Dieudonné加群
概要
Dieudonné加群（Dieudonné module）とは、標数 $p$ の完全体 $k$ の Witt 環 $W(k)$ 上の加群に、$\sigma$ 線型な作用素 $F$ と $\sigma^{-1}$ 線型な作用素 $V$ を $FV=VF=p$ を満たすように備えたもの、すなわち Dieudonné 環 $D_k=W(k)[F,V]$ 上の左加群である。主定理により、$k$ 上の有限可換 $p$ 群スキームは有限長のもの、$p$ 可除群は有限階数自由なものと反変に圏同値になり、点では見えない $\mu_p$ や $\alpha_p$ が半線型代数で扱える。楕円曲線の $E[p^\infty]$ の加群は $H^1_{\mathrm{cris}}(E/W)$ に一致し、通常か超特異かは $F$ の傾きで判定される。
前提知識: 群スキーム, Wittベクトル, Frobenius写像, Cartier双対, 完全体, 加群
定義
以下、$p$ を素数、$k$ を標数 $p$ の完全体、$W:=W(k)$ を $k$ の Wittベクトルの環（$p$ 進 Witt 環）とする。$W$ は剰余体 $k$、一意化元 $p$ をもつ完備な離散付値環で、$k=\mathbb{F}_p$ なら $W=\mathbb{Z}_p$ である。$k$ の Frobenius 自己同型 $x\mapsto x^p$ が誘導する $W$ の環自己同型（Witt ベクトルの成分ごとの $p$ 乗 $(a_0,a_1,\dots)\mapsto(a_0^p,a_1^p,\dots)$）を $\sigma$ と書き、$K:=W[1/p]$ を $W$ の商体とする。$\sigma$ は $K$ にも延びる。
$k$ 上の Dieudonné 環 $D_k$ とは、$W$ と 2 つの記号 $F,V$ から生成され、すべての $a\in W$ に対して
$$
Fa=\sigma(a)F,\qquad Va=\sigma^{-1}(a)V,\qquad FV=VF=p
$$
を関係式としてもつ結合的な環である。$D_k$ の各元は
$$
\sum_{i\ge1}a_{-i}V^i+a_0+\sum_{i\ge1}a_iF^i\qquad(a_j\in W,\ \text{有限和})
$$
の形に一意に書ける（Dem72 Chapter III）。$k\neq\mathbb{F}_p$ なら $\sigma\neq\mathrm{id}$ なので $D_k$ は非可換である。関係式 $Va=\sigma^{-1}(a)V$ は $aV=V\sigma(a)$ と同値である。
$k$ 上の Dieudonné 加群（Dieudonné module）とは、左 $D_k$ 加群のことである。言い換えると、$W$ 加群 $M$ と加法的写像 $F,V\colon M\to M$ の組であって、すべての $a\in W$、$m\in M$ に対して
$$
F(am)=\sigma(a)F(m),\qquad V(am)=\sigma^{-1}(a)V(m),\qquad FV=VF=p
$$
を満たすものである。第 1 の条件を「$F$ は $\sigma$ 線型」、第 2 の条件を「$V$ は $\sigma^{-1}$ 線型」という。Dieudonné 加群の射とは、$F$ と $V$ に可換な $W$ 線型写像である。Dieudonné 加群はアーベル圏をなす。とくに重要なのは次の 2 種類である。
Dieudonné 加群が分類する幾何学的対象は、標数 $p$ の有限可換群スキームと $p$ 可除群である。
$k$ 上の有限可換群スキームとは、$k$ 上有限次元の可換かつ余可換な Hopf代数 $A$ のスペクトル $G=\operatorname{Spec}A$ のことである（群スキーム）。$\dim_kA$ を $G$ の位数という。位数が $p$ の冪であるものを有限可換 $p$ 群スキームという。$G$ の Cartier双対 $G^D:=\operatorname{Spec}A^\vee$（$A^\vee=\operatorname{Hom}_k(A,k)$ に双対の Hopf 代数構造を入れたもの）も同じ位数の有限可換群スキームである。$G$ がエタールであるとは $A$ が $k$ 上エタールなこと、連結（無限小）であるとは $A$ が局所環であること、乗法型であるとは $G^D$ がエタールなこと、冪単であるとは $G^D$ が連結なことをいう。
$k$ 上の $p$ 可除群（Barsotti–Tate 群）で高さ $h$ のものとは、有限可換群スキームの帰納系 $(G_n,i_n\colon G_n\to G_{n+1})_{n\ge1}$ であって、各 $G_n$ の位数が $p^{nh}$ であり、$i_n$ が $G_n$ を $G_{n+1}$ の $p^n$ 倍写像の核 $G_{n+1}[p^n]$ と同一視するものをいう（Dieudonné加群とBarsotti–Tate群）。$G=\varinjlim G_n$ と書き、$G_n=G[p^n]$ と書く。
有限可換群スキーム $G$ には相対 Frobenius $F_G\colon G\to G^{(p)}$（Frobenius写像）と、その Cartier 双対から定まる Verschiebung（Verschiebung）$V_G\colon G^{(p)}\to G$ があり、$V_G\circ F_G=p\cdot\mathrm{id}_G$、$F_G\circ V_G=p\cdot\mathrm{id}_{G^{(p)}}$ を満たす。
有限可換群スキームから Dieudonné 加群を作る関手は、Witt ベクトルの群スキームを用いて構成される。ここでは冪単な群に対する構成を完全に述べ、一般の場合はそれと Cartier 双対から組み立てる（Dem72 Chapter III の構成）。
$n\ge1$ に対し、長さ $n$ の Witt ベクトルの群スキーム $W_n$ を、$k$ 代数 $R$ に加法群 $W_n(R)=\{(x_0,\dots,x_{n-1})\mid x_i\in R\}$（Witt 加法）を対応させる $k$ 上の可換群スキームとする。$W_n$ には群スキームの自己準同型
$$
F(x_0,\dots,x_{n-1})=(x_0^p,\dots,x_{n-1}^p),\qquad V(x_0,\dots,x_{n-1})=(0,x_0,\dots,x_{n-2})
$$
があり、$R$ の標数が $p$ なので $FV=VF=p$ が成り立つ。また移動
