三角形に内接する正方形

$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(0,4)$ を頂点とする直角二等辺三角形を考える。$AB=CA=4$、斜辺は $BC=4\sqrt2$ である。
(1) 脚 $AB$ の上に置く。正方形の 1 つの頂点を直角の頂点 $A$ に置き、1 辺を $s$ とすると、4 頂点は $(0,0)$、$(s,0)$、$(s,s)$、$(0,s)$ である。頂点 $(s,s)$ が斜辺 $BC$（直線 $x+y=4$）の上にくるように $s$ を決めると、$s+s=4$ より $s=2$ である。
(2) 斜辺 $BC$ の上に置く。正方形の 2 頂点を斜辺 $BC$ の上に、残りの 2 頂点 $S$、$T$ を脚 $AB$、$CA$ の上に置く。辺 $ST$ は $BC$ に平行で、$BC$ から距離 $s$ のところにある。$A$ から $BC$ までの距離（高さ）は、三角形の面積 $8$ を使って $\dfrac{2\cdot8}{4\sqrt2}=2\sqrt2$ である。すると $A$ から直線 $ST$ までの距離は $2\sqrt2-s$ で、三角形 $AST$ は三角形 $ABC$ と相似、相似比は $(2\sqrt2-s):2\sqrt2$ である。よって
$$ ST=4\sqrt2\cdot\frac{2\sqrt2-s}{2\sqrt2}=2(2\sqrt2-s)=4\sqrt2-2s $$
である。$ST=s$ とおくと $4\sqrt2-2s=s$ で、
$$ s=\frac{4\sqrt2}3=1.8856\ldots $$
である。
長い斜辺の上に置いた正方形（約 $1.886$）の方が、短い脚の上に置いた正方形（$2$）より小さい。

3 辺が $3,4,5$ の直角三角形を、$C(0,0)$、$B(4,0)$、$A(0,3)$ に置く。$a=BC=4$、$b=CA=3$、$c=AB=5$ で、斜辺 $AB$ は直線 $\dfrac x4+\dfrac y3=1$ である。
(1) 4 頂点 $(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$、$(0,1)$ の正方形は、辺 $BC$ の上に置いた正方形である。点 $(1,1)$ は $\dfrac14+\dfrac13=\dfrac7{12}<1$ なので斜辺の内側にある。しかし頂点 $(1,1)$ は三角形のどの辺の上にもないので、内接正方形ではない。
(2) 4 頂点 $(0,0)$、$(s,0)$、$(s,s)$、$(0,s)$ の正方形で、頂点 $(s,s)$ を斜辺の上に置くと、$\dfrac s4+\dfrac s3=1$ より
$$ s=\frac{12}7 $$
である。4 頂点は辺 $BC$、$BC$、$AB$、$CA$ の上にあり、隣り合う 2 頂点 $(0,0)$、$(s,0)$ が辺 $BC$ の上にあるので、辺 $BC$ の上の内接正方形である。同時に、隣り合う 2 頂点 $(0,0)$、$(0,s)$ が辺 $CA$ の上にあるので、辺 $CA$ の上の内接正方形でもある。直角の頂点に置いた正方形は、直角をはさむ 2 辺のどちらの上の内接正方形にもなる。

$B(0,0)$、$C(14,0)$、$A(5,12)$ とする。$a=14$、$b=15$、$c=13$ で、面積は $S=\dfrac12\cdot14\cdot12=84$ である。3 つの角はどれも鋭角である（最大の辺 $b=15$ について $13^2+14^2=365>225=15^2$）。
(1) 辺 $BC$ の上。$h_a=12$ なので
$$ s_a=\frac{14\cdot12}{14+12}=\frac{168}{26}=\frac{84}{13}=6.4615\ldots $$
である。座標で確かめる。$S$ は $BA$ を $s_a:(12-s_a)$ に内分する点で、$\dfrac{s_a}{12}=\dfrac7{13}$ なので $S\left(\dfrac{35}{13},\dfrac{84}{13}\right)$ である。$T$ は $CA$ を同じ比に内分する点で、$T=C+\dfrac7{13}(A-C)=\left(14-\dfrac{63}{13},\dfrac{84}{13}\right)=\left(\dfrac{119}{13},\dfrac{84}{13}\right)$ である。$ST=\dfrac{119-35}{13}=\dfrac{84}{13}$ で、高さ $\dfrac{84}{13}$ と等しい。
(2) 辺 $CA$ の上は $s_b=\dfrac{840}{131}=6.4122\ldots$、(3) 辺 $AB$ の上は $s_c=\dfrac{2184}{337}=6.4807\ldots$ である。

1 辺 $2$ の正三角形では、高さは $\sqrt3$ なので、どの辺の上の内接正方形も $s=\dfrac{2\sqrt3}{2+\sqrt3}=4\sqrt3-6=0.9282\ldots$ である。

