χy種数

次数付き代数 $A^\bullet=\Lambda[x]/(x^{n+1})$（$x$ の次数は $1$）で $a=(1+x)^{n+1}$ とおくと、$a_i=\binom{n+1}{i}x^i$ である。乗法性と Hirzebruchの符号数定理 の定理「Hirzebruch の補題」の最後の主張から $K(a)=K(1+x)^{n+1}=f(x)^{n+1}$ である。$K_n$ は重み $n$ の斉次式なので、$n$ 次の成分は $K_n(a_1,\dots,a_n)=K_n\bigl(\binom{n+1}1,\dots,\binom{n+1}n\bigr)x^n$ となり、最初の等式を得る。$\mathbb{CP}^n$ では $c_i(T\mathbb{CP}^n)=\binom{n+1}{i}h^i$（複素射影空間の接束 の定理「全 Chern 類」）、$\langle h^n,[\mathbb{CP}^n]\rangle=1$ なので、同じ斉次性から $K[\mathbb{CP}^n]$ も同じ値である。$\square$

$b_0=1$ とおく。$f^{n+1}$ の $x^n$ の係数は、$n+1$ 個の因子から次数 $j_1,\dots,j_{n+1}$（和が $n$）の項を選んだ積 $b_{j_1}\cdots b_{j_{n+1}}$ の和である。ある $j_i$ が $n$ なら他はすべて $0$ で、そのような選び方は $n+1$ 通りあり、どれも $b_n$ を与える。それ以外の選び方では、すべての $j_i$ が $n-1$ 以下である。$\square$

$t=xu$、$u\in k[\![x]\!]$、$u(0)=a\neq0$ と書くと、$u$ は可逆である。よって $t^j=x^ju^j\in k(\!(x)\!)$ がすべての整数 $j$ で定まり、$t^j$ は $x^j$ より低い冪をもたない。したがって $\sum_{j\ge0}f_jt^j$ の各係数は有限和で、$F(t(x))$ が定まる。$\sum_{j\ge0}f_jt^jt'$ は冪級数なので、留数は $0$ である。残りは有限個の $-m\le j\le-1$ の項である。形式的Laurent級数 の命題「微分と留数」の 1（Leibniz 則）から、$\ell\ge0$ では帰納法で、$\ell< 0$ では $t^\ell t^{-\ell}=1$ を微分して、$(t^\ell)'=\ell t^{\ell-1}t'$ である。とくに $(t^{j+1})'=(j+1)t^jt'$ である。$j\neq-1$ なら $t^jt'=(t^{j+1})'/(j+1)$ なので、同命題の 2 により留数は $0$ である。$j=-1$ なら、同命題の 3 により $\operatorname{res}_x(t'/t)$ は $t$ の位数 $1$ に等しい。以上で $\operatorname{res}_x\bigl(F(t(x))t'(x)\bigr)=f_{-1}$ である。$\square$

$e^{x/2}-e^{-x/2}=e^{x/2}(1-e^{-x})$ なので $Q(x)=e^{x/2}B(x)$、$B(x):=\dfrac{x}{e^{x/2}-e^{-x/2}}$ と書ける。$B(-x)=B(x)$ なので、$B$ は $x^2$ の冪級数である。根の式で $\prod_iQ(\gamma_i)=\exp(c_1/2)\prod_iB(\gamma_i)$ である（$\prod_ie^{\gamma_i/2}=e^{c_1/2}$）。$\prod_iB(\gamma_i)$ は各 $\gamma_i$ の偶関数なので奇数次の成分をもたず、その $2s$ 次の成分は対称式なので $c$ の多項式 $B_s$ で書ける。$n$ 次の成分をとると $T_n=\sum_{r+2s=n}\frac1{r!}\bigl(\frac{c_1}2\bigr)^rB_s$ である。$n$ が奇数なら各項の $r$ は奇数で $1$ 以上なので、$T_n$ は $c_1$ で割り切れる。$\square$

$\log B(x)=-\log\frac{\sinh(x/2)}{x/2}$ と $\frac{\sinh z}z=1+\frac{z^2}6+\frac{z^4}{120}+\cdots$ から、$\log\frac{\sinh z}{z}=\frac{z^2}6-\frac{z^4}{180}+\cdots$ である。よって $\log Q(x)=\frac x2-\frac{x^2}{24}+\frac{x^4}{2880}+\cdots$ である。冪和を $s_j:=\sum_i\gamma_i^j$ とすると、$\prod_iQ(\gamma_i)=\exp\bigl(\frac{s_1}2-\frac{s_2}{24}+\frac{s_4}{2880}+\cdots\bigr)$ の 4 次の成分は $\frac{s_1^4}{384}-\frac{s_1^2s_2}{192}+\frac{s_2^2}{1152}+\frac{s_4}{2880}$ である。Newton の公式 $s_1=c_1$、$s_2=c_1^2-2c_2$、$s_4=c_1^4-4c_1^2c_2+2c_2^2+4c_1c_3-4c_4$ を代入して係数を集めると、$c_1^4$ は $\frac{30-60+10+4}{11520}=-\frac1{720}$、$c_1^2c_2$ は $\frac1{96}-\frac1{288}-\frac1{720}=\frac4{720}$、$c_2^2$ は $\frac4{1152}+\frac2{2880}=\frac3{720}$、$c_1c_3$ は $\frac4{2880}=\frac1{720}$、$c_4$ は $-\frac4{2880}=-\frac1{720}$ である。$\square$