$$
T\colon W_n\to W_{n+1},\qquad (x_0,\dots,x_{n-1})\mapsto(0,x_0,\dots,x_{n-1})
$$
は単射な群スキームの準同型で、$F$、$V$ と可換である。$W(k)$ の元 $c$ は、その像 $c\in W_n(k)\subset W_n(R)$ による乗法 $x\mapsto cx$ として $W_n$ に作用し、$F(cx)=\sigma(c)F(x)$、$V(\sigma(c)x)=cV(x)$、$T(\sigma(c)x)=cT(x)$ が成り立つ。
$G$ を $k$ 上の冪単な有限可換 $p$ 群スキームとする。$G$ の反変 Dieudonné 加群を
$$
M(G):=\varinjlim_n\operatorname{Hom}_{k\text{-gr}}(G,W_n)
$$
（移行写像は $T$ との合成、帰納極限）と定め、$F$、$V$ を $W_n$ の $F$、$V$ との合成で、$a\in W$ の作用を $\operatorname{Hom}(G,W_n)$ 上では $\varphi\mapsto\sigma^{-n}(a)\varphi$ で定める。上の可換関係により、これらは移行写像と両立し、$M(G)$ は Dieudonné 加群になる。
$G$ が乗法型のときは、$G^D$ が冪単なので、有限長 Dieudonné 加群 $N$ の双対
$$
N^\vee:=\operatorname{Hom}_W(N,K/W),\qquad F_{N^\vee}(f):=\sigma\circ f\circ V_N,\qquad V_{N^\vee}(f):=\sigma^{-1}\circ f\circ F_N
$$
を用いて $M(G):=M(G^D)^\vee$ と定める。一般の有限可換 $p$ 群スキームは、$k$ が完全体なので冪単な部分と乗法型な部分の直積 $G=G_{\mathrm{u}}\times G_{\mathrm{m}}$ に一意に分解し（Dem72 Chapter II）、$M(G):=M(G_{\mathrm{u}})\oplus M(G_{\mathrm{m}})$（直和）と定める。$p$ 可除群 $G=\varinjlim G[p^n]$ に対しては $M(G):=\varprojlim_nM(G[p^n])$（射影極限）と定める。群スキームの射 $G\to H$ は Dieudonné 加群の射 $M(H)\to M(G)$ を誘導し、$M$ は反変関手である。
本記事は反変の規約を採用する（Dem72、Fon77 と同じ）。共変の規約（Cartier 理論や Zink の displays、BBM82 の一部）では $F$ と $V$ の役割が入れ替わり、たとえばエタール群は「$V$ が全単射」で特徴づけられる。文献を比較するときは規約を必ず確認する必要がある。また $\sigma$ 線型写像 $F\colon M\to M$ は $W$ 線型写像 $F^{\mathrm{lin}}\colon M^{(\sigma)}:=W\otimes_{\sigma,W}M\to M$、$a\otimes m\mapsto aF(m)$ と同じ情報であり、分類定理はこの線型化を通して $F^{\mathrm{lin}}$ を $F_G$ に、$V$ の線型化 $M\to M^{(\sigma)}$ を $V_G$ に対応させる。
直感
標数 $p$ の体上では、$\mu_p=\operatorname{Spec}k[t]/(t^p-1)$ や $\alpha_p=\operatorname{Spec}k[t]/(t^p)$ のように、幾何学的な点が単位元 1 つしかない非被約な群スキームが現れ、点の集合（Galois加群）では群スキームを区別できない。標数と異なる素数 $\ell$ に対しては $\ell$ 冪捩れ点の Galois 加群、すなわち Tate加群が有効だが、$p$ 冪捩れにはこの方法は通用しない。Dieudonné 理論は、群スキームを Witt ベクトルの群スキーム $W_n$ への準同型で「探る」ことで、見えない無限小構造を Witt 環上の半線型代数に移す。群スキーム側の 2 つの基本操作、相対 Frobenius $F_G$ と Verschiebung $V_G$ は加群側の $F$、$V$ に移り、$V_GF_G=p$ は $FV=VF=p$ という単純な関係式になる。$F$ が可逆ならエタール、$V$ が可逆なら乗法型、$F$ と $V$ がともに冪零なら $\alpha_p$ 型、というのが基本的な辞書である。$p$ 可除群の場合には有限レベル $G[p^n]$ の加群が射影極限で一つの有限階数自由 $W$ 加群にまとまり、これは標数 $0$ の Tate加群 $T_\ell$ の $p$ における代替物として働く。さらに、$M(G)\otimes_WK$ 上の $F$ の「傾き」が $p$ 可除群の同種類（同種写像）を決め（Manin の分類）、楕円曲線の通常・超特異の区別が傾きの違いとして現れる。
例と反例
定数群スキーム $\mathbb{Z}/p$、乗法群の $p$ 乗写像の核 $\mu_p=\operatorname{Spec}k[t]/(t^p-1)$、加法群の Frobenius の核 $\alpha_p=\operatorname{Spec}k[t]/(t^p)$ の反変 Dieudonné 加群は、いずれも $W$ 加群として $k=W/pW$ に同型な 1 次元 $k$ ベクトル空間であり、適当な基底 $e$ に関して $F$、$V$ は次のように作用する。
$$
\begin{array}{c|cc}
G & F(e) & V(e)\\ \hline
\mathbb{Z}/p & e & 0\\
\mu_p & 0 & e\\
\alpha_p & 0 & 0
\end{array}
$$
とくに $F$ が全単射なのは $\mathbb{Z}/p$ だけ、$V$ が全単射なのは $\mu_p$ だけであり、3 つの Dieudonné 加群は互いに同型でない。
段 1（$\mathbb{Z}/p$）．$(\mathbb{Z}/p)^D\cong\mu_p$ であり（Cartier双対）、$k[t]/(t^p-1)=k[t]/((t-1)^p)$ は局所環なので $\mu_p$ は連結、よって $\mathbb{Z}/p$ は冪単である。定数群スキームからの準同型は $k$ 有理点のなす群の準同型と同じものだから
$$
