逆三角関数（高校数学）

方針：単調性は、2 つの値の差を和積の公式や加法定理で積に直し、各因数の符号を調べる。すべての値をとることは、単位円の右半分の点を具体的に作って示す。
段 1（$\sin$ の単調性）。$-\frac\pi2\le u< v\le\frac\pi2$ とする。和積の公式（加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く）により
$$ \sin v-\sin u=2\cos\frac{u+v}2\,\sin\frac{v-u}2 $$
である。$0< v-u\le\pi$ なので $0<\frac{v-u}2\le\frac\pi2$ で、$\sin\frac{v-u}2>0$ である。また $u\ge-\frac\pi2$、$v\le\frac\pi2$、$u< v$ から $-\pi< u+v<\pi$（左の不等号は $u+v>2u\ge-\pi$、右は $u+v<2v\le\pi$）なので、$-\frac\pi2<\frac{u+v}2<\frac\pi2$ で、$\cos\frac{u+v}2>0$ である。よって $\sin v-\sin u>0$ である。
段 2（$\sin$ がすべての値をとる）。$-1\le k\le1$ とする。点 $\bigl(\sqrt{1-k^2},k\bigr)$ は単位円上にあり、$x$ 座標が $0$ 以上なので、右半分（両端の $(0,\pm1)$ を含む）にある。証明の前に挙げた 3 により、この点を $P(t)$ とする $t$ が $-\frac\pi2\le t\le\frac\pi2$ の範囲にあり、$\sin t=k$ である。
段 3（$\cos$）。加法定理により $\cos x=\sin\bigl(\frac\pi2-x\bigr)$ である（$\sin\bigl(\frac\pi2-x\bigr)=\sin\frac\pi2\cos x-\cos\frac\pi2\sin x=\cos x$）。$0\le u< v\le\pi$ なら $-\frac\pi2\le\frac\pi2-v<\frac\pi2-u\le\frac\pi2$ なので、段 1 から $\cos v=\sin\bigl(\frac\pi2-v\bigr)<\sin\bigl(\frac\pi2-u\bigr)=\cos u$ である。すべての値をとることも、段 2 の $t$ に対して $x=\frac\pi2-t$（$0\le x\le\pi$）をとれば $\cos x=\sin t=k$ となることから分かる。
段 4（$\tan$ の単調性）。$-\frac\pi2< u< v<\frac\pi2$ とする。$\cos u>0$、$\cos v>0$ なので
$$ \tan v-\tan u=\frac{\sin v\cos u-\cos v\sin u}{\cos u\cos v}=\frac{\sin(v-u)}{\cos u\cos v} $$
である（分子は加法定理）。$0< v-u<\pi$ なので $\sin(v-u)>0$ で、分母も正だから $\tan v-\tan u>0$ である。
段 5（$\tan$ がすべての値をとる）。実数 $m$ について、点 $\Bigl(\frac1{\sqrt{1+m^2}},\frac m{\sqrt{1+m^2}}\Bigr)$ は単位円上にあり（座標の 2 乗の和が $\frac{1+m^2}{1+m^2}=1$）、$x$ 座標が正なので右半分にある。段 2 と同じ理由で（証明の前に挙げた 3）、これを $P(t)$ とする $t$ が $-\frac\pi2< t<\frac\pi2$ の範囲にあり $\tan t=\frac{m/\sqrt{1+m^2}}{1/\sqrt{1+m^2}}=m$ である。$\square$

方針：$\arcsin k$ は「$\sin$ の値が $k$ で、$\bigl[-\frac\pi2,\frac\pi2\bigr]$ に入る角」としてただ 1 つに決まる（def-itf-inverse-trig）。そこで、ある角がこの 2 つの条件を満たすことを確かめれば、その角が $\arcsin k$ である。
段 1（1）。$\arcsin x$ は定義により $\sin(\arcsin x)=x$ を満たす。$\arccos$、$\arctan$ も同じである。
段 2（2）。$-\frac\pi2\le y\le\frac\pi2$ とし、$k:=\sin y$ とおく。角 $y$ は「$\sin$ の値が $k$」と「$\bigl[-\frac\pi2,\frac\pi2\bigr]$ に入る」を満たすので、一意性から $y=\arcsin k=\arcsin(\sin y)$ である。$\arccos$、$\arctan$ も同じである。
段 3（3）。$\frac\pi2\le y\le\frac{3\pi}2$ なら $-\frac\pi2\le\pi-y\le\frac\pi2$ であり、$\sin(\pi-y)=\sin y$ である（三角方程式と三角不等式 の対称性の補題）。よって角 $\pi-y$ が 2 つの条件を満たし、$\arcsin(\sin y)=\pi-y$ である。$\square$

