しなくても、$(w_k)$ の張る空間が稠密なので、共通の零集合の外で $V^*$ の等式 $u'+Au=f$ が成り立つ。2 つの解の差 $z$ は $z'+Az=0$、$z(0)=0$ を満たし、energy の等式から $|z(t)|^2=-2\int_0^ta(s;z,z)ds\le2C\int_0^t|z|^2ds$ である。Grönwallの不等式 により $z=0$ である。$\square$
この証明は、$V$ が可分な実 Hilbert 空間で、$a(t;\cdot,\cdot)$ が $t$ について可測、一様に有界で、$a(t;v,v)\ge\alpha\|v\|_V^2-C|v|_H^2$ を満たす一般の場合にそのまま通る。$V$ の可分性は段 2 の可測性と段 3 の近似で使っている。抽象的な定理とその放物型方程式への応用は Bre11 の第 10 章の注 1（Theorem 10.9 とその応用、pp. 340–341）に述べられている。
$\Omega$ が有界で境界が $C^\infty$ 級、係数と $f$ が $\overline\Omega\times[0,T]$ で $C^\infty$ 級なら、$u_0\in L^2(\Omega)$ に対する弱解は各 $\varepsilon>0$ について $\overline\Omega\times[\varepsilon,T]$ で $C^\infty$ 級になる（Bre11 Theorem 10.10、p. 342。証明は同書が他書に送っている）。$L$ が $-\Delta$ の場合の存在と平滑化は 熱方程式 の定理「Dirichlet 条件の下での解の存在と平滑化」にある。
一様放物性 (3) は、正の時刻で解が滑らかになることの源である。$a^{ij}$ が退化すると、この性質は失われる（下の反例の表の 3 行目）。
$L^2$ の初期値に対する最大値原理
thm-ppde-maximum は放物境界まで連続な古典解についての主張だった。初期値が $L^2$ の元にすぎない解でも、初期値より上にはみ出した部分の積分を追うと、最大値原理が得られる。ここでは $L=-\Delta$ の場合を示す。$\operatorname{ess\,sup}$、$\operatorname{ess\,inf}$ は本質的上限・下限である。
$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を境界が $C^\infty$ 級の有界な開集合、$u_0\in L^2(\Omega)$ とし、$u$ を 熱方程式 の定理「Dirichlet 条件の下での解の存在と平滑化」の解とする。このとき、すべての $x\in\Omega$ と $t>0$ で
$$
\min\bigl(0,\operatorname{ess\,inf}u_0\bigr)\le u(x,t)\le\max\bigl(0,\operatorname{ess\,sup}u_0\bigr)
$$
である（両端が $\pm\infty$ の側は主張がない）。とくに $u_0\ge0$ がほとんど至る所で成り立てば $u\ge0$ であり、初期値 $u_0,\tilde u_0\in L^2(\Omega)$ の差が有界なら、対応する解について $\sup_{x\in\Omega}|u(x,t)-\tilde u(x,t)|\le\|u_0-\tilde u_0\|_{L^\infty}$（$t>0$）である。
$K:=\max(0,\operatorname{ess\,sup}u_0)< \infty$ の場合を示す。$G(r):=0$（$r\le0$）、$G(r):=r-1+e^{-r}$（$r>0$）とおくと、$G\in C^1(\mathbb{R})$、$0\le G'\le1$ であり、$G(r)>0$ と $r>0$ は同値である。$F(r):=\int_0^rG(s)\,ds$ とおくと $0\le F(r)\le\frac12(r^+)^2$ で、$F(r)=0$ と $r\le0$ は同値である。$v\in L^2(\Omega)$ について $\Phi(v):=\int_\Omega F(v-K)\,dx$、$g(v):=G(v-K)$ とおく。
1．$G$ は Lipschitz 定数 $1$ なので $|F(s+h)-F(s)-G(s)h|\le\frac12h^2$ であり、$|\Phi(v+h)-\Phi(v)-(g(v),h)|\le\frac12|h|^2$ となる。したがって $\varphi(t):=\Phi(u(t))$ は $[0,\infty)$ で連続、$(0,\infty)$ で微分可能で、$\varphi'(t)=(g(u(t)),u_t(t))$ である。
2．$v\in H^1_0(\Omega)$ なら $g(v)\in H^1_0(\Omega)$ で、$\nabla g(v)=G'(v-K)\nabla v$ である。
確かめ
$K\ge0$ なので $s\mapsto G(s-K)$ は $s\le K$ で $0$、とくに $s=0$ で $0$ で、導関数は有界で連続である。弱勾配の公式は 零境界Sobolev空間 の補題「合成関数の弱微分」による。$v$ に $H^1$ で収束する $v_j\in C_c^\infty(\Omega)$ をとると、$g(v_j)$ は台が $\Omega$ の中でコンパクトな $C^1$ 級の関数なので $H^1_0(\Omega)$ に属し（同記事の補題「台が $\Omega$ の中でコンパクトな関数」）、Sobolev空間の連鎖律 の定理「合成写像の連続性」により $H^1$ で $g(v)$ に収束する。$H^1_0(\Omega)$ は閉じているので $g(v)\in H^1_0(\Omega)$ である。
3．$t>0$ では $u(t)\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$、$u_t=\Delta u$ である。$w\in H^1_0(\Omega)$ について $(\Delta u(t),w)=-(\nabla u(t),\nabla w)$（$w\in C_c^\infty(\Omega)$ では弱微分の定義で、一般の $w$ へは $H^1$ での近似で移る）なので、2 から