\operatorname{Hom}_{k\text{-gr}}(\mathbb{Z}/p,W_n)\cong W_n(k)[p]:=\{x\in W_n(k)\mid px=0\},\qquad\varphi\mapsto\varphi(1)
$$
である。$W_n(k)$ 上で $p=VF$ であり、$k$ が完全体なので $F$ は $W_n(k)$ 上全単射である。したがって $px=0$ は $V(F(x))=0$、すなわち $F(x)$ の第 $0$ 成分から第 $n-2$ 成分までが $0$ であることと同値で、これは $x=(0,\dots,0,x_{n-1})$ の形であることと同値である。ゆえに $W_n(k)[p]=\{(0,\dots,0,c)\mid c\in k\}\cong k$ で、移行写像 $T$ は $(0,\dots,0,c)\in W_n(k)$ を $(0,\dots,0,c)\in W_{n+1}(k)$ に送るから同型である。よって $M(\mathbb{Z}/p)\cong k$ で、$c\in k$ に対し $F(0,\dots,0,c)=(0,\dots,0,c^p)$、$V(0,\dots,0,c)=0$ である。$e$ を $c=1$ に対応する元とすれば $F(e)=e$、$V(e)=0$ で、$F$ は $c\mapsto c^p$ なので全単射である。$W$ の作用は $W\to k$ を経由する（$n$ に応じた $\sigma$ のねじれは $k$ 上 1 次元であることを変えない）。
段 2（$\alpha_p$）．まず $\alpha_p^D\cong\alpha_p$ を示す。$A=k[t]/(t^p)$ の基底 $1,t,\dots,t^{p-1}$ の双対基底を $t_0^*,\dots,t_{p-1}^*$ とする。$A$ の余積 $\Delta(t^i)=\sum_j\binom{i}{j}t^j\otimes t^{i-j}$ から $A^\vee$ の積は $t_i^*t_j^*=\binom{i+j}{i}t_{i+j}^*$（$i+j\ge p$ なら $0$）で、$u:=t_1^*$ とおくと $u^i=i!\,t_i^*$ である。$i\le p-1$ なら $i!$ は $k$ で可逆だから $A^\vee=k[u]/(u^p)$ であり、$A$ の積 $t^it^j=t^{i+j}$ から $A^\vee$ の余積は $\Delta(u)=u\otimes1+1\otimes u$ である。これは $\alpha_p$ の Hopf 代数そのものだから $\alpha_p^D\cong\alpha_p$ で、$\alpha_p$ は連結なので冪単である。
次に $\operatorname{Hom}_{k\text{-gr}}(\alpha_p,W_n)$ を計算する。準同型 $\varphi\colon\alpha_p\to W_n$ は、環準同型 $\varphi^*\colon k[x_0,\dots,x_{n-1}]\to k[t]/(t^p)$ の像 $f_i:=\varphi^*(x_i)$ を並べた Witt ベクトル $f=(f_0,\dots,f_{n-1})\in W_n(k[t]/(t^p))$ で、$k[t,s]/(t^p,s^p)$ の Witt ベクトルの等式
$$
f(t+s)=f(t)+f(s)
$$
（左辺は $t\mapsto t+s$ を成分ごとに施したもの）と $f(0)=0$ を満たすものと同じである。
（a）$n=1$ のとき。$f_0=\sum_{j=0}^{p-1}a_jt^j$ が加法的なら、$f_0(0)=0$ より $a_0=0$、$2\le j\le p-1$ に対し $(t+s)^j$ の $t^{j-1}s$ の係数 $j$ は $k$ で可逆なので、$f_0(t+s)-f_0(t)-f_0(s)$ の $t^{j-1}s$ の係数 $ja_j$ が $0$ であることから $a_j=0$ である（$j\le p-1$ なので単項式 $t^{j-1}s$ は $k[t,s]/(t^p,s^p)$ で $0$ でない）。逆に $ct$ は加法的である。よって $\operatorname{Hom}(\alpha_p,W_1)=\{t\mapsto ct\mid c\in k\}\cong k$ である。
（b）$n\ge2$ のとき、$f_0=0$ である。実際、Witt 加法の第 $0$、第 $1$ 成分は
$$
(x+y)_0=x_0+y_0,\qquad(x+y)_1=x_1+y_1+\frac{x_0^p+y_0^p-(x_0+y_0)^p}{p}=x_1+y_1-\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{p}\binom{p}{i}x_0^iy_0^{p-i}
$$
である。第 $0$ 成分の加法性と（a）から $f_0=ct$ であり、第 $1$ 成分の加法性は
$$
f_1(t+s)-f_1(t)-f_1(s)=-c^p\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{p}\binom{p}{i}t^is^{p-i}
$$
を意味する。$f_1=\sum_{j=1}^{p-1}b_jt^j$ と書くと（$f(0)=0$ より定数項はない）、左辺は全次数 $j\le p-1$ の単項式しか含まないが、右辺の $ts^{p-1}$ の係数は $-c^p\cdot\frac{1}{p}\binom{p}{1}=-c^p$ であり、$ts^{p-1}$ は $k[t,s]/(t^p,s^p)$ で $0$ でない。ゆえに $c^p=0$、すなわち $c=0$ である。
（c）$f_0=0$ なら $f=T(f')$、$f'=(f_1,\dots,f_{n-1})\in W_{n-1}(k[t]/(t^p))$ と書け、$T$ が単射な準同型であることから $f'$ も加法的である。帰納法により
$$
\operatorname{Hom}(\alpha_p,W_n)=T^{n-1}\operatorname{Hom}(\alpha_p,W_1)=\{t\mapsto(0,\dots,0,ct)\mid c\in k\}\cong k
$$
で、移行写像は同型である。よって $M(\alpha_p)\cong k$ であり、$F(0,\dots,0,ct)=(0,\dots,0,c^pt^p)=0$（$t^p=0$）、$V(0,\dots,0,ct)=0$ だから $F=V=0$ である。