方針：prf-prop-itf-composition と同じく、候補の角が値域に入り、三角関数の値が合うことを確かめ、定義の一意性を使う。加法定理から出る $\cos\bigl(\frac\pi2-\theta\bigr)=\sin\theta$、$\sin\bigl(\frac\pi2-\theta\bigr)=\cos\theta$、$\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$、$\sin(-\theta)=-\sin\theta$ を使う。
段 1（1）。$\theta:=\arcsin x$ とすると $-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2$ なので、$\frac\pi2-\theta$ は $0$ 以上 $\pi$ 以下である。$\cos\bigl(\frac\pi2-\theta\bigr)=\sin\theta=x$ なので、$\frac\pi2-\theta=\arccos x$ である。移項して 1 を得る。
段 2（2）。$-\arcsin x$ は $\bigl[-\frac\pi2,\frac\pi2\bigr]$ に入り、$\sin(-\arcsin x)=-x$ なので、$-\arcsin x=\arcsin(-x)$ である。$\arctan$ も同じである（$\tan(-\theta)=\frac{-\sin\theta}{\cos\theta}=-\tan\theta$）。$\pi-\arccos x$ は $[0,\pi]$ に入り、$\cos(\pi-\arccos x)=-x$ なので、$\pi-\arccos x=\arccos(-x)$ である。
段 3（3）。$x>0$ とし、$\theta:=\arctan x$ とおく。$\tan$ は $\bigl(-\frac\pi2,\frac\pi2\bigr)$ で狭義単調増加で $\tan0=0< x$ なので、$0<\theta<\frac\pi2$ である。$\frac\pi2-\theta$ も $0$ と $\frac\pi2$ の間にあり
$$ \tan\Bigl(\frac\pi2-\theta\Bigr)=\frac{\sin(\frac\pi2-\theta)}{\cos(\frac\pi2-\theta)}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac1{\tan\theta}=\frac1x $$
なので、$\frac\pi2-\theta=\arctan\frac1x$ である。$x<0$ のときは、$-x>0$ にこの結果を使い、2 の $\arctan(-x)=-\arctan x$ で符号を戻す。
段 4（4）。$\theta:=\arcsin x$ は $\bigl[-\frac\pi2,\frac\pi2\bigr]$ に入るので、$P(\theta)$ は単位円の右半分（両端を含む）にあり、$\cos\theta\ge0$ である。$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-x^2$ なので、$\cos\theta=\sqrt{1-x^2}$ である。$\sin(\arccos x)$ も、$\arccos x\in[0,\pi]$ で $\sin\ge0$ となることから同じように示せる。$\square$

方針：三角方程式と三角不等式 の定理「基本の三角方程式の一般解」は、$\sin\alpha=k$ となる $\alpha$ を 1 つ知っていれば、すべての解を与える。その $\alpha$ として逆三角関数の値を使う。
段 1（1）。$\alpha:=\arcsin k$ とすると $\sin\alpha=k$ なので、一般解の定理から $\sin y=k$ ⇔ $y=\alpha+2m\pi$ または $y=\pi-\alpha+2m\pi$（$m$ は整数）である。前者は $n=2m$（偶数）で $n\pi+(-1)^n\alpha$、後者は $n=2m+1$（奇数）で $(2m+1)\pi-\alpha=n\pi+(-1)^n\alpha$ である。偶数と奇数を合わせると、すべての整数 $n$ になる。
段 2（2、3）。$\alpha:=\arccos k$、$\alpha:=\arctan k$ として、一般解の定理の 1、3 をそのまま使う（$\cos(\arctan k)>0$ なので、正接の場合の条件 $\cos\alpha\ne0$ も満たされる）。$\square$