$\mathbb Q[\![u]\!]$ で分母を払って確かめると、$Q(-u)=\dfrac{u\,e^{-u}}{1-e^{-u}}=Q(u)-u$ である。$\mathbb Q[y,y^{-1}][\![x]\!]$ の中で計算すると、$(1+y^{-1})\,y=a$ なので $Q_{1/y}(yx)=Q(ax)-x$、$Q_y(-x)=Q(-ax)+yx=Q(ax)-ax+yx=Q(ax)-x$ であり、両者は等しい。ここで $Q_{1/y}$ は $Q_y$ の係数に $y\mapsto y^{-1}$ を施したもので、根の式の後の注意により、それに属する乗法的列は $T_n(1/y;c)$ である。根の式で $\prod_iQ_{1/y}(y\gamma_i)=\prod_iQ_y(-\gamma_i)$ の $n$ 次の成分を比べる。左辺は $\gamma_i$ を $y\gamma_i$ に替えたものなので $y^nT_n(1/y;c)$、右辺は $(-1)^nT_n(y;c)$ である。$T_n(1/y;c)$ は $y^{-1}$ について $n$ 次以下なので、両辺は $\mathbb Q[y][c]$ の元であり、$y^p$ の係数を比べれば後半を得る。$\square$

$Q_1(x)$ は $x^2$ の冪級数 $g(x^2)$、$g(t)=\sqrt t/\tanh\sqrt t$ である。よって $\prod_iQ_1(\gamma_i)=\prod_ig(\gamma_i^2)$ は奇数次の成分をもたない。その $2k$ 次の成分は、$L$ 多項式の根の式（変数を $\gamma_i^2$ とする）により $L_k\bigl(e_1(\gamma^2),\dots,e_k(\gamma^2)\bigr)$ である。最後に、$\prod_i(1-\gamma_i^2)=\prod_i(1-\gamma_i)\prod_i(1+\gamma_i)$ の各次数の成分を比べると、$p_j=e_j(\gamma^2)$ が上の式をみたす。$\square$

1：thm-chiy-special の 2 により $T_{-1}[M]=\langle c_n(M),[M]\rangle$ である。$c_n(TM,J)$ は $J$ の向きを入れた実ベクトル束 $TM$ の Euler 類であり（Chern類 の注意「他の特性類との関係と参考書」）、その値は Euler類 の定理「接束の Euler 数と Euler 標数」により $\chi_{\mathrm{top}}(M)$ である。2 は thm-chiy-special の 1 による。3：Pontryagin類 の補題「実化の複素化」により、$M$ の Pontryagin 類の有理係数での像は、thm-chiy-special の 3 の $p_j$ に $c_i(M)$ を代入したものである。よって $n$ が奇数なら $T_1[M]=0$、$n=2k$ なら $T_1[M]=L[M]$ である。後者は Hirzebruchの符号数定理 の主定理「Hirzebruch の符号数定理」により $\sigma(M)$ に等しい。$\square$

$$y^n\chi_{1/y}(X)=\sum_p\chi^p(X)\,y^{n-p}=\sum_p\chi^{n-p}(X)\,y^p=(-1)^n\sum_p\chi^p(X)\,y^p$$ である。$n$ が奇数なら、$y=1$ を代入して $\chi_1(X)=-\chi_1(X)$、すなわち $\chi_1(X)=0$ である。したがって多項式 $\chi_y(X)$ は $y=1$ で $0$ になり、$1-y$ で割り切れる。$\square$

1：最初の等号は定義、2 番目の等号は Hodge数 の定理「Euler 標数と Hodge 数」、3 番目の等号は cor-chiy-values の 1 による。2：thm-chiy-hrr に $y=0$ を代入し、thm-chiy-special の 1 を使う。3：$n$ が奇数なら、prop-chiy-serre と cor-chiy-values の 3 による。$n$ が偶数で $X$ が Kähler なら、Hodge数 の定理「Hodge 数の対称性」の 2 により $h^{p,q}=h^{q,p}$ なので、$\sum_{p,q}(-1)^qh^{p,q}=\sum_{p,q}(-1)^ph^{p,q}$ である。右辺は Hodge指数定理 の定理「Hodge 指数定理」により $\sigma(X)$ に等しい。$\sigma(X)=T_1[X]$ は cor-chiy-values の 3 である。$\square$