段 3（$\mu_p$）．$\mu_p=(\mathbb{Z}/p)^D$ は乗法型で、def-dieudonne-module-functor により $M(\mu_p)=M(\mathbb{Z}/p)^\vee=\operatorname{Hom}_W(ke,K/W)$ である。$\operatorname{Hom}_W(k,K/W)$ は $(K/W)[p]=p^{-1}W/W\cong k$ に同型な 1 次元 $k$ ベクトル空間で、$e^*(e)=p^{-1}$ で定まる $e^*$ を基底にもつ。$F_{N^\vee}(e^*)=\sigma\circ e^*\circ V=0$（$V=0$ だから）、$V_{N^\vee}(e^*)=\sigma^{-1}\circ e^*\circ F$ は $e\mapsto\sigma^{-1}(p^{-1})=p^{-1}$ なので $V_{N^\vee}(e^*)=e^*$ である。よって $M(\mu_p)=ke^*$ 上で $F=0$、$V(e^*)=e^*$ で、$V$ は $\sigma^{-1}$ 線型な全単射である。
最後に、$F$ または $V$ が全単射であるか零であるかは Dieudonné 加群の同型で保たれるので、表の 3 つは互いに同型でない。$\square$
$k$ が代数閉体でないとき、$\mathbb{Z}/p$ のねじれた形（位数 $p$ のエタール群スキームで $\bar k$ 上 $\mathbb{Z}/p$ に同型なもの）の Dieudonné 加群は $ke$、$F(e)=ue$（$u\in k^\times$）の形になり、$u$ を $1$ に正規化できるとは限らない。$F$ が全単射であることだけが「エタール」に対応する。
$p$ 可除群の Dieudonné 加群は有限階数自由 $W$ 加群で、その階数は高さに等しい（thm-dieudonne-module-bt）。基本的な例は次のとおりである。
- $\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p=\varinjlim\mathbb{Z}/p^n$（高さ $1$ のエタール $p$ 可除群）：$M=We$、$F(e)=e$、$V(e)=pe$。
- $\mu_{p^\infty}=\varinjlim\mu_{p^n}$（高さ $1$ の乗法型 $p$ 可除群）：$M=We$、$F(e)=pe$、$V(e)=e$。
- $g$ 次元アーベル多様体 $A$ の $A[p^\infty]=\varinjlim A[p^n]$（高さ $2g$）：$M(A[p^\infty])$ は $W$ 上階数 $2g$ で、$\dim_kM/FM=g$ である。
1 と 2 の計算および $\mathbb{Z}/p$ の場合との整合 $M(G[p])=M(G)/pM(G)$ は Dieudonné加群とBarsotti–Tate群 の記事が扱う。3 で $\dim_kM/FM=\dim A$ となるのは、一般に $p$ 可除群 $G$ に対し $\dim_kM(G)/FM(G)=\dim G$（$G$ の次元。$A[p^\infty]$ では $\dim A$）が成り立つからである（Dem72 Chapter III）。
$E$ を $k$ 上の楕円曲線とする。$E[p^\infty]$ は高さ $2$、次元 $1$ の $p$ 可除群で、その反変 Dieudonné 加群 $M(E[p^\infty])$ は階数 $2$ の自由 $W$ 加群である。この加群は $E$ の結晶コホモロジーと一致する。すなわち、$F$、$V$ と両立する自然な同型
$$
M(E[p^\infty])\cong H^1_{\mathrm{cris}}(E/W)
$$
がある。ここで右辺の $F$ は $E$ の絶対 Frobenius が誘導する $\sigma$ 線型写像で、$V$ は $pF^{-1}$ である。$p$ で還元すると $M(E[p])\cong H^1_{\mathrm{dR}}(E/k)$（de Rhamコホモロジー）となり、Hodgeフィルトレーション $H^0(E,\Omega^1_E)\subset H^1_{\mathrm{dR}}(E/k)$ は $\ker(F)=\operatorname{im}(V)$ に対応する（Oda69）。より一般に、$k$ 上のアーベル多様体 $A$ について $M(A[p^\infty])\cong H^1_{\mathrm{cris}}(A/W)$、$M(A[p])\cong H^1_{\mathrm{dR}}(A/k)$ である。これらは言明であり、証明は Oda69（de Rham）と BBM82（結晶）に譲る。
$E$ を $k$ 上の楕円曲線、$M:=M(E[p^\infty])$、$\bar M:=M/pM=M(E[p])$、$\bar F$ を $\bar M$ 上に $F$ が誘導する写像とする。$E$ が通常であるとは $E[p](\bar k)\cong\mathbb{Z}/p$、超特異であるとは $E[p](\bar k)=0$ であることをいう（超特異楕円曲線。$E[p](\bar k)$ はこのどちらかである。Sil09 III.6.4）。このとき次が成り立つ。
- $E$ が超特異であることと、$\bar F$ が $\bar M$ 上冪零であることは同値であり、さらに $F^2M=pM$ と同値である。
- $E$ が通常であることと、$\bar F$ が $\bar M$ 上冪零でないことは同値であり、このとき $M=M_1\oplus M_2$（各 $M_i$ は階数 $1$ の Dieudonné 加群）と分解して、$F$ は $M_1$ 上全単射、$F(M_2)=pM_2$ である。$k$ が代数閉体なら基底 $e_1,e_2$ を
$$ F(e_1)=e_1,\quad V(e_1)=pe_1,\qquad F(e_2)=pe_2,\quad V(e_2)=e_2 $$
となるように取れる。
証明には、Dieudonné 理論の主定理（thm-dieudonne-module-main、thm-dieudonne-module-bt）と、それから従う辞書（prop-dieudonne-module-dictionary）、および $\dim_kM/FM=\dim E[p^\infty]=1$（ex-dieudonne-module-bt）を用いる。