方針：$\theta:=\arctan a+\arctan b$ の正接が $c$ になることを示し、prop-itf-all-solutions の 3 で $\theta=\arctan c+k\pi$ と書く。整数 $k$ は、$\cos\theta$ の符号と $\theta$ の範囲から決める。
段 1（範囲と余弦）。$\alpha:=\arctan a$、$\beta:=\arctan b$ とおく。どちらも $\bigl(-\frac\pi2,\frac\pi2\bigr)$ に入るので、$\cos\alpha>0$、$\cos\beta>0$ であり、$\theta=\alpha+\beta$ は $-\pi<\theta<\pi$ を満たす。加法定理により
$$ \cos\theta=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta\,(1-\tan\alpha\tan\beta)=\cos\alpha\cos\beta\,(1-ab) $$
である。
段 2（正接）。$ab\ne1$ なので $\cos\theta\ne0$ であり、正接の加法定理から $\tan\theta=\frac{a+b}{1-ab}=c$ である。prop-itf-all-solutions の 3 により、$\theta=\arctan c+k\pi$ となる整数 $k$ がある。$\arctan c$ は $\bigl(-\frac\pi2,\frac\pi2\bigr)$ に入るので、$k$ は「$\theta-k\pi$ が $\bigl(-\frac\pi2,\frac\pi2\bigr)$ に入る」ように決まる。
段 3（$ab<1$）。段 1 から $\cos\theta>0$ である。$-\pi<\theta<\pi$ のうち $\frac\pi2\le\theta<\pi$ では、prop-itf-monotone の証明の前に挙げた 2 により $\cos\theta\le0$ である。$-\pi<\theta\le-\frac\pi2$ では、$\theta+2\pi$ が $\pi<\theta+2\pi\le\frac{3\pi}2$ を満たし、$\cos\theta=\cos(\theta+2\pi)\le0$ である（同じ 2 と、一般角と弧度法 の単位円上の点が一致する条件）。どちらも $\cos\theta>0$ に反するので、$\theta$ は $\bigl(-\frac\pi2,\frac\pi2\bigr)$ に入る。よって $k=0$ である。
段 4（$ab>1$）。段 1 から $\cos\theta<0$ なので、$\theta$ は $\bigl(-\frac\pi2,\frac\pi2\bigr)$ に入らず（そこでは $\cos\theta>0$）、$\pm\frac\pi2$ でもない。したがって $\frac\pi2<\theta<\pi$ または $-\pi<\theta<-\frac\pi2$ である。$ab>1>0$ なので $a$ と $b$ は同符号である。$a>0$ なら $b>0$ である。$\tan\alpha=a>0=\tan0$ で、$\tan$ は $\bigl(-\frac\pi2,\frac\pi2\bigr)$ で狭義単調増加なので（prop-itf-monotone）、$\alpha\le0$ ではありえず $\alpha>0$ である。同じく $\beta>0$ で、よって $\theta>0$ で $\frac\pi2<\theta<\pi$ である。このとき $\theta-\pi$ が $\bigl(-\frac\pi2,0\bigr)$ に入るので $k=1$ である。$a<0$ なら同じように $-\pi<\theta<-\frac\pi2$ で、$k=-1$ である。$\square$

方針：thm-itf-inverse-derivative を、制限した $\sin$、$\tan$ に使う。導関数を $x$ の式に直すところで、prop-itf-identities の 4 と $1+\tan^2y=\frac1{\cos^2y}$ を使う。
段 1（$\arcsin$）。$f(y)=\sin y$ を開区間 $-\frac\pi2< y<\frac\pi2$ で考える。prop-itf-monotone により狭義単調増加で、値全体は $-1< x<1$ である（端の値 $\pm1$ は端点 $y=\pm\frac\pi2$ でしかとらない）。$f'(y)=\cos y$ はこの範囲で正である。$-1< x<1$ に対し $y=\arcsin x$ とおくと、thm-itf-inverse-derivative により
$$ (\arcsin x)'=\frac1{\cos y}=\frac1{\cos(\arcsin x)}=\frac1{\sqrt{1-x^2}} $$
である。最後の等号は prop-itf-identities の 4 である。
段 2（$\arccos$）。prop-itf-identities の 1 により $\arccos x=\frac\pi2-\arcsin x$ なので、段 1 から $(\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ である。
段 3（$\arctan$）。$f(y)=\tan y$ を $-\frac\pi2< y<\frac\pi2$ で考える。商の微分により
$$ (\tan y)'=\Bigl(\frac{\sin y}{\cos y}\Bigr)'=\frac{\cos y\cdot\cos y-\sin y\cdot(-\sin y)}{\cos^2y}=\frac1{\cos^2y} $$
で、これは正である。また $\frac1{\cos^2y}=\frac{\cos^2y+\sin^2y}{\cos^2y}=1+\tan^2y$ である。$y=\arctan x$ とおくと $\tan y=x$ なので、thm-itf-inverse-derivative により
$$ (\arctan x)'=\frac1{1+\tan^2y}=\frac1{1+x^2} $$
である。$\square$

方針：両辺を $x$ の関数と見て、導関数と $x=0$ での値を比べる。
段 1（導関数）。微分積分学の基本定理 により、右辺の積分を $x$ で微分すると被積分関数の $t$ に $x$ を入れたものになる。thm-itf-derivative により、左辺の導関数も同じである。
段 2（差は定数）。左辺から右辺を引いた関数は、導関数がいつも $0$ なので定数である（導関数が区間で $0$ の関数は定数。平均値の定理から出る）。
段 3（定数は 0）。$x=0$ では、$\arctan0=0$、$\arcsin0=0$ で、右辺の積分も $0$ である。よって差は $0$ である。$\square$