三角形の形状決定

余弦は 余弦定理（高校数学） の $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$、$\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$ で計算する。
(1) $a=b=5$、$c=6$（$BC=CA$ の二等辺三角形）：$\cos A=\cos B=\dfrac{25+36-25}{60}=\dfrac35$ で、$a\cos A=b\cos B=3$。満たす。
(2) $a=3$、$b=4$、$c=5$（$C=90^\circ$ の直角三角形）：$\cos A=\dfrac{16+25-9}{40}=\dfrac45$、$\cos B=\dfrac{25+9-16}{30}=\dfrac35$ で、$a\cos A=\dfrac{12}5$、$b\cos B=\dfrac{12}5$。満たす。
(3) $a=4$、$b=5$、$c=6$：$\cos A=\dfrac{25+36-16}{60}=\dfrac34$、$\cos B=\dfrac{36+16-25}{48}=\dfrac9{16}$ で、$a\cos A=3$、$b\cos B=\dfrac{45}{16}$。満たさない。
(4) $a=2$、$b=c=3$（$CA=AB$ の二等辺三角形）：$\cos A=\dfrac{9+9-4}{18}=\dfrac79$、$\cos B=\dfrac{9+4-9}{12}=\dfrac13$ で、$a\cos A=\dfrac{14}9$、$b\cos B=1$。満たさない。

条件 $P$ を「$a=b$ かつ $C=60^\circ$」とする。$P$ を満たす三角形は $a=b$ なので、「$P\Rightarrow$ $BC=CA$ の二等辺三角形」は正しい。しかし $a=b=5$、$c=6$ の二等辺三角形は、$\cos C=\dfrac{25+25-36}{50}=\dfrac7{25}\ne\dfrac12$ なので $C\ne60^\circ$ で、$P$ を満たさない。$P$ の形状決定の答えは「正三角形」である（$a=b$ で $C=60^\circ$ なら $A=B=60^\circ$ となり 3 つの角が等しいから）。答えを「二等辺三角形」とすると、十分性が崩れる。

段 4 の左辺 $(a^2-b^2)(c^2-a^2-b^2)$ に数値を入れる。
(1) 辺 $5,5,6$：$(25-25)(36-50)=0\cdot(-14)=0$。1 つ目の因数が $0$ である。
(2) 辺 $a=3$、$b=4$、$c=5$：$(9-16)(25-9-16)=(-7)\cdot0=0$。2 つ目の因数が $0$ である。
(3) 辺 $4,5,6$：$(16-25)(36-16-25)=(-9)(-5)=45\ne0$。条件を満たさない（ex-sht-try の (3)）。
(4) 辺 $a=2$、$b=c=3$：$(4-9)(9-4-9)=(-5)(-4)=20\ne0$。二等辺三角形だが、等しいのが $b$ と $c$ なので条件を満たさない（ex-sht-try の (4)）。
(5) 辺 $a=b=1$、$c=\sqrt2$（直角二等辺三角形）：$(1-1)(2-1-1)=0\cdot0=0$。2 つの因数がともに $0$ である。

1. 図 2：$A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(3,4)$ の二等辺三角形（$a=b=5$）。外心は $O\left(3,\dfrac78\right)$、外接円の半径は $R=\dfrac{25}8$ である。三角形 $OBC$ と $OCA$ は直線 $x=3$ について対称なので面積が等しく、どちらも $\dfrac12\cdot5\cdot\dfrac{25}8\cdot\dfrac35=\dfrac{75}{16}$ である。
2. 図 3：$C=90^\circ$、$CB=3$、$CA=4$ の直角三角形。外心 $O$ は斜辺 $AB$ の中点（直径に対する円周角）で、$R=\dfrac52$ である。$OC$ は三角形 $ABC$ の中線なので、三角形 $OBC$ と $OCA$ は底辺 $OB=OA$ と高さが共通で、面積はどちらも三角形 $ABC$ の半分 $3$ である。式でも $\dfrac12\cdot3\cdot\dfrac52\cdot\dfrac45=3$、$\dfrac12\cdot4\cdot\dfrac52\cdot\dfrac35=3$ である。

見た目は thm-sht-main に似ているが、答えは違う。三角形の射影定理 の $c=a\cos B+b\cos A$ を使う。条件 $a\cos B=b\cos A$ のもとでは $a\cos B=b\cos A=\dfrac c2$ である。
辺にそろえて確かめる。余弦定理を代入すると
$$ a\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=b\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
で、両辺に $2c$ を掛けると $c^2+a^2-b^2=b^2+c^2-a^2$、つまり $2a^2=2b^2$、$a=b$ である。各段は同値変形なので、$a\cos B=b\cos A\iff a=b$ である。今度は因数が 1 つしか出ないので、直角三角形の場合は現れない。実際、辺 $a=3$、$b=4$、$c=5$ の直角三角形では $a\cos B=3\cdot\dfrac35=\dfrac95$、$b\cos A=4\cdot\dfrac45=\dfrac{16}5$ で等しくない。
図形で言えば、$a\cos B$ と $b\cos A$ は $C$ から $AB$ に下ろした垂線の足で辺 $AB$ を分けた長さ（向き付き）で、それが等しいことは足が $AB$ の中点にあること、つまり $C$ が $AB$ の垂直二等分線の上にあることである。