段 1（$\bar F$ の階数）．$M$ は階数 $2$ の自由 $W$ 加群で $\dim_kM/FM=1$ だから、prop-dieudonne-module-reduction により $\bar M$ 上で $\dim_k\ker\bar F=1$、$\dim_k\operatorname{im}\bar F=1$ である。
段 2（超特異と冪零性）．$k$ は完全体なので $E[p]$ は連結–エタール完全列 $0\to E[p]^0\to E[p]\to E[p]^{\mathrm{et}}\to0$ をもち、$E[p]^{\mathrm{et}}(\bar k)=E[p](\bar k)$ である（Dem72 Chapter II）。反変 Dieudonné 関手は完全なので $0\to M(E[p]^{\mathrm{et}})\to\bar M\to M(E[p]^0)\to0$ は完全で、辞書により $F$ は $M(E[p]^{\mathrm{et}})$ 上全単射、$M(E[p]^0)$ 上冪零である。したがって $\bar F$ が冪零であることは $M(E[p]^{\mathrm{et}})=0$ と同値で、これは主定理の長さの対応により $E[p]^{\mathrm{et}}$ が自明、すなわち $E[p](\bar k)=0$ と同値である。これが 1 の前半と 2 の前半である。
段 3（$F^2M=pM$）．$\bar F$ が冪零で $\operatorname{im}\bar F$ が 1 次元なら、$\operatorname{im}\bar F\subset\ker\bar F$ でなければならない（そうでなければ $\bar F$ は直線 $\operatorname{im}\bar F$ 上で全単射になり冪零でない）。両者は 1 次元だから $\operatorname{im}\bar F=\ker\bar F$、よって $\bar F^2=0$、すなわち $F^2M\subset pM$ である。逆に $F^2M\subset pM$ なら $\bar F^2=0$ で $\bar F$ は冪零である。$F^2M\subset pM$ のとき等号が成り立つことを長さで見る。$F$ は単射で、$FM\subset M$ の上に $\sigma$ 線型な全単射 $M\to FM$ を与えるから、$M/FM\to FM/F^2M$ も全単射で、$\operatorname{length}_W(M/F^2M)=2\operatorname{length}_W(M/FM)=2=\operatorname{length}_W(M/pM)$ である。$F^2M\subset pM$ と合わせて $F^2M=pM$ を得る。
段 4（通常の場合の分解）．$E$ が通常なら、$p$ 可除群 $E[p^\infty]$ の連結–エタール完全列 $0\to E[p^\infty]^0\to E[p^\infty]\to E[p^\infty]^{\mathrm{et}}\to0$ は、$k$ が完全体なので分裂する（Dem72 Chapter II、Tat67）。$E[p^\infty]^{\mathrm{et}}[p]=E[p]^{\mathrm{et}}$ の位数は $p$ だから $E[p^\infty]^{\mathrm{et}}$ の高さは $1$、よって $E[p^\infty]^0$ の高さも $1$ である。$M_1:=M(E[p^\infty]^{\mathrm{et}})$、$M_2:=M(E[p^\infty]^0)$ とおけば $M\cong M_1\oplus M_2$ で、各 $M_i$ は階数 $1$ である。辞書により $F$ は各 $M_1/p^nM_1=M(E[p^\infty]^{\mathrm{et}}[p^n])$ 上全単射であり、$F$ は $M_1$ 上単射で $FM_1+pM_1=M_1$ だから Nakayama の補題により $M_1$ 上全単射である。$M_2$ 上では $F$ は $\bar M_2$ 上冪零で、階数 $1$ の自由加群上の $\sigma$ 線型単射 $F$ は $F(e_2)=ce_2$（$c\in W$、$c\ne0$）と書けるから、冪零性は $c\in pW$ を意味する。他方 $\dim_kM/FM=1$ と $F$ が $M_1$ 上全射であることから $\dim_kM_2/FM_2=1$、すなわち $c\in pW\setminus p^2W$ で、$F(M_2)=pM_2$ である。$k$ が代数閉体のときは、$F(e_1)=ue_1$、$F(e_2)=pu'e_2$（$u,u'\in W^\times$）の単元 $u,u'$ を、$\sigma(\lambda)u=\lambda$ を満たす $\lambda\in W^\times$（代数閉体上の Witt 環では任意の単元 $u$ に対して存在する。Dem72 Chapter IV）で基底を取り換えて $1$ にできる。$V=pF^{-1}$ から $V$ の作用が従う。$\square$
超特異の場合に $k$ が代数閉体なら、基底 $e_1,e_2$ を $F(e_1)=e_2$、$F(e_2)=pe_1$（したがって $V(e_1)=e_2$、$V(e_2)=pe_1$）となるように取れる。これは $F^2M=pM$ を満たす階数 $2$ の Dieudonné 加群が $\bar k$ 上同型を除いて一意であることによる（Dem72 Chapter IV、Man63）。この形は thm-dieudonne-module-manin の記号で傾き $1/2$ の単純対象 $E_{1/2}$ の格子であり、通常の場合の $M_1\oplus M_2$ は傾き $0$ と $1$ の和である。通常・超特異の区別は、$\bar F$ の冪零性（Hasse不変量が $0$ かどうか）、$F^2M=pM$ かどうか、傾きが $\{1/2,1/2\}$ か $\{0,1\}$ か、という 3 通りに言い換えられる。
$\ell\ne p$ を素数とし、定数群スキーム $\mathbb{Z}/\ell$ を考える。def-dieudonne-module-functor の構成を形式的に適用すると
$$
\operatorname{Hom}_{k\text{-gr}}(\mathbb{Z}/\ell,W_n)\cong W_n(k)[\ell]=0
$$
である。実際 $W_n(k)=W/p^nW$ は $p^n$ で消されるので $\ell$ は $W_n(k)$ 上可逆であり、$\ell x=0$ なら $x=0$ である。したがって「$M(\mathbb{Z}/\ell)$」は $0$ となり、位数 $\ell$ の群を位数 $1$ の群と区別できない。