$$ \varphi'(t)=(g(u),\Delta u)=-\int_\Omega G'(u-K)\,|\nabla u|^2\,dx\le0 $$
である。$u_0\le K$ がほとんど至る所で成り立つので $\varphi(0)=0$ である。$\varphi\ge0$ は $(0,\infty)$ で増えず、$t=0$ で連続なので、$\varphi\equiv0$ である。よって各 $t>0$ でほとんど至る所 $u(t)\le K$ であり、$u(\cdot,t)$ は連続なので（ある点で $K$ を超えればその近くの正の測度の集合で超える）、すべての $x\in\Omega$ で $u(x,t)\le K$ である。
下からの評価は、初期値 $-u_0$ の解 $-u$ に当てればよい。$u_0\ge0$ なら $\operatorname{ess\,inf}u_0\ge0$ で下端は $0$ である。最後の主張は、2 つの解の差が初期値 $u_0-\tilde u_0$ の解であること（解の一意性）と、$M:=\|u_0-\tilde u_0\|_{L^\infty}$ について両端が $[-M,M]$ に入ることから従う。$\square$
右端の $0$ は外せない。$u_0\equiv-1$ なら $\operatorname{ess\,sup}u_0=-1$ だが、$t>0$ で $u(\cdot,t)$ は $\overline\Omega$ で連続で $\partial\Omega$ の上で $0$ なので（零境界Sobolev空間 の命題「$C^1$ 級の境界での境界値」）、$\Omega$ の境界の近くで $u>-1$ となる。境界で温度を $0$ に保つので、内部の温度は $0$ と初期値の間にとどまる、という意味である。thm-ppde-maximum と違って、初期値の連続性も、放物境界での $u$ の値の比較も使っていない。
確率過程とのつながり
伊藤の公式 の節「一般の形」の式から、$\partial_tu+\frac12\partial_x^2u=0$ を満たす $C^2$ 級の $u$ について、$u(t,B_t)$ の変化は $\int\partial_xu(s,B_s)\,dB_s$ だけになる。時間を逆向きにした熱方程式 $u_t+\frac12u_{xx}=0$ は、$s=T-t$ と置き換えると $u_s=\frac12u_{xx}$ という放物型の方程式になる。逆向きに、伊藤の公式 の系「期待値と熱方程式」は、$E[f(x+B_t)]$ がこの方程式の解であることを示している。放物型の方程式の解を確率過程の期待値で表すこの見方は、熱方程式 の節「確率による表示」でも使った。
条件を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 放物性（$a$ の正定値性） | $a=-1$：$u_t=-u_{xx}$ の解 $u_k=k^{-1}e^{k^2t}\sin(kx)$、$\Omega=(0,\pi)$ | 最大値原理と、データへの連続な依存 |
| thm-ppde-maximum の 2 の $c\ge0$ | $c=-2$：$u_t-u_{xx}-2u=0$ の解 $u=e^t\sin x$、$\Omega=(0,\pi)$ | $\max u\le\max_{\Gamma_T}u^+$ |
| 一様放物性（$a\ge\theta>0$） | $a=0$：$u_t+u_x=0$、$u(x,0)=e^{-\lvert x\rvert}$（$x\in\mathbb{R}$） | 正の時刻での平滑化 |
1 行目：$(u_k)_t=k\,e^{k^2t}\sin(kx)=-(u_k)_{xx}$ で、境界 $x=0,\pi$ では $0$ である。放物境界での最大値は $\sup|u_k(\cdot,0)|=1/k$ だが、$u_k(\pi/(2k),T)=k^{-1}e^{k^2T}$ はこれより大きく、$k\to\infty$ で $\infty$ に発散する。初期値が一様に $0$ に近づいても、時刻 $T$ の解は近づかない（熱方程式 の例「後ろ向きの問題の不安定性」の時間を逆にしたもの）。2 行目：$u_t=u$、$u_{xx}=-u$ なので $u_t-u_{xx}-2u=0$ で、これは $L u=-u_{xx}-2u$（$c=-2$）の $u_t+Lu=0$ である。放物境界での最大値は底面の $\sin(\pi/2)=1$ だが、$u(\pi/2,T)=e^T>1$ である。3 行目：解は $u(x,t)=e^{-|x-t|}$ で、各時刻で $x=t$ において微分できない。初期値の折れ目が消えずに運ばれる。熱方程式なら 熱方程式 の定理「熱方程式の Cauchy 問題の解」により $t>0$ で $C^\infty$ 級になる。
補足
- 文献：熱方程式の場合の存在・平滑化・最大値原理は Bre11 §10.1–§10.2（pp. 325–335。$L^2$ の初期値に対する最大値原理は Theorem 10.3・Corollary 10.4、p. 333）、一般の係数の弱解と正則性は同書の第 10 章の注（pp. 340–343）にある。
- 呼び名：$u_t+Lu=f$ を「$L$ に付随する放物型方程式」と呼ぶこともある。$L$ の 2 階の部分の符号の付け方は文献によって異なり、$u_t=\sum a^{ij}\partial_i\partial_ju+\cdots$ と書く流儀も多い。
関連項目
- 前提: 偏微分方程式, 楕円型偏微分方程式
- 比較: 熱方程式, Dirichlet問題, 双曲型偏微分方程式
- 理論: Sobolev空間, Lax–Milgramの定理, Gelfandの三つ組, Bochner積分, Gaussの発散定理, Grönwallの不等式
- 発展: 伊藤の公式, Hille–吉田の定理
参考文献
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