$A(0,0)$、$B(7,0)$、$C(2,5)$ とする。面積は $S=\dfrac12\cdot7\cdot5=\dfrac{35}2$、3 辺は
$$ a=BC=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2,\qquad b=CA=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29},\qquad c=AB=7 $$
である。角は $\angle A\fallingdotseq68.2^\circ$、$\angle B=45^\circ$、$\angle C\fallingdotseq66.8^\circ$ で、鋭角三角形である。高さは $h_a=\dfrac{35}{5\sqrt2}=\dfrac7{\sqrt2}$、$h_b=\dfrac{35}{\sqrt{29}}$、$h_c=5$ である。
公式 $s=\dfrac{2S}{\text{辺}+\text{高さ}}$ から、辺 $BC$ の上は $s_a=\dfrac{35\sqrt2}{17}=2.9116\ldots$、辺 $CA$ の上は $s_b=\dfrac{35\sqrt{29}}{64}=2.9450\ldots$、辺 $AB$ の上は $s_c=\dfrac{35}{12}=2.9166\ldots$ である。

thm-sqt-main (1) と rem-sqt-graph の不等式から、辺 $BC$ の上に置いたどの正方形の 1 辺 $s$ も
$$ s\le\frac{2S}{a+h_a}\le\frac{2S}{2\sqrt{2S}}=\sqrt{\frac S2} $$
を満たす。つまり正方形の面積は $s^2\le\dfrac S2$ で、三角形の面積の半分以下である。半分になるのは、$a=h_a$ で、内接正方形がある（$\angle B$、$\angle C$ が $90^\circ$ 以下）ときに限る。
(1) ex-sqt-start の直角二等辺三角形の脚 $AB$ では $c=h_c=4$ で、正方形の面積 $2^2=4$ は三角形の面積 $8$ のちょうど半分である。
(2) ex-sqt-131415 の辺 $AB$ では、辺と高さがほぼ等しく、正方形の面積は三角形の面積の半分 $42$ にごく近い。

$B(0,0)$、$C(8,0)$、$A(-2,3)$ とする。$a=BC=8$、$b=CA=\sqrt{10^2+3^2}=\sqrt{109}$、$c=AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$、面積 $S=\dfrac12\cdot8\cdot3=12$ である。$\cos B=\dfrac{-2}{\sqrt{13}}$ で、$\angle B\fallingdotseq123.7^\circ$ は鈍角、$\angle C\fallingdotseq16.7^\circ$、$\angle A\fallingdotseq39.6^\circ$ である。
(1) 辺 $BC$ の上（鈍角 $B$ をはさむ辺）。$h_a=3$、$c\cos B=-2$ なので、prop-sqt-obtuse により最大の正方形は
$$ \frac{8\cdot3}{8+3+2}=\frac{24}{13}=1.8461\ldots $$
である。thm-sqt-main の式をそのまま使うと $\dfrac{8\cdot3}{8+3}=\dfrac{24}{11}=2.1818\ldots$ になる。この大きさ $s=\dfrac{24}{11}$ の正方形を、上の 2 頂点が辺 $AB$、$CA$ の上にくるように置くと、左上の頂点は $\left(\dfrac{ps}{h_a},s\right)=\left(-\dfrac{16}{11},\dfrac{24}{11}\right)$、左下の頂点は $\left(-\dfrac{16}{11},0\right)$ にきて、辺 $BC$ からはみ出す（図 6）。
(2) 辺 $CA$ の上（鈍角の向かいの辺）。$\angle C$、$\angle A$ は鋭角なので thm-sqt-main が使え、$s_b=\dfrac{24\sqrt{109}}{133}=1.8839\ldots$ である。
(3) 辺 $AB$ の上（鈍角 $B$ をはさむもう 1 つの辺）。prop-sqt-obtuse を、頂点 $C$ と $A$ の役割を入れかえて使うと、最大の正方形の 1 辺は $\dfrac{24\sqrt{13}}{53}=1.6327\ldots$ である。

ex-sqt-def の直角三角形 $C(0,0)$、$B(4,0)$、$A(0,3)$ では $a=4$、$b=3$ で $b< a$ だが、$\angle C=90^\circ$ なので thm-sqt-compare の等号の場合にあたる。実際、$h_a=CA=3$、$h_b=BC=4$ で
$$ s_a=\frac{4\cdot3}{4+3}=\frac{12}7,\qquad s_b=\frac{3\cdot4}{3+4}=\frac{12}7 $$
と等しく、短い脚 $CA$ の上の正方形は長い脚 $BC$ の上の正方形より大きくない。どちらも ex-sqt-def (2) の、直角の頂点 $C$ に置いた同じ正方形である。斜辺の上の内接正方形は $s_c=\dfrac{60}{37}=1.6216\ldots$ で、脚の上の $\dfrac{12}7=1.7142\ldots$ より小さい。