- 満たす性質：$\mathbb{Z}/\ell$ は $k$ 上の有限可換群スキーム（エタール）である。
- 満たさない性質：位数が $p$ の冪でない。
- 破る含意：「有限可換群スキームは Dieudonné 加群で分類される」は位数が $p$ の冪のときにしか成り立たない（thm-dieudonne-module-main の仮定）。位数が $p$ と素な群スキームはすべてエタールで、$\bar k$ 有理点のなす Galois 加群 $G(\bar k)$ で分類され、その極限が Tate加群 $T_\ell$ である。Dieudonné 加群は $T_\ell$ の $p$ における代替物であって、$\ell\ne p$ には適用しない。
性質
主定理
$k$ を標数 $p$ の完全体とする。反変 Dieudonné 関手 $G\mapsto M(G)$ は、$k$ 上の有限可換 $p$ 群スキームの圏と、$k$ 上の有限長 Dieudonné 加群の圏との間の反変な圏同値（反同値）を与える。さらに次が成り立つ。
- $G$ の位数が $p^r$ であることと、$M(G)$ の $W$ 加群としての長さが $r$ であることは同値である。
- 関手は完全である。すなわち短完全列 $0\to G'\to G\to G''\to0$ は短完全列 $0\to M(G'')\to M(G)\to M(G')\to0$ に移る。
- $M(G^{(p)})\cong M(G)^{(\sigma)}=W\otimes_{\sigma,W}M(G)$ であり、この同一視のもとで $M(F_G)\colon M(G)^{(\sigma)}\to M(G)$ は $F$ の線型化 $a\otimes m\mapsto aF(m)$、$M(V_G)\colon M(G)\to M(G)^{(\sigma)}$ は $V$ の線型化 $m\mapsto1\otimes V(m)$ である。
この定理は Dieudonné 理論の主定理であり、証明は Dem72 Chapter III（Witt ベクトルによる構成と冪単な群に対する反同値、Cartier 双対による拡張）、および Fon77（Witt 余ベクトル $CW$ を用いた $M(G)=\operatorname{Hom}(G,CW)$ による統一的な構成）に譲る。Fon77 の構成では、def-dieudonne-module-functor の冪単な場合と乗法型な場合の 2 つの定義が一つの式にまとまる。共変の Dieudonné 加群を用いる文献では、$F$ と $V$ の役割が入れ替わり、短完全列の向きも保たれる。
$k$ を標数 $p$ の完全体とする。反変 Dieudonné 関手は、$k$ 上の $p$ 可除群の圏と、$k$ 上の有限階数自由 Dieudonné 加群の圏との間の反同値を与える。$p$ 可除群 $G$ に対して次が成り立つ。
- $G$ の高さが $h$ であることと、$M(G)$ の $W$ 上の階数が $h$ であることは同値である。
- 各 $n\ge1$ に対し $M(G[p^n])\cong M(G)/p^nM(G)$ である。
- $\dim_kM(G)/FM(G)=\dim G$ である。ここで $\dim G$ は $G$ の次元（$G$ の連結部分に付随する形式群の次元）である。
証明は Dem72 Chapter III と Fon77 に譲る。1 が有限レベルの主定理から従うことの証明は Dieudonné加群とBarsotti–Tate群 の記事にある。3 は、有限レベルで $M(H)/FM(H)$ が $H$ の単位元における余接空間に同型であること（Fon77）から従う。
自由Dieudonné加群の還元
$M$ を $W$ 上階数 $h$ の自由 Dieudonné 加群、$\bar M:=M/pM$、$\bar F$、$\bar V$ を $\bar M$ 上に誘導される写像とし、$d:=\dim_kM/FM$ とおく。このとき次が成り立つ。
- $pM\subset FM\subset M$、$pM\subset VM\subset M$ であり、$\dim_kM/VM=h-d$ である。
- $\bar M$ 上で $\ker\bar F=\operatorname{im}\bar V$、$\ker\bar V=\operatorname{im}\bar F$ であり、$\dim_k\ker\bar F=d$、$\dim_k\ker\bar V=h-d$ である。
段 1．$pM=F(VM)\subset FM$、$pM=V(FM)\subset VM$ である。$M$ は $p$ 捩れをもたないので、$FV=p$ から $F$ と $V$ は単射である。$F$ は $\sigma$ 線型な単射なので $M$ から $FM$ への $\sigma$ 線型な全単射で、$V M\subset M$ を $F(VM)=pM\subset FM$ に写す。したがって $F$ は $\sigma$ 線型な全単射 $M/VM\to FM/pM$ を誘導する。$\sigma$ は $W$ の自己同型なので $\sigma$ 線型な全単射は $W$ 加群の長さを保ち、$\dim_kM/VM=\dim_kFM/pM=h-\dim_kM/FM=h-d$ である（$FM/pM$ は $pM\subset FM$ により $\bar M$ の部分空間で、$\dim_k\bar M=h$）。
段 2．$\bar M$ 上で $\bar F\bar V=\bar V\bar F=0$ だから $\operatorname{im}\bar V\subset\ker\bar F$、$\operatorname{im}\bar F\subset\ker\bar V$ である。次元を数える。$\operatorname{im}\bar F=(FM+pM)/pM=FM/pM$ の次元は $h-d$、したがって $\dim_k\ker\bar F=d$ である。同様に $\operatorname{im}\bar V=VM/pM$ の次元は $h-\dim_kM/VM=d$ で、$\dim_k\ker\bar V=h-d$ である。よって $\operatorname{im}\bar V\subset\ker\bar F$ は次元がともに $d$ で等号が成り立ち、$\operatorname{im}\bar F\subset\ker\bar V$ も次元がともに $h-d$ で等号が成り立つ。$\square$