$A=180^\circ-(B+C)$ なので $\sin A=\sin(B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$ である。条件は
$$ \sin B\cos C+\cos B\sin C=2\sin B\cos C\iff\sin B\cos C-\cos B\sin C=0\iff\sin(B-C)=0 $$
と同値である。$-180^\circ< B-C<180^\circ$ なので $B=C$、つまり $b=c$（$CA=AB$ の二等辺三角形）である。
辺にそろえても同じ答えになる。正弦定理で $\sin A=\dfrac a{2R}$、$\sin B=\dfrac b{2R}$、余弦定理で $\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ を代入すると $\dfrac a{2R}=2\cdot\dfrac b{2R}\cdot\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ で、両辺に $2Ra$ を掛けて $a^2=a^2+b^2-c^2$、つまり $b^2=c^2$、$b=c$ である。数値では、$a=6$、$b=c=5$ で $\sin A=\dfrac{24}{25}$（$\cos A=\dfrac7{25}$ から）、$2\sin B\cos C=2\cdot\dfrac45\cdot\dfrac35=\dfrac{24}{25}$ と一致する。

条件 $\sin2A=2\sin B\cos A$ を考える。左辺は $2\sin A\cos A$ なので、「両辺を $2\cos A$ で割って $\sin A=\sin B$、よって $A=B$」とすると誤りである。
正しくは、移項して $2\cos A(\sin A-\sin B)=0$ とし、lem-sht-product を使う。$\cos A=0$ なら $A=90^\circ$ である。$\sin A=\sin B$ なら、$0^\circ< A,B<180^\circ$ で正弦が等しいのは $A=B$ か $A+B=180^\circ$ のときで、後者は三角形では起こらないので $A=B$ である。答えは「$A=90^\circ$ の直角三角形 または $BC=CA$ の二等辺三角形」である。
$A=90^\circ$、$B=30^\circ$、$C=60^\circ$ の三角形では、$\sin2A=\sin180^\circ=0$、$2\sin B\cos A=2\cdot\dfrac12\cdot0=0$ で条件を満たすが、$A\ne B$ である。$\cos A$ で割った段で、$\cos A=0$ の場合を捨ててしまったのである。

thm-sht-main の条件を角にそろえると $\sin2A=\sin2B$ になる（prf-sht-angles の段 1）。ここで「$2A=2B$、よって $A=B$」とだけ結論すると、辺 $a=3$、$b=4$、$c=5$ の直角三角形を落とす。この三角形では $\sin A=\dfrac35$、$\cos A=\dfrac45$、$\sin B=\dfrac45$、$\cos B=\dfrac35$ なので
$$ \sin2A=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25},\qquad \sin2B=2\cdot\frac45\cdot\frac35=\frac{24}{25} $$
で条件を満たすが、$A\ne B$ である（$A\approx36.87^\circ$、$B\approx53.13^\circ$）。$0^\circ<2A,2B<360^\circ$ の範囲では、$\sin2A=\sin2B$ は $2A=2B$ のほかに $2A+2B=180^\circ$ でも成り立つ。

thm-sht-main の答えを「二等辺三角形 または 直角三角形」とだけ書くと、十分性が崩れる。辺 $a=2$、$b=c=3$ の二等辺三角形は $a\cos A=\dfrac{14}9\ne1=b\cos B$ で条件を満たさない（ex-sht-try の (4)）。また、$A=90^\circ$ の直角三角形（$a=5$、$b=3$、$c=4$）も、$a\cos A=0$、$b\cos B=3\cdot\dfrac45=\dfrac{12}5$ で満たさない。等しい 2 辺は $a$ と $b$、直角は $C$ と、位置まで答える必要がある。

答えを「直角二等辺三角形」とすると、それは $a=b$ かつ $C=90^\circ$ の三角形で、rem-sht-or の図 1 の交点 1 つにあたる。辺 $5,5,6$ の三角形（$a=b$ だが $C\ne90^\circ$。$\cos C=\dfrac7{25}$）や辺 $3,4,5$ の三角形（$C=90^\circ$ だが $a\ne b$）は条件を満たすのに、答えから落ちてしまう。この答えは、十分性は正しいが必要性が崩れている。