$p$ 可除群 $G$ に対しては $d=\dim G$ であり、$h-d=\dim G^D$ である（thm-dieudonne-module-cartier）。楕円曲線では $h=2$、$d=1$ で、$\bar F$ と $\bar V$ はともに階数 $1$ になる。これは prop-dieudonne-module-ordinary-supersingular の証明の出発点であった。
FrobeniusとVerschiebungによる辞書
$G$ を $k$ 上の有限可換 $p$ 群スキーム、$M=M(G)$ とする。
- $G$ がエタールであることと、$F$ が $M$ 上全単射であることは同値である。
- $G$ が連結であることと、$F$ が $M$ 上冪零であることは同値である。
- $G$ が乗法型であることと、$V$ が $M$ 上全単射であることは同値である。
- $G$ が冪単であることと、$V$ が $M$ 上冪零であることは同値である。
- 連結–エタール完全列 $0\to G^0\to G\to G^{\mathrm{et}}\to0$ は、Fitting 分解 $M=M_{\mathrm{bij}}\oplus M_{\mathrm{nil}}$（$F$ が全単射な最大の部分 Dieudonné 加群と、$F$ が冪零な最大の部分 Dieudonné 加群の直和）に対応し、$M(G^{\mathrm{et}})\cong M_{\mathrm{bij}}$、$M(G^0)\cong M_{\mathrm{nil}}$ である。
群スキーム側の次の事実を用いる（Dem72 Chapter II）。(i) $G$ がエタールであることと $F_G$ が同型であることは同値。(ii) $G$ が連結であることと、ある $n$ に対して $n$ 回合成 $F_G^n\colon G\to G^{(p^n)}$ が零射であることは同値。(iii) $V_G$ は $F_{G^D}$ の Cartier 双対である。
1 と 2．thm-dieudonne-module-main の 3 により $M(F_G)$ は $F$ の線型化 $F^{\mathrm{lin}}\colon M^{(\sigma)}\to M$ である。$\sigma$ は $W$ の自己同型なので $m\mapsto1\otimes m$ は $M\to M^{(\sigma)}$ の $\sigma^{-1}$ 線型な全単射であり、$F^{\mathrm{lin}}$ が全単射であることと $F$ が全単射であることは同値、$M(F_G^n)$ が零であることと $F^n=0$ であることは同値である。反同値は充満忠実なので、$F_G$ が同型であることと $M(F_G)$ が同型であることは同値で、$F_G^n=0$ と $M(F_G^n)=0$ も同値である。(i)、(ii) と合わせて 1、2 を得る。
3 と 4．$G$ が乗法型（冪単）であるとは $G^D$ がエタール（連結）であることだから、1、2 を $G^D$ に適用すると、$F$ が $M(G^D)$ 上全単射（冪零）であることと同値である。thm-dieudonne-module-cartier により $M(G^D)\cong M(G)^\vee=\operatorname{Hom}_W(M(G),K/W)$ で、その $F$ は $f\mapsto\sigma\circ f\circ V$ である。$K/W$ は有限長 $W$ 加群の圏の単射的余生成子なので $N\mapsto N^\vee$ は完全かつ忠実であり、$V$ が $M(G)$ 上全単射（冪零）であることと、$f\mapsto\sigma\circ f\circ V$ が $M(G)^\vee$ 上全単射（冪零）であることは同値である。
5．$M$ は有限長なので、$F$ による Fittingの補題（$F$ は加法的で、$F^nM$ と $\ker F^n$ は $W$ 部分加群である）により、十分大きな $n$ に対し $M=F^nM\oplus\ker F^n$ で、$F$ は $F^nM$ 上全単射、$\ker F^n$ 上冪零であり、この分解は $V$ でも保たれる（$V=pF^{-1}$ が $F^nM$ 上定まり、$V\ker F^n\subset\ker F^n$ は $F^nV=VF^n$ から従う）。一方 $k$ が完全体なので $G\cong G^0\times G^{\mathrm{et}}$ であり（Dem72 Chapter II）、$M\cong M(G^{\mathrm{et}})\oplus M(G^0)$ で、1、2 により $F$ は前者で全単射、後者で冪零である。Fitting 分解の一意性から $M(G^{\mathrm{et}})\cong M_{\mathrm{bij}}$、$M(G^0)\cong M_{\mathrm{nil}}$ である。$\square$
双対性
$G$ を $k$ 上の有限可換 $p$ 群スキームとすると、Dieudonné 加群の自然な同型
$$
M(G^D)\cong M(G)^\vee=\operatorname{Hom}_W(M(G),K/W),\qquad F_{M^\vee}(f)=\sigma\circ f\circ V,\quad V_{M^\vee}(f)=\sigma^{-1}\circ f\circ F
$$
がある。$G$ が高さ $h$ の $p$ 可除群のときは、その Cartier 双対 $G^D=\varinjlim G[p^n]^D$（移行写像は $p$ 倍写像の双対）も高さ $h$ の $p$ 可除群で、
$$
M(G^D)\cong\operatorname{Hom}_W(M(G),W),\qquad F_{M^\vee}(f)=\sigma\circ f\circ V,\quad V_{M^\vee}(f)=\sigma^{-1}\circ f\circ F
$$
である。とくに $\dim G^D=\dim_kM(G)/VM(G)=h-\dim G$ である。
有限レベルの同型は Dem72 Chapter III と Fon77、$p$ 可除群の場合も Dem72 Chapter III に譲る。$\dim G^D$ の式は、$M(G)^\vee$ 上の $F$ が $V$ の転置であることと thm-dieudonne-module-bt の 3 から従う。$\mathbb{Z}/p$ と $\mu_p$、$\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ と $\mu_{p^\infty}$ が互いに Cartier 双対であることは、prop-dieudonne-module-order-p と ex-dieudonne-module-bt の表で $F$ と $V$ が入れ替わっていることに対応する。アーベル多様体 $A$ に対しては $A[p^\infty]^D\cong A^\vee[p^\infty]$（$A^\vee$ は双対アーベル多様体）であり、Dieudonné 加群の双対性は $H^1_{\mathrm{cris}}$ の Poincaré双対に対応する。
Dieudonné–Manin分類
$p$ 可除群を同種の違いを除いて分類するには、Dieudonné 加群を $K=W[1/p]$ 上で考えればよい。
$k$ 上の $F$ 同種類（$F$-isocrystal）とは、$K$ 上の有限次元ベクトル空間 $N$ と $\sigma$ 線型な全単射 $F\colon N\to N$ の組である。有限階数自由 Dieudonné 加群 $M$ に対し $M\otimes_WK$ は $F$ 同種類であり、$p$ 可除群 $G,G'$ が同種（核が有限な全射 $G\to G'$、すなわち同種写像が存在する）であることと $M(G)\otimes_WK\cong M(G')\otimes_WK$ は同値である。有理数 $\lambda=r/s$（$s\ge1$、$\gcd(r,s)=1$）に対し、$K$ 上の基底 $e_1,\dots,e_s$ をもち
$$
F(e_i)=e_{i+1}\ (1\le i< s),\qquad F(e_s)=p^re_1
$$
で定まる $F$ 同種類を $E_\lambda$ と書く。$E_\lambda$ の次元は $s$ で、$F^s=p^r\sigma^s$ の形をしている。
$k$ を標数 $p$ の代数閉体とする。
- 各 $E_\lambda$ は単純な $F$ 同種類で、$\lambda\ne\lambda'$ なら $E_\lambda\not\cong E_{\lambda'}$ であり、$\operatorname{End}(E_\lambda)$ は $\mathbb{Q}_p$ 上 $s^2$ 次元の中心的斜体（中心単純環）である。
- $k$ 上の任意の $F$ 同種類 $N$ は、$N\cong\bigoplus_{\lambda\in\mathbb{Q}}E_\lambda^{\oplus m_\lambda}$ と分解し、重複度 $m_\lambda$ は $N$ から一意に定まる。$m_\lambda>0$ となる $\lambda$ を $N$ の（$F$ の）傾きといい、$\lambda=r/s$ を重複度 $sm_\lambda$ で数えた $\dim_KN$ 個の傾きの列を $N$ の Newton多角形という。
- $p$ 可除群 $G$ に対し $M(G)\otimes_WK$ の傾きはすべて閉区間 $[0,1]$ に属し、$G\mapsto$（傾きの列）は、$k$ 上の $p$ 可除群の同種類全体と、$[0,1]$ の有理数 $r/s$ を $s$ の倍数の重複度で並べた有限列全体との間の全単射を与える。Cartier 双対 $G\mapsto G^D$ は傾き $\lambda$ を $1-\lambda$ に移す。
1、2 は Dieudonné が始め Manin が完成した分類定理で、証明は Man63 と Dem72 Chapter IV に譲る。3 の傾きが $[0,1]$ に入ることは、$M(G)$ 上で $V=pF^{-1}$ が定義されていること（$F$ は格子 $M(G)$ を保ち、$F^{-1}$ は $p^{-1}M(G)$ に収まる）から従い、逆に $[0,1]$ の傾きをもつ $F$ 同種類が $p$ 可除群から来ることは Dem72 Chapter IV に譲る。例：$\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ の傾きは $0$、$\mu_{p^\infty}$ の傾きは $1$、通常楕円曲線の $E[p^\infty]$ の傾きは $0,1$、超特異楕円曲線では $1/2,1/2$ である（prop-dieudonne-module-ordinary-supersingular）。$g$ 次元アーベル多様体では傾きの列は $\lambda\mapsto1-\lambda$ で対称である。有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の $p$ 可除群では、傾きは Frobenius $F^a$（$q=p^a$）の固有値の $\operatorname{ord}_q$ に一致し、楕円曲線が通常であることは Frobenius のトレース $a_E$ が $p$ で割れないことと同値である（Man63、Sil09 Chapter V）。
結晶的Dieudonné理論
Grothendieck は、$p$ 可除群の Dieudonné 加群を完全体上に限らず標数 $p$ の任意の底スキーム $S$ の上で定義するために、Dieudonné 加群を $S$ 上の結晶（結晶コホモロジーの係数）として捉え直すことを提案した。BBM82 は $S$ 上の $p$ 可除群 $G$ に対し Dieudonné 結晶 $\mathbb{D}(G)$ を構成し、$S=\operatorname{Spec}k$ のとき $\mathbb{D}(G)$ の $W$ 上の値が本記事の $M(G)$ に一致すること、アーベルスキーム $A/S$ に対し $\mathbb{D}(A[p^\infty])\cong\mathcal{H}^1_{\mathrm{cris}}(A/S)$ であることを示した。ex-dieudonne-module-elliptic-crystalline の同型 $M(E[p^\infty])\cong H^1_{\mathrm{cris}}(E/W)$ はその特別な場合である。この見方では、Dieudonné 加群の $F$ は結晶コホモロジーの Frobenius、Hodge フィルトレーションは $\ker\bar F$ に対応し、thm-dieudonne-module-manin の傾きは結晶コホモロジーの Newton 多角形に一致する。結晶コホモロジーの基礎は BO78 を参照。
関連項目
参考